Aula 6 Medidas de Tendência Central

Transcrição

1 1 Estatística e Probabilidade Aula 6 Medidas de Tendência Central Professor Luciano Nóbrega

2 Somatório Quando queremos representar uma soma de valores que obedecem à uma sequência, podemos codificá-la através da expressão: n x i Que siginifica: Soma dos valores x i i = 1 para i variando de 1 até n Exemplos: 5 a) xi i=1 9 b) 2xi i=6

3 Testando os conhecimentos 1 Utilize a notação sigma para representar as somas: a)x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 b) 3x 8 + 3x x 15 c) (x 9 + 1) + (x ) (x ) d) x 1 /2 + x 2 / x 9 /2 e) (7x 5 2) (7x 51 2) 3 n x i i = 1

4 Testando os conhecimentos 2 Escreva as parcelas das somas indicadas: 4 a) x i i=2 3 b) x i 3 i=1 5 c) (4xi - 3) 2 i=3

5 Testando os conhecimentos 3 Calcule para a tabela abaixo, o valor numérico das somas indicadas: a) i i x i f i b) x i 3 c) (xi f i ) 2

6 Medidas de Tendência Central Média aritmética É a razão entre o somatório dos valores das variáveis e a quantidade de variáveis. n n x = x i x = 1. x i i = 1 n i = 1 n

7 Média aritmética Exemplo: 1 Os valores abaixo, referem-se às notas obtidas por um aluno nas quatro provas da disciplina de estatística: 9,5; 7,0; 4,0; 2,5; Qual a média aritmética desse aluno?

8 Média aritmética Exemplo: 2 Em uma escola, trabalham 20 funcionários e seus salários estão representados a seguir: Números de funcionários 8 12 Salário (em reais) Qual é o salário médio dos funcionários dessa escola?

9 Média aritmética Média aritmética de dados agrupados Nesse caso, as frequências indicam a intensidade de cada valor da variável, ou seja, elas representam fatores de ponderação. Exemplo: x = x i f i x = f i Idade (x i ) Nº alunos (f i ) x i f i

10 Média aritmética x = x i f i f i Média aritmética de dados agrupados com intervalos de classe Nesse caso, devemos convencionar que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com seu ponto médio. x i Ponto médio da classe Exemplo: Altura (cm) f i x i x i f i x =

11 Testando os conhecimentos 4 Calcule a média aritmética em cada caso: Acidentes de trabalho no mês de agosto Acidentes por dia (x i ) Quantidade de dias (f i ) x i f i

12 Testando os conhecimentos 4 Calcule a média aritmética em cada caso: Gerenciamento de alugueis de casas Aluguel (R$) Nº de casas (f i ) x i x i f i

13 Medidas de Tendência Central Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Dados não agrupados Basta identificar o elemento de maior frequência. Exemplo: 2, 8, 3, 5, 6, 7, 9, 2, 8, 2, 5, 2, 3, 2 mo = 2 Dados agrupados mas sem Intervalos de classes É só observar a variável (x i ) correspondente a maior frequência (f i ). Exemplo: mo = 21 Idade (x i ) Nº alunos (f i )

14 Medidas de posição Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Dados agrupados com intervalos de classes Denominamos por classe modal a classe que apresenta a maior frequência. Existem vários métodos para o cálculo da moda com intervalos de classes. O método mais simples, conhecido como moda bruta, consiste em tomar como moda o ponto médio da classe modal. Exemplo: Altura (cm) f i x i Formalizando: moda bruta mo = l* + L* Aqui, 2 mo = = 190 2

15 Medidas de posição Moda (mo) É o valor de maior frequência em um conjunto de dados. Classificação modal Bimodal É quando os dados observados possuem duas modas; Exemplo: 2, 2, 2, 5, 8, 8, 8, 1, 3, 5 mo = 2 mo = 8 Trimodal É quando os dados observados possuem três modas; Exemplo: mo = 18 mo = 19 mo = 21 Idade (x i ) 18 8 repetições repetições repetições 8 Nº alunos (f i ) Polimodais Genericamente, é assim que denominamos quando os dados observados possuem mais que três modas. Amodal É como denominamos uma distribuição sem repetições.

16 Medidas de posição Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série. Dados não agrupados Inicialmente, devemos ordenar os elementos em ROL; Em seguida, determinar a quantidade total n de elementos; E então: Se n é ímpar A mediana é o termo que ocupa a posição [ (n + 1) /2]º Exemplo: 2, 8, 3, 5, 6, 9, 2, 8, 2, 5, 2, 3, 2 Em ROL: n = 13 md = (13 + 1) /2 md = 7º termo md =

17 Medidas de posição Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série. Dados não agrupados Inicialmente, devemos ordenar os elementos em ROL; Em seguida, determinar a quantidade total n de elementos; E então: Se n é par A mediana é convencionada como sendo a média dos valores centrais do ROL. md = [( n /2)º+ ( n /2+ 1)º]/2 Exemplo: 2, 8, 3, 5, 6, 7, 2, 8, 2, 5, 2, 3, 2, 9 Em ROL: n = 14 md = (7º + 8º)/2 OBS: O valor da mediana pode coincidir ou não com um dos elementos da série. md = (3 + 5) /2 md = 4

18 Medidas de posição Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série. Dados agrupados mas sem classes Inicialmente, devemos construir a coluna da frequência acumulada (Fi); Em seguida, utilizar o mesmo procedimento para dados não agrupados para determinar a posição do elemento mediano. Exemplo: Idade (x i ) Nº alunos (f i ) Freq. Acum. (F i ) Total 25 //////////////////// n = 25 (ímpar) md = (25 + 1) /2 md = 13º termo O 13º termo está na 3ª classe, portanto a mediana é 20.

19 Testando os conhecimentos 1 Calcule a média, a moda e a mediana da série: x i f i x i f i F i Total

20 Medidas de posição Mediana (md) É um valor real que separa o ROL ao meio. Em outras palavras, a mediana é o valor que ocupa a posição central de uma série. Dados agrupados com intervalos de classes Precisaremos utilizar a fórmula: md = lmd + n /2 - Fant. h Altura (cm) f i F i fmd Para entendermos de onde vem essa fórmula, vejamos o seguinte exemplo: 1º) Determinamos a classe mediana fi = 24 = 12 ou seja, entre 12 e A classe mediana é a 3ª classe, pois é ela que contém as posições 12 e 13.

21 Medidas de Tendência Central Dados agrupados com intervalos de classes Precisaremos utilizar a fórmula: md = lmd + n /2 - Fant. h 1º) Determinamos a classe mediana fi=12 2 Altura (cm) f i F i fmd Frequência da classe mediana. 2º) Decompomos a classe mediana uniformemente na quantidade de elementos da classe; 3º) Calculamos md md = x md 185 Ou seja: = md = x Limite inferior da classe mediana; md = x = Metade dos elementos da série; Frequência Acumulada Anterior; Amplitude da classe;

22 Testando os conhecimentos 2 Calcule a média, a moda e a mediana da série: Classes f i x i x i f i F i md = lmd + n /2 - Fant. h fmd x = xifi fi