LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS

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1 LINEARIZAÇÃO DE GRÁFICOS Física Básica Experimental I Departamento de Física / UFPR

2 Processo de Linearização de Gráficos O que é linearização? procedimento para tornar uma curva que não é uma reta em um reta. É encontrar uma relação entre duas variáveis, que satisfaça a equação da reta, ou seja, determinar os coeficientes angular e linear da reta ( ). y b + ax Por que linearizar? A análise de uma reta é mais simples que a análise de uma curva. O processo de linearização facilita a determinação das leis físicas que governam o experimento que gerou os dados.

3 Métodos de Linearização 1) Troca de variáveis A equação que governa o comportamento dos dados deve ser conhecida. A troca de variáveis permite converter uma equação de uma curva numa equação de reta. Exemplo: y ax + b y ax + b x x onde t t Obs: Nem todas as equações podem ser convertidas de forma útil.

4 ln y ln a + ln x y ln a + x y ax x x (mudança de variável) y ax Diferenças entre as retas: Os coef. e sua interpretação são diferentes (1) não passa pela origem () passa pela origem Qual o melhor? > quando se conhece o expoente, é melhor a mudança de variável.

5 y ax α ln y ln a + α ln x y ln a + α x α é o coeficiente angular y ax mudança de variável > NÃO + c ln y ln (ax + c ) NÃO x x (mudança de variável) y ax + c

6 y ax + bx + c ln y ln (ax + bx + c ) NÃO x x (mudança de variável) y ax + bx.5 + c Não é linear > polinômio completo não lineariza

7 Métodos de Linearização ) Uso de papéis especiais: mono-log e di-log Quando um gráfico em papel milimetrado fornece uma curva, ainda assim é possível obter, em casos específicos, gráficos lineares usando papéis mono e di-log. Este método se aplica quando a equação que governa o comportamento dos dados não é conhecida. Funciona por tentativa e erro. Os softwares matemáticos permitem a troca das escalas linear para logarítmica facilitando o processo.

8 Métodos de Linearização Tipos de Papéis: Escala logarítmica Escala logarítmica Escala logarítmica milimetrado mono-log di-log

9 1) Método das mudanças de variáveis: Exemplo 1 Y (cm) (a) (b) (c) (d) lineari zação Y (cm) c' d' X (cm) X' (cm ) Gráfico das funções do tipo: y(x) ax (a) :y(x) x (b): y(x) x (c): y(x) x + bx + c 1x + 1x + Mudança de variável x x ( c ) y(x) x + (d): y(x) x ( d ) y(x) x

10 Mudança de variáveis: Exemplo Y (cm) X (cm) lineari zação Y (cm) ,,,4,6,8 1, X' (cm -1 ) Gráfico das funções do tipo: Y (X) a / X Mudança de variável X 1 X Y (X) 1/ X Y (X ) 1X

11 Mudança de variáveis: Exemplo 3 PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS ONDAS ELETROMAGNÉTICAS Independentes da forma que foram geradas: 4 1) Os campos elétrico ( E r ) e magnético( B r - - ) são perpendiculares a -4-4 direção de propagação. (onda transversal) ) O campo elétrico é perpendicular ao magnético. 3) O produto vetorial E r B r aponta no sentido da propagação X (cm) X' (cm da onda. 1/ ) 4) Os campos variam senoidalmente com a mesma freqüência e estão em fase. Gráfico da função: Gráfico linearizado Para uma onda que se propaga na direção x, os campos elétricos e magnéticos são funções senoidais da posição x e do tempo t : Y (cm 1/ ) Y X 1 Y X 1 E Emsen(kx ωt) Linearização B Bmsen(kxonde ωt) Y (cm 1/ ) X X

12 ) Uso de Papéis especiais: Monolog e Dilog Os papéis com escala logarítmica são utilizados para linearizar funções exponenciais.1) Papel monolog Y Ae BX (X,Y ) Y (cm) 1 Y (cm) 1 (X 1,Y 1 ) 5,,5 1, 1,5,,5 3, X (cm) 1,,5 1, 1,5,,5 3, X (cm) Papel milimetrado Papel monolog Y e,8x

13 Papel monolog (cont.) Para linearizar em papel milimetrado BX Y Ae ( ) ( BX ) BX ln Y ln Ae lna + lne ( Y) lna BX ln + Comparando com a equação da reta Y B + A X Y ln(y) B lna A B coef.linear coef.angular 5 3,5 Y (cm) ln(y) 3,,5, 1,5 1,,,5 1, 1,5,,5 3, X (cm),5,,5 1, 1,5,,5 3, X (cm)

14 Uso de papéis especiais:.) Papel dilog Y AX B, 1,5 1,1 (X,Y ) Y (cm) 1,,5 Y (cm),1 1E-3 (X 1,Y 1 ), 1E-4,,,4,6,8 1, 1E-5,1,1 1 X (cm) X (cm) Papel milimetrado Papel dilog Y X,4

15 No Papel dilog: Y AX B Assim: log ( ) ( B ) ( ) ( B Y log AX log A + log X ) ( Y) log( A) Blog( X) log + Y log( Y) Y B + A X B log( A) X log( X) A B

16 Papel dilog (cont.) Para linearizar em papel milimetrado: Após a linearização: ( Y) log( A) Blog( X) log + Y B + A X Y log( Y) X B A log( X) log( A) B 1, 1,5-1 Y (cm) 1,,5 log (Y) - -3, -4,,,4,6,8 1, X (cm) -5 -, -1,5-1, -,5, log (X) Papel milimetrado Papel milimetrado

17 Exemplo de confecção de gráfico, linearização e ajuste de reta Dados obtidos: Objetivo: Determinar a aceleração a partir das medidas de V e X. X (cm) V (m/s),691 1,435 1,913,93,77 3,8 3,37

18 1) unificar as unidades para o mesmo sistema de unidades Por exemplo, no SI. X (m),15,3,45,6,75,9 V (m/s),691 1,435 1,913,93,77 3,8 3,37 ) Fazer o gráfico: V versus X 3,5 3,,5 V (m/s), 1,5 Não é reta!!! 1,,5,,,4,6,8 1, X (m)

19 3) Fazer a linearização: É necessário conhecer a equação que relaciona as variáveis V e X Análise: Este problema é um problema típico de cinemática, que envolve aceleração constante, ou seja, MRUV. As equações do MRUV são: X X V V + V + V t + at at A equação que relaciona V com X é: V V ax + como V + aδx ΔX X X X ΔX X

20 3) Fazer a linearização (cont): Comparar com a equação da reta e fazer a mudança de variável. V V + ax Assim: Y V Y B + AX X X coef. linear: B V V B coef. angular: A a a A

21 4) Montar uma tabela com as variáveis linearizadas V e X. X' X (m),15,3,45,6,75,9 YV (m/s),47748,593 3, ,5785 7, , , ) Fazer o gráfico linearizado, isto é, o gráfico de V versus X Y V Y (m /s ) 6 4,,,4,6,8 1, X (m)

22 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ X V X i Y i X i X i Y i,47748,,,15,593,5,3888,3 3,65957,9 1,9787,45 5,5785,5,3663,6 7,43653,36 4,4619,75 9,16878,565 6,87659,9 1,47817,81 9,4335 Σ 3,15 38,53761,475 4,54164 Calculando o coeficiente angular: A N X i.yi X i. Yi N X ( X ) i 7 4, ,15 38,53761 A 11,4813m/s 7,475 (3,15) i

23 6) Fazer o ajuste da melhor reta utilizando o MMQ (cont.) Calculando o coeficiente linear B: Y B + AX Y Yi N X X N i B Y AX 11,4813 (38, ,15) / 7 /s B,3671m Comparar os coeficientes e calcular a aceleração: a A / 11,4813/ calcular a velocidade inicial V : a 5,7147 m/s V B,3671 V,65 m/s

24 7) Desenhar a melhor reta no gráfico Escolher dois pontos X 1 e X e a partir da equação da melhor reta calcular Y 1 e Y Exemplo: X 1, Y, ,4813X Y 1, ,4813 (,) pontos da melhor reta: Gráfico com a melhor reta, Y, ,4813 X 8 Y (m /s ) 6 4 Pontos da melhor reta,,,4,6,8 1, X (m)

25 FIM