Física 2. Guia de Estudos P2

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1 Física 2 Guia de Estudos P2

2 1. Amortecimento Anteriormente, no Movimento Harmônico Simples (MHS), foi estudado o movimento com uma força restauradora proporcional ao deslocamento em relação à uma posição de equilíbrio. Agora, no Movimento Harmônico Amortecido (MHA), além da força restauradora, terá também uma força dissipativa proporcional à velocidade (x), do tipo: F = bx Sendo b uma constante relacionada à viscosidade do amortecedor. Um esquema do oscilador amortecido pode ser visto abaixo: 2. Movimento Harmônico Amortecido (MHA) 2.1 Equação do Movimento Para se chegar na equação do movimento característica do MHA, usa-se a 2ª Lei de Newton. 1

3 F = mx mx = kx bx ) * x + +γx + ω. x = 0 Sendo γ = 2 * a constante de amortecimento e ω. = 3 * oscilações. a frequência natural de 2.2 Solução Geral do MHA Para resolver a equação diferencial acima e achar uma solução geral (que envolve duas funções, por ser de segunda ordem), será usado uma solução particular do tipo: x t = A e 78 Para achar o valor de p, essa solução será substituída na equação diferencial do MHA. Lembrando que x = Ap e 78 e x = Ap² e 78, temos: p² Ae 78 + pγ Ae 78 + ω. Ae 78 = 0 ) ;< => p² + γp + ω. = 0 Pode-se achar p usando Bháskara, sendo, então, igual a: p = γ 2 ± γ 2 ω. 2

4 Repare que o tipo de solução pode ser diferente dependendo da relação entre A e ω.. Nesse sentido, vale a pena analisar cada caso com detalhes Caso subcrítico γ 2 < ω 0 No caso em que A < ω G, a constante p será do tipo complexa: p = γ 2 ± iω com ω = ω G A e i = 1 Isso pode soar estranho no início, mas não se preocupe. A solução geral para o caso subcrítico não vai precisar usar notação complexa. Veja que é possível escrever a solução geral como: x t = A exp γ 2 t + iωt + B exp γ t iωt 2 x t = e NA 8 A e iωt + B e Niωt A parte em negrito, é idêntica à do MHS quando se usa a solução exponencial x t = Ae 78. Nesse caso a solução geral vai ser similar à do MHS só que multiplicada por uma exponencial. Por fim, chega-se nas soluções gerais do tipo: 3

5 x t = e NT U 8 B cos(ωt) + C sin ωt ou x t = Ae NA 8 cos ωt + φ Sendo A, B, C e φ constantes que dependem das condições iniciais, Repare que nesse caso o movimento subcrítico então é um MHS com uma amplitude que diminui com o tempo, devido ao efeito da dissipação (e da exponencial decrescente na solução geral). Nesse caso, o oscilador precisa de um tempo muito grande (t ) para o corpo cessar seu movimento. Exercício de Fixação 1 P O oscilador harmônico amortecido possui a seguinte equação de movimento: x + γx + ω G x = 0 Supondo que o oscilador se encontra no regime subcrítico, assinale o valor da razão a 8bc a 8, onde τ é o período. Escolha uma alternativa: A. exp e A f g U NA U B. exp ea f g U NA U i 4

6 C. exp A ie f g U NA U i D. exp e A TU j Nf g U E. exp ea f g U NA U i Aplicação das condições iniciais Tem-se como condições iniciais a posição inicial (x 0 = x. ) e a velocidade inicial (x 0 = v. ). Usando a primeira solução do caso subcrítico, pode-se achar a equação temporal particular da posição do oscilador: x t = e NA 8 B cos(ωt) + C sin ωt x 0 = x. = B x t = γ 2 ena 8 B cos(ωt) + C sin ωt + e NA 8 C cos(ωt) B sin ωt Por fim: x 0 = v. = γ B + Cω 2 x t = e NA x. cos ωt + v. ω + γx. 2ω sin ωt 5

7 Ou, caso prefira, a outra solução será do tipo: x t = Ae NA 8 cos ωt + φ Com A = x. + l m + Aa m f f qm e φ = arctan r bts m Ur. a m Exercício de Fixação 2 P Um oscilador criticamente amortecido, partindo da posição de equilíbrio, recebe um impulso que lhe comunica uma velocidade inicial v.. Verifica-se que ele passa por seu deslocamento máximo, igual a 7, 4 cm, após 1 s. Considere e N) = 0, 37, e N = 0, 14 e e Nx = 0, 05. A velocidade inicial, v G e posição no instante t = 2 s são respectivamente: A. 10 cms e 2.8 cm B. 20 cms e 1.4 cm C. 10 cms e 5.6 cm D. 20 cms e 5.6 cm E. NDA Gráfico Para desenhar o gráfico de x(t): x t = Ae NA 8 cos ωt + φ pode-se fazer a interpretação de um gráfico de MHS com amplitude decrescente. 6

8 Isso ocorre por causa da exponencial decrescente. Dessa forma, a cada período, a amplitude reduz uma determinada taxa, sendo que seus pontos máximos formam a exponencial decrescente em questão: Repare que nesse exemplo, foi considerado φ = 0. Exercício de Fixação 3 P Considerando o oscilador harmônico amortecido em regime subcrítico, qual o perfil da curva que passa pelos pontos de máximo da oscilação? Escolha uma alternativa: A. Constante B. Exponencial decrescente C. Linear decrescente D. Exponencial crescente E. Linear crescente 7

9 Exercício de Fixação 4 P A figura mostra a posição de um sistema massa-mola sujeito à ação de uma força dissipativa proporcional à velocidade. Sabendo que a massa do bloco é m = 1,0 kg, pode-se afirmar que (dica: considere φ = 0 e lembre-se que e 2, 7 e ln(e) = 1): Escolha uma alternativa: A. A constante de amortecimento é γ 1 rads e a frequência natural de oscilação é ω0 2π rads. B. A constante de amortecimento é γ 1 rads e a frequência natural de oscilação é ω0 2π rads. C. A constante de amortecimento é γ 1 rads e a frequência natural de oscilação é ω0 π rads. D. A constante de amortecimento é γ 2 rads e a frequência natural de oscilação é ω0 π² rads. E. A constante de amortecimento é γ 2 rads e a frequência natural de oscilação é ω0 π rads. 8

10 Balanço de energia Como não se trata de um sistema em que a energia se conserva, haverá dissipação de energia. Nesse caso é possível calcular a variação da energia mecânica no tempo: E = m x 2 + kx 2 E = (mx + kx)x Repare que o que está em negrito é um termo presente na equação diferencial do MHA, e é igual a bx. Então: Lembrando que: E = bx² = mγx² x t = γ 2 ena 8 B cos(ωt) + C sin ωt + e NA 8 C cos(ωt) B sin ωt E a energia média em função do tempo é (para ω. γ): E(t) = 1 2 ka2 e NA8 Repare que o termo em negrito é a energia do oscilador harmônico. Nesse caso a energia é a mesma do MHS decaindo exponencialmente (Repare que a interpretação é a mesma para amplitude que decresce). O tempo ou constante de decaimento (τ ) é definido como o tempo para a energia se reduzir em 1e. Ou seja, no caso da energia média, a constante é: 9

11 τ = 1 γ Considerações para a prova sobre o caso subcrítico: - É o caso que mais cai do MHA, portanto merece uma atenção especial - Muitas vezes nos amortecimentos subcríticos, o γ é desconsiderado por se tratar de oscilações fracamente amortecidas. Verifique as ordens de grandeza. - O MHA, em geral, cai mais como teste. Dificilmente haverá uma discursiva inteira só para ele (mas pode acontecer). - Os testes que caem cobram contas pesadas e conceitos. Cuidado com pegadinhas. - Use bastante o formulário fornecido pela prova para não precisar ficar decorando 500 fórmulas Caso supercrítico, hipercrítico, megacrítico, powercrítico, blastercrítico, etc-crítico γ 2 < ω 0 Nesse caso em que A < ω., a solução exponencial será de dois tipos, visto que teremos p = A A ± β, com β = ω.. A solução geral, então será do tipo: x t = e NA 8 Ae 8 + Be N 8 Visto que a solução geral é a combinação linear das particulares. A e B são constantes que dependem das condições iniciais Aplicação das condições iniciais 10

12 Mais uma vez, usando a condição da posição e velocidade iniciais (x. e v. ): x 0 = x. = A + B x t = γ 2 ena 8 A e 8 + B e N 8 + e NA 8 β A e 8 B e N 8 x 0 = v. = γ 2 A + B + β(a B) Obtendo A = l m + a m 1 + A e B = l m + a m 1 A Considerações para a prova sobre o caso supercrítico - Nunca caiu, mas para tudo se tem uma primeira vez, não? Caso crítico γ 2 = ω 0 Entrando no caso em que A = ω., a solução com a exponencial terá p = A. No entanto, como a equação diferencial é de segunda ordem, é necessária uma segunda solução particular para a solução geral. Nesse caso, a solução geral vai ser do tipo: x t = e NA 8 (A + Bt) Visto que x t = Bt e NT U 8 também é solução. A e B são constantes que dependem das condições iniciais. É válido ressaltar que esse é o caso em que o amortecimento ocorre mais rápido. 11

13 Exercício de Fixação 5 P A suspensão de um carro de 700 kg (vazio) foi otimizada para amortecimento crítico quando está com lotação máxima (4 passageiros de 75 kg cada). Quando as pessoas saem do carro, ele se eleva em 6 cm. Qual é o coeficiente de amortecimento do conjunto de amortecedores ligados à suspensão do carro? Escolha uma alternativa: A i kgs B x kgs C i kgs D i kgs E i kgs Aplicação das condições iniciais Mais uma vez, usando a condição da posição e velocidade iniciais (x. e v. ): x 0 = x. = A x t = γ 2 ena 8 A + B t + e NA 8 B x 0 = v. = γ A + B 2 Sendo então A = x G e B = v G + A x.. 12

14 Considerações para a prova sobre o caso crítico - Em geral, quando cai, é preciso saber a relação A = ω. - É bom saber comparar os movimentos amortecidos. Nesse caso lembre-se que o amortecimento crítico é o que decai mais rápido. Exercício de Fixação 6 P (Adaptado) Um oscilador composto por uma mola de massa desprezível com constante k e por um bloco de massa m, está sujeito à ação de uma força de amortecimento F = ρx. Considere que o sistema massa-mola se encontra no regime de amortecimento crítico. a. Determine o coeficiente de resistência viscosa ρ. Forneça a resposta em função de k e m. b. Sabendo que as condições iniciais são tais que x(t = 0) = x. e x(t = 0) = 0, determine a posição do sistema massa-mola em função do tempo. Expresse o resultado em termos de k e m. c. Se a massa do bloco dobrar (M = 2m) qual será o regime de oscilação? d. Sabendo que as condições iniciais são tais que x(t = 0) = 0 e x t = 0 = 0,5 ms, determine a posição do segundo sistema massa-mola em função do tempo. Expresse o resultado em termos de k e m. 13

15 2.3 Comparação entre as soluções As três soluções (regime subcrítico, crítico e supercrítico) podem ser comparadas no gráfico exemplo abaixo (considere δ = A ): Exercício de Fixação 7 P Dado um oscilador unidimensional, sabe-se que a resistência dá origem a um termo adicional obtendo a equação mx = kx ρx, onde ρx representa a resistência dissipativa, que atua em sentido oposto à velocidade. Dividindo por m, e usando a notação complexa z(t) = e 78 obtemos a equação característica p² + 14

16 γp + ω G = 0, onde γ = ρm e ω. = km. Dependendo da magnitude de γ2 sobre ω0 temos que as raízes da última equação proporcionam soluções exponenciais, oscilatórias com amplitude decrescente ou uma única exponencial. Estas soluções correspondem, respectivamente, aos regimes: Escolha uma alternativa: A. crítico, supercrítico e crítico B. supercrítico, crítico e subcrítico C. subcrítico, supercrítico e crítico D. supercrítico, subcrítico e crítico E. subcrítico, crítico e supercrítico 3. Equação de Euler Para o próximo passo, teremos que entrar no maravilhoso mundo dos complexos. Para isso, usaremos uma fórmula essencial, chamada equação de Euler. É ela: e Š = cos θ + i sin θ Lembrando que i = 1. No final desse resumo há uma revisão básica sobre números complexos. Caso sinta necessidade de relembrar algo, consulte-o. 4. Movimento Forçados Depois de trabalhar com a força restauradora e a força de amortecimento, chegou a vez de aparecer uma força externa qualquer. Nesse curso será trabalhado com forças do tipo senoidais ou cossenoidais: 15

17 F <a8 = F. cos (Ωt) 3.1 Movimento Harmônico Forçado (MHF) Nesse caso, vamos ter um oscilador harmônico sob efeito da força externa cossenoidal. Por enquanto vamos desprezar os efeitos de dissipação por amortecimento Equação do MHF Também partindo da 2ª Lei de Newton, vamos ter o seguinte: F = mx mx = kx + F G cos Ωt 1 m x + ω. x = F G cos Ωt m Repare que agora nós temos uma equação diferencial não-homogênea (ou seja, não é igual a 0 que nem as outras). Nesse tipo de equação diferencial, a solução geral será a soma de uma particular da não-homogênea e da geral da homogênea associada a ela. Ou seja, se x1 for solução da não homogênea (Solução estacionária) e x2 for solução da homogênea à ela associada: x ) + ω 2 0 x ) = F G cos Ωt m x + ω 0 2 x = 0 16

18 A solução geral será x (t) = x ) (t) + x (t) Solução estacionária da Equação do MHF Para achar a solução particular da equação do MHF é preciso notar que cos (Ωt) é a parte real do complexo e Š 8 (vide equação de Euler). Nesse caso, para achar a solução estacionária, faz-se a seguinte mudança de variável: x t = Re[z t ] Sendo z(t) a nossa nova variável complexa. Nesse caso teremos a nova equação: z + ω. z = F. m eš 8 Dessa forma, pode-se aplicar o chute de nossa solução. Será ele z t = Ae Š. Lembre-se que z t = AΩ e Š. Assim, para achar o valor de A: AΩ e Š + ω. Ae Š = F. m eš 8 1 e Š 8 Obtendo então o valor de A, sendo: A Ω = F. m(ω. Ω ) Repare que A Ω (Amplitude) é um real puro. Dessa forma, usando que x t = Re[z t ] e a equação de Euler: 17

19 z t = Ae Š = A[cos Ωt + i sin Ωt ] x t = F G cos Ωt m(ω. Ω ) Ou, caso ω. < Ω (apenas se você quiser trabalhar com A positivo). x t = F G cos Ωt + π m(ω ω. ) Obs: De fato, poder-se-ia chegar no mesmo resultado Chutando x t = A cos (Ωt), sem precisar dos complexos. Fique com essa ideia para próxima, mas por enquanto sinta-se treinado para o MHAF Exercício de Fixação 8 P Um objeto de 2 Kg preso a uma mola, oscila sem atrito sujeito a uma força F = 3 sin (2πt), conhecendo a constante elástica da mola, k = 20 Nm, obtenha o período e a amplitude do movimento. Escolha uma alternativa: A. T = 1 s, A = x B. T = 1 s, A = x i C. T = 2 s, A = x i D. T = 1 s, A = x i 2π 10 N) m 2π 5 N) m 2π 10 N) m 2π 10 N) m 18

20 E. T = 2 s, A = x i 2π 5 N) m Solução Geral da Equação do MHF Nesse caso, temos já a solução particular da equação não homogênea. A solução da homogênea a ela associada é a do MHS. Então a solução Geral é: Ou x t = F G cos Ωt m(ω. Ω ) + B cos(ω.t) + C sin(ω. t) x t = F G cos Ωt m(ω. Ω ) + A cos(ω.t + φ) Sendo A, B, C e φ constantes que dependem das condições iniciais do Movimento. Exercício de Fixação 9 Nussenzveig, H.M Curso de Física Básica 2, 5ª edição: São Paulo: Blucher Ex. 4.8 (Adap) Em um laboratório, foi montado um oscilador harmônico. Sua frequência foi prédeterminada como ω G. Ao aplicar uma força externa do tipo F = F G e N 8, em que α é uma constante real positiva, pede-se para determinar: a. A equação do movimento. b. A solução estacionária (x(t)) desse oscilador. c. A solução geral do movimento (x(t)), sabendo que o oscilador se encontra inicialmente em repouso e na posição de equilíbrio. 19

21 3.1.4 Ressonância no MHF O fenômeno da Ressonância pode ser resumido para quando a oscilação ocorre em sua amplitude máxima. Repare que a amplitude achada anteriormente é função de Ω: A Ω = F. m ω. Ω Assim, deve-se achar o valor de Ω que maximiza a amplitude. Repare que: lim fm A Ω = + Então conclui-se que quanto mais Ω se aproximar de ω., maior será a amplitude. A amplitude não será infinita, só não estará nos limites de pequenas oscilações. É possível ver o crescimento da Amplitude com o tempo nesse caso. Para isso, usa-se o caso particular para o corpo inicialmente na origem e em repouso x t = F G cos Ωt m(ω. Ω ) + A cos(ω.t + φ) F G x 0 = m(ω. Ω + A cos(φ) = 0 ) x t = F G sin Ωt m ω. Ω Aω. sin(ω. t + φ) x 0 = A ω. sin φ = 0 20

22 Obtendo φ = 0 e A = œ g f m U N U Faz-se então o a aproximação pelo limite x ž (t) = lim Ÿm x t Lembrando que ω. Ω = ω. Ω ω. + Ω F. m lim Ÿ m cos Ωt cos ω. t ω. Ω ω. + Ω F. 2mω. lim Ÿm cos Ωt cos ω. t ω. Ω Usando L Hospital: F. 2mω. lim Ÿm t sin Ωt = F.t sin ω. t 2mω. x ž t = F.t sin(ω. t) 2mω. Repare que o crescimento da Amplitude é linear ( t). Assim o os pontos de máximos formarão uma reta: 21

23 Exercício de Fixação 10 P Considere um oscilador harmônico não-amortecido na presença da força externa F0 cos(ωt). Qual a solução geral para x(t) no regime de ressonância (ω = ω0) sabendo que o oscilador se encontra inicialmente em repouso e na origem? Escolha uma alternativa: 22

24 A. œ m *f m t sin(ω. t) œ m B. sin(ω *f. t) m œ m C. cos(ω *f. t) m œ m D. t sin(ω *f. t) m œ E. m t sin(ω *f. t) m Exercício de Fixação 11 P Considerando o oscilador harmônico forçado não-amortecido no regime de ressonância (ω ω0), que parte do repouso na posição de equilíbrio, qual o perfil da curva que passa pelos pontos de máximo da oscilação? Escolha uma alternativa: A. Linear decrescente B. Exponencial decrescente C. Constante D. Linear crescente E. Exponencial crescente 3.2 Movimento Harmônico Amortecido e Forçado (MHAF) 23

25 Nesse caso de oscilação forçada, será levada em conta a força de dissipação estudada há pouco (F = bx). Nesse caso a equação diferencial do movimento vai ser do tipo: x + γx + ω. x = F. m cos(ωt) Solução estacionária do MHAF Assim como no MHF aqui também vai ser necessário fazer a mudança para a variável complexa: x t = Re z t E usando z t = Ae Š 8, z t = iaωe Š 8 e z t = AΩ²e Š 8 : z t + γz t + ω. z t = F. m eš 8 Ω Ae Š 8 + iγω Ae Š 8 + ω. Ae Š 8 = F. m eš 8 1 e Š 8 Assim, o valor de A fica: A Ω = F. m[(ω. Ω ) + iγω ] Agora chegamos naquele momento para respirar fundo. A é um complexo. Mas não se preocupe. No final as coisas vão se resolver, afinal x(t) é apenas a parte 24

26 Real desse complexo. Antes de continuarmos as contas, é mais útil reescrevermos a Amplitude. Multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado: A Ω = A Ω ω. Ω iγω ω. Ω iγω A Ω = F. ω. Ω iγω m[ ω. Ω + (γω)² ] Obtendo um novo rosto para a Amplitude. Para melhorar as passagens para a solução final, colocaremos a amplitude complexa em sua forma exponencial. Para isso, lembre-se da equação de Euler. Para isso, suponha o complexo z: z = a + ib = ρ cis θ = ρ e Š Sendo ρ = z = a + b² e θ = arg z = arctan 2. Dessa forma: A Ω = ρ e Š ρ = F. ω. Ω + (γω)² m[ ω. Ω + (γω)² ] ρ = m F. ω. Ω + (γω)² θ = arctan γω ω. Ω 25

27 Pronto! Agora dá para aplicar na solução geral: z t = A Ω e Š 8 z t = ρe Š( 8b ) E, por fim, pela equação de Euler e lembrando que x t = Re z t : x t = m F. cos (Ωt + θ) ω. Ω + (γω)² Sendo essa a solução estacionária do MHAF. O que está destacado é a Amplitude do MHAF. Exercício de Fixação 12 P Um corpo de 1 kg oscila preso a uma mola que tem uma constante elástica igual a 400 Nm. A constante de amortecimento linear vale b=10,00 kgs. O sistema é excitado por uma força senoidal de valor máximo igual a 10 N e frequência angular de 10 rads. Qual é a amplitude das oscilações? Escolha uma alternativa A m B m C m D m 26

28 E. 10 m Solução geral da Equação do MHAF A solução geral, como visto anteriormente, é a soma da solução particular da equação não homogênea (x ) ) com a solução da homogênea (x ). Nesse caso a equação homogênea é do MHA. x t = x ) t + x (t) x ) t = m F. cos (Ωt + θ) ω. Ω + (γω)² E dependendo da relação entre A e ω.: Se A < ω.: x (t) = Ae NT U 8 cos ωt + φ Se A = ω.: x (t) = e NT U 8 (A + Bt) Se A > ω.: x (t) = e NT U 8 (Ae 8 + Be N 8 ) Obs: Todas essas fórmulas devem ser fornecidas no formulário da prova Ressonância no MHAF Nesse caso, por ter um fator de amortecimento, o Ω para ressonância será diferente. Para achá-lo, recomenda-se derivar, da solução estacionária, o que está dentro da raiz e igualar a zero para minimizar o denominador e maximizar a Amplitude. Dessa forma, obtém-se: 27

29 Ω ž = ω G γ 2 E para γ ω., obtém-se o mesmo resultado do MHF Ω ž ω.. Nesse caso de oscilações fracamente amortecidas, tem-se: A * = F. mγω. E ainda pode-se obter a seguinte relação: A² ω. ± γ 2 = A * 2 Nesse caso, quando o exercício pedir o γ e ω. para oscilações fracamente amortecidas e forçadas, os mesmos podem ser encontrados observando o gráfico: Balanço de energia no MHAF 28

30 A energia média dissipada ou recebida em uma oscilação (dedt) é nula (demonstrável por integral). Nesse caso considera-se que toda a energia perdida pela dissipação vai ser devolvida pela potência da força externa. Assim: P = mγx² Nesse caso, a potência média fornecida pela força externa ao sistema é: P = 1 2 mγω²a² Sendo A a amplitude do MHAF (estacionário). Aplicando o valor de A(Ω) A = m F. ω. Ω + (γω)² P = Exercício de Fixação 13 P γf. Ω 2m Ω ω. + γω Um oscilador harmônico com amortecimento γ < 2ωo = 20 rads está em repouso na posição de equilíbrio quando é submetido a uma aceleração senoidal a(t) = aosen(ωt). Equação de movimento do tipo x + γx + ω. x = a(t). a. Sendo γ = 5 s 1, qual a frequência da aceleração para que a amplitude final de oscilação (regime estacionário, t ) seja máxima? b. Mantendo-se a frequência anterior e reduzindo-se o amortecimento para γ = 0,002s, qual o aumento relativo da amplitude de oscilação final? 29

31 c. Encontre a função que descreve o movimento em função do tempo, x(t), durante o regime transitório com γ << ωo. 3.3 Regime transiente e Regime estacionário. O regime chamado transiente (ou transitório) é aquele relacionado à solução da equação homogênea. É como o sistema massa-mola se comporta inicialmente. Depois de um tempo longo, o corpo atinge o regime estacionário, relacionado à solução particular. Abaixo um gráfico do funcionamento dos dois regimes: Repare que as condições iniciais influenciam a amplitude inicial. Exercício de Fixação 14 P Na figura abaixo, os períodos dos regimes transitório e estacionário são: 30

32 Escolha uma alternativa: A. 1T e 10T B. 2T e 5T C. 10T e 1T D. 5T e 2T E. T2 e T 4. Fator de mérito (ou de Qualidade) O fator de qualidade mede a razão entre a Energia armazenada no oscilador e a Energia dissipada por ciclo e tudo multiplicado por 2π. No caso do Oscilador no estado subcrítico, o Fator de Qualidade é: Q = ω G γ Repare que quanto maior o Q, menor o amortecimento. Para o MHAF, o fator de qualidade é: Q = 1 2 ω + ω. ω. ω ω. γ 31

33 Exercício de Fixação 15 P O gráfico abaixo mostra o quadrado da amplitude, A 2 (ω), em função da frequência de oscilação de uma força senoidal aplicada. Dado que o sistema é fracamente amortecido, obtenha seu fator de qualidade, Q. (Dado: use Q = ω. γ) Escolha uma alternativa: A. Q = 1 B. Q = 4 C. Q = 10 D. Q = 2 E. Q = 5 32

34 Gabarito dos Exercícios de Fixação: 1. Alternativa B 2. Alternativa D 3. Alternativa D 4. Alternativa C 5. Alternativa A 6. a. ρ = 2 km b. x t = e N ± x. 1 + c. amortecimento sub-crítico d. x t = ² * 3 en U 7. Alternativa D 8. Alternativa B 9. ± 8 cos a. x + ω G x = œ g * en 8 b. x t = œ g< ³ > * f g U b U c. x t = 10. Alternativa D 11. Alternativa D 12. Alternativa D 13. a rads b. 15 ) 3 * t + e 3 * t œ g * f g U b U e N 8 cos ω G t + f g sin ω G t c.x (t) = Asin(Ωt + Φ) Ae γt 2 [ sin Φ cos ωt + γ sin (Φ)sin(ωt) + Ω cos(φ)sin(ωt) ] 2ω ω O que está em vermelho deve ser desprezado, pois γ ω.. Tem-se: 33

35 A = m f m U N U U, Φ = arctan A f m U N U e ω = ω. A ω. 14. Alternativa A 15. Alternativa E 34

36 5. Apêndice: - Números complexos: O conjunto dos números complexos são aqueles que contém os reais mais as raízes de números negativos. Eles podem ser representados da seguinte forma: z = a + ib Sendo que i é a unidade imaginária tal que: i = 1. A gente chama a de parte real do número complexo (a = Re(z)) e b de parte imaginária (b = Im(z)). Esse mesmo complexo pode ser escrito na forma trigonométrica (ou polar): z = ρ cos θ + i sin θ = ρ cis θ Sendo ρ = z = a + b e θ = arg z = arctan Referência bibliográfica: - Nussenzveig, H.M Curso de Física Básica 2, 5ª edição: São Paulo: Blucher