16/Nov/2012 Aula Circuitos RL (CC). Corrente alternada 16.1 Circuitos RL em corrente

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1 16/Nov/01 Aula Circuitos RL (CC). Corrente alternada 16.1 Circuitos RL em corrente contínua. 16. Corrente alternada (CA) Numa resistência 1/Nov/01 Aula Continuação - Corrente alternada (CA) Fasores 17. Num condensador 17.3 Numa bobina 17.4 Circuito LC sem gerador 17.5 Circuito RLC sem gerador 17.6 Circuito RLC com gerador 1

2 Aula anterior 16.1 Circuitos RL em corrente contínua Um circuito como o da figura, em que existe uma resistência e uma bobina, tem o nome genérico de circuito RL. di dt d I E I R dt L L E0 I R L 0 0 Uma equação diferencial deste tipo tem como solução: E0 R Lt t I 1 e I f 1 e R Em que I 0 f e L R E é a corrente quando t R é a constante de tempo do circuito. Circuito RL animação

3 Aula anterior 16.1 Circuitos RL em corrente contínua No circuito da figura, quando o comutador S (depois de ter estado algum tempo em e) passar a f, tem-se: di I R L 0 dt d I I R dt L Uma equação diferencial deste tipo tem como solução: I I e 0 t I0 é a corrente quando S passa a f t 0 e L R é a constante de tempo do circuito. 3

4 Aula anterior 16.1 Circuitos RL em corrente contínua Inicialmente, quando o interruptor é fechado, a bobina apresenta uma resistência infinita e a queda de potencial é máxima. Após algum tempo, a corrente torna-se constante e, portanto, a queda de potencial na bobina é igual a zero. Assim, para t=0 a bobina comporta-se como um circuito aberto (R= ) e para t= a bobina comporta-se como um curto-circuito (R=0). Este comportamento é o oposto do de um condensador. Exemplo: Circuito para t=0 para t= 4

5 Aula anterior 16. Corrente alternada A figura mostra uma bobina com N espiras que roda num campo magnético exterior. A bobina está ligada a um circuito eléctrico. O fluxo através da bobina é: m B A BNAcos NAB cost E bobina dm d ABN cost ABN sent dt dt E bobina E sent Este dispositivo produz uma f.e.m. e uma corrente que variam sinusoidalmente, alternando semi-ciclos positivos e negativos. A este dispositivo chama-se gerador de corrente alternada (ou AC). Gerador AC animação 5

6 Aula anterior Corrente alternada numa resistência Normalmente, utiliza-se a expressão E E t ou E E cos sen t. No circuito da figura, sendo E E cost EV 0 E cost V 0 R R Mas, pela lei de Ohm: E cost VR I R I I I cost R A potência dissipada na resistência será: P I R I Rcos t V R e I estão em fase 6

7 Aula anterior Corrente alternada numa resistência Normalmente, interessa conhecer a potência média dissipada na resistência ou o valor eficaz (rms) dessa potência: 1 1 I I I I rms máx máx médio Assim, a potência média dissipada na resistência será: média P I R rms V rms R 7

8 Aula anterior Corrente alternada numa resistência Determinação do valor eficaz (rms) : P média 1 0 P t dt P t I R I Rcos t Pmédia P t dt I R cos t dt 1 1 I R cos t dt I R 1 rms rms I R I R 8

9 17.1 Fasores Fasores Um método de representação conveniente para as quantidades instantâneas em circuitos AC é a dos fasores: 1) Os fasores são vectores que rodam no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio com velocidade angular. ) O módulo (comprimento) de cada fasor é proporcional ao valor da amplitude. 3) A projecção do fasor no eixo horizontal indica o valor instantâneo da variável. 4) O ângulo de rotação do fasor é igual à fase de cada variável (t neste exemplo). 9

10 17.1 Fasores Gerador de corrente alternada: E (t) = E 0 cos t, em que E 0 é o valor máximo da f.e.m. e é a frequência angular =pf, sendo f a frequência em Hz. O gerador também pode ser representado num diagrama de fasores: neste caso, E 0 é um vector que roda (no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio) em torno da origem com velocidade angular (frequência). O ângulo que o fasor faz com o eixo horizontal é, em cada instante, t. 10

11 17. Corrente alternada num condensador No circuito da figura, sendo E E cost Q E VC 0 E cost VC 0 E cost 0 C V =E cost C Q C E cost dq I C E sent I sent dt p Como sent cos, com t p I I cos t Condensador AC animação 11

12 17. Corrente alternada num condensador p I I cos t A queda de potencial no condensador está atrasada de 90º em relação à corrente: a carga Q é proporcional a V C ; o máximo de I=dQ/dt acontece quando Q=0 (e V C =0). À medida que a carga no condensador aumenta (e v C também), diminui a corrente no circuito. Como I C E X C = Reactância capacitiva I E 1 C 1 XC C V I C C X C 1

13 17. Corrente alternada num condensador X C 1 1 C p f C X C = Reactância capacitiva 13

14 17. Corrente alternada num condensador A potência dissipada no condensador será: p P VC IC E cost I cos t E I cost sent A potência média será: P média P t dt 1 I costsent dt E 1 E I cos t sen t dt

15 17.3 Corrente alternada numa bobina No circuito da figura, sendo E E cost di E VL 0 E cost VL 0 E cost L 0 dt V =E cost V cost L L di VL VL cost L dt V L d I cost dt L Integrando ambos os lados da equação: VL VL I cost dt sent IL sent L L 15

16 I I sent L 17.3 Corrente alternada numa bobina p Como sent cos, p I I cos t com t A queda de potencial na bobina está adiantada de 90º em relação à corrente: quando I=0 mas a aumentar, di/dt é máxima. Neste caso, a f.em. induzida é máxima. Quando I é máxima, di/dt = 0 e V L =0. Bobina AC animação 16

17 17.3 Corrente alternada numa bobina p I I cos t Como I L V L L I L V L X L L X L X L = Reactância indutiva 17

18 17.3 Corrente alternada numa bobina A potência dissipada na bobina será: L L E E I cost sent P V I cos t I sen t A potência média será: P média P t dt E E I cos t sen t dt I cos t sen t dt

19 17.4 Circuito LC sem gerador Um condensador carregado armazena energia mesmo quando as as cargas eléctricas não estão em movimento. Uma bobina só armazena energia quando as cargas estão em movimento. Circuito LC simulação Considere o circuito da figura. Quando o interruptor é fechado, o condensador descarrega-se, criando uma corrente eléctrica que passa na bobina. À medida que a carga no condensador tende para zero, a energia lá armazenada passa a estar na bobina. A variação do fluxo do campo magnético na bobina (porque a corrente está a diminuir) induz no circuito uma corrente com o circuito contrário, carregando o condensador e assim sucessivamente 19

20 17.4 Circuito LC sem gerador 0

21 17.4 Circuito LC sem gerador Quando o circuito é fechado em t=0, a carga armazenada no condensador começa a atravessar o circuito: I dq dt Aplicando a lei das malhas, tem-se: Q d I L 0 C dt d Q Q L 0 dt C d x m k x 0 dt d Q dt 1 Q LC d x dt k x m Eq. do movimento de uma massa m ligada a uma mola de constante k. Solução da equação: x Acos t 1

22 17.4 Circuito LC sem gerador d Q dt 1 Q LC Solução da equação: Q Acos t com 1. LC dq I Asent dt Se Q=Q e I=0 para t=0: I I sent

23 17.4 Circuito LC sem gerador A energia eléctrica armazenada no condensador é: 1 1 Q 1 Q Ue QVC cos t C C A energia magnética armazenada na bobina é: Q Um L I L Q sen t sen t C com 1. LC Q 1Q 1 Utotal Ue Um cos t sen t C C 3

24 17.5 Circuito RLC sem gerador Aplicando a lei das malhas ao circuito da figura, tem-se: d I Q L RI 0 dt C d Q dq 1 L R Q 0 dt dt C d x d x m b k x 0 dt dt Eq. do movimento de uma massa m ligada a uma mola de constante k, com atrito b. Circuito RLC simulação 4

25 17.6 Circuito RLC com gerador Aplicando a lei das malhas ao circuito da figura, tem-se: d I Q E cost L RI 0 dt C d Q dq 1 L R Q E cost dt dt C com d x d x m b m 0 x F0cos t dt dt 0 k m. Circuito RLC simulação Eq. do movimento das oscilações forçadas (força F 0 ) de uma massa m ligada a uma mola de constante k. 5