Soluções Comentadas das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão à Escola Naval - PSAEN

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1 Soluções Comentadas das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão à Escola Naval - PSAEN Questão 1 Concurso 000/001 Num triângulo retângulo, a hipotenusa é o triplo de um dos catetos. Considerando α o ângulo agudo oposto ao menor lado, podemos afirmar que tg α + sec α é igual a: a) 6 b) 11 1 c) d) 11 e) 1 + Seja o triângulo do enunciado de lados a, b e c, em que a é a hipotenusa e b e c são os catetos, sendo b > c. Hipótese 1: A hipotenusa é o triplo do cateto b, ou seja, a = b. Teremos a figura abaixo: c b = a Calculando tg α + sec α encontramos: c b tg α + sec α = + b b Como o triângulo é retângulo, vale o Teorema de Pitágoras: O que nos dá: b b = b + c α c 9b b = c b = 8 Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados desta equação (podemos descartar os módulos, pois b e c são ambos positivos): c Voltando na expressão inicial: b = 1

2 Não há opção. tg α + sec α = c c + tg α + sec α = + Hipótese : A hipotenusa é o triplo do cateto c, ou seja, a = c. Teremos a figura abaixo: Calculando tg α + sec α encontramos: c c tg α + sec α = + b b Como o triângulo é retângulo, vale o Teorema de Pitágoras: O que nos dá: c = b + c b 9c c = b c = 8 Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados desta equação (podemos descartar os módulos, pois b e c são ambos positivos): b c = Voltando na expressão inicial: b tg α + sec α = tg α + sec α = b Racionalizando: tg α + sec α = tg α + sec α = tg α + sec α = Opção C Questão Sejam u = ( 1,1, 0) e v = ( 1, 0,1) θ (u + v), então o valor de sen é: a) 0 b) 1 vetores no c) R. Se θ é o ângulo entre os vetores (u v) d) e) 1 e

3 Primeiro calcularemos os vetores (u v) e (u + v) : i j k 1) (u v) = det Usando a regra de Sarrus: i j k det = i j 0 + ( 1) 0 k 1 1 k i + 1 ( 1) j Portanto, i j k det = i + j k Ou seja, (u v) = i + j k = ( 1,1, 1) ) (u + v) = ( 1 + 1,1 + 0,0 + 1) (u + v) = 1,1, Sabemos que: wi t = w t cos θ Fazendo (u v) = w e (u + v) = t teremos: (u v) i(u + v) = ( 1,1, 1) i ( 1,1, ) (u v) i (u + v) = ( 1) (u v) i (u + v) = 0 Quando o produto escalar entre dois vetores é nulo quer dizer que eles são perpendiculares, logo θ = 90. Daí: 90 1 sen = sen 0 = Opção B Questão Os átomos de uma molécula de determinada substância química se dispõem sobre os vértices de um poliedro convexo, cuja soma dos ângulos de todas as faces vale, graus. Sabendo que o poliedro tem 90 arestas, o menor inteiro que se deve somar ao número de faces para obter um quadrado perfeito é: a) 1 b) c) 7 d) 8 e) 17 A soma S dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer é dada por: S = ( n ) 180

4 Seja f o número de faces que são triângulos, f o número de faces que são quadrados, etc. Ou seja, f n é o número de faces de n lados. Então: f f f f n 180 = S n T Equivale a soma de todos os ângulos de todas as faces. Para todos os poliedros convexos vale a relação: f + f + f nfn = A Em que A é o número de arestas do poliedro. Da primeira relação: f f f n f 180 =, Colocando 180 em evidência: n 180 f + f + f n f =, n, f + f + f ( n ) fn = 180 Temos então o sistema:, f + f + f ( n ) fn = 180 f + f + f nfn = 180 Subtraindo a segunda equação da primeira:,088 10, f + f + f fn = 180 ( f + f + f fn ) = Portanto:, f f + f fn = f + f + f fn = 60 f + f + f fn = Ou seja, basta somar e teremos 6, um quadrado perfeito. Opção B Questão Dividindo-se ( x x + mx + 8), onde m R, por ( x ) Qual o polinômio que representa o quociente da divisão de ( x 7x ) a) x + x + 1 b) x + x 1 c) x + x 1 d) x + x + 1 e) x x obtém-se resto igual a ( 6) + por Podemos usar o teorema do resto. Seja P ( x) ( x x mx 8) P ( ) : P = + m + 8 x m?. = + +, calculando

5 P ( ) = ( 8) m + 8 P ( ) = 16 m + 8 P ( ) = m 1 Usando o teorema do resto: m 1 = 6 m = 6 m = 6 m = Agora podemos usar o algoritmo de chave (ou o de Briot-Ruffini) para encontrar o polinômio procurado: x 7x + x + x 6x x x + 1 6x 7x + 6x + 9x x + x 0 Opção E Questão x 0 Considere a equação matricial 1 y = 0 1 z 1 a b 11c vale: podemos afirmar que. Se ( a,b,c ) é a solução desta equação, a) b) 1 c) 0 d) 1 e) Vamos escalonar a matriz para resolver o sistema linear escrito na forma matricial. Primeiro multiplicamos a linha por 1 e somamos com a linha : Agora multiplicamos a linha por 1 e somamos com a primeira linha: Finalmente multiplicamos a terceira linha por e somamos com a segunda linha: Voltando à equação matricial:

6 1 1 1 x 0 x + y + z = y = 0 y + 6z = z 1 10z = 1 O que nos dá: 1 z = 10 Substituindo na segunda equação: 1 y + 6 = 0 10 y = y = 10 Substituindo na primeira: 1 x + + = 0 x = a b 11c teremos: Calculando Questão a b 11c = 11 = = = Opção C 1 cos α Sabendo que log10 = 1 + cos α α, podemos afirmar que tan a) 1 b) 10 c) 10 d) é igual a: 10 e) 10 Sabemos que: Então: Fazendo Isolando y x = : y cos teremos: cosx = cos x sen x cosx = cos x 1 cos x cosx = cos x 1 cos y = cos 1 y y cos y + 1 cos = 6

7 y Curso Mentor Partindo de cos y = cos 1 podemos escrever: y cos y = 1 sen 1 y Isolando sen teremos: y y 1 cos y cos y = sen 1 sen = Divindindo estes resultados teremos: y 1 cos y sen = y cos 1 + cos y sen x Como tg x = : cos x y 1 cos y y 1 cos y tg = tg = 1 + cos y 1 + cos y Voltando ao enunciado: 1 cos α α log10 = log10 tg = 1 + cos α Aplicando a definição de logaritmo: α tg = 10 Aplicando a raiz quadrada de ambos os lados: α tg = 10 Opção D Questão 7 Um tanque cônico circular e reto está sendo construído em uma unidade naval e deverá armazenar 9π litros de água. Sabendo que o raio de sua base, a sua altura e a sua geratriz, nesta ordem, estão em progressão aritmética, pode-se dizer que a altura do tanque, em metros, mede: a),6 b), c), d) 1,8 e) 1, Seja r o raio da base, h a altura e g a geratriz do cone, podemos então escrever: g = h + r Mas de acordo com o enunciado temos a seguinte P.A.: r,h,g Das propriedades das P.A. s: h r = g h h = g + r Sabemos que o volume é dado por: 7

8 1 1 V = πr h π r h = 9π Substituindo a segunda equação na primeira: g + r g = + r g + gr + r g = + r g = g + gr + r + r g gr r = 0 ( r) ( r ) = = r + 60r = 6r r + 8r 10r r g1 = g1 = g1 = ( r) ± 6r 6 6 g1, = r 8r 6r g = g = g = r 6 6 Como g e r são positivos a segunda solução não é válida. Logo: r g = Voltando à equação: r 8r h h = g + r h = + r h = r = Substituindo na equação do volume: 1 1 h 9 π r h = 9π h = 9 h = Vamos fatorar o 9: 9 = Então: h = h = h = h = dm h =, m Opção B Questão 8 A reta que passa pelo centro da elipse x x y + 1 = 0 tem equação dada por: a) y + x = 0 b) y + x 6 = 0 c) y + x = 0 d) y x + 6 = 0 x + y x + 8y + 1 = 0 e pelo vértice da parábola 8

9 e) y x + 8 = 0 Primeiro vamos reescrever a equação da elipse para evidenciar seu centro: x + y x + 8y + 1 = 0 Completando os quadrados: O centro, portanto, da elipse é x y = 0 x 1 + y + = x 1 + y + 1 = ( x 1) ( y + 1) x 1 + y + 1 = + 1 = 1 E 1, 1. Vamos agora tratar a equação da parábola: x x y + 1 = 0 y = x + x 1 x + x 1 y = x y = x + 6 As coordenadas do vértice de uma parábola são dadas por: b ( x v,y v ) =, a a 1 6 x v,y v =, ( x v,yv ) =, x,y =, ( v v ) e Queremos a reta que passa pelos pontos E ( 1, 1) 9 V,. Então, calculando o coeficiente angular: y y 0 ( 1) m = m = m = x x0 1 Voltando na equação anterior e substituindo m e um ponto qualquer da reta: y y y 0 ( 1) m = = x = y + 1 x x0 x 1 y x + 6 = 0 Opção D

10 Questão 9 ANULADA Questão 10 Um aspirante ganhou, em uma competição na Escola Naval, quatro livros diferentes de Matemática, três livros diferentes de Física e dois livros diferentes de Português. Querendo manter juntos aqueles da mesma disciplina, concluiu que poderia enfileirá-los numa prateleira de sua estante, de diversos modos. A quantidade de modos com que poderá fazelo é: a) 8 b) 7 c) 19 d) 86 e) 178 Seja M1MMM o grupo de livros de matemática; FF 1 F, o grupo de livros de física; PP 1, o grupo de livros de português. Cada um deles pode permutar entre si e podemos ter a permutação dos três grupos sem misturar os livros: [ M1MMM ][ FF 1 F ][ PP 1 ] =!!!! = 6 6 = 178!!! Questão 11 Seja y f ( x)! Opção E = uma função real cujo gráfico está representado abaixo. Nas proposições abaixo, coloque C na coluna à direita quando a proposição for certa e E quando for errada: I f ( x ) é positiva e contínua x [,] II f ( 0) = f ( ) = 0 e f III f > 0 e f ( x) = x ],[ IV f ( x ) é crescente x ], [ ] 0, [ ], [ 10 =

11 V + x lim f(x) = e lim f(x) = x Lendo a coluna da direita de cima para baixo encontramos: a) EEECC b) ECECE c) EEECE d) CCEEE e) CCCCE Vamos analisar cada afirmativa: I) Errada. Para x = a função é nula. f =. II) Errada. III) Errada. f '( ) não está definida, pois há uma descontinuidade na função nesta ponto. VI) Correta. Uma função é crescente se, e somente se, temos que: x > x f ( x ) > f ( x ) 1 1 V) Correta. Basta aplicar a definição de limite. Questão 1 11 Opção A Seja P o ponto de interseção da reta de equações paramétricas x = t + 1, y = t e z = t + com o plano xy. Qual é a distância do ponto P ao centro da esfera de equação x + y + z = x y + z? a) b) c) d) e) 1 Vamos encontrar o centro da esfera: x + y + z = x y + z O centro E da esfera é, portanto: x x + y + y + z z = 0 x y z = 0 x 1 + y z = 6 E ( 1, 1, ) Vamos agora encontrar o ponto P. A interseção de um reta com o plano xy se dá quando z = 0. Podemos achar então o parâmetro t: x = t + 1 x = t + 1 x = t + 1 x = y = t y = t y = t y = 1 z = t + 0 = t + t = O ponto P tem coordenadas: A distância entre os pontos: P (,1,0 ) d = x x + y y + z z d =

12 d = + + d = 1 d = Opção D Questão 1 ANULADA Questão 1 A reta tangente à curva de equação a) 0y + 9x = 7 b) y x = c) y + 1x = 1 d) 0y 9x = e) y x = 7 x y + = 1 no ponto 9 P, 1 é dada por: Em primeiro lugar, vamos isolar y na equação dada: y x = 1 9 x y = 9 1 x x y = ± 9 1 y = ± 1 Derivando y em relação à x teremos: x 1 x x x x y = ± 1 y' = ± 1 y' = ± 1 x y' = ± x 1 Como o ponto P está no primeiro quadrante, só precisamos considerar a derivada negativa - que corresponde a um coeficiente angular de uma reta decrescente. Basta observar a figura abaixo para ter uma interpretação mais geométrica: 1

13 y 0 x Repare que há realmente duas tangentes para x =, mas somente uma pertence ao primeiro quadrante. Sendo assim: x 9 y' = y' = y' = x x= y' = y' = y' = y' = 16 0 Precisamos agora encontrar a equação da reta de coeficiente angular igual a que passa pelo ponto P: 1 y 9 = 0 x 9x 7 = 0y 8 0y + 9x 7 = 0 9 m = e 0 Opção A Questão 1 Um navio da marinha do Brasil utiliza em sua praça de máquinas uma peça de aço maciça com a forma de um paralelepípedo retangular de dimensões a, b e c, transpassado por um furo hexagonal, como mostra a figura abaixo. Sabendo que a = 1 dm, b = 1 dm, c 10 = e que o perímetro da seção transversal (hexágono) do furo é dm, pode-se dizer que o volume da peça é: 1

14 c b a a) inferior a.000 dm b) superior a.000 dm e inferior a.00 dm c) superior a.00 dm e inferior a,00 dm d) superior a.00 dm e inferior a.000 dm e) superior a.000 dm Primeiro calculamos o volume do paralelepípedo: V = abc p Vp = Vp = 100 dm A parte retirada é um prisma de base hexagonal de perímetro dm, o que nos dá uma aresta de dm. O volume desse prisma é dado pela expressão: Subtraindo os volumes: Como 1,7... teremos: V = 6 1 Área de 6 triângulos equiláteros de lado V = 60 dm Vp V = Vp V = 170 V V = 01, 68 dm p Opção A 1