Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Vibração excitada harmonicamente- 1GL. Professor: Gustavo Silva

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1 Vibrações e Dinâmica das Máquinas Aula Vibração excitada harmonicamente- 1GL Professor: Gustavo Silva 1

2 1. Introdução Nesta aula estudaremos sistemas amortecidos e não amortecidos sendo excitados harmonicamente. Anteriormente foi estudado a solução homogênea (transiente) de sistemas vibratórios, assim sendo, não havia força externa sendo exercida sobre o corpo. Lembrando que a resposta homogênea é dada pela expressão: x(t) = e ζω nt (C 1 cos ω d t + C 2 sin ω d t) 2

3 1. Introdução Ao considerarmos uma força harmônica externa excitando o sistema, devemos considerar também a solução particular (permanente) do sistema para obtermos a solução total x(t). A força harmônica pode ser dada por uma função do tipo: F t = F 0 cos(ωt) onde F0 é a amplitude da força excitadora, ω é a frequência da mesma. K x C m F 3

4 2. Equação de movimento Como já visto anteriormente, a equação de movimento de um sistema massa-mola-amortecedor é uma equação da seguinte forma: m x + c x + kx = F Para o caso onde F não é zero, temos que a solução geral x(t) é dada pela soma de x h (t) (solução homogenia) e x p (t) (solução particular): x t = x h (t) + x p (t) K C x m F 4

5 2. Equação de movimento 5

6 3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica Um sistema não amortecido possui uma equação de movimento da seguinte forma: m x + kx = F(t) Sabendo que é uma força harmônica da forma: F(t) = F 0 cos(ωt) Temos que: m x + kx = F 0 cos(ωt) A solução homogenia desta equação é dada quando a F é igual a zero: x h (t) = C 1 cos(ω n t) + C 2 sin(ω n t) como já visto anteriormente. 6

7 3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica Como estamos trabalhando com forçar harmônicas, o sistema responderá com a mesma frequência harmônica ω. Assim a solução particular x p (t) pode ser dada por: x p (t) = X cos(ωt) onde X é uma constante que representa a máxima amplitude para a função x p (t). Temos que o valor de X é: X = F 0 k mω 2 = δ st 1 ω ω n 2 onde δst é a deflexão estática dada por δst = F 0 k 7

8 3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica Sabendo que x t = x h (t) + x p (t) temos que: x t = C 1 cos(ω n t) + C 2 sin(ω n t) + X cos(ωt) x t = C 1 cos(ω n t) + C 2 sin(ω n t) + F 0 k mω 2 cos(ωt) onde C1 e C2: C 1 = x 0 F 0 k mω 2 C 2 = x 0 ω n 8

9 3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica A razão de frequências r= assim: - Caso 1: 0 < r < 1 ω ω n pode ser um número entre 0 e 1, 1 ou ainda maior que um, O denominador da equação de X é positivo, assim a solução particular é dada pela equação: x p (t) = X cos(ωt) como já visto. X = δ st 1 ω ω n 2 9

10 -Caso 2: r > 1 3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica Neste caso o denominador é negativo, assim a solução particular passa a ser: x p t = X cos(ωt) e a amplitude passa a ser: X = ω ω n δ st 2 1 Neste caso é dito que a resposta esta defasada de 180º em relação a força externa. 10

11 -Caso 3: r = 1 3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica Neste caso a frequência excitadora é igual a frequência natural do sistema, então temos a condição de ressonância, onde a amplitude X passa a ser infinita. Assim a resposta total do sistema é dada por: x t = x o cos(ω n t) + x 0 sin(ω ω n t) + δ stω n t n 2 sin(ω n t) 11

12 3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica Outras formas de escrever a resposta total nos casos 1 e 2 são: x t A cos(ω n t φ) + δ st 1 ω ω n 2 cos(ω nt) PARA r < 1 x t A cos(ω n t φ) δ st 1 ω ω n 2 cos(ω nt) PARA r > 1 12

13 3. Resposta de um sistema não amortecido à força harmônica Batimento: O fenômeno do Batimento ocorre quando o sistema é excitado com uma frequência próxima, mas não igual a sua frequência natural. Neste caso o sistema vibra em uma frequência mais alta modulada por uma frequência mais baixa. O período de batimento é dado por: τ b = 2π ω n ω 13

14 3. Resposta de um sistema amortecido à força harmônica Um sistema amortecido possui uma equação de movimento da seguinte forma: m x + c x + kx = F Sabendo que é uma força harmônica da forma: F(t) = F 0 cos(ωt) Temos que: m x + c x + kx = F 0 cos(ωt) A solução particular desta equação é dada por: x p (t) = X cos(ωt φ) onde φ representa o atraso temporal de x p em relação à força excitadora 14

15 3. Resposta de um sistema amortecido à força harmônica X = F 0 k mω c 2 ω φ = tg 1 cω k mω 2 ou X = F 0 /k 1 r (2ζr) φ = tg 1 2ζr 1 r 2 15

16 3. Resposta de um sistema amortecido à força harmônica Por fim, a resposta total pode ser dada por: x(t) = X 0 e ζω nt cos ω d t φ 0 + X cos(ωt φ) Os valores de X 0 eφ 0 podem ser determinados pelas condições iniciais: x 0 = X 0 cos φ 0 + X cos φ x 0 = ζω n X 0 cos φ 0 + ω d X 0 sin φ 0 + ωx sin φ 16

17 4. Excitação pela base Às vezes, a base de um sistema sofre movimento harmônico, neste caso temos que além do sistema possuir uma amplitude de vibração, o mesmo ocorre com base do sistema. Se X é a amplitude da resposta particular do sistema e Y é a amplitude do movimento da base, temos: X Y = k 2 + cω 2 k mω cω 2 onde X/Y é denominada transmissibilidade de deslocamento (Td). FT é a amplitude máxima da força transmitida à base e é dada por: F T ky = r² 1 + 2ζr 2 1 r ζr 2 onde FT/kY é a transmissibilidade de força. 1 2 = 1 + 2ζr r ζr

18 4. Excitação pela base 18

19 4. Excitação pela base 19

20 5. Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo Uma das principais causas de vibração é o desbalanceamento rotativo. Na figura temos um sistema cujo a massa total é M e duas massas excêntricas m/2 giram com velocidade angular constante, uma no sentido horário e outra anti-horário. A força centrífuga de cada massa é dada por F = m 2 a n = m 2 e ω2. Estas forças causarão excitação na massa total M. 20

21 5. Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo Note que as forças horizontais se cancelam, enquanto as forças verticais se somam. Assim a força vertical total é dada por F t = m e ω 2 sin ωt. A equação de movimento é dada por: m x + c x + kx = F(t) m x + c x + kx = m e ω 2 sin ωt A solução particular é dada por: x p (t) = X sin(ωt φ) X = Onde: meω² k Mω c 2 ω 2 1 φ = tg 1 2 cω k Mω 2 21

22 5. Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo Ou ainda podemos trabalhar com as equações: MX me = r² 1 r ζr φ = tg 1 2ζr 1 r 2 O máximo valor de MX para sistemas com 0 < ζ < 1 pode ser encontrado com a equação: me 2 MX me máx = 1 2ζ 1 ζ 2 22

23 5. Resposta de um sistema amortecido ao desbalanceamento rotativo 23

24 Exercício 24

25 Exercício 25

26 Exercício 26

27 Exercício 27

28 Exercício 28

29 Exercício 29

30 Exercício 30

31 Bibliografia RAO, S. S. Vibrações Mecânicas. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 4 ed.,