AMORTECIMENTOS SUBCRÍTICO, CRÍTICO E

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1 AMORTECIMENTOS SUBCRÍTICO, CRÍTICO E SUPERCRÍTICO Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 26 de março de 2018

2 Roteiro 1 Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico 2 3 Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2

3 Roteiro Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico 1 Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico 2 3

4 Introdução Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico Atrito viscoso: modelo de amortecimento é f = cv x Sendo γ = M Mẍ = kx cẋ ẍ + 2γẋ + ω 2 0x = 0 c 2M e ω 0 = k M. Equação característica: λ 2 +2γλ+ω 2 0 = 0 = 4(γ 2 ω 2 0) Há 3 casos: 1 > 0 (supercrítico): soluções exponenciais 2 < 0 (subcrítico): soluções oscilatórias com amplitude decrescente 3 = 0 (crítico): solução exponencial

5 Balanço de energia Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico Equação do oscilador amortecido Multiplicando por ẋ: Mẍ + cẋ + kx = 0 Mẋẍ + kxẋ = cẋ 2, Mẋẍ + kxẋ = de MEC dt, e cẋ 2 é a potência da força de atrito viscoso = F v Note que de MEC dt diminui. < 0, isto é, a energia mecânica sempre

6 Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico Amortecimento supercrítico (γ > ω 0 ) Equação característica: duas soluções reais e distintas λ 1 = γ + γ 2 ω0 2 Note que λ 2 < λ 1 < 0 Solução geral da EDO: λ 2 = γ γ 2 ω0 2 x(t) = ae λ 1t + be λ 2t = e γt (a cosh ω d t + b sinh ω d t) ω d = γ 2 ω 2 0 Sendo a e b determinados a partir das condições iniciais.

7 Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico Amortecimento supercrítico (γ > ω 0 ) x(t) ae λ 1t + be λ 2t ae λ 1t t

8 Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico Amortecimento subcrítico (γ < ω 0 ) As soluções da equação característica são duas raízes complexo-conjugadas λ 1 = γ + iω d λ 2 = γ iω d λ 1 Im ω d Sendo ω d = ω 2 0 γ2 A solução geral da EDO é: x(t) = e γt (a sin w d t + b cos w d t) γ λ 2 ω d Re = Ae γt cos(w d t+ϕ) = Ae γt sin(w d t+φ) Esta é uma solução que oscila com amplitude decrescente.

9 Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico Amortecimento subcrítico (γ < ω 0 ) x(t) T d t T d : período das oscilações amortecidas ou pseudo-período ou simplesmente período.

10 Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico Amortecimento subcrítico (γ < ω 0 ) É interessante analisar a fração da energia dissipada por ciclo = T d x 1 = Ae γt 1 x 2 = Ae γt 1 γt d = x 1 e γt d x(t) Energia armazenada = kx2 1 2 t Energia dissipada = kx2 1 2 (1 e 2γT d ) = kx2 1 2 (2γT d)

11 Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico Amortecimento subcrítico (γ < ω 0 ) Pode-se definir o fator de qualidade do oscilador como: ( ) Energia armazenada Q = 2π = 2π 1 = ω d Energia dissipada num ciclo 2γT d 2γ Q = ω 0 2γ Note que, quanto maior o Q, menor o amortecimento (menor perda de energia). Estas últimas deduções são válidas quando o amortecimento é pequeno, ou seja, quando γ ω 0.

12 Amortecimento crítico (γ = ω 0 ) Modelo geral Amortecimento supercrítico Amortecimento subcrítico Amortecimento crítico Equação característica tem uma raiz dupla: λ = γ A solução geral da EDO é: x(t) = e γt (a + bt) Se mantivermos ω 0 e variarmos γ, o caso crítico é o que decai mais rapidamente. Subcrítico Supercrítico Crítico x(t) t

13 Roteiro 1 2 3

14 Introdução Vamos estudar o efeito produzido sobre o oscilador por uma força externa F (t). Estudaremos dois casos: 1 F (t) = F 0 : degrau de amplitude F 0 2 F (t) = F 0 sin ωt: força harmônica O primeiro caso é análise simples, mas tem uma importância capital em projetos de controladores. No segundo caso, a força externa é periódica com frequência angular ω, que pode coincidir ou não com a frequência natural do próprio oscilador. EDO de um oscilador forçado: Mẍ + cẋ + kx = F (t) (EDOLNH de 2a ordem)

15 Se F (t) = F 0 = kx 0, então a resposta do oscilador será: x(t) = x 0 + x H (t) A solução completa é a mesma do caso homogêneo, a menos de um deslocamento ( shift ) de x 0. Ae λ1t + Be λ2t, amortecimento supercrítico x H (t) = Ae γt sin(ω d t + φ), amortecimento subcrítico e γt (A + Bt), amortecimento crítico

16 A entrada degrau aparece muito em engenharia Os sistemas físicos comumente admitem um modelo simplificado de sistema massa-mola Quando é necessário controlar um sistema físico, geralmente se aplica uma força F (t) (ou uma corrente I(t), ou uma tensão E(t), ou algum outro mecanismo atuador) para que ele se comporte como desejado F (t) = kx 0 : geralmente deseja-se que o sistema (considerado inicialmente em repouso na posição x = 0) atinja a posição x 0 (a nova posição de equilíbrio) o mais rápido possível e aí permaneça Vamos vislumbrar isso para o caso subcrítico

17 Nas hipóteses de condições iniciais nulas, a solução é: [ x(t) = x 0 1 e γt sin(ω ] dt + β) sin β sendo β o suplementar de arg( γ + iω d ) λ 1 Im ω d γ β Re λ 2 ω d

18 Esboço de x(t) M p x 0 x(t) t r t M p = e π cot β : overshoot t r = π β : tempo de subida ( rise time ) ω d t s 3 = (para ± 5%): tempo de estabilização ( settling time ) γ t s

19 Roteiro Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2

20 Enunciado Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 O corpo de 8,00 kg é deslocado de 0,200 m para a direita a partir da posição de equilíbrio e é liberado a partir do repouso no instante de tempo t = 0. Determine sua posição x no instante de tempo 2,00 s. O coeficiente de amortecimento c viscoso é 20,0 N.s/m, e a rigidez da mola é k =32,0 N/m. M x

21 Solução Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 Equação de movimento ẍ + c M ẋ + k M x = 0 Daí, concluímos que ω 0 = 2,00 rad/s e γ = 1,25 s 1, e que se trata de um oscilador subamortecido. A frequência angular amortecida é ω d = ω 2 γ 2 = 1,56125 rad/s. Solução geral: A velocidade é: x(t) = Ae γt sin(ω d t + φ) v(t) = γae γt sin(ω d t + φ) + ω d Ae γt cos(ω d t + φ) Para obter A e φ, precisamos das condições iniciais x(0) = 0,200 m e v(0) = 0.

22 Solução Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 A sin φ = 0,2, 0 = 1,25A sin φ + 1,56125A cos φ Resolvendo as duas equações, obtemos A = 0, m e φ = 0, rad. Assim, a solução é x(t) = 0,256205e 1,25t sin(1,56125t + 0,895664) Precisamos encontrar x(t) para t = 2,00 s. Fazendo os cálculos, obtemos x = 0, m = 0,0161 m.

23 Enunciado Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 A barra uniforme de massa m é livremente articulada em torno de um eixo horizontal. Assuma pequenas oscilações e determine o fator de amortecimento ζ. a b k c

24 Solução Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 Assumindo pequenas oscilações, podemos escrever a equação dos momentos (usando a articulação como referência): kxa cvb mg(b/2) = mb2 3 θ Como x = aθ e v = b θ, temos θ + 3c m θ + 3ka2 mb 2 = 3g 2b Portanto ω 0 = 3ka 2 /(mb 2 ), γ = 3c/(2m) ζ = cb 3 2a km

25 Enunciado Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 Determine a equação diferencial para pequenas oscilações da barra a seguir, articulada no ponto indicado. A barra tem sua massa m uniformemente distribuída ao longo de seu comprimento. Obtenha o valor do coeficiente c do amortecedor para que as oscilações sejam criticamente amortecidas. a 2a k c

26 Solução Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 Escrevendo a eq. dos momentos em relação ao ponto de articulação, temos, para pequenas oscilações: ( a mg cos θ kxa cos θ cv(2a) cos θ = I 2) θ Sabemos que x = [ aθ, v = 2a θ, e pelo teorema dos eixos (3a) 2 ( a ) ] 2 paralelos: I = m 12 + = ma 2. 2 θ + 4c m θ + k m θ = g 2a E para um amortecimento crítico, c cr = m k mk 2 m = 2

27 Enunciado Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 Um oscilador amortecido tem os seguintes parâmetros: m = 1,00 kg, c = 10,0 N.s/m, k = 169 N/m. Se este oscilador está sujeito a uma força degrau, obtenha a o tempo de subida e o overshoot. b suponha F (t) = F 0 ηx χẋ. Determine η e χ para que o tempo de subida seja menor que 50 ms, e o overshoot seja menor que 10%.

28 Solução Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 a Para os parâmetros especificados, temos γ = 5,00 s 1, ω 0 = 13,0 rad/s, ω d = 12,0 rad/s, β = rad. O overshoot é M p = e π cot β = 0,270 = 27,0% O tempo de subida é t r = π β ω d = 164 ms

29 Solução Sistema massa-mola-amortecedor Oscilação de uma barra articulada 1 Oscilação de uma barra articulada 2 b Considerando a força dada, temos a seguinte EDO ẍ + (c + χ) (k + η) ẋ + m m x = F 0 Pelos requisitos de projeto, devemos tomar χ e η tal que M p = e π cot β < 0,10 π β ω d < 0,05 Podemos, por exemplo, tomar β = 0,900 rad e ω d = 23,0 rad/s. Isto implica γ = 18,252 s 1, ou seja, χ = 8,25 N.s/m. Analogamente, obtemos ω 0 = 29,362 rad/s. Assim, η = 693 N/m.