OS ELEMENTOS BÁSICOS E OS FASORES

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1 CAPITULO 14 OS ELEMENTOS BÁSICOS E OS FASORES Como foi definido anteriormente a derivada dx/dt como sendo a taxa de variação de x em relação ao tempo. Se não houver variação de x em um instante particular, dx=0, e a derivada será nula. No caso de uma senoide, dx/dt sera zero somente nos pontos de maximo e mínimo ( ωt = /2eωt =3 /2)

2 Portanto podemos concluir que a derivada de uma senoide, é uma co-senoide, e ela tem o mesmo período e a mesma freqüência que a função senoide.

3 No caso de uma tensão senoidal a derivada pode ser obtida por diferenciação: Efeito da freqüência sobre o valor de pico da derivada

4 RESPOSTA DOS ELEMENTOS BÁSICOS R, L e C A UMA TENSÃO OU CORRENTE SENOIDAL RESISTOR: No caso das freqüências utilizadas em linhas de transmissão e também para freqüências ate umas poucas centenas de quilohertz, o efeito da freqüência sobre o valor da resistência é praticamente nulo. Portanto no circuito ao lado podemos considerar a resistência como sendo constante: Em um elemento resistivo a corrente e a tensão estão em fase. No caso de um elemento puramente resistivo a tensão e a corrente no dispositivo estão em fase, sendo a relação entre seus valores de pico dada pela lei de ohm.

5 INDUTOR: A tensão Vdispositivo, do dispositivo no interior da caixa se opõe a da fonte e e assim, reduz a corrente i Logo: Vdispositivo = ir Portanto a tensão no indutor é diretamente proporcional a freqüência (ou mais especificamente, a freqüência angular da corrente alternada senoidal nele) e a indutância do enrolamento. Para valores crescentes de f e L, conforme a figura ao lado, o valor da tensão VL aumenta conforme descrito anteriormente. Comparando as duas figuras acima, vemos que a valores maiores de VL correspondem maiores valores de oposição. Como VL aumenta tanto em função de ω (= 2 f ) quanto de L a oposição de um dispositivo indutivo tem a forma definida pela figura acima.

6 No caso do indutor visto no circuito ao lado, vimos no capitulo 12 que: Derivando: Portanto: ou onde Observe que o valor de pico de VL é diretamente proporcional a ω (=2 f) e a L, como observado anteriormente.

7 Para um indutor, VL esta adiantada 90º em relação a i L ou i L esta atrasada 90º em relação a V L. Se um ângulo de fase for incluído na expressão senoidal para i L A oposição causada por um indutor em um circuito de corrente alternada senoidal pode ser calculada a partir de:

8 A grandeza ωl, denominada reatância indutiva é simbolizada por X L e medida em ohms: A reatância indutiva é uma oposição a corrente que resulta em uma troca continua de energia entre a fonte e o campo magnético do indutor. CAPACITOR: No caso do capacitor, determinamos a corrente i Para uma dada tensão entre seus terminais. Deste modo a relação entre tensão e corrente será conhecida e a tensão de oposição (V elemento) poderá ser determinada para qualquer corrente senoidal. E como a capacitância é uma medida da rapidez com que um capacitor armazena carga em suas placas. Para uma dada variação da tensão entre os terminais de um capacitor, quanto maior o valor da capacitância, maior será a corrente capacitiva resultante Na figura abaixo estão ilustrados os parâmetros que determinam a oposição de um elemento capacitivo a passagem de corrente.

9 O gráfico Vc e ic da figura ao lado mostra que: para um capacitor, ic esta adiantada de 90º em relação a Vc

10 oposição Se a corrente esta adiantada em relação a tensão aplicada, o circuito é capacitivo; se a corrente esta atrasada em relação a tensão, o circuito é indutivo;seacorrenteeatensão estão em fase, o circuito é resistivo.

11 EXEMPLO14.11 EXEMPLO14.3

12 EXEMPLO14.5

13 COMPORTAMENTO DE INDUTORES E CAPACITORES EM REGIMES DE CORRENTE CONTINUA, ALTA FREQÜÊNCIA E BAIXA FREQÜÊNCIA: Nos circuitos de corrente continua, a freqüência é nula e a reatância de um indutor é dada por

14 Nos circuitos de corrente continua, a reatância de um capacitor é dada por: Justifica-sese portanto a substituição de capacitores por curtos-circuitoscircuitos em circuitos de corrente continua. Em altas freqüências é muito pequena, e em algumas aplicações praticas o capacitor pode ser substituído por um curto-circuito Efeito das freqüências altas e baixas sobre o comportamento de indutores e capacitores.

15 MEDIDAS DO ÂNGULO DE FASE ENTRE A TENSÃO APLICADA E A CORRENTE FORNECIDA POR UMA FONTE Uso de um osciloscópio para determinar a diferença de fase entre a tensão aplicada e a corrente da fonte.

16 RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA DOS DISPOSITIVOS BÁSICOS Ate aqui vimos que a resistência de um resistor independe da freqüência aplicada, mas do ponto de vista pratico todo resistor tem capacitâncias parasitas e indutâncias que são afetadas pela freqüência aplicada, os valores dessas capacitâncias e indutâncias são desprezíveis ate um certo valor de freqüência, conforme podemos ver na figura ao lado. Gráfico das curvas de variação da resistência com a freqüência para resistores de carbono. Gráfico de R em função da freqüência para a nossa faixa de estudo.

17 Para os indutores: A equação tem a forma de uma equação de reta Para os capacitores Portanto em resumo, a medida que a freqüência do sinal aplicado aumenta, a resistência i de um resistor permanece constante, a reatância de um indutor aumenta linearmente e a reatância de um capacitor diminui de forma não-linear.

18 EXEMPLO14.8 EXEMPLO 14.9 Circuito equivalente de um indutor real. (a) ZL em função da freqüência para o circuito equivalente (a). (b) Na figura a Rs representa as perdas no cobre devido as correntes parasitas, Cp é a capacitância parasita que existe entre as espiras do indutor. No caso de indutores na faixa de microhenries, uma freqüência de 1Mhz pode ocasionar efeitos indesejáveis. A figura b mostra um gráfico da impedância em função da freqüência, observamos que um indutor de 100 microhenries se comporta como um indutor ideal.

19 Circuito equivalente de um capacitor real. Variação da impedância com a freqüência para um capacitor de filme ç p q p p metalizado de 0,01 µ F.

20 POTENCIA MEDIA E FATOR DE POTENCIA O valor da potencia media não depende do fato de a tensão estar atrasada ou adiantada em relação a corrente.

21 Agora aplicando as equações anteriores da potencia, aos dispositivos básicos R, L e C. RESISTOR: INDUTOR: CAPACITOR: A potencia media ou potencia dissipada por um indutor ideal (sem resistência associada) é zero. Pelo fato de v estar adiantada de 90º em relação a i (isto num circuito puramente indutivo). A potencia media ou potencia dissipada num capacitor ideal (sem resistência associada) é zero. Pelo fato de i estar adiantada 90º em relação a v (isto num circuito puramente capacitivo). EXEMPLO EXEMPLO 14.11

22 FATOR DE POTENCIA Para uma carga puramente resistiva, como a ilustrada em (a), a diferença de fase entre v e i é0º Para uma carga puramente reativa (indutiva ou capacitiva), como a ilustrada em (b), a diferença de fase entre v e i é 90º EXEMPLO14.12 (a) (b)

23 NUMEROS COMPLEXOS Um numero complexo pode ser representado por um ponto em um plano, referido a um sistema de eixos cartesianos. Este ponto também determina um raio vetor a partir da origem Existem duas maneiras de representar um numero complexo: FORMA RETANGULAR:

24 EXEMPLO 14.13: FORMA POLAR: EXEMPLO 14.14:

25 CONVERSÃO ENTRE AS DUAS FORMAS: As equações abaixo mostram a relação entre as duas formas, polar e retangular. Polar para retangular Retangular para Polar EXEMPLO 14.15: EXEMPLO 14.16: EXEMPLO 14.17: EXEMPLO 14.18:

26 OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS: As operações básicas de adição, subtração, multiplicação e divisão podem ser realizadas, a seguir mostraremos as regras utilizadas, antes porem iremos associar o símbolo j aos números imaginários: Complexo conjugado: É obtido simplesmente trocando-se o sinal da parte imaginária, na forma retangular ou o sinal do ângulo, na forma polar

27 INVERSO OU RECÍPROCO: É 1 dividido pelo numero complexo. ADIÇÃO: Para adicionar dois números complexos, basta apenas adicionar as partes reais e imaginarias separadamente: EXEMPLO 14.19: SUBTRAÇÃO: Na subtração, as partes reais e imaginarias também são consideradas separadamente: EXEMPLO 14.20:

28 MULTIPLICAÇÃO: Para multiplicar dois números complexos na forma retangular, multiplique as partes real e imaginaria de um pelas partes do outro: Quando os números estão na forma polar, multiplicamos os módulos e somamos algebricamente os ângulos: EXEMPLO 14.22: EXEMPLO 14.23:

29 DIVISÃO: Para dividir dois números complexos na forma retangular, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, identificando depois as partes real e imaginaria. Para dividir um numero complexo na forma retangular por um numero real, tanto a parte real quanto a parte imaginaria tem de ser divididas por esse numero. Na forma polar, a divisão é realizada simplesmente dividindo o modulo do numerador pelo modulo do denominador e subtraindo os respectivos ângulos. EXEMPLO14.24: EXEMPLO 14.25: EXEMPLO 14.26:

30 FASORES Quando precisamos somar tensões e correntes senoidais num circuito CA Um método valido Quando precisamos somar tensões e correntes senoidais num circuito CA. Um método valido porem longo é o de traçar as duas ondas senoidais num mesmo gráfico e somar algebricamente as ordenadas em cada ponto, como mostrado na figura ao lado (c=a+b)

31 Usando a álgebra vetorial podemos mostrar que: Em (a) esta a representação fasorial de duas formas de onda senoidais. (b) obtenção da soma de duas tensões alternadas senoidais. ( esta representação mostra quando os ângulos tem fase de 0 o e 90º

32 Adição de duas correntes senoidais cuja diferença de fase não é 90º

33 Em geral, a forma de onda fasorial de uma tensão ou corrente senoidal será: Onde V e I são valores rms e θ eh o angulo de fase. Devemos lembrar que a notação de fasores as grandezas envolvidas, sempre variam de forma senoidal, e a freqüência não eh representada. A álgebra de fasores só pode ser aplicada a formas de onda senoidais de mesma freqüência EXEMPLO EXEMPLO EXEMPLO 14.32

34 CAPITULO 15 CIRCUITOS AC EM SERIE E PARALELO ELEMENTO RESISTIVO: Para um circuito puramente resistivo como o da figura ao lado: V e I estão em fase e suas amplitudes são dadas por: Em forma fasorial: Onde: Aplicando a definição de resistência e utilizando a álgebra dos fasores: Como i e v estão em fase, o ângulo associado a i deve ser também 0º. Para isto é necessário que θ R seja igual a zero. De modo que no domínio do tempo: A grandeza Z R, que tem um modulo e uma fase, é denominada impedância.

35 Exemplo 15.1: Usando a álgebra dos números complexos, encontre a corrente i no circuito da figura Faca um esboço das formas de onda de i e v.

36 Exemplo 15 2: Exemplo 15.2: Usando a álgebra dos números complexos encontre a tensão v no circuito da figura Faça um esboço das formas de onda de v e i.

37 REATÂNCIA INDUTIVA No caso do indutor vimos no cap.13 que a tensão esta adiantada de 90º em relação a corrente e que a reatância do indutor X L é dada por w L : Na forma fasorial Utilizando a definição de resistência: Em função de v estar adiantada em relação a i (devemos associar a ele uma fase inicial de 90º ) No domínio do tempo:

38 EXEMPLO 15.3: EXEMPLO 15.3: Usando a álgebra dos números complexos obtenha a corrente i no circuito da figura Faça o gráfico de v por i.

39 EXEMPLO 15.4 Usando a álgebra dos números complexos, encontre a tensão v no circuito da figura esboce as curvas de v e i.

40 Reatância capacitiva Como vimos no cap. 13 no capacitor puro a corrente i fica adiantada de 90º em relação a tensão v, e a reatância capacitiva Xc é dada por Na forma fasorial: Aplicando a álgebra fasorial e a definição de resistência: No domínio do tempo:

41 EXEMPLO 15 5: EXEMPLO 15.5: Usando a álgebra dos números complexos, obtenha a corrente i no circuito da figura Trace os gráficos de v e i. :

42 Exemplo 15.6: Usando a álgebra dos números complexos, encontre a tensão v no circuito da figura Esboce as curvas de v e i.