SISTEMAS DE OSCILADORES

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1 SISTEMAS DE OSCILADORES Mecânica II (FIS-26) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá IEFF-ITA 5 de abril de 2018

2 Roteiro 1 Formulação geral Acoplamento fraco 2 Mesma direção Direções perpendiculares 3 Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo

3 Roteiro Formulação geral Acoplamento fraco 1 Formulação geral Acoplamento fraco 2 3

4 Motivação Formulação geral Acoplamento fraco

5 Motivação Formulação geral Acoplamento fraco

6 Modelo Formulação geral Acoplamento fraco k 1 m 1 x 1 q m 2 x 2 k 2 Aplicando a 2a lei de Newton { m 1 ẍ 1 = kx 1 qx 1 + qx 2 m 2 ẍ 2 = kx 2 + qx 1 qx 2 SEDOLH Sendo X = [ x1 x 2 ] [ m1 0, M = 0 m 2 ] [ k1 + q q, K = q k 2 + q ] MẌ = KX

7 Solução Formulação geral Acoplamento fraco Solução tentativa: X(t) = ae iωt, sendo a uma matriz coluna Mω 2 ae iωt = Kae iωt (K ω 2 M)a = O Este é um problema (generalizado) de autovalores/autovetores. OBS.: De forma equivalente: (M 1 K ω 2 I)a = O Sempre é possível encontrar autovalores reais e autovetores ortogonais, pois M e K são simétricas. Solução do SEDO Sendo a 1 e a 2 dois autovetores (com autovalores ω 1 e ω 2 ) X(t) = c 1 a 1 sin(ω 1 t + φ 1 ) + c 2 a 2 sin(ω 2 t + φ 2 )

8 Modos normais Formulação geral Acoplamento fraco As soluções a 1 sin(ω 1 t + φ 1 ) e a 2 sin(ω 2 t + φ 2 ) são chamadas de modos normais de vibração. As frequências ω 1 e ω 2 são as frequências normais de vibração. De forma geral, o sistema oscila como uma combinação dos modos normais. Isto quer dizer que, em geral, as oscilações não são harmônicas, e não há uma única frequência de vibração definida.

9 Modos normais Formulação geral Acoplamento fraco x1(t) t x2(t) t

10 Modos normais Formulação geral Acoplamento fraco Se as condições iniciais são tais que c 2 = 0 e c 1 0, então X(t) = c 1 a 1 sin(ω 1 t + φ 1 ) Logo, o sistema permanece neste modo para t [0, ), com uma frequência ω 1 bem definida. Algo análogo ocorre se c 1 = 0 e c 2 0.

11 Formulação geral Acoplamento fraco Caso de interesse: m 1 = m 2 m, e k 1 = k 2 k. [ ] m 0 M = = mi 0 m sendo [ ] k + q q K = = ki + qa q k + q [ A = ]

12 Formulação geral Acoplamento fraco Para obter os modos normais: (K ω 2 M)a = O [qa (ω 2 m k)i]a = O [ ] [ 1 1 Como os autovetores de A são e 1 1 aos autovalores 0 e 2, temos a 1 = [ 1 1 ], ω 1 = k m [ a 2 = 1 1 ], associados ] k + 2q, ω 2 = m

13 Análise da solução Formulação geral Acoplamento fraco Seja a matriz de mudança de base Ξ = Y [ u v ] [ Ξ 1 X = Ξ 1 [ x1 x 2 ] ]. Assim: Ÿ = [ ü v ] [ ω 2 = ω2 2 ] [ u v ]

14 Análise da solução Formulação geral Acoplamento fraco { ü = ω 2 1u v = ω 2 2v Trata-se de duas equações de MHS desacopladas e admitem as soluções gerais: { u = A 1 sin(ω 2 1t + φ 1 ) v = A 2 sin(ω 2 2t + φ 2 )

15 Modos normais Formulação geral Acoplamento fraco Voltando às coordenadas x 1 e x 2 : { x 1 (t) = u(t) + v(t) x 2 (t) = u(t) v(t) As 4 constantes arbitrárias (A 1, A 2, φ 1, φ 2 ) devem ser determinadas pelas condições iniciais.

16 Modos normais Formulação geral Acoplamento fraco As soluções não correspondem, em geral, a um MHS para x 1 e x 2. Entretanto, há duas coordenadas u e v, combinações lineares de x 1 e x 2, que oscilam harmonicamente. Essas coordenadas chamam-se coordenadas normais. Neste caso, u e v admitem uma interpretação física muito simples: u é o deslocamento do CM e 2v é o deslocamento relativo das massas. Nas coordenadas normais, o sistema se desacopla.

17 Modos simétrico e anti-simétrico Formulação geral Acoplamento fraco Para condições iniciais apropriadas, temos { { A 2 = 0 x 1 (t) = x 2 (t) = A 1 sin(ω 1 t + φ 1 ) A 1 = 0 x 1 (t) = x 2 (t) = A 2 sin(ω 2 t + φ 2 ) Nestes dois casos, as partículas oscilam harmonicamente com uma frequência bem definida em fase ou em oposição de fase. Estes são os modos normais de vibração. A solução geral é uma superposição dos modos normais de vibração.

18 Modos simétrico e anti-simétrico Formulação geral Acoplamento fraco 1o modo: x 1 (t) = x 2 (t) (modo simétrico). A mola que liga as duas massas não é nem comprimida nem esticada: é como se ela não existisse. 2o modo: x 1 = x 2 (modo anti-simétrico). A frequência de oscilação é maior que no caso anterior pois há uma forma restauradora que não havia antes: a da mola do meio. Note que ω 2 > ω 1, isto é, o modo anti-simétrico tem frequência mais alta que a do modo simétrico.

19 Modos simétrico e anti-simétrico Formulação geral Acoplamento fraco Situação de interesse: massas partem do repouso, e uma delas é deslocada da posição de equilíbrio Solução x 1 (0) = a, x 2 (0) = 0, ẋ 1 (0) = ẋ 2 (0) = 0 x 1 (t) = a 2 [cos ω 1t + cos ω 2 t] x 2 (t) = a 2 [cos ω 1t cos ω 2 t] Reescrevendo ( ) ωt x 1 (t) = a cos cos( ωt) 2 ( ) ωt x 2 (t) = a sin sin( ωt) 2 onde ω = ω 2 ω 0, ω = ω 1 + ω 2 2

20 Batimentos Formulação geral Acoplamento fraco Se considerarmos o caso em que o acoplamento é pequeno (i.e. q k), temos: ω = ω 1 e w = ω2 q, em que ωq 2 = q/m. ω 1 Temos então ( uma ) situação típica de( batimentos, ) modulados ωt ωt por a cos para x 1 e por a sin para x 2, ou seja, a 2 2 modulação das amplitudes está em quadratura: os máximos de uma correspondem aos zeros da outra.

21 Batimentos Formulação geral Acoplamento fraco x1(t) t x2(t) t

22 Roteiro Mesma direção Direções perpendiculares 1 2 Mesma direção Direções perpendiculares 3

23 Mesma direção Direções perpendiculares Há diversas situações em que MHS s se superpõem gerando um movimento resultante. Exemplo: 2 diapasões vibrantes produzem tons musicais puros (que correspondem a MHS s) que atingem simultaneamente o tímpano de nosso ouvido, fazendo-o vibrar com uma combinação de 2 MHS s. Vamos analisar agora algumas formas possíveis de como a superposição pode ocorrer.

24 Mesma frequência Mesma direção Direções perpendiculares x(t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) + A 2 cos(ωt + ϕ 2 ) = Re [A ] 1 e i(ωt+ϕ1) + A 2 e i(ωt+ϕ 2) = Re [ e iωt ( A 1 e iϕ 1 + A 2 e iϕ )] 2 = A cos(ωt + β) sendo Ae iβ = A 1 e iϕ 1 + A 2 e iϕ 2

25 Mesma direção Direções perpendiculares Frequências diferentes: batimentos x 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) e x 2 (t) = A 2 cos(ω 2 t + ϕ 2 ) A diferença de fase θ = (ω 2 ω 1 )t + (ϕ 2 ϕ 1 ) varia com o tempo de modo que podemos tomar por t = 0 o instante em que a diferença de fase é multipla de 2π, o que equivaleria a considerar: ϕ 1 = ϕ 2 = 0 Para w 1 e w 2 quaisquer, o movimento resultante x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) não será em geral sequer um movimento periódico (para ser periódico, ω 1 e ω 2 precisam ser comensuráveis).

26 Mesma direção Direções perpendiculares Mesma direção e frequências diferentes Caso importante: quando ω 1 e ω 2 são muito próximas (ocorre batimento). Supondo A 1 = A 2 = A. ( ) ωt x(t) = 2A cos cos( ωt) 2 }{{} a(t) ω ω, podemos supor que x(t) é regido pelo cos ωt com uma amplitude que varia no tempo como a(t) x(t) t

27 Mesma frequência Mesma direção Direções perpendiculares x(t) = A cos(ωt + ϕ x ) y(t) = B cos(ωt + ϕ y ) Rearranjando e sendo ϕ = ϕ y ϕ x : y B = cos (ωt + ϕ x + ϕ) = x A cos(ϕ y ϕ x ) sin(ωt+ϕ x ) sin( ϕ) [ y B x ] ] 2 A cos( ϕ) = sin 2 (ωt+ϕ x ) sin 2 ( ϕ) = [1 x2 A 2 sin 2 ( ϕ) x 2 A 2 + y2 B 2 2xy AB cos( ϕ) = sin2 ( ϕ) Esta curva geralmente representa uma elipse, exceto em alguns casos particulares.

28 Mesma direção Direções perpendiculares Mesma frequência B y B y A A x A A x B ϕ = 0 B y B B y ϕ = π A A x A A x B ϕ = π/2 B ϕ = π/2

29 Frequências diferentes Mesma direção Direções perpendiculares Nesse caso, observam-se as curvas de Lissajous y y x x

30 Frequências diferentes Mesma direção Direções perpendiculares Se ω 1 e ω 2 são comensuráveis, a curva é fechada. Do contrário, a trajetória nunca se fecha. y x

31 Roteiro Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo

32 Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Enunciado Obtenha os modos e as frequências normais de oscilação do pêndulo duplo φ 1 l 1 m 1 l 2 φ 2 m 2

33 Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Solução Diagrama de forças (atenção: forças de inércia em vermelho) T 1 T 2 α = φ 2 φ 1 φ 2 m 1 g m 1 α T 2 m 2 φ 1 m 2 φ2 1 l 1 m 2 g

34 Solução Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Aplicando a 2a lei de Newton para m 1 na direção polar: m 1 g sin φ 1 + T 2 sin(φ 2 φ 1 ) = m 1 l 1 φ1 Aplicando a 2a lei de Newton para m 2 (direções polar e radial): { T 2 m 2 g cos φ 2 m 2 φ2 1 l 1 cos(φ 2 φ 1 ) = ml 2 2 φ 2 2 m 2 g sin φ 2 m 2 l 1 φ1 cos(φ 2 φ 1 ) m 2 φ2 1 l 1 sin(φ 2 φ 1 ) = m 2 l 2 φ2

35 Solução Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Linearizando (assumindo pequenas oscilações) T 2 = m 2 g m 1 l 1 φ1 = m 1 gφ 1 + m 2 g(φ 2 φ 1 ) l 2 φ2 = gφ 2 l 1 φ1 Reescrevendo { m 1 l 1 φ1 = (m 1 + m 2 )gφ 1 + m 2 gφ 2 m 1 l 2 φ2 = (m 1 + m 2 )gφ 1 (m 1 + m 2 )gφ 2

36 Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Solução Definindo τ = ω 1 t, ω 1 = g/l 1, r = m 2 /m 1, α 2 = l 1 /l 2 { φ 1 = (1 + r)φ 1 + rφ 2 φ 2 = (1 + r)α 2 φ 1 (1 + r)α 2 φ 2 em que φ = dφ/dτ. Para encontrar os modos e as frequências normais, precisamos resolver [ em que K = det(k ω 2 I) = 0 (1 + r) r α 2 (1 + r) (r + 1)α 2 ].

37 Solução Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Para melhor insight da Física, é conveniente considerar α = 1 e r = 1 p(ω) = det(k ω 2 I) = ω 4 4ω 2 + 2, cujas raízes são ω 1 = 2 2 ω 2 = O primeiro modo tem frequência ω 1 = 2 2 e satisfaz a φ 2 = 2φ 1. Neste modo, as oscilações dos pêndulos estão em fase. O segundo modo tem frequência ω 2 = e satisfaz a φ 2 = 2φ 1. Neste modo, as oscilações dos pêndulos estão em oposição de fase.

38 Enunciado Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Obtenha os modos e as frequências normais de carro acoplado ao pêndulo k m x θ L M

39 Solução Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Diagrama de forças T kx m θ T Mẍ θ Mg θ Aplicando a 2a lei de Newton T sin θ kx = mẍ Mg sin θ Mẍ cos θ = ML θ T Mg cos θ + Mẍ sin θ = M θ 2 L

40 Solução Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Reescrevendo as equações e desprezando termos não lineares (para pequenos ângulos) mẍ = kx + Mgθ θ = k ( ) M g ml x m + 1 L θ Definimos: r = M/m, u = x/l, ω = g/l, k = α 2 m ω 2, τ = ωt { u = α 2 u + rθ θ = α 2 u (r + 1)θ em que usamos u = d 2 u/dτ 2 e θ = d 2 θ/dτ 2

41 Solução Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo Para encontrar os modos e as frequências normais, precisamos resolver det(k ω 2 I) = 0 [ ] α 2 r em que K = α 2. Para melhor insight da Física, (r + 1) é conveniente considerar α = 2 e r = 1 cujas raízes são p(ω) = det(k ω 2 I) = ω 4 4ω 2 + 2, ω 1 = 2 2 ω 2 = 2 + 2

42 Solução Pêndulo duplo Sistema carro/pêndulo O primeiro modo tem frequência ω 1 = 2 2 e satisfaz a θ = 2u. Neste modo, as oscilações do carro e do pêndulo estão em fase. O segundo modo tem frequência ω 2 = e satisfaz a θ = 2u. Neste modo, as oscilações do carro e do pêndulo estão em oposição de fase.