Gabarito do GE3 Movimento Ondulatório

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1 3.2) Tipos de Ondas Gabarito do GE3 Movimento Ondulatório 3.2.1) Ao enviar uma mensagem por carta, há também transporte de matéria. Entretanto enviando uma mensagem por não tem transporte de matéria envolvido, apenas a energia vai de um lado para o outro. Critério: 50% para cada meio de transmissão ) É possível transportar momento linear e momento angular de um lugar para o outro sem que haja transporte de matéria entre os lugares. Como exemplo de transporte de momento linear, sem transporte de matéria, podemos citar uma onda se propagando em uma corda. Como exemplo de transporte momento angular, sem transporte de matéria, podemos citar uma onda no mar, onde as partículas do meio sofrem deslocamentos circulares, resultado de uma composição de deslocamentos transversais e longitudinais. Criterio: 50% para cada momento descrito e seus exemplos ) As propriedades físicas de um meio que regem o comportamento de uma onda mecânica são a elasticidade e a inércia. Para um dado meio, mantendo-se a força restauradora constante, quanto maior a elasticidade do meio maior será a amplitude de oscilação em relação a posição de equilíbrio, entretanto, quanto maior a inércia menor será a amplitude de oscilação. Criterio: 50% para a elasticidade e sua relação. 50% para a inercia e sua relação ) Veja a tabela abaixo: a-onda longitudinal periódica Frente de onda plana Unidimensional b-onda transversal periódica Unidimensional c-onda longit. e transversal aperiódica Frente de onda plana Bidimensional d-onda transversal aperiódica Frente de onda circular Bidimensional e-onda transversal periódica Unidimensional f-onda longitudinal periódica Frente de onda plana Unidimensional g-onda longitudinal periódica Frente de onda plana Bidimensional h- onda longitudinal periódica Frente de onda esférica Tridimensional Criterio: 100% dividido por todas as letra acima de a ate h. 3.3) Propagação de ondas 3.3.1) Notamos pela figura que y = y. Assim, em y temos x = x, e em y temos x = x. Observe que x =x + vt, pois no eixo x após um intervalo de tempo t, a origem do referencial andou exatamente v*t. Logo: x =x + vt x=x vt

2 A relação entre as coordenadas x e x dos referenciais é x = (x + vt); ou equivalentemente x = (x vt); Esta relação é valida quando o pulso se move da esquerda para a direita. No caso de um pulso se movendo da direita para a esquerda teremos a seguinte relação: x = (x vt), ou equivalentemente; x = (x + vt). É como trocar t por t!! E assim ficamos com x= x + vt. Criterio: 60% para obter a relação. 40% para a modificação ) Relembre que: P = - B( V/V) (eq.1) a densidade ρ de um elemento de fluido é dada por ρ = m/v, assim podemos expressar a taxa de variação da densidade em função do volume como: dρ/dv = - m/v 2 dρ = - (m/v 2 )dv = -(m/v)(dv/v) ou seja dρ = - ρdv/v. Como V dv e ρ dρ temos: V/V = - ρ/ρ, que substituindo na equação 1 temos: P = - B(- ρ/ρ) P = B ρ/ρ Criterio: 100% para a relação ) Temos que: x = x(1 + s/ x) δx = δx (1 + s/ x) -1 => δx δx (1 - s/ x); Multiplicando esta equação pela área A do elemento de fluido temos a relação entre a variação de seu volume:

3 V = V (1 - s/ x) 1/V = (1/V)(1 - s/ x). Multiplicando pela massa m do fluido teremos: ρ = ρ(1 - s/ x) => ρ = ρ - ρ s/ x => ρ - ρ = -ρ s/ x ρ = -ρ s/ x Critério: 100% pela demonstração ) Sabendo que: P = B ρ/ρ (eq.1) ρ/ρ = - s/ x (eq.2) substituindo a equação 2 na equação 1 temos: P = -B s/ x (eq.3). A equação do deslocamento longitudinal de uma onda pode ser escrita como: s = s m cos(kx - ωt); derivando em relação à posição x temos: s/ x = -ks m sen(kx - ωt); substituindo s/ x pelo valor obtido a partir da eq.3 temos: P = Bks m sen(kx - ωt) ou seja a equação da onda de deslocamento esta defasada de 90º em relação à equação da onda de variação de pressão. Criterio: 100% pela relação. 3.4) Ondas Harmonicas (Periodicas) 3.4.1) A distancia entre dois pontos, consecutivos, que se encontram na mesma fase do movimento se chama comprimento de onda (λ). Da equação v = λf obtemos que λ = vt. Criterio: 40% por responder λ; 30% por responder VT; 30% por identificar as grandezas nas figuras ) O movimento relativo é o seguinte:

4 Os pontos VT/4 e 3VT/4 têm a mesma velocidade e a mesma aceleração, porém em sentidos opostos; o mesmo acontecendo com os pontos VT/2 e VT. Percebemos também que os pontos VT/4 e VT/2 têm velocidades no mesmo sentido, o mesmo ocorrendo para VT/4 e 3VT/4. Criterio: 100% pela descrição ) Sabemos que o número de onda ( k = 2π/λ ), dessa forma temos a seguinte relação entre k, ω e v : k = 2π/λ = 2π/vT = 2πf/v = ω/v Critério: 25% por cada relação ) Temos a seguinte equação para a onda transversal, onde, Ym é a amplitude de oscilação k é o número de onda ω é a freqüência angular φ é a constante de fase kx - ωt - φ é a fase do movimento Criterio: 50% pela função de onda. 10% por cada termo identificado. Y(x,t) = Ymsen( kx - ωt - φ ) 3.4.5) Temos a seguinte equação para a onda longitudinal, em termos da variação de pressão: p(x,t) = pmsen( kx - ωt - φ ) onde, pm é a amplitude de variação de pressão k é o número de onda ω é a freqüência angular φ é a constante de fase kx - ωt - φ é a fase do movimento A equação para a onda longitudinal, em função do deslocamento das partículas, é a seguinte: S(x,t) = Smcos( kx - ωt - φ ) Onde, Sm é a amplitude de deslocamento k é o número de onda ω é a freqüência angular φ é a constante de fase kx - ωt - φ é a fase do movimento

5 Criterio: 50% pelas dua funçoes de ondas. 5% por cada termo identificado. 3.5) Equação de Onda ) Observe a figura com os vetores velocidade e aceleração representados Criterio: 50% pela representação dos vetores velocidade. 50% pela representação dos vetores aceleração ) Os pontos de maior concavidade são os pontos de deslocamento máximo em relação ao eixo y (pontos de máximo e mínimo do gráfico) ou seja, os pontos 2, 6 e 10. Os pontos de inflexão são os pontos onde a concavidade muda de sentido, pontos 4 e 8. criterio: 50% pelos pontos de maior concavidade. 50% pelos pontos de inflexão ) Podemos observar a partir do gráfico que o módulo da aceleração atinge seu valor máximo nos pontos de maior concavidade e que a aceleração é nula nos pontos de inflexão. Criterio: 100% pela comparação ) Derivando duas vezes em relação ao tempo a função de onda, ou seja, fazendo 2 y/ t 2. Criterio : 100% pela resposta acima ) Fazendo a derivada primeira e a derivada segunda em relação à posição na função de onda, ou seja, calculando y/ x e 2 y/ x 2. Isto nos dá, respectivamente a velocidade transversal e a aceleração transversal. Criterio: 50% para cada operador ) A equação da onda é y(x, t) = f(x vt);

6 considerando z = x vt temos que: teremos: y = f(z). Derivando e aplicando a regra da cadeia y/ t = ( f/ z)( z/ t) como z/ t = -v temos: y/ t = -v f/ z 2 y/ t 2 = -v( z/ t) 2 f/ z 2 2 y/ t 2 = v 2 2 f/ z 2 (eq.1) y/ x = ( f/ z)*( z/ x) como z/ x = 1 tem-se que: y/ x = f/ z 2 y/ x 2 = ( 2 f/ z 2 ) z/ x 2 y/ x 2 = 2 f/ z 2 (eq.2) Substituindo a eq.2 na eq1 temos: v 2 ( 2 y/ x 2 ) = 2 y/ t 2 2 y/ x 2 = (1/v 2 )( 2 y/ t 2 ) Podemos interpretar esta equação da seguinte forma: quanto maior a concavidade da curva ( 2 y/ x 2 ) em um determinado ponto maior será a aceleração deste ponto. Critério: 100% pela comparação. 3.6) Velocidade de Ondas Transversais e Longitudinais ) Utilizando os dados fornecidos no enunciado, obtemos a seguinte expressão: ΣFy = F[( y/ x)] (x + x) F[( y/ x)] (x) ΣFy = F x[ y (x + x) y (x ) ] 1 x x x ΣFy = F x ²y x² Criterio: 100% pela expressão.

7 3.6.2) Utilizando o resultado obtido na questão anterior temos o seguinte: ΣFy = F x ²y = µ x ²y x² t² ²y = F ²y t² µ x² Criterio: 100% pela resolução ) Utilizando o resultado obtido na questão e a segunda lei de Newton, chegamos a seguinte expressão: F x ²y = µ x ²y x² t² ²y = µ ²y x² F t² Criterio: 100% pela equação ) Comparando o resultado obtido na questão anterior com o resultado obtido no GE 3.5.6, temos que: 1 ²y = µ ²y v² x² F t² v² = F µ v = ( F/µ ) 1/2 Criterio: 100% pela questão ) Para o caso de uma onda sonora, a grandeza física que melhor representa a propriedade elástica é o módulo de compressibilidade B. Já a propriedade inercial é melhor representada pela massa específica não pertubada ρ 0. Dessa forma, em analogia com a expressão para a velocidade da onda em uma corda, uma possível expressão para a velocidade da onda sonora é: v = ( B/ρ 0 ) 1/2 Criterio: 100% pela questão ) Utilizando a expressão da questão anterior, observamos que a velocidade de uma onda sonora depende da razão entre o módulo de compressibilidade B e a massa específica ρ 0 do meio.

8 Dessa forma, podemos concluir que a velocidade do som em uma barra de ferro será maior que a velocidade do som no ar, pois, apesar do ferro ser mais denso que o ar sabemos que seu módulo de compressibilidade é muitas vezes maior que o do ar. Assim, concluímos que o fator determinante para a velocidade do som em um meio é o módulo de compressibilidade. Dessa forma temos que: V ferro > V água > V ar Criterio: 100% pela questão. 3.7) Energia no Movimento Ondulatório ) A energia cinética é dada de um dado elemento de corda é dado por K = ½ m v 2. Sendo a densidade linear de massa definida por µ = m/l, substituímos m = µ L na expressão acima, tal que: K = ½ µ L v 2. Fazendo L = x e sendo v = y/ t K/ x = ½ µ ( y/ t) 2 Criterio: 100% pela demonstração ) A energia potencial elástica por unidade de comprimento, armazenada no segmento de corda é igual ao trabalho realizado pela tensão F para esticar o segmento desde seu comprimento original x até seu comprimento original L. Pela figura temos que L = [( y) 2 + ( x) 2 ] 1/2 = x * [(1 + ( y/ x) 2 ] ½ U = W = F [ L - x ] U = F { x*[(1 + ( y/ x) 2 ] ½ - x } U = F x { [(1 + y/ x) 2 ] ½ - 1 } Usando a expansão binomial (1+z) 1/2 = 1 + z/2, válida para z << 1 temos que U = F x { 1 + ½( y/ x) 2-1 } U = F x { ½( y/ x) 2 }

9 Assim a variação da energia potencial elástica por unidade de comprimento é dada por U/ x = ½F ( y/ x) 2 Criterio: 100% pela demonstração ) A potência instantânea é dada por P(x,t) = -F ( y/ x)* ( y/ t). Lembre-se que Potência é energia por unidade de tempo, tal que P(x,t) = F. u (produto vetorial) P(x,t) = [F( y/ x)] * [ y/ t] * cos(π) P(x,t) = - F( y/ x)( y/ t) 3.8) Potencia e Intensidade de Ondas Sonoras ) Sendo p(x,t) = p m sen( kx - ωt ) U (x,t) = s/ t = ωs m sen( kx - ωt ) F = A p P = F(x,t) U(x,t) Temos que: P = p m sen( kx - ωt ) A ωs m sen( kx - ωt ) P = A p m ωs m sen²( kx - ωt ) P = A p m U m sen²( kx - ωt ) P = Av ( p m )² sen²( kx - ωt ) / B Av 2 2 ( x, t) = ( p ) sen ( kx ω t+φ) B P m P(x,t) é a potência instantânea em qualquer lugar no espaço e no tempo e será a potência média. P Av 2B 2 ( x, t) = ( pm ), P média = Av ( p m )² / 2B = Av ( p m )² /2ρv I = P média / A I = v ( p m )² / 2B = v ( p m )² /2ρv

10 Criterio: 50% pela Potencia Media. 50% pela Intensidade ) Sabemos que a intensidade é dada por I = P média / A, onde A = 4πr 2. Logo I = 25/4(3,14)(2,5) 2 I = 0,32W/m 2 Este valor nao é perigoso para a audição do ser humano porque o limiar da dor é acima de 1W/ m 2 Criterio: 60% para o valor de I. 40% para a explicação ) O ouvido humano é capaz de detectar uma faixa extremamente grande de intensidades sonoras, desde o farfalhar de uma folha até o barulho produzido por um avião a jato. Para facilitar a comparação entre esta diversidade de sons, o ouvido funciona em uma escala logarítmica, onde transforma intervalos iguais em razões iguais (exatamente a escala em decibéis). Esta escala vai desde o limiar da audição humana (10-12 W/m 2 ) até intensidades capazes de danificar irremediavelmente o nosso aparelho auditivo, o limiar da dor (1W/m 2 = 120dB). A membrana no tímpano não mais se encontra no regime de deformação elástica/plástica, mas a amplitude de pressão deve estar além do limite de ruptura da mesma. Criterio: 100% pela resposta ) As definições de altura e volume estão relacionadas com a freqüência e com a intensidade sonora, respectivamente. A definição de timbre é que muitas vezes não é única, e diversos especialistas na área não tem uma definição física exata e está relacionada a diversos fatores como o material a forma, etc. Isto torna o nosso ouvido capaz de distinguir uma nota de freqüência de 400Hz em dois instrumentos diferentes como um piano e um violão, mesmo que o volume sonoro seja exatamente o mesmo. Criterio: 100% pela resposta.