CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA II ONDAS. Prof.

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1 CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA AGROALIMENTAR UNIDADE ACADÊMICA DE TECNOLOGIA DE ALIMENTOS DISCIPLINA: FÍSICA II ONDAS Prof. Bruno Farias

2 Ondas Uma onda surge quando um sistema é deslocado de sua posição de equilíbrio e a perturbação pode se propagar de uma região para outra do sistema. Exemplos: o som, a luz, as ondas do mar, a transmissão de rádio e de televisão e os terremotos.

3 Ondas Quanto à natureza, as ondas podem ser de três tipos: Ondas mecânicas: Perturbação que se desloca através de um material chamado de meio no qual a onda se propaga.

4 Ondas Ondas eletromagnéticas: Combinação de campos elétrico e magnético variáveis, perpendiculares entre si, que forma uma perturbação autosustentável que se propaga tanto no vácuo quanto em meios materiais. Exemplos: a luz, as ondas de rádio, a radiação infravermelha, a radiação ultravioleta, os raios X e os raios gama.

5 Ondas de matéria: Segundo o princípio da dualidade ondapartícula, a matéria possui duas naturezas que se manifestam em situações diferentes: a natureza corpuscular e a natureza ondulatória. Uma onda de matéria representa o estado da matéria quando sua natureza ondulatória se manifesta. Neste módulo vamos estudar apenas as ondas mecânicas.

6 Ondas Podemos classificar as ondas quanto à direção de oscilação em: Ondas transversais: são ondas nas quais as partículas do meio oscilam perpendicularmente à direção de propagação da onda. Ondas longitudinais: são ondas em que as partículas do meio oscilam na direção de propagação da onda.

7 Tanto as ondas transversais como as ondas longitudinais são chamadas de ondas progressivas quando se propagam de um lugar a outro, como no caso das ondas na corda.

8 Função de Onda Para descrever perfeitamente uma onda em um meio, precisamos de uma função que forneça a forma da onda, ou seja, de uma relação da forma y = h(x,t). Consideraremos o meio como sendo uma corda e tomaremos h como uma função seno. Assim, em um certo instante t o deslocamento y do elemento da corda situado na posição x é dado por

9 A amplitude da onda y m é o módulo do deslocamento máximo dos elementos a partir da posição de equilíbrio quando a onda passa por eles. A fase da onda é o argumento kx ωt do seno. O parâmetro k é chamado de número de onda. O parâmetro ω é a frequência angular da onda.

10 Comprimento de Onda e Número de Onda O comprimento de onda λ de uma onda é a distância (paralela à direção de propagação da onda) entre repetições da forma de onda. O número de onda k está relacionada com o comprimento de onda λ através da relação A unidade de k no SI é o radiano por metro, ou m -1.

11 Período, Frequência Angular e Frequência O período de oscilação T de uma onda é o tempo que um elemento da corda leva para realizar uma oscilação completa. A frequência f de uma onda é definida como o número de oscilações por unidade de tempo e é calculada através da expressão

12 O período e frequência estão relacionadas com a frequência angular da onda através da equações

13 Constante de Fase Podemos generalizar a função de onda senoidal y = y m sen(kxωt) introduzindo uma constante de fase φ no seu argumento Para t = 0 e φ = 0 temos que em x = 0, y = 0. Para t = 0 e φ 0 temos que em x = 0, y 0.

14 A velocidade de uma Onda Progressiva A velocidade v de uma onda é definida como É importante observar que uma função de onda na forma y = y m sen(kx ωt) descreve uma onda que se propaga no sentido positivo de x. Enquanto que, y = y m sen(kx + ωt) descreve uma onda que se propaga no sentido negativo de x.

15 Generalizando, qualquer função na forma Pode representar uma onda progressiva com uma velocidade dada por v = ω/k e uma forma de onda dada pela forma matemática da função h.

16 Exemplo

17 Velocidade da Onda em uma Corda Esticada A velocidade de uma onda também pode ser determinada pelas propriedades de massa (energia cinética) e elasticidade (energia potencial) do meio onde ela se propaga. No caso de uma corda esticada onde é força de tensão na corda e μ = Δm/Δl é a massa específica linear da corda.

18 Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda Quando uma onda se propaga numa corda transporta energia (energia cinética e energia potencial elástica) A potência média, que é a taxa média com a qual as duas formas de energia são transmitidas, é, dada por Os fatores μ e v depende do material e da tensão na corda. Os fatores ω e y m dependem do processo usado para produzir a onda.

19 Exemplo

20 A Equação de Onda Quando uma onda passa por um elemento de uma corda esticada o elemento se move perpendicularmente à direção de propagação da onda. Aplicando a segunda lei de Newton ao movimento do elemento podemos obter uma equação diferencial geral, chamada equação de onda, que governa a propagação de ondas qualquer tipo, a qual é dada por Onde v é a velocidade de propagação da onda.

21 O Princípio da Superposição de Ondas Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma onda resultante ou onda total. Por exemplo, supondo que duas ondas, representadas pelas funções de ondas y 1 (x,t) e y 2 (x,t), se propagam simultaneamente na mesma corda temos que o deslocamento da corda é então a soma algébrica

22 Interferência de Ondas Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda se propagam no mesmo sentido em uma corda, elas sofrem interferência, somando-se ou cancelando-se de acordo com o princípio da superposição, para produzir uma onda resultante senoidal que se propaga nesse sentido.

23 A forma da onda resultante depende da fase relativa das duas ondas. Supondo que uma das ondas que se propagam em uma corda é dada por e que uma outra, deslocada em relação à primeira, é dada por Segundo o princípio da superposição, a onda resultante é a soma algébrica das duas ondas e tem um deslocamento

24 Se φ = 0, as ondas têm fases iguais e a interferência é totalmente construtiva; se φ = π rad, as ondas têm fases opostas e a interferência é totalmente destrutiva. Quando uma interferência não é nem totalmente construtiva nem totalmente destrutiva é chamada de interferência intermediária.

25 Exemplo

26 Fasores Uma onda y 1 (x,t) pode ser representada por um fasor, um vetor de módulo igual à amplitude y m1 da onda que gira em torno da origem com uma velocidade angular igual à frequência angular ω da onda. A projeção do fasor em um eixo vertical fornece o deslocamento y de um ponto situado no trajeto da onda.

27 Fasores Quando duas ondas, y 1 = y m1 sen(kx - ωt) e y 2 = y m2 sen(kx ωt + φ), se propagam na mesma corda podemos representar as duas ondas e a onda resultante em um diagrama fasorial. Se φ é um número positivo, fasor da onda 2 está atrasado em relação ao fasor da onda 1. Se φ é número negativo, o fasor da onda 2 está adiantado em relação ao fasor da onda 1.

28 Fasores Como as ondas y 1 e y 2 têm o mesmo número de onda k e a mesma frequência angular ω, sabemos que a resultante é da forma Para obtermos a onda resultante acima em um diagrama fasorial, somamos vetorialmente os dois fasores em qualquer instante da rotação como na figura abaixo

29 Exemplo Duas ondas senoidais de mesma frequência se propagam no mesmo sentido em uma corda. Se y m1 = 3 cm, y m2 = 4 cm, φ 1 = 0 e φ 2 = π/2 rad, quais são a amplitude y m e constante de fase β da onda resultante? Escreva a onda resultante na forma de uma função de onda.

30 Ondas Estacionárias Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda se propagam em sentidos opostos em uma corda, a interferência mútua produz uma onda estacionária. Quando uma onda é estacionária sua forma de onda não se move ao longo da corda.

31 As ondas estacionárias possuem pontos em que o deslocamento transversal é nulo, chamados nós, e pontos em que o deslocamento é máximo chamados antinós.

32 Para obtermos a função de onda de uma onda estacionária, representamos as duas ondas progressivas pelas equações Usando o princípio da superposição temos que a onda estacionária (resultante) é expressa na forma

33 Na onda estacionária do slide anterior amplitude é zero (um nó) para valores de kx tais que sen kx = 0, ou seja, quando Lembrando que k = 2π/λ, obtemos que para as posições dos nós (amplitude zero) da onda estacionária.

34 A amplitude da onda estacionária tem um valor máximo que ocorre para valores de kx tais que sen kx = 1, ou seja, quando Lembrando que k = 2π/λ, obtemos que para as posições dos antinós (máxima amplitude) da onda estacionária. Os antinós estão situados no ponto médio de nós vizinhos.

35 Ondas Estacionárias e Ressonância Ondas estacionárias podem ser produzidas em uma corda através da reflexão de ondas progressivas nas extremidades da corda. Consideremos, por exemplo, uma corda de violão, que está esticada entre duas presilhas. Suponha que produzimos uma onda senoidal contínua que se propaga para a direita. Para certas frequências a interferência das ondas refletidas produz uma onda estacionária (ou modo de oscilação)

36 Dizemos que uma onda estacionária desse tipo é gerada quando existe ressonância, e que a corda ressoa nessas frequências, conhecidas como frequências de ressonância. Para uma corda esticada de comprimento L uma onda estacionária pode ser excitada por uma onda cujo comprimento de onda satisfaz condição.

37 As frequências de ressonância que correspondem aos comprimentos de onda anteriores podem ser determinadas a partir de O modo de oscilação correspondente a n = 1 é chamado de modo fundamental ou primeiro harmônico; o modo correspondente a n = 2 é o segundo harmônico, e assim por diante.

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39 Exemplo