Equação e Inequação do 2 Grau Teoria

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1 Equação e Inequação do Grau Teoria Candidato segue um resumo sobre resolução e discussão de equações e inequações do grau. Bons Estudos! Equação do Grau Onde Uma Equação do Grau é sentença aberta do tipo a b c =. * a IR, b ec IR. Uma Solução de uma Equação do Grau é um valor da variável que dá valor verdadeiro à sentença. E.: = é uma solução para a equação 7 =, pois, () 7() = 9 =. O Conjunto Solução ou Conjunto Verdade de uma Equação é o conjunto de todos os da variável que dão à sentença valor verdadeiro. O Conjunto Solução ou Conjunto Verdade de uma Equação do Grau é um conjunto com no máimo elementos. Solução: Sejam * a IR, b e c IR então a b c = b c a = a a b b c a = a 4a a b b 4ac a = a 4a Fazendo b 4ac = temos a b a b a = 4a 4a Discussão da equação: =

2 < A equação não possui raízes reais S = {} b = A equação possui duas raízes reais e iguais, pois = = = a b a b S = a b b > A equação possui duas raízes reais e desiguais, pois = = a 4a a a b = a ou b = a b S = a b, a Eemplo: 5 6 = a = b = 5 c = 6 = ( 5) Logo ou ( 5) = () ( 5) = () S = {, }. Eemplo: 8 6 = a = b = 8 c = 6 = ( 8) Logo 4()(6) = > = = 4()(6) = = S = ( 8) = () { 4 }. = 4

3 Eemplo: = a = b = c = = ( ) 4()() = < S = {}. Inequação do Grau Onde seja, Uma Inequação do Grau é sentença aberta que pode ser dos seguintes tipos: * a a a a b c <, b c, b c >, b c. a IR, bec IR. Repare que uma Inequação do Grau nada mais é do que uma análise de sinal de uma Função do Grau, ou f : IR IR a f () = a b c, a. A análise do sinal de uma Função do Grau é feita de acordo com o sinal do parâmetro a e do. Caso : a >.. a > e > :

4 .. a > e = :.. a > e < :

5 Caso : a <.. a < e > :.. a < e = : -

6 ... a < e < : Logo podemos concluir que: Se > a Função do Grau tem o sinal oposto ao sinal do parâmetro a no intervalo compreendido pelas raízes e o mesmo sinal do parâmetro a nos intervalos complementares ao intervalo compreendido pelas raízes. Se = a Função do Grau tem o mesmo sinal que o sinal do parâmetro a para todo número real eceto nas raízes. Se < a Função do Grau tem o mesmo sinal que o sinal do parâmetro a para todo número real. Uma Solução de uma Inequação do Grau é um valor da variável que dá valor verdadeiro à sentença. Eemplo: = É uma solução para a inequação >, pois, () ( ) = 8 >. O Conjunto Solução ou Conjunto Verdade de uma Inequação é o conjunto de todos os da variável que dão à sentença valor verdadeiro. Eemplo: 5 6 < a = > = > Raízes = e = < < S = Então ], [.

7 Eemplo: 5 6 a = > = > Raízes = e = Então S = [, ]. Eemplo: 5 6 > a = > = > Raízes = e = < < ou < < Então S = ], [ ], [.. Eemplo: 5 6 a = > = > Raízes = e = < ou < Então S = ], ] [, [. Eemplo: 6 9 a = > = Raízes = = Então IR S = IR Eemplo: 6 9 > a = > = Raízes = = S = Então ], [ ], [.

8 Eemplo: 6 9 a = > = Raízes = = = S = Então { } Eemplo: 6 9 < a = > = Raízes = = Então S = { }. Eemplo: < a = > = < Então S = { }. Eemplo: a = > = < Então S = { }. Eemplo: > a = > = < Então S = IR. Eemplo: a = > = < Então S = IR.

9 Discussão de Equação do tipo a b c = Seja a b c = onde a, b e c IR, então a A equação a b c = é uma equação do grau, basta resolver conforme feito anteriormente. a = A equação a b c = se reduz a b c =, a discussão é feita conforme a discussão de uma equação da forma a b =. Veja o artigo Equação e Inequação do grau Teoria. Relação entre coeficientes e raízes Sejam a, b e c IR e a, então a b c a ( ) ( ) Onde e são as raízes da equação a b c =. Importante: A identidade acima é um fato geral independente do grau da equação polinomial e do fato das raízes serem reais ou não. A noção de identidade foi eplicada no artigo Fatoração e Produtos Notáveis - Teoria. a a S = b c b c b a c e P =. a a ( a ) ( a ( ) ) a a = a b = a ( c = a Acima S representa a soma das raízes e P o produto das mesmas. ) = = c a b a. (CN 999) Sobre a equação: 999 =, a afirmação correta é: (A) Tem duas raízes reais de sinais contrários, mas não simétricas. (B) Tem duas raízes simétricas. (C) Não tem raízes reais. (D) Tem duas raízes positivas. (E) Tem duas raízes negativas.. (CN 995) Considere a equação do o grau em tal que a b c =, onde a, b e c são números reais com "a" diferente de zero. Sabendo que e são as raízes dessa equação, podemos afirmar que: (A) a 5b c = (B) 9a b c = (C) 4a b = (D) 5a b = (E) 6 a 6b c =

10 . (CN 989) Um aluno, ao tentar determinar as raízes e da equação a b c =, a.b.c., eplicitou da seguinte forma: b ± b 4ac = c Sabendo-se que não teve erro de contas, encontrou como resultado (A) e (B) e (C) e (D) c. e c. (E) a. e a. 4. Sejam a, b e c IR e a, e as raízes da equação a b c =. Prove que: a) b) c) d) e) S =, c P = S P S P =, c P = S SP S SP =, c P 5. Sejam e as raízes da equação =. Verifique que: a) b) c) d) e) = = 9 = 9 = 9 =, c 9, c, c 6. (CN 994) Calcule a soma dos cubos das raízes da equação =. (A) (B) 4 (C) (D) 8 (E) 6

11 7. (CN 99) Sendo m e n as raízes da equação =, o valor da epressão é: m n (A) 97 (B) 95 (C) 9 (D) 9 (E) (CN 99) As raízes da equação a b c = são iguais a m e n. Assinale a equação cujas raízes são m e n. (A) a b(ac b ) c = (B) a b(ac b ) c = (C) a b(b ac) c = (D) a b(b ac) c = (E) a b(b ac) c = 9. (CN 988) As raízes da equação 6 = são r e s, (r > s). O valor da epressão 9 (A) 7 (B) (C) 7 4 (D) 9 4 (E) impossível calcular. 4 r s r r s rs r, é. (CN 99) A soma das raízes da equação de raízes reais m 4 n p =, m é : (A) (B) n m (C) n m (D) p m (E) p m

12 . (CN ) A menor raiz da equação a b c =, com abc, é a média geométrica entre m e a maior raiz. A maior raiz é a média geométrica entre n e a menor raiz. Pode-se afirmar que m n é presso por: abc b (A) ac abc b (B) ac abc b (C) ca abc b (D) ca abc b (E) ac. (CN 989) O maior valor inteiro que verifica a inequação.().( 4)<.( 4) é : (A) (B) negativo (C) par positivo (D) ímpar maior que 4 (E) primo 6. (CN 997) O número de soluções inteiras da inequação abaio é: < (A) (B) (C) (D) (E) infinito. 4. (CN 996) A soma e o produto das raízes reais da equação ( 5 6) 5( 5 6) 6 =, são respectivamente: (A) 6 e 8 (B) 7 e (C) e (D) 5 e 6 (E) 5 e 5. Resolva a equação ( 6 6 ) ( 6 6 ) = Em IR.

13 6. a, b e c IR e a, e as raízes da equação a b c =. Prove que: n n Onde S =, n IN, n. n a S bsn csn n = 5 5 = 7. Sejam e as raízes da equação =. Prove que 45. Gabarito. C. A. C B 7. A 8. C 9. A. A. A. E. B 4. C