Ondas Mecânicas - Movimento Ondulatório

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1 Page 1 of 7 Guia de Estudo Demonstrações Exercícios Extras Vídeos Referências Glossário Movimento Ondulatório GE Completo em PDF para Download ou Impressão Guia de Estudo Após o estudo deste tópico você deve: - Reconhecer as diferenças e semelhanças entre os vários tipos de ondas; - Reconhecer a forma funcional bem como as grandezas físicas que caracterizam as ondas; - Distinguir entre a velocidade de propagação de uma onda e velocidade de oscilação das partículas do meio; - Entender o significado físico da Equação de Onda; - Obter a velocidade de propagação de uma onda transversal e longitudinal em um meio. * Utilize o fórum para tirar suas dúvidas. Existe um monitor responsável pelo gerenciamento diário das respostas. GE3.1) Leia a seção sobre Movimento Ondulatório nas referências de sua escolha. GE3.2) Tipos de Ondas. GE3.2.1) Você pode enviar uma mensagem para um amigo por e por carta. Cite as diferenças físicas desses dois meios de transmissão de informações. GE3.2.2) É possível transportar momento linear de um lugar para outro sem que haja deslocamento de matéria entre os lugares? E momento angular? Em caso afirmativo, dê exemplos. GE3.2.3) Quais são as propriedades de um meio que regem o comportamento de uma onda mecânica? Relacione estas propriedades com a condição de equilíbrio do meio no qual esta onda se propaga. GE3.2.4) Com base no que você aprendeu sobre os diversos tipos de ondas, analise as figuras abaixo e classifique-as quanto à: i) direção de movimento das partículas; ii) periodicidade; iii) perfil da frente de onda; iv) número de dimensões. FIG. FIG a) 3.2.4b) FIG c) FIG e) FIG d) FIG f) FIG g) FIG h)

2 Page 2 of 7 GE3.3) Propagação de Ondas. Observe as figura abaixo, que representam um pulso viajando da esquerda para a direita com velocidade v. FIG. 3.3a) FIG. 3.3b) GE3.3.1) Admita que a Função de Onda (função que descreve a forma do pulso) no instante t =0s na Fig. 3.3a seja dada por y(x,0) = f(x); e que a forma do pulso se mantenha ao longo do tempo, i.e., y(x,0) = y(x ',t). Obtenha a relação entre x, x ', v e t para que a função f(x ',t) possa representar a forma do pulso viajante y(x,t). Qual modificação se faz necessária para representar a Função de Onda de um pulso viajante da direita para a esquerda? GE3.3.2) Sabendo que ρ = m/v obtenha uma relação entre a variação de pressão e a variação de densidade em uma onda sonora. Lembre-se que o módulo de compressibilidade volumétrica é dado por B = - p/( V/V). GE3.3.3) Em resposta ao pulso longitudinal, o elemento de fluido na Fig. 3.3b tem a sua espessura alterada de δx para δx ' = δx/(1 + s/ x). Usando a expansão binomial (1 + z) -1 = 1 - z +... mostre que a variação na densidade é dada por: ρ = - ρ o s/ x). GE3.3.4) Baseado nos resultados obtidos nas questões anteriores discuta a relação de fase entre o deslocamento e a variação de pressão numa onda sonora. GE3.4) Ondas Harmônicas (Periódicas). Suponha agora que sua mão oscile para cima e para baixo num MHS de período T, transformando um pulso numa onda transversal periódica (Fig. 3.4a). Ou sua mão poderia oscilar para frente e para trás, gerando uma onda longitudinal periódica (Fig 3.4b). FIG. 3.4a) FIG. 3.4b) GE3.4.1) Como se chama a distância entre os pontos que se encontram na mesma fase do movimento? A qual distância isto corresponde, se o pulso se propaga com velocidade v? Identifique esta grandeza nas figuras 3.4a e 3.4b.

3 Page 3 of 7 GE3.4.2) Descreva como é o movimento relativo dos pontos separados por x = vt/4, vt/2, 3vT/4 e vt. GE3.4.3) Qual é a relação entre a velocidade, o número de onda e a freqüência angular? GE3.4.4) Escreva a forma genérica da função de onda para a onda transversal da Fig. 3.4a, identificando todos os termos. GE3.4.5) Escreva a forma genérica da função de onda para a onda longitudinal da Fig. 3.4b, em termos da variação de pressão e do deslocamento, identificando todos os termos. GE3.5) Equação de Onda. A Figura abaixo mostra, em um dado instante de tempo t, uma onda transversal que se propaga em uma corda. FIG. 3.5a) GE3.5.1) Nos pontos indicados represente, em escala, os vetores velocidade transversal e aceleração transversal. GE3.5.2) Indique os pontos de maior concavidade e os pontos de inflexão. GE3.5.3) Faça uma comparação entre os valores da aceleração e da concavidade nos pontos indicados na figura. GE3.5.4) Como se pode calcular a velocidade transversal e a aceleração transversal de qualquer partícula em uma onda transversal? GE3.5.5) Como se pode calcular a inclinação da corda e a concavidade em qualquer ponto? GE3.5.6) De acordo com o exercício GE3.3.1, um pulso que, no tempo t=0, é descrito pela função y=f (x) e que se propaga com velocidade v, pode ser escrito como y(x,t) = f(x-vt). Tendo em vista a análise nos itens acima, calcule a derivada segunda de y com relação ao tempo t e a derivada segunda de x com relação ao tempo. Como se comparam essas duas derivadas? GE3.6) Velocidade de Ondas Transversais e Longitudinais. Observe a figura abaixo que mostra o diagrama de corpo livre para um elemento de uma corda pela qual passa uma onda com velocidade v. FIG 3.6

4 Page 4 of 7 GE3.6.1) Sabendo que F 1y = - F [( y/ x)] x e F 2y = + F [( y/ x)] x+ x obtenha uma expressão para a força resultante F res em função da derivada segunda de y em relação a x. GE3.6.2) Calcule a aceleração resultante a res do elemento da corda em função da derivada segunda de y em relação a t. A massa do elemento é m = µ x. GE3.6.3) Usando a 2ª Lei de Newton obtenha a Equação de Onda. GE3.6.4) Comparando com a Equação de onda obtida no exercício GE3.5.6 encontre a velocidade v da onda. GE3.6.5) Observe que na equação para a velocidade da onda transversal, o numerador indica uma propriedade elástica que descreve uma força restauradora e o denominador indica uma propriedade inercial do meio. Identifique e discuta, para o caso de uma onda sonora, quais as grandezas físicas que melhor representam as propriedades elástica e inercial do meio. Sugira então uma expressão para a velocidade v dessa onda sonora. GE3.6.6) Com base no raciocínio da questão anterior, compare a velocidade do som no ar, na àgua, em um pedaço de madeira e em uma barra de ferro. GE3.7) Energia no Movimento Ondulatório. Todo movimento ondulatório possui uma energia associada com ele. São exemplos a energia que recebemos da luz solar e os efeitos destrutivos dos terremotos e das famosas "Tsunami". À medida que a onda se propaga, cada porção do meio exerce uma força e realiza trabalho sobre a porção adjacente, transportando energia de uma região para outra, como mostrado na Figura 3.7a. FIG. 3.7a) FIG. 3.7b) GE3.7.1) Mostre que para a propagação de uma onda em uma corda de densidade linear de massa µ, a energia cinética por unidade de comprimento da corda é dada: K/ x = (1/2) µ [ y/ x] 2.

5 Page 5 of 7 GE3.7.2) A energia potencial elástica por unidade de comprimento, armazenada no segmento, é igual ao trabalho realizado pela tensão F para esticar o segmento desde seu comprimento original x até o comprimento deformado l, (mostrado na Fig. 3.7b). Mostre que a energia potencial por unidade de comprimento da corda é dada por: U/ x = (1/2) F [ y/ x] 2. Sugestão: Use a expansão binomial (1+z) = 1 + z/2, válida para z << 1. GE3.7.3) Mostre que a potência instantânea da onda, é dada por: P(x,t) = - F [ y/ x][ y/ t]. GE3.8) Potência e Intensidade de Ondas Sonoras. GE3.8.1)Lembrando que a força sobre um elemento de fluido em uma onda sonora é dada por F = A p e a velocidade do elemento é dada por u(x,t) = [ s/ t], calcule a potência média P méd e a intensidade I. GE3.8.2)Ondas sonoras esféricas são emitidas uniformemente em todas as direções a partir de uma fonte puntual, sendo a potência P irradiada 25 W. Qual é a intensidade e o nível de intensidade sonora, em decibéis, a uma distância r = 2,5m da fonte? Este nível de intensidade sonora é perigoso para a audição humana? GE3.8.3)Como o fato do ouvido humano ter uma resposta logaritmica aos estímulos de diferente intensidade pode ser usado para explicar nossa capacidade de escutar, ao mesmo tempo, sons de um grande intervalo de intensidades. GE3.8.4)Qual é a diferença entre a altura, volume e timbre de uma onda sonora. Dê exemplos. GE3.9) Resolva estes Exercícios de Fixação. GE 3.9.1) Uma onda harmônica em um cabo é dada pela expressão (a) Quais são a amplitude, comprimento de onda, velocidade, período, número de onda, freqüência e freqüência angular; (b) Qual é o sentido de propagação da onda? (c) Determine a posição, velocidade e aceleração transversais, inclinação e concavidade no elemento do cabo localizado em x=0,58 m no instante t=0,41 s. (d) Na posição deste elemento e neste instante de tempo o cabo está se encurvando para cima ou para baixo? E a aceleração, está dirigida para cima ou para baixo? GE3.9.2) Uma onda transversal harmônica simples propaga-se ao longo de uma corda no sentido da direita para a esquerda. A figura ao lado mostra o gráfico do deslocamento como função da posição em um instante de tempo t=0 s. A tensão na corda é F = 3,6 N e a densidade linear de massa é µ = 25g/m. Escreva uma expressão para a função de onda. GE 3.9.3) Um fio não-uniforme de comprimento L e massa M tem densidade linear de massa dada por µ=kx, onde x é a distância até uma das extremidades do fio e k é uma constante.

6 Page 6 of 7 (a) Mostre que M=kL 2 /2. (b) Mostre que o tempo necessário para que um pulso gerado em uma das extremidades do fio alcance a outra é dado por t = (8ML/9F) 1/2, onde F é a intensidade da força de tração do fio. GE 3.9.4) Desde que a amplitude seja suficientemente grande, o ouvido humano pode detectar ondas longitudinais no intervalo aproximado entre 20Hz e Hz. Calcule o comprimento de onda correspondente a estas freqüências a) para ondas no ar (v=344m/s); b) para ondas na água (v = 1480m/s). GE 3.9.5) Por que você vê o relâmpago antes de ouvir a trovoada? Uma regra prática familiar consiste em começar a contar lentamente quando você vê o relâmpago e dividir o número obtido por 3 para estimar, em quilômetros, a distância entre você e o local onde caiu o raio. Por que isso está correto? Ou não está correto? GE 3.9.6) A variação máxima de pressão Dp m que o ouvido pode suportar é de aproximadamente 28 Pa a 1000Hz. O som mais fraco que pode ser ouvido nesta mesma freqüência tem uma amplitude de pressão de cerca de 28 x 10-5 Pa. Calcule a amplitude da variação de densidade e do deslocamento correspondentes. Lembre-se que B ar = 1,4 x 10 5 Pa e v som,ar = 343 m/s à temperatura ambiente. GE 3.9.7) Uma corda com µ=0,15 kg/m está sujeita a uma tensão de 59N. Qual é a potência média de uma onda de 42mm de amplitude e freqüência angular de 130 rad/s que está se propagando na corda? GE 3.9.8) Que evidência experimental permite admitir que a velocidade das ondas sonoras no ar é a mesma para todos os comprimentos de onda? GE3.10) Faça os Problemas. GE ) Em um sistema esférico, a equação tridimensional da onda é dada por Mostre que y(r,t) = (A/r) sen (kr - ω t). (1/r 2 ) [ / r (r 2 y/ r)] = (1/v 2 ) [ 2 y/ t 2 ] GE ) Uma onda transversal em uma corda possui velocidade de 8,00 m/s, amplitude de 0,0700m e comprimento de onda igual a 0,320m. A onda se move no sentido -x e para t=0 a extremidade x=0 da corda possui deslocamento nulo e se move no sentido +y. a) Ache a freqüência, o período e o número de onda; b) Escreva a função de onda; c) Calcule o deslocamento transversal de uma partícula situada no ponto x = 0,360 m no instante t = 0,250 s. d) Depois de t = 0,250s, quanto tempo a partícula, situada em x=0,360m, leva para atingir novamente o deslocamento nulo? GE ) Uma onda com freqüência de 493Hz tem uma velocidade de 353m/s. (a) Qual a distância entre dois pontos com uma diferença de fase de 55,0? (b) Qual a diferença de fase entre dois deslocamentos no mesmo ponto separados por 1,12 ms?

7 Page 7 of 7 GE ) Que equação descreve uma onda que se desloca no sentido negativo ao longo do eixo x, com amplitude de 1,12 cm, freqüência de 548Hz e velocidade de 326m/s? GE ) Uma corda uniforme de massa m e comprimento L pende de um teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é uma função de y, a distância da extremidade inferior, e é dada por v = (gy) 1/2. (b) Mostre que o tempo gasto para uma onda transversal percorrer o comprimento da corda é dado por t = 2 (L/g) 1/2. (c) A massa real da corda influencia os resultados nos itens anteriores? GE )Uma das extremidades de um fio é presa a um dos ramos de um diapasão excitado eletricamente com uma freqüência igual a 120Hz. A outra extremidade passa sobre uma polia e suporta um objeto com massa igual a 1,50 kg. A densidade linear de massa do fio é igual a 0,0550 kg/m. a) Qual é a velocidade de propagação de uma onda transversal na corda? b) Qual é o comprimento de onda? c) Como suas respostas dos items anteriores são modificadas se a massa do objeto aumentar para 3,00 kg? GE ) O eco é um som refletido por um objeto distante, tal como uma parede ou um monte. Explique como você pode determinar a distância entre você e o objeto medindo o tempo até você ouvir o eco. Atividades Recomendadas GE3.11) Tente, então, fazer os Exercícios Extras. GE3.12) Existem alguns aplicativos que podem ajudá-lo na compreensão da matéria. Tente executá-los. Todos os diretos reservados. Departamento de Física da UFMG