1 PONTOS NOTÁVEIS. 1.1 Baricentro. 1.3 Circuncentro. 1.2 Incentro. Matemática 2 Pedro Paulo

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1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA PLANA VIII 1 PONTOS NOTÁVEIS 1.1 Baricentro O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo. Na figura abaixo, é o ponto médio do lado, é o ponto médio do lado e é o ponto médio do lado. Assim,, e são as medianas do triângulo. As três medianas se encontram no ponto, que é o baricentro do triângulo. Figura 3 circunferência inscrita no triângulo 1.3 Circuncentro Figura 1 baricentro do triângulo O circuncentro é o encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo. Na figura abaixo, é a mediatriz do lado, é a mediatriz do lado e é a mediatriz do lado. As três mediatrizes se encontram no ponto, que é o circuncentro do triângulo. O baricentro possui uma propriedade notável: ele divide cada mediana de modo que o segmento que liga o baricentro ao ponto médio é metade do segmento que liga o baricentro ao vértice oposto. Na figura 1, e ; 1.2 Incentro O incentro é o encontro das bissetrizes dos ângulos de um triângulo. Na figura abaixo, é a bissetriz do ângulo, é a bissetriz do ângulo e é a bissetriz do ângulo. As três bissetrizes se encontram no ponto, que. Figura 4 circuncentro do triângulo Uma propriedade muito importante da mediatriz de um segmento é que todos os seus pontos têm a mesma distância de e de. Vamos estudar o ponto. Ele está na reta (que é mediatriz de ), logo. Ele também está na reta (que é mediatriz de ), logo. Então pode-se concluir o seguinte: Assim, podemos traçar uma circunferência de centro e que passa pelos vértices. Essa circunferência está circunscrita ao triângulo e está ilustrada na figura abaixo: Figura 2 incentro do triângulo Assim, como os baricentro, o incentro possui uma propriedade notável: ele é o centro da circunferência interna que tangencia os três lados do triângulo. Essa circunferência está inscrita ao triângulo e está ilustrada na figura abaixo: Figura 5 circunferência circunscrita ao triângulo CASD Vestibulares Geometria 1

2 Observação: em todo triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa (que é o diâmetro da circunferência circunscrita). Observe a figura abaixo: 3 ÁREA DO TRIÂNGULO A maneira mais famosa de calcular a área de um triângulo envolve a sua base e a sua altura, como está ilustrado na figura abaixo: Figura 8 área do triângulo de base e altura Figura 6 circunferência circunscrita ao triângulo retângulo Como é um diâmetro, o arco vale. Assim, como o ângulo é inscrito e enxerga o arco,. Assim, é hipotenusa de. Além disso, como, é o ponto médio de, isto é, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. Nesse caso, a área do triângulo é: Em particular, é MUITO importante saber a fórmula da área de um triângulo equilátero de lado. Observe a figura abaixo: 1.4 Ortocentro O ortocentro é o encontro das alturas de um triângulo. Na figura abaixo, é perpendicular ao lado, é perpendicular ao lado e é perpendicular ao lado. Assim,, e são as alturas do triângulo. As três alturas se encontram no ponto, que é o ortocentro do triângulo. Figura 9 área do triângulo equilátero de lado Figura 7 ortocentro do triângulo Observação: o triângulo é chamado de triângulo órtico. 2 CASOS PARTICULARES Se o triângulo é isósceles de base, a mediatriz do lado também é mediana, altura e bissetriz; Como é um triângulo equilátero, a altura também é uma mediana (além de ser mediatriz e bissetriz). Assim,. Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo : ( ) Logo a altura do triângulo equilátero é. Substituindo a altura na fórmula da área do triângulo: Se o triângulo é equilátero, então cada uma de suas mediatrizes também é mediana, bissetriz e altura. Por isso, o circuncentro, baricentro, incentro e ortocentro coincidem no mesmo ponto ); 2 Geometria CASD Vestibulares

3 Exercício Resolvido 1: O ângulo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos e mede. Qual o valor do ângulo? Resolução: A figura do problema é a seguinte: Exercício Resolvido 2: Em um triângulo retângulo, o ângulo formado pela altura e pela bissetriz relativas à hipotenusa é. Quanto vale o maior dos ângulos agudos desse triângulo? Resolução: A figura do problema é a seguinte: Figura 10: figura do exercício resolvido 1 Na figura 10, e e são as bissetrizes dos ângulos e, respectivamente. Chamando de e de, tem-se: Figura 12: figura do exercício resolvido 2 Na figura 12, e são a altura e bissetriz relativas à hipotenusa, respectivamente. Então, como, tem-se: Atualizando a figura 12 com esses ângulos, tem-se: Figura 11: figura 10 atualizada com os ângulos No triângulo : No triângulo : e Figura 13: figura 12 atualizada com os ângulos e Agora vamos aplicar a soma dos ângulos internos nos triângulos e. De, tem-se: No triãngulo : De, tem-se: No triãngulo : Logo o maior ângulo agudo do triângulo. é Resposta: O ângulo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos e é Resposta: O o maior dos ângulos agudos desse triângulo é CASD Vestibulares Geometria 3

4 Nível I EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8. (PUC-RJ - 99) Seja um triângulo equilátero de lado em que é o ponto de encontro das alturas. Quando mede o segmento? 1. Atividade Proposta nº 3, Geometria Plana VIII 2. é o baricentro do triângulo abaixo. Calcule. 9. (PUC-MG - 97) Na figura, o triângulo é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro e raio. é altura do triângulo. Sendo ponto de tangência, a medida de, em centímetros, é: 3. Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana VIII 4. Atividade para Sala nº 4, Geometria Plana VIII 5. (UNESP - 13) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto, dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda. a) b) c) d) e) 10. Seja um triângulo equilátero de lado. Calcule o raio do círculo circunscrito e o raio do círculo inscrito a esse triângulo. 11. Na figura abaixo, e o ângulo é o triplo do ângulo. Determine a medida de. Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é a) b) c) d) e) Nível II 6. Na figura,, o ponto é o incentro do triângulo e a medida do ângulo é. A medida do ângulo, em graus, é: 12. Atividade Proposta nº 10, Geometria Plana VII 13. Sendo o ortocentro de um triângulo e, determine. 14. (UFC - 02) Na figura a seguir, temos dois triângulos equiláteros e que possuem o mesmo baricentro, tais que,, e, Se a medida dos lados de é igual a e a distância entre os lados paralelos mede, então a medida das alturas de é igual a: a) b) c) d) e) 7. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana VIII a) b) c) d) e) 15. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana VIII 4 Geometria CASD Vestibulares

5 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 1. Usando a propriedade do baricentro: 8. No triângulo equilátero,. Como : Além disso,. Logo: No triângulo equilátero, as alturas também são medianas. Assim, se é o encontro das alturas (ortocentro), também é o encontro das medianas (baricentro). Seja o ponto médio de. Então 2. Usando a propriedade do baricentro, tem-se: 3. está situado à mesma distância das três casas, logo. Assim, é o centro da circunferência que passa por, e, logo é o centro da cirrcunferência circunscrita ao triângulo 4. Mesma idéia da questão anterior 5. Para encontrar o centro da moeda circular, basta marcar três pontos, e na circunferência descrita pela moeda. Basta traçar a mediatriz do segmento, a mediatriz do segmento e marcar o ponto onde e se encontram. Isso ocorre porque o centro da moeda é o circuncentro do triângulo, que é o encontro das mediatrizes do triângulo O ponto é o centro da circunferência inscrita no triângulo, logo. No triângulo equilátero, todos os pontos notáveis são coincidentes. Assim, se, também é o baricentro do triângulo. Além disso, como é altura, também é mediana. Como o círculo de centro tem raio, No triângulo equilátero,. Como é altura: é ângulo externo ao triângulo 7. é a mediana relativa à hipotenusa, logo vale a metade da hipotenusa. Então: de é mediana do triângulo, logo é ponto médio. Então: CASD Vestibulares Geometria 5

6 10. A figura do problema é a seguinte: 12. e são pontos médios de e, respectivamente, então é base média do triângulo (de base ). Então: equilátero, então, logo o triângulo é, logo é a altura relativa ao lado Como é um triângulo equilátero, todos os pontos notáveis são coincidentes. Assim, é o encontro das medianas (baricentro), é o centro da circunferência inscrita (incentro), centro da circunferência circunscrita (circuncentro) e encontro das alturas (ortocentro). Assim, tem-se que e tanto é altura como mediana. Da propriedade de baricentro, tem-se: 13. Sejam e as alturas relativas aos lados e, respectivamente. Como é o ortocentro do triângulo, e se cortam em. Além disso,. Neste problema,. Então: 11. Sejam e. Então: Como, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) 6 Geometria CASD Vestibulares

7 14. Sejam o baricentro dos dois triângulos, a altura relativa ao lado e a altura relativa ao lado. Sejam a altura do triângulo e a altura do triângulo. Então e A distância entre os lados paralelos e é. Mas essa distância é. Logo: Como é a altura do triângulo equilátero de lado : 1. A 2.,, 3. C 4. A 5. A GABARITO 6. C 7. B A C B 15. E é paralelo a e são ângulos alternos internos (o triângulo é isósceles). Seja é paralelo a e são ângulos alternos internos (o triângulo é isósceles). Seja O perímetro do triângulo é CASD Vestibulares Geometria 7