fig. III.1. Exemplos de ondas.

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1 Unidade III - Ondas fig III Exemplos de ondas Situando a Temática Nesta unidade temática daremos algumas ideias do fenômeno ondulatório e sua introdução como modelo matemático, especialmente em uma corda Estudaremos os conceitos básicos como ondas transversais, longitudinais, pulsos de onda, função de onda geral, ondas em uma corda, energia de uma onda, superposição de ondas e ondas estacionárias Nesta unidade e na próxima estudaremos as ondas mecânicas que são perturbações que se propagam em um meio Porém na natureza não temos apenas ondas mecânicas, temos as ondas eletromagnéticas que não necessitam de meio para se propagar Ainda existem outros fenômenos ondulatórios associados ao comportamento das partículas atômicas e subatômicas, ligados aos fundamentos da mecânica quântica Problematizando a Temática Quando estudamos o movimento de rotação de um corpo rígido, as partículas que o compõe não se movem umas com relação as outras Diferentemente para um corpo deformável como o ar, água, cordas, sólidos elásticos, podemos estudar o movimento ondulatório desse corpo, isto é, um movimento coletivo de partículas em um corpo, mas aqui as partículas se movem relativamente umas com relação as outras e elas exercem forças, que dependem do tempo, umas contra as outras 3 Pulsos de Onda Considere uma corda elástica como um sistema de partículas que está submetida a uma perturbação em um de seus pontos O movimento é 33

2 transmitido de uma partícula a outra e a perturbação se propaga ao longo das linhas das partículas Tal perturbação é chamada de pulso de onda Dependendo da direção da perturbação, ela pode ser chamada de onda transversal ou onda longitudinal, como podemos distinguir na fig III fig III Exemplos de propagação de uma onda longitudinal na primeira figura e onda transversal na segunda figura 4 Ondas Viajando fig III-3 Pulso de onda em t = 0 e em t = x/v > 0, o pico viajou uma distância vt Considere um pulso de onda transversal, como na fig III3, viajando ao longo de uma corda com uma velocidade v Suponha que a forma do pulso permanece constante Para um tempo t = 0, a forma da onda representa uma função y = f(x) Em um tempo t > 0, um tempo depois, y = f(x - v Note que, se a onda viaja no sentido contrário de x, y = f(x + v, para um tempo t > 0 No caso especial de ondas harmônicas, isto é, que em t = 0, a forma da onda é uma função seno ou cosseno Temos y Acos kx eq III para t = 0, onde A é chamada a amplitude da onda, k é o número de onda, não confunda com a constante de uma mola As cristas da onda ocorrem em kx = 0, π, 4π, Os valores mínimos de y são chamados de vales da onda que ocorrem em kx = π, 3π, 5π, A distância de uma crista a outra é chamado comprimento de onda eq III k A onda pode ser descrita pelas seguintes expressões, viajando na direção positiva de x ou negativa de x Isto é, y Acos k( x v e y Acos k( x v eq III3 O período da onda é o tempo de sua viagem correspondente a, enquanto a frequência da onda é T / v eq III4 34

3 f v / eq III5 A frequência angular é dada por f kv Agora teremos a função de onda, y Acos[( / ) x vt ] Acos( kx eq III6 5 Velocidade de Onda em uma Corda A velocidade de uma onda depende da característica do meio e, às vezes, de Vamos mostrar a velocidade de uma onda numa corda Considere uma corda como na fig III4 A tensão na corda é F e sua densidade é d kg/m, vamos assumir a amplitude da onda muito pequena, comparada ao tamanho da corda Desta forma podemos dizer também que F = const já que a perturbação é muito pequena Nosso sistema de referência está se movendo para direita com velocidade do pulso Nesse sistema, o pulso está em repouso e a corda viaja para esquerda Cada segmento da curva viaja ao longo de um caminho tal como o pulso fig III4 Uma corda inicialmente esticada e bem ajustada entre dois pontos fixos, com tensão F, depois um pulso é aplicado adquirindo uma velocidade v Tome L da corda ao redor do caminho curvo, muito pequeno, para um muito pequeno do círculo Note que F + F = F = F centripeta, tal que F dlv / R, por outro lado a norma de F é F Temos que R L, assim a velocidade de uma onda transversal é v F eq III7 d Fig III5 Forças que atuam no segmento da corda, onde F é a resultante L Observe que, como a velocidade da onda é independente da forma, podemos pensar uma onda harmônica como uma sucessão de pulsos negativos e positivos Se os pulsos têm mesma velocidade, todas ondas harmônicas sobre a corda tem mesma velocidade, independente do comprimento de onda Apesar de nosso exemplo ser uma corda, o calculo da velocidade é geral A velocidade de onda depende da força de restituição e da inércia do meio Porém a velocidade depende da forma na maioria dos tipos de onda e assim os pulsos se tornam rasos Um meio que proporciona 35

4 isto é chamado de meio dispersivo Em contraste, para o caso de ondas harmônicas sobre uma corda, essas ondas em meio dispersivo não podem ser considerados como simplesmente uma sucessão de pulsos, pois os pulsos mudam sua forma, enquanto as ondas harmônicas não Então nós chamaremos a velocidade do pico de um pulso de onda de velocidade de grupo, enquanto a velocidade de uma onda harmônica a velocidade de fase 6 Energia em uma Onda Uma onda transversal em uma corda tem energia cinética, pois as partículas estão em movimento e por outro lado tem energia potencial porque um trabalho é preciso para esticar a corda Considere um intervalo dx e a densidade de massa da corda para esse intervalo dx, assim dk dy dt ( ) dx( ) eq III8 dy é a energia cinética desse pedaço de corda, onde é sua velocidade dt fig III6 Pedaço pequeno da corda entre x e x+dx Note que quando a onda passa em dx a corda estica mais com um comprimento aproximado de dx dy, a corda perturbada e invadindo a dimensão y Então a mudança de comprimento da corda é, L dx dy dx ou dy dy L dx[ ( ) ] dx[ ( ) ] dx dx dy dy L ( ) dx, para suficientemente pequeno dx dx A energia potencial du dy F L F( ) dx eq III9 dx onde F é a força de tensão para esticar a corda e du é a energia associada ao intervalo dx interpretada como o trabalho que deve ser feito contra a F A energia total associada a dx é y y de dk du ( ) dx F( ) dx, enquanto a densidade de t energia da onda de dx y t y ( ) F( ) eq III0 Tem-se uma onda harmônica, 36

5 de dx em virtude de kv e v de dx [( ) Fk ] A sen ( kx, F A sen ( kx eq III A energia deve viajar com uma onda de velocidade v, então para dx dx: dt é o tempo de mover esse intervalo Assim, para uma onda v harmônica, a potência transportada de uma onda é de de P v v A sen ( kx eq III dt dx 7 A Superposição de Ondas Muitos tipos de ondas obedecem ao princípio de superposição, isto é, quando duas ou mais ondas se propagam, esta propagação é independente, ou seja, uma onda se propaga como se nenhuma outra onda a perturbasse Muito embora, se uma onda de som é muito forte, o princípio da superposição não vale mais, assim como ondas de choque Aqui não devemos nos preocupar com esse tipo de ondas e assim o princípio da superposição continua valendo Como primeiro exemplo, vamos considerar duas ondas propagandose em uma mesma direção com mesma frequência e amplitude, mas fases diferentes, como ondas em uma corda, no ar, na superfície da água As funções de onda são, y Acos( kx e y Acos( kx t ), pelo princípio da superposição y y y e usando uma identidade trigonométrica, y Acos( kx t )cos Se 0, as ondas estão em fase, elas encontram crista com crista e vale com vale Isto é uma interferência construtiva Enquanto se, as cristas das ondas se encontram com vales e a interferência é destrutiva, neste caso y = 0 Se duas ondas tem amplitudes diferentes suas interferências destrutivas não darão um cancelamento total das ondas Um outro exemplo de superposição é quando consideramos frequências diferentes, y Acos( kx e y Acos( kx, teremos _ y y y Acos[ ( k) x]cos( k x), para t = 0, k k k e 37

6 fig III7 Ondas de frequências diferentes fig III8 O gráfico mostra uma superposição de ondas dando uma amplitude modulada k ( k k) Se k << k a onda y pode ser interpretada como uma onda _ cujo número de onda é k e amplitude Acos[ ( k) x], sua amplitude variando devagar com a posição Essa amplitude é chamada de amplitude modulada Veja a figura mostrando a superposição resultante de ondas com e diferentes Ao passar o tempo, o padrão dessa fig III8 se move para direita em um curso mais avançado com velocidade de onda Isto evolui para o fenômeno dos batimentos Isto é o fenômeno da amplitude baixar e subir A frequência de tais pulsos é dita frequência de batimento O intervalo de tempo entre esses batimentos é t / v / kv e a frequência de batimento é vk vk vk f fbatimento f f t Pela superposição de ondas harmônicas de diferentes amplitudes e freqüências, nós construímos formas de ondas complicadas De fato, pode-se mostrar que qualquer onda periódica pode ser construída pela superposição de um número suficientemente grande de ondas harmônicas senoidais e cossenoidais Chamamos este resultado de teorema de Fourier Para fazermos essa composição usamos as séries de Fourier que poderemos ver 8 Ondas Estacionárias Vamos considerar a superposição de duas ondas com mesmas frequências e amplitudes, mas propagando-se em direções opostas As funções de onda e sua resultante são y Acos( kx ) e y Acos( kx ) e t t y y y Acoskxcost eq III3 y descrevendo uma onda estacionária Essa onda viaja nem para direita nem para esquerda, seus picos permanecem fixos enquanto toda a onda cresce e decresce em harmonia Se y acima representa o movimento de uma corda, então cada partícula da corda executa um MHS Entretanto, em contraste ao caso de onda viajante, onde a amplitude de oscilação de cada partícula é a mesma, a amplitude de oscilação agora depende da posição com valor Acos kx em uma posição x Posições onde a amplitude de oscilação é máxima são: kx 0,,,, onde k / x 0, /,,3 /, Os máximos são devidos a interferência construtiva entre as ondas Da mesma forma para 38

7 3 amplitude zero: kx,,, ou x / 4,3 / 4,, os mínimos são devido a interferência destrutiva entre as ondas Os mínimos de ondas estacionárias são chamados de nodos e os máximos de antinodos Estamos supondo até agora que uma corda é um objeto longo sem pontos finais Existe uma condição de contorno, nos pontos extremos da corda A deformação y deve ser zero nesses pontos em todos os tempos Isto impõe sérias restrições sobre as ondas que podem ser geradas na corda Note que ondas estacionárias com nodos nos extremos satisfazem essa condição de contorno Podemos ver um exemplo a seguir: y Asen( x)cos( v, y Asen( x)cos( v e l l l l 3 3 y3 Asen( x)cos( v, onde l l correspondem respectivamente os gráficos da fig III9, Esses possíveis movimentos da corda são ditos modos normais Os comprimentos de onda desses modos são: l, l, l, 3 Enquanto as frequências desses modos: v l, v 3v, Essas frequências são chamadas l l também de frequências normais, próprias ou autofrequências que, em geral, são escritas como, nv f, n =,, 3, mostrando que todas as autofrequências são l múltiplos da frequência fundamental v / l Em geral, qualquer movimento da corda será alguma superposição de vários modos normais, dependentes de como o movimento começou Um exemplo de modos normais de uma corda fixa nos extremos se assemelha a uma barra numa mesma condição, como em uma ponte Exercícios Resolvidos fig III9 Modo fundamental(g), primeiro modo harmônico(g), segundo modo harmônico(g3) Exemplo III Uma corda esticada e presa em uma das extremidades sofre uma oscilação senoidal na extremidade que não está presa com uma amplitude de 0,075 m, e uma frequência de Hz A velocidade da onda é m/s No instante t = 0 a extremidade possui um deslocamento nulo e começa a mover no sentido +y Suponha que nenhuma onda seja refletida na extremidade presa Ache a amplitude, frequência angular, período, comprimento, e número de onda Escreva uma função de onda Escreva equações 39

8 para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que é dado o pulso em um ponto situado a 3 m desta extremidade Solução: A amplitude é aquela dada no problema, A = 0,075 m A frequencia angular é f rrad / ciclo ciclos/ s,6rad / s O período é T / f 0,5s O comprimento de onda, v / f 6m O número de onda, k /,05rad / m ou k / v,05rad / m Coloque x = 0 onde se encontra a extremidade do pulso no sentido +x A função de t x onda é, y y( x, Asen ( ) Asen( t kx) T Agora para x = 0: y y( 0, Asen( e para x = 3 m: y y( 3, Asen( t k3) Exemplo III No exemplo anterior a densidade da corda é 0,50 kg/m Qual é a tensão na extremidade do pulso da corda para que a velocidade da onda observada seja igual a m/s? Solução: F v F dv 36N d Exemplo III 3 Uma das extremidades de uma corda está presa a um suporte fixo no topo de um poço vertical de uma mina com profundidade igual a 80 m A corda fica esticada pela ação do peso de uma caixa com massa igual a 0 kg presa na extremidade inferior da corda Um geólogo no fundo da mina balança a corda enviando um sinal lá em cima Qual é a velocidade da onda transversal propagada na corda? Sabendo que um ponto da corda executa um MHS com frequência igual a Hz, qual é o comprimento de onda? Solução: Despreze a variação da tensão devido ao peso da corda A tensão F na corda é produzido pelo peso da caixa Então F mg 96N A densidade é dada por m F d 0, 050kg v Por outro lado l d v 88,5m / s 44,3m f s Exemplo III 4 No exemplo III qual é a taxa de transferência de energia máxima que o pulso fornece para a corda? Ou seja, qual a potência instantânea máxima? E a média? Solução: de de P v v A sen ( kx d a potência máxima é v A d A dt dx potência média é a metade da máxima 40

9 Exemplo III 5 Deduza a equação da onda em uma corda para deformações suficientemente pequenas em um pequeno segmento da corda Solução: A fig III0 mostra um segmento de corda esticada Vamos considerar pequenos deslocamentos verticais O segmento mede e sua massa m d, onde d é massa por unidade de comprimento O segmento se move verticalmente na direção y e a força de tensão resultante nessa direção é, Fsen Fsen F Ry F Ry Como é muito pequeno, sen tg e assim Ftg Ftg Veja que a tangente do ângulo feita pela corda com a horizontal é a deformação (declive) da curva formada pela corda Isto é, y tg, onde y y( x, Então F Ry F( ) Teremos ) como a variação de declives nos extremos do segmento ( y y Usando a segunda lei de Newton, F d F d No t t y y limite 0, portanto lim x 0 Usando a expressão da velocidade da onda obtemos a equação da onda: fig III0 Segmento de uma corda y v y t eq III 4 Exercícios Propostos Exercício III A tensão em uma corda é fornecida por um objeto pendurado de massa 3 kg como mostra a figura abaixo O comprimento da corda é l =,5 m e sua massa m = 50 g Qual é a velocidade das ondas sobre a corda? Resposta: 38,3 m/s 4

10 Exercício III Mostre que a função do tipo y( x, y( x v satisfaz a equação de onda Em particular verifique para a função de onda y( x, Asen( kx Resposta: Observe a eq III4 Exercício III 3 Uma onda é descrita por y 0,00sen(0,5x 68 Determine a amplitude, frequência, período, comprimento de onda e velocidade da onda Resposta: 0,00 m; 00 Hz; 0,0 s;,6 m; 60 m/s Exercício III 4 Uma corda de densidade linear 480 g/m está sob uma tensão de 48 N Uma onda de frequencia 00 Hz e amplitude 4 mm viaja na corda Qual a taxa média de transporte de energia da onda? Resposta: 6 W Exercício III 5 A função de onda para uma onda harmônica sobre uma corda é y( x, (0,03m) sen(,m x 3,5s Para qual direção a onda viaja? Qual é sua velocidade? Encontre o comprimento de onda, frequência, período dessa onda Qual o deslocamento máximo de qualquer segmento dessa corda? Qual a velocidade máxima de qualquer segmento? Resposta: Para direita,,86 m, v,59 m / s, f 0,557 Hz, T,80 s, A 0,03 m, v 0,05 m / s max Exercício III 6 Considere duas ondas viajando em direções opostas e suas funções de onda y Asen( kx ) e y Asen( kx ) Mostre que a soma dessas ondas é t t uma onda estacionária Uma onda estacionária sobre uma corda que está fixa nos extremos é dada por y( x, 0,04sen(5,3x)cos(480t ), daí encontre a velocidade da onda e a distância entre os dois nodos Resposta: v 9,8m / s e a distância 6 cm 4