FEP Física para Engenharia II

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1 FEP196 - Física para Engenharia II Prova P1-18/09/008 Nome: N o USP: Assinatura: Turma/Professor: Observações: A prova tem duração de horas. Não é permitido o uso de calculadora. Preencha todas as folhas, inclusive esta, com seu nome, número USP e turma, de forma legível. esolva cada exercício começando na frente da folha com o mesmo número. Se necessário utilize o verso da folha. Justifique todas as suas respostas com comentários, fórmulas e cálculos intermediários. Não esqueça das unidades das grandezas físicas pedidas. Apresente sua identidade ao assinar a lista de presença. Quando nos resultados aparecerem,, 5, ou qualquer outra raiz que não seja de um quadrado perfeito, deixe indicado, sem substituir por uma aproximação. O mesmo aplica-se para ln, ln, ln 5 ou qualquer outro ln. x = r cos(θ y = r sen(θ v = dr dt [ a = d r dt r ˆr + r dt ˆθ ou v = ṙ ê r + r θ ê θ ( ] [ ˆr + dr ] dt dt dt + r d θ ˆθ ou a = ( r r dt θ ê r + (ṙ θ + r θ ê θ m a = F + F in Fc = m ω ( ω r FCor = m ω v d x dt + ω 0x = 0 d x dt + γ dx dt + ω 0x = 0 γ = ρ m ω = ω 0 γ 4 x(t = a cos(ω 0 t + b sen(ω 0 t x(t = A cos(ω 0 t + ϕ x(t = A e γ t cos(ωt + ϕ cos(a ± b = cos(acos(b sen(asen(b sen(a ± b = sen(a cos(b ± sen(b cos(a cos(a = sen(a + π/ sen0 = cos 60 = 1 sen60 = cos 0 = sen45 = cos 45 =

2 1. Um foguete é disparado verticalmente de uma plataforma de lançamento B. Seu vôo é rastreado por um radar situado no ponto A, a uma distância =0,0 km da plataforma de lançamento, conforme figura abaixo. Supondo que θ = 0, 0 (rad/s v r = ṙ = θ tan θ cos θ v r = 0, 0 10 (m 0, 0 (rad/s tan(π/6 cos(π/6 v r = 90 v r = 60 (m/s (c (1,0 A magnitude da aceleração tangencial (a θ quando θ = 0. o formulário: a θ = ṙ θ + r θ, com θ = 0 A θ B e utilizando o sistema de coordenadas polares, com pólo em A, determine: (a (0,5 A magnitude da velocidade inicial do foguete, quando θ = 0. (b (1,0 A magnitude da velocidade radial (v r quando θ = 0. (c (1,0 A magnitude da aceleração tangencial (a θ quando θ = 0. o formulário: r = r ê r e v = ṙ ê r + r θ ê θ ados: Quando t=0 r 0 = = 0, 0 km (do desenho e θ = 0, 0 (rad/s a θ = ṙ θ = v r θ Aqui podemos substituir v r =60 (m/s pois foi calculada no ítem anterior para o mesmo ângulo θ = 0. a θ = 60 (m/s 0, 0 (rad/s a θ = 6(m/s. Um carrinho motorizado está parado na borda de uma plataforma circular de raio = 0 m, exatamente no ponto A, conforme a figura abaixo. A plataforma gira com velocidade ω = 0, 5ˆk (rad/s. Pretende-se que o carrinho ande o mais rápido possível, na direção radial, seguindo sobre a linha AO até o centro da plataforma. (a (0,5 A magnitude da velocidade inicial do foguete, quando θ = 0. Para θ = 0 temos ṙ 0 = Ḋ = 0 Assim, para a velocidade teremos apenas: A v O ω v = θ ê θ v = 0, 0 10 m 0, 0 (rad/s v = (m/s v = 90 (m/s ê θ (b (1,0 A magnitude da velocidade radial (v r quando θ = 0. r = cos θ v r = ṙ = cos ( sen θ θ θ (a (1,0 Considerando que, inicialmente, os pneus do carrinho estão travados, determine o coeficiente de atrito estático µ para que o carrinho fique parado no ponto A, com a plataforma girando.

3 (b (1,0 estravando-se os pneus do carrinho, determine a velocidade máxima v max para que ele possa seguir sobre a linha radial AO, sem derrapar lateralmente, considerando que o coeficiente de atrito estático seja o mesmo do item anterior. (c (0,5 O carrinho segue então com velocidade máxima e, ao encontrar-se exatamente na metade do trajeto até o centro, um dispositivo solta óleo na pista e o coeficiente de atrito cai à metade do valor inicial. Nestas condições determine o vetor aceleração do carrinho. (a (1,0 Considerando que, inicialmente, os pneus do carrinho estão travados, determine o coeficiente de atrito estático µ para que o carrinho fique parado no ponto A, com a plataforma girando. o formulário: f c = m ω ( ω r Aqui, a posição inicial do carrinho (A é: r = ê r f c = mω( ˆk [ω( ˆk (ê r ] f c = mω( ˆk (ω ( ˆk ê r }{{} No equilíbrio: f c = mω ( ˆk ê θ }{{} f c = mω ( ê r f c = ω ê r µ = f at = f c (para fora µ m g = m ω µ = ω g ( 1 (rad/s 0(m 10 m/s µ = 0, 5 (b (1,0 estravando-se os pneus do carrinho, determine a velocidade máxima v max para que ele possa seguir sobre a linha radial AO, sem derrapar lateralmente, considerando que o coeficiente de atrito estático seja o mesmo do item anterior. o formulário: fcor = m ω v f cor = m ω v ê θ No equilíbrio: f at = f cor µ m g = m ω v v = µ g ω = ( ω g v = ω g ω v = 1 (rad/s 0m 1 v = 5, 0 (m/s (c (0,5 O carrinho segue então com velocidade máxima e, ao encontrar-se exatamente na metade do trajeto até o centro, um dispositivo solta óleo na pista e o coeficiente de atrito cai à metade do valor inicial. Nestas condições determine o vetor aceleração do carrinho. O coeficiente de atrito atual µ cai pela metade do anterior: µ = µ/ = (ω /g (1/ Porém, o raio também cai pela metade. A resultante radial continua nula. f c f at = m a r ( ( µ m ω m g = m a r ( ( ω m ω m g = m a r g a r = 0 (m/s Na direção tangencial a força de atrito cai pela metade: f cor f at = m a θ ( µ m ω v m g = m a θ ( ( ω ω a θ = ω g g

4 a θ = ω ( 1 a θ = 0(m 1 =, 5 (m/s φ = arctan(1 φ = (π/4 + nπ (rad, com n inteiro. então, a =, 5 (m/s ê θ x(t = cos(ωt + π/4 (m ou. Um corpo de massa m =, 0 kg preso a uma mola realiza um movimento harmônico simples de acordo com a equação horária: x(t = [cos(t sen(t] (m Nestas condições determine: (a (0,5 O período de oscilação do corpo. (b (1,0 A amplitude e a fase inicial do movimento. (c (1,0 A energia potencial máxima armazenada na mola. (a (0,5 O período de oscilação do corpo. ω 0 = k m e T = π ω a equação: ω 0 = (rad/s T = π (rad/s T = π (s (b (1,0 A amplitude e a fase inicial do movimento. o formulário: x(t = a cos(ωt + b sen(ωt x(t = A cos(ωt + φ A = a + b ( φ = arctan b a a equação: ( A = ( + = 1 (m x(t = sen(ωt + π/4 (m (c (1,0 A energia potencial máxima armazenada na mola: E 0 = 1 m w 0 A E 0 = 1, 0(kg ( rad/s 1 (m E 0 = 6, 0 (J 4. Um corpo preso na extremidade de uma mola e imerso em um fluido viscoso, executa um movimento harmônico amortecido no regime subcrítico conforme a equação horária: x(t = 4e t cos(4t + φ(m Sabendo-se que o corpo possui velocidade nula no instante de tempo t=0, determine: (a (1,0 A freqüência natural de oscilação ω 0 (freqüência na ausência da força viscosa do sistema massa-mola. (b (1,0 A fase inicial φ do movimento. (c (0,5 O tempo necessário para que a amplitude máxima do movimento se reduza à metade do valor inicial. (a (1,0 A freqüência natural de oscilação ω 0 (freqüência na ausência da força viscosa do sistema massa-mola. ω = ω 0 ( γ ω 0 = 4 + = 5, 0 (rad/s

5 (b (1,0 A fase inicial φ do movimento. Para t=0s, v(0 = ẋ(0 = 0 ẋ(t = 1e t cos(4t+φ 16 e t sen(4t+φ (m 0 = ẋ(0 = 1 cos(φ 16 sen(φ (m ( 1 = tan(φ φ = arctan 16 4 (c (0,5 O tempo necessário para que a amplitude máxima do movimento se reduza à metade do valor inicial. 1 = e t ln( = t t = ln( (s