Apostila de Matemática 16 Polinômios

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1 Apostila de Matemática 16 Polinômios 1.0 Definições Expressão polinomial ou polinômio Expressão que obedece a esta forma: a n, a n-1, a n-2, a 2, a 1, a 0 Números complexos chamados de coeficientes. n Número inteiro positivo ou nulo: n não será negativo x não poderá aparecer no denominador. n não poderá ser fracionário x não poderá aparecer sob radical. O maior grau do expoente de x é o grau da expressão. Polinômio completo Todos os coeficientes são nulos. Polinômio incompleto 1 ou mais coeficientes são nulos. 2.0 Função Polinomial Funções polinomiais - : Para todo x complexo, é denominada função polinomial de grau n, em que n é um número inteiro positivo ou nulo e a n é diferente de zero. A cada função polinomial associa-se um único polinômio e vice-versa. Polinômio identicamente nulo (Pin): Os coeficientes são todos nulos. Não se define grau para ele. Se p(x) for zero x é denominado raíz de p(x). Conjunto de uma solução algébrica Conjunto solução de todas as raízes da equação. Teorema fundamental da Álgebra Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n (n 1) possui pelo menos uma raiz complexa (real ou não).

2 3.0 Operações com Polinômios 3.1 Igualdade de Polinômios Se 2 polinômios são iguais, então seus valores numéricos são iguais para todo x C. A diferença dos polinômios deve ser igual ao Pin. Polinômios de graus diferentes nunca são iguais. 3.2 Operações Simples com Polinômios Soma, subtração, multiplicação de polinômios e multiplicação de um número real por polinômio - Ocorre do jeito normal. Soma-se, subtrai-se ou multiplicamse os valores. Na soma e subtração de polinômios de graus diferentes, conserva-se o maior grau. Numa multiplicação de graus Grau (P.Q) = Grau (P) + Grau (Q). 3.3 Divisão de Polinômios Dividir 2 polinômios significa encontrar mais 2 polinômios que satisfaçam as condições: p(x) = h(x)q(x) + r(x) O grau de r(x) não pode ser igual nem maior do que o grau de h(x), ou r(x) = 0. p(x) Dividendo. h(x0 Divisor. q(x) Quociente. r(x) Resto. p(x) h(x) r(x) q(x) Método das Chaves Exemplo: Processo: Divide-se o termo de maior grau de p(x) pelo de maior grau de h(x) Obtêm-se assim o primeiro termo do quociente q(x). Multiplica-se o quociente obtido, por h(x) O resultado é colocado com o sinal trocado, sob os termos semelhantes de p(x). Somam-se os termos semelhantes, e os termos de p(x) que não têm semelhantes devem ser copiados Obtêm-se um resto parcial. Repetem-se os passos anteriores com o resto parcial obtido ate que o grau de r(x) se torne menor que grau de h(x).

3 3.3.1 Dispositivo Prático de Briot-Ruffini Obtêm-se a divisão de polinômios do tipo x a de uma maneira mais simples e rápida. O quociente q(x) será um polinômio de grau n x 1. Termo Constante do divisor, com sinal trocado Coeficientes de x do dividendo p(x) Coeficientes do quociente q(x) Termo constante do dividendo p(x) Resto Exemplo: Processo: Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo. Multiplica-se o termo repetido pelo divisor e soma-se o produto com o próximo termo do dividendo. Repete-se o processo até obter o novo termo do quociente e o resto. Divisão de p(x) = 2x³ 3x² 3x + 2 por h(x) = x + 1: 1 Repete-se o primeiro coeficiente do dividendo. 2 2 Multiplica-se o termo repetido pelo divisor e soma-se o produto com o próximo termo do dividendo = (-3) = Repete-se o processo até obter o novo termo do quociente e o resto. -1. (-5) = (-3) = = (-2) =

4 Conclui-se que: q(x) = 2x² - 5x +2 e r(x) = 0 p(x) = h(x)q(x) + r(x) 2x³ 3x² 3x + 2 = (x + 1)(2x² - 5x + 2) Teorema de D Alembert O resto da divisão de um polinômio p(x) por x a é p(a) Teorema do Fator r = p(a) Se c é uma raíz do polinômio p(x): x c é um fator de p(x). p(c) é zero. Pode-se dizer que p(x) é divisível por (x a) e (x b), com a B, se p(x) for divisível por (x a)(x b). 4.0 Decomposição em Fatores de Primeiro Grau Usando o teorema fundamental da Álgebra, pode-se provar que todo polinômio p(x) pode ser decomposto num produto de n fatores de 1ª grau. Toda equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes complexas. x 1, x 2, x 3 e x n são as raízes do polinômio. Resolver uma equação significa determinar o conjunto solução. Conhecendo uma raíz do polinômio, pode-se baixar o grau deste. Se conhecermos 1 raíz do polinômio de terceiro grau, podem-se conhecer as outras 2 raízes, baixando o polinômio para segundo grau e aplicando o Teorema de Báskara. O polinômio terá como uma das raízes 1 se a soma dos coeficientes for zero. 4.1 Multiplicidade da Raíz Toda equação de grau n pode ter no máximo n raízes distintas. Pode existir n raízes iguais O número de vezes que uma mesma raíz aparece indica a multiplicidade da raíz.

5 4.2 Raízes Complexas Não Reais Se uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes o número complexo a + bi, com b 0, então o complexo conjugado a bi também é raíz da equação. 5.0 Relações de Girard 5.1 Equação de Segundo Grau Considere a equação: Desenvolvendo o produto: Dividindo os termos por a : ax² + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ), a 0 ax² + bx + c = a[x² - (x 1 x 2 )x + x 1 x 2 ] Pela igualdade dos polinômios, tem-se que: 5.2 Equação de Terceiro Grau Considere a equação: ax³ + bx² + cx + d = a(x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ), a 0 Desenvolvendo o produto: ax² + bx + c = a[x³ - (x 1 + x 2 + x 3 )x² + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 )x x 1 x 2 x 3 ] Dividindo os termos por a :

6 Pela igualdade dos polinômios, tem-se que: 5.3 Equação de Grau n Considere a equação: Relações de Girard: Soma das raízes: Produto das raízes: Soma do produto das raízes: De 2 em 2: De 3 em 3: De 4 em 4: