Física 2 - EMB5039. Prof. Diego Duarte Oscilações (lista 4) 19 de abril de 2017

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1 Física 2 - EMB5039 Prof. Diego Duarte Oscilações (lista 4) 19 de abril de Mostre que a equação que descreve o sistema massa-mola vertical da figura 1 é dada por: d 2 y dt 2 + ω2 y = 0 (1) em que ω = k/m é a frequência natural de oscilação do sistema e y a deformação da mola em relação ao ponto de equilíbrio. A equação 1 é chamada de equação diferencial ordinária linear de segunda ordem homogêna e com coeficientes constantes, ou apenas EDO de segunda ordem. Considerando que o sistema parte da condição y = y max em t = 0, (a) mostre que a posição da mola em função do tempo pode ser representada por uma função do tipo y(t) = A cos (Bt) em que A e B são constantes. Mostre também que A = y max e B = ω. (b) Calcule a velocidade e a aceleração do corpo em função do tempo. (c) Trace os gráficos x(t), v(t) e a(t) e faça a comparação entre as curvas para 0 ωt 2π, identificando os pontos de máximos e mínimos para cada função e associando estas propriedades com o problema físico. (d) Mostre que a energia mecânica é conservada. (e) Acesse o programa Massas e Molas na plataforma PhET [1] e meça o período de oscilação do sistema massa-mola considerando as massas de 50, 100 e 250g. Faça 5 medidas para cada massa, anote estes resultados e calcule a média artimética. Compare os valores médios com o resultado obtido com equação do período, que pode ser calculado a partir da frequência angular ω. Explique a diferença entre o valor experimental e o valor teórico. Lembre-se que para calcular o valor teórico, você precisa conhecer a constante elástica da mola (a dica está na figura 1). A frequência de oscilação depende da massa? Explique. Faça este mesmo experimento considerando a aceleração gravitacional de Júpiter e considerando o caso sem aceleração gravitacional. 1

2 Figura 1: Exercício Mostre que a equação que descreve o pêndulo simples da figura 2 é dada por: d 2 φ dt 2 + ω2 sin φ = 0 (2) em que ω = g/l é a frequência angular de oscilação. Faça a análise para pequenas oscilações (φ 0) e mostre que, neste caso, a solução do problema é dada por φ = φ max cos(ωt) para φ = φ max em t = 0. (a) Acesse o programa Pendulum Lab na plataforma PhET [2] e meça o período de oscilação para diferentes massas (0,5 kg m 2,0 kg) e comprimentos da haste (0,5 m L 2,5 m). (b) Faça as mesmas medidas considerando a aceleração graviacional da Lua. (c) Calcule a aceleração gravitacional do Planeta X. (d) A frequência angular de oscilação depende da massa? Justifique com argumentos físicos. 2

3 Figura 2: Exercício Considere um sistema massa mola amortecido similar ao da figura 3 onde que a força de arrasto, devido ao fluido, é dado por bv. Mostre que a equação do movimento é representada por: m d2 y dt + bdy + ky = 0 (3) 2 dt em que y é a posição instantânea do corpo de massa m. Mostre que a equação: y(t) = y max e (b/2m)t cos ω t (4) ( ) 2 satisfaz a equação 3 em que ω b = ω 0 1 2mω 0 com ω0 = k/m. Estude os casos subamortecido e criticamente amortecido e esboce as soluções y(t). Considere que este mesmo corpo é excitado por uma força externa na forma F 0 cos ωt em que ω é a frequência angular de excitação. Neste caso, a amplitude de oscilação, em regime estacionário, é representada por: A = F 0 m2 (ω 2 0 ω 2 ) + b 2 ω 2 (5) 3

4 Esboce o gráfico da equação 5 em função de ω e indique qual a região que devemos evitar para que o sistema não tenha ressonância. Figura 3: Exercício Um pêndulo simples, de comprimento L, está preso a um carrinho massivo que desce um plano inclinado, sem atrito, que forma um ângulo θ com a horizontal, como mostra a figura 4. Determine o período de pequenas oscilações para este pêndulo. Resposta: T = 2π L/(g cos θ) 5. Um pêndulo, em seu laboratório de física, tem um comprimento de 75 cm e uma bolinha de 15 g de massa. Despreze a massa da haste. Para iniciar o balanço da bolinha, você colocar um ventilador próximo à ela, soprando uma corrente horizontal de ar. Enquanto o ventilador está ligado, a bolinha fica em equilíbrio com o pêndulo deslocado de um ângulo de 5,0 com a vertical. O vento é soprado pelo ventilador a 7,0 m/s. Você desliga o ventilador e deixa que o pêndulo oscile. (a) Supondo que a força de arrasto seja dada pela forma bv, calcule a constante b. (b) Quanto tempo levará para a amplitude do pêndulo chegar em 1,0? 4

5 Figura 4: Exercı cio Um bloco de massa m, em repouso sobre uma mesa horizontal, e preso a uma mola que tem uma constante ela stica k, como mostra a figura 5. O coeficiente de atrito cine tico entre o bloco e a mesa e µc. (a) Um impulso inicial para direita e aplicado sobre a massa quando a mola esta na posic a o x = 0. Mostre a equac a o do movimento neste caso (1/4 do perı odo) e dada por: d2 x0 + ω 2 x0 = 0 (6) dt2 p em que x0 = x + µc mg/k e ω = k/m. (b) Mostre que no segundo quarto do perı odo (movimento da direita para x = 0), a equac a o do movimento sera : d2 x00 + ω 2 x00 = 0 (7) dt2 com x00 = x µc mg/k. Dica: em cada situac a o, observe o sentido da forc a ela stica e da forc a de atrito. Figura 5: Exercı cio Um corpo de 3,0 kg, sobre uma superfı cie horizontal sem atrito, oscila preso a uma das extremidades de uma mola com uma amplitude de 8,0 cm. Sua acelerac a o ma xima e 3,5 m/s2. Determine a energia meca nica total. 5

6 Referências [1] Massas e Molas, Phet Interactive Simulations. Last view: 18/04/2017. [2] Pendulum Lab, Phet Interactive Simulations. Last view: 19/04/