AULA DO CPOG. Progressão Aritmética

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1 AULA DO CPOG Progressão Aritmética

2 Observe as seqüências numéricas:

3 Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo (número), a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante.

4 Observe a construção da primeira seqüência: Escolhemos um número para ser o primeiro termo da seqüência: 2 Adicionamos a ele um número qualquer e obtemos o segundo termo: Para obter os demais termos, vamos adicionando algebricamente sempre o mesmo valor ao número anterior:

5 Seqüências desse tipo, nas quais cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante, são chamadas de Progressões Aritméticas. Essa constante, que indicaremos por r, é denominada razão da P.A.

6 Assim na progressão aritmética, (2,4,6,8,...) temos r = 2 e a P.A. é dita crescente. (12,9,6,3,...) temos r = -3 e a P.A. é dita decrescente. (5,5,5,5,...) temos r = 0 e a P.A. é dita constante.

7 Termo Geral da Progressão Aritmética Vamos agora encontrar uma expressão que nos permita obter um termo qualquer de uma Progressão Aritmética (PA), conhecendo apenas o primeiro e a razão. Seja a 1 o primeiro termo e r a razão da P.A. O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a razão: a 2 = a 1 + r O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a razão: a 3 = a 2 + r Como: a 2 = a 1 + r tem-se que : a 3 = a 1 + r + r logo, a 3 = a 1 + 2r

8 O valor do quarto termo será o terceiro mais a razão: a 4 = a 3 + r Como a 3 = a 1 + 2r temos que : a 4 = a 1 + 2r + r logo a 4 = a 1 + 3r Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma PA pode ser expresso da seguinte forma: a n = a 1 + (n 1). r onde n indica a qual termo estamos nos referindo.

9 Essa fórmula poderá ser usada sempre que quisermos encontrar a n, a 1, n ou r. Veja alguns exemplos: 1) Sendo a 1 = 3 e r = -2, calcule o décimo termo. Como queremos o décimo termo temos que n = 10. Substituindo na fórmula do termo geral teremos: a 10 =3 + (10 1).(-2) a 10 = (-2) a 10 = 3-18 a 10 = - 15

10 2) Determine o primeiro termo de uma P.A. de razão 3 e 20 0 termo igual a 30. Aplicando na fórmula temos: 30 = a 1 + (20 1).3 30 = a = a a 1 = - 27

11 3) Calcule a razão da P.A. sabendo que a 1 = 5 e a 14 = Substituindo os valores na fórmula temos: - 21 = 5 + (14 1). r - 21 = r = 13. r - 26 = 13. r r = - 2

12 4) Calcule o número de termos da P.A. finita: (50,47,44,...,14). Primeiro calculamos a razão: r = Substituindo na fórmula: r = = 50 + (n 1).(-3) = (n -1).(-3) -36 = (n 1).(-3) n - 1 = -36 / (-3) 12 = n - 1 Logo, n = 13

13 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA FINITA Observe a P.A. finita: Notamos que a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

14 Consideremos a P.A. finita de razão r: (a 1,a 2,a 3,...,a n-2,a n-1,a n ) A soma dos seus termos pode ser escrita por: Portanto, S n = (a 1 + a n ) + ( a 1 + a n ) ( a 1 + a n) ) n/2 parcelas iguais a (a 1 + a n )

15 Então: S n em que: 2 a a. n 1 n * a 1 é o primeiro termo; * a n é o enésimo termo; * n é o número de termos; * S n é a soma dos n termos.

16 Veja alguns exemplos de utilização da fórmula da soma dos termos de uma P.A. 1) Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2,6,...). Nessa P.A. infinita, os 50 primeiros termos formam uma P.A. finita, na qual a 1 = 2, r = 4 e n= 50 Devemos calcular a n ou seja a 50: a 50 = = = 198 Aplicando a fórmula da soma temos: S Logo, S 50 = 5000

17 2) Em relação a seqüência dos números naturais ímpares, vamos calcular a soma dos 20 primeiros termos. A seqüência é (1,3,5,7,...) com r = 2. Calculando a 20 temos: a 20 = = Então, a 20 = 39 Assim: S Logo, S 20 = 400

18 BR dist 2011

19 Petrobras 2008 maio

20 Petrobras 2010

21 Petrobras 2010

22 PG

23 OBSERVE AS SEQÜÊNCIAS:

24 Essas seqüências foram construídas de forma que cada termo, a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por uma constante. SEQÜÊNCIAS DESSE TIPO SÃO CHAMADAS DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS. Essa constante, que indicaremos por q, é denominada razão da progressão geométrica.

25 Assim na progressão geométrica: (2,4,8,16,...) temos q = 2 e a P.G. é crescente. (-2,-6,-18,...) temos q = 3 e a P.G. é decrescente. 1 (-72,24,-8,...) temos q = e a P.G é alternante. 3 (5,5,5,5,...) temos q = 1 e a P.G. é constante.

26 FÓRMULA DO TERMO GERAL DA Progressão Geométrica Seja (a 1,a 2,a 3,...,a n ) uma P.G. de razão q. Temos: a 2 = a 1. q a 3 = a 2. q logo, a 3 = a 1.q.q a 3 = a 1.q 2 a 4 = a 3. q logo, a 4 = a 1.q 2.q a 4 = a 1.q 3

27 Continuando assim podemos perceber que qualquer termo de uma P.G. pode ser expresso da seguinte forma: a n = a 1. q n-1 Onde n indica a qual termo estamos nos referindo.

28 Exemplos de aplicação da fórmula: 1) Determine o décimo termo da P.G. (1,3,9,...) Sabemos que a 1 = 1 e q = 3. Assim, substituindo na fórmula podemos escrever: a 10 = a 10 = , portanto a 10 = 19683

29 2) Numa P.G. o 4 0 termo é igual 64 e o 1 0 termo é igual a 1. Determine a razão da P.G. e, em seguida, obtenha seu 8 0 termo. Como a 4 = a 1. q 3, temos: 64 = 1.q 3 Logo, q 3 = 64 então q = 4. Usando novamente a fórmula do termo geral, vamos determinar o 8 0 termo: a 8 = a 1. q 7 a 8 = a 8 =

30 Soma dos n primeiros termos de uma P.G. Para calcularmos a soma, usaremos a seguinte fórmula: S n a 1 q q n 1 1

31 Veja alguns exemplos: 1) Calcule a soma dos cinqüenta primeiros termos de (3,6,12,...). Substituindo na fórmula, temos: S50 3.(2 50 1) S 50 = 3.(2 50 1) 2 1

32 2) Quantos termos da P.G. (2,6,18,...) devem ser considerados para que a soma resulte em 19682? Substituindo na fórmula, temos: n n 1 = n = n = 3 9 Logo, n = 9

33 Petrobras 2008 maio

34 Petrobras 2010