Sistema ELITE de Ensino IME /2014 COMENTÁRIO DA PROVA

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1 Sistema ELITE de Ensino IME - 01/01 1 COMENTÁRIO DA PROVA 01. O polinômio P() = possui raízes compleas simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes compleas. Determine todas as raízes do polinômio. Agrupando dois a dois os termos do polinômio, temos: ( ) Logo: P ( )( 10 81). Resolvendo a equação biquadrada: , fazendo y =, y + 10y + 81 = 0, Cujas raízes são: 5 1i Tomemos a e b tais que: a bi 5 1i a b abi 5 1i, logo: a b 5, logo ab 1 a = 7 e b =, De onde temos as seguintes soluções para a equação biquadrada: { 7 i, 7 i, 7 i, 7 i} Para conjunto solução do polinômio teremos: {, 7, i 7, i 7, i 7} i 0. Calcule o determinante abaio, no qual cis e i i i 1 i 1 i i i cis cis i i 1 i 1 i i i Substituindo a ª coluna por ela mais a 1ª coluna, obtemos:

2 Sistema ELITE de Ensino IME - 01/ i i i i Substituindo a ª linha por ela menos a 1ª linha obtemos: 1 1 i i i Aplicando Laplace na ª coluna, temos: i i pois Determine o(s) valor(es) de, inteiro(s) e positivo(s), que satisfaz(em) a equação y 1 y z y 1 z0 y 1 z 0 y z y. y 1. y...1 y! y 1 y z y! 1!!!...! y1z 0 y1 Queremos resolver a equação Supondo 5 temos: y! 1!!!! y! 10k y1 y5 1!!!...! termina em o que é IMPOSSÍVEL. Logo,. a 1 1 y! 1! V 1 y 1 b y! 1!! F y 1 c y! 1!!! 9 V y 1 d y! 1!!!! F y 1 Resposta: 1 ou

3 Sistema ELITE de Ensino IME - 01/01 0. Resolva a equação (log sen ).(log sen ) cos cos Analisando as restrições para que a equação esteja bem definida, temos: sen 0 cos 0 0, (1º quadrante) cos 1 Voltando à equação, temos: 1.logcos sen..logcos sen logcos sen logcos sen 1º Caso: log sen sen cos 1 sen cos sen sen 1 0 sen ou sen 5 1 Esta última não serve pois sen > 0. Portanto k. arcsen( ) k. º Caso: 1 1 logcos sen sen, mas 0 sen 1 e 1, logo, não temos solução cos cos nesse caso. 05. Seja ABCDA'B'C'D' um prisma reto de base retangular ABCD. Projeta-se o ponto médio M da maior aresta da base sobre a diagonal AC, obtendo-se o ponto P. Em seguida projetase o ponto P na face oposta, obtendo-se o ponto N. Sabe-se que NA NC k. Determine o comprimento da menor aresta da base. Olhando para o triângulo ANC, temos: AN NC NP AP NP PC AP PC AP PC ( AP PC),

4 Sistema ELITE de Ensino IME - 01/01 Logo k AP PC. AC Agora olhemos para o triângulo ABC Vemos que ABC APM, temos AB AP AB AP, AB AC AC E como PC AC AP, temos: AP PC AP AC AB AC, Então AC AB., De onde tiramos: k AC AC AB AC BC AC BC k. 06. Calcular o valor da epressão abaio algarismos 0 algs "1" 0 algs "0" obs.: algs = algarismos A A B 10 1 B 0 Algs 0 Alg s

5 Sistema ELITE de Ensino IME - 01/ A B A B 0 Alg s "" O lado BC de um triângulo ABC é fio e tem comprimento a. O ortocentro H do triângulo percorre uma reta paralela à reta suporte de BC e distante a da mesma. a) Determine o lugar geométrico do ponto A quando H varia. b) Determine o valor mínimo da área do triângulo ABC quando A e H estão no mesmo semi-plano definido pela reta suporte de BC. a) Considere um sistema de eios cartesianos com origem em B e eio sobre o lado BC. a Temos que B 0,0, Ca,0, H, A, y. e Observe que os vetores BH e AC são ortogonais, logo a ay BH. AC 0,. a, y 0 a 0 e 0e a. y (*), 0, a. Assim, o lugar geométrico é a parábola descrita pela a equação (*), ecetuando-se os pontos B e C. b) A função área será ay. a A a a

6 Sistema ELITE de Ensino IME - 01/01 6 Para A e H no mesmo semiplano definido pela reta BC a a valor máimo quando, A. má Contudo, não admite valor mínimo., temos que 0, a e esta admite 08. Um professor dá um teste surpresa para uma turma de 9 alunos, e diz que o teste pode ser feito sozinho ou em grupos de alunos. De quantas formas a turma pode ser organizar para fazer o teste? (Por eemplo, uma turma de alunos pode ser organizar de formas e uma turma de alunos pode se organizar de 10 formas) Solução 1: Eistem as seguintes hipóteses: 0 duplas de alunos: 1 maneira. 1 dupla de alunos: C 9 = 6 maneiras. C9C duplas de alunos: 9 78 maneiras.! duplas de alunos: duplas de alunos: C9C7C maneiras.! 6 C9C7C5C maneiras.! Total = = 60 maneiras. Solução : Seja X n o número de maneiras de organizar a turma com pessoas para fazer o teste. Temos que X = e X = 10. Por outro lado, o enésimo aluno pode fazer a prova sozinho ou em dupla, portanto Como X = e X = 10 X 5 = 10 + = 6 X X 5X X X 6X X X 7X X X 7X Concluímos que há 60 maneiras de organizar a turma de 9 alunos para fazer o teste.

7 Sistema ELITE de Ensino IME - 01/ Resolver o sistema de equações y log y 8 5. y log y y y 8 5. A B y A 0 e B 0 A B y log y log y A 0 e B 0 A B y A B z 0 0 impossível z z z z z impossível z y S, 10. Sejam p o semiperímetro de um triângulo, S sua área, r e R os raios de suas circunferências inscrita e circunscrita, respectivamente. Demonstre que vale a seguinte desigualdade p S r. R 9 7 Sejam a, b, c as medidas dos lados do triângulo. Pela desigualdade das médias (a, b, c positivos), temos, p a b c 8p p abc abc 1 1 abc abc.. rr S.. rr rr 7 7 p R rp S Assim, p rr (1). 7 Sejam agora, A, B, C as medidas dos ângulos internos do triângulo, em radianos. Pela lei dos senos, temos, p a b c R(senA senb senc) Como A, BC, ]0, [ e a função f() = sen é côncava em ]0, [, pela desigualdade de Jensen, sena+senb+senc sen A B C sen.

8 Sistema ELITE de Ensino IME - 01/01 8 Assim, p sena+senb+senc S (pr) r.. r R r.. R. rr ou seja, 9 S rr (). Desta forma (1) e () provam que p S rr. 9 7 Componentes: 1. Luciano Castro. Marcelo Xavier. Ricardo Secco. Arnaldo Junior 5. Renato Madeira 6. Gilberto Gil 7. Rafael Sabino 8. Haroldo 9. André Felipe 10. Rodrigo Menezes 11. Jean Pierre 1. Ravi Ramos