O cilindro deitado. Eduardo Colli

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1 O cilindro deitado Eduardo Colli São poucas as chamadas funções elementares : potências e raízes, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas e suas inversas, funções trigonométricas hiperbólicas e mais algumas que merecem um nome especial. A partir delas podemos evidentemente construir muitas outras, fazendo uso das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, além da composição de funções. Por exemplo, e x é x elevado ao quadrado, com sinal trocado e depois exponenciado. No entanto mesmo a enorme gama de funções que podem ser definidas dessa forma não é suficiente para resolver certos problemas. Por exemplo, dada uma função f definida como uma combinação de funções elementares, pode-se escrever sua inversa f 1 como combinação de funções elementares? A resposta é não, nem sempre! O experimento do cilindro deitado ilustra como isso pode surgir num problema prático. Suponha 1

2 que queiramos determinar uma escala de volume na borda do cilindro. Na prática, podemos determinar uma escala de ângulos, variando de 0 (recipiente vazio) a π (recipiente cheio) - vide figura abaixo. É fácil ver que o volume V depende do ângulo θ segundo a relação V (θ) = l πr 1 π (θ 1 sen θ). Mas como, dado V, podemos achar θ? Não há uma fórmula para isso, porém é possível resolver o problema, para cada V, usando métodos numéricos... θ r Inversão de funções e zeros de funções Neste problema, convém adotar o volume relativo como variável. Em outras palavras, como lπr é o volume total do cilindro, usaremos v(θ) = V (θ) lπr = 1 π (θ 1 sen θ), cujo gráfico se vê na figura abaixo. 1 v v( θ) 0 π θ

3 Assim, v(θ) = 1 quando θ = π (e igual a 1 quando θ = π ). Isso também permite que as contas adotadas sejam universais, isto é, independentes do comprimento e do diâmetro do cilindro. Se quisermos por exemplo fazer uma marca no ângulo θ que corresponde ao preenchimento de 80% do volume do cilindro, teremos que resolver a equação v(θ) = 0.8. Isto é o mesmo que achar o zero (ou a raiz) da função f(θ) = v(θ) 0.8. De forma geral, isso nos dá uma receita para achar, dado v entre 0 e 1, o ângulo θ = θ(v) tal que v(θ) = v. A função θ(v) é a inversa da função v(θ)! Há vários métodos para se achar zeros de funções, porém destacase o Método de Newton, por causa de sua simplicidade e eficiência. O Método de Newton Procuramos a solução θ tal que f(θ ) = 0, mas precisamos ter pelo menos um palpite inicial para começar. Esse palpite inicial será chamado de θ 0. Em seguida, refinaremos o palpite, obtendo θ 1 que, esperamos, esteja mais próximo de θ. Sucessivamente, obteremos θ k+1 como melhoramento de θ k, com a esperança de que a seqüência de valores θ k se aproxime assintoticamente de θ. O refinamento de θ k para θ k+1 é feito da seguinte forma. Primeiro aproxima-se a função f em primeira ordem em torno de θ k : f(θ) f(θ k ) + f (θ k )(θ θ k ). Se a expressão do lado direito fosse exata, seria fácil calcular onde f se anula. No entanto, como não é, o valor de θ que anula o lado 3

4 direito é apenas mais uma aproximação de θ, que chamaremos de θ k+1. Então θ k+1 se define pela expressão isto é, f(θ k ) + f (θ k )(θ k+1 θ k ) = 0, θ k+1 = θ k f(θ k) f (θ k ). O ponto mais delicado do Método de Newton é a escolha do palpite inicial. Dependendo do valor tomado, pode ocorrer que a seqüência dos θ k não convirja, ou convirja para outro zero da função que não corresponde ao valor buscado. Aplicação do método Apliquemos o Método de Newton no exemplo do cilindro. Por exemplo, queremos achar θ tal que v(θ) = 0.6, ou seja, achar o zero da função f(θ) = v(θ) 0.6. Então montamos a fórmula de iteração do Método de Newton: θ k+1 = θ k f(θ k) f (θ k+1 ) = θ k v(θ k) 0.6 v (θ k ) Substituindo a expressão de v(θ) e manipulando a expressão obtemos 1 θ k+1 = sen (θ k) θ k cos(θ k ) + 0.6π. 1 cos(θ k ) Escolhemos θ 0 = π como chute inicial, o que numa calculadora com 10 casas decimais dá θ 0 = Usando a fórmula de iteração obtemos θ 1 = , depois θ = , θ 3 = e θ 4 = O fato de θ 4 ter dado igual a θ 3 não quer dizer que este seja o valor exato da solução. A convergência assintótica da teoria dá lugar, na prática, a esse 4.

5 tipo de fenômeno, pois com um número limitado de algarismos significativos não é possível distinguir θ k de θ k+1, a partir de um certo iterado. Exercícios 1. Suponha que a seção do recipiente que contém a água seja um triângulo, ao invés de um círculo. Calcule o volume de água em função de sua altura no reservatório. Obtenha a função inversa, isto é, a altura da água em função de seu volume.. Faça o mesmo que no item anterior com uma seção pentagonal, em vez de triangular. 3. Calcule a raiz quinta de 19, resolvendo a equação x 5 = 19 com o auxílio do Método de Newton e uma calculadora. 4. Monte a fórmula de iteração do Método de Newton para f(x) = x a (usada para extrair a raiz quadrada de a) e interprete-a em termos de médias aritméticas e geométricas. 5. Uma loja vende uma geladeira à vista por R$1000,00, mas a prazo por R$1800,00, em 5 vezes. Calcule a taxa de juros utilizada pela loja, utilizando o Método de Newton. Observações taxa de juros (por exem- para se ter em mente: seja x = plo, se a taxa é 50% então x = 1.5). Seja v o valor à vista e n o número de prestações. A loja calcula o valor total a prazo p da seguinte maneira: p = v n + v n x + v n x v n xn 1 = v n xn 1 x 1. 5

6 Pesquisar Como saber que uma função escrita como composição (finita) de funções elementares não tem uma inversa escrita como composição (finita) de funções elementares? Ou ao menos como provar que existe uma tal função? Existem funções polinomiais com essa propriedade? 6