5. Derivada. Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x 0, então a derivada de f

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1 5 Derivada O conceito de derivada está intimamente relacionado à taa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por eemplo, da determinação da taa de crescimento de uma certa população, da taa de crescimento econômico do país, da taa de redução da mortalidade infantil, da taa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros eemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto: Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo, então a derivada de f em, denotada por f (, é dada por: f ( lim ' f ( + f (, se este limite eistir D representa uma pequena variação em, próimo de, ou seja, tomando + (, a derivada de f em pode também se epressa por f '( lim f ( f ( Notações: f ' (,, df d df, ( d Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto fornece taa de variação instantânea de f em Vejamos como isso ocorre: Suponha que y seja uma função de, ou seja, y f( Se variar de um valor até um valor, representaremos esta variação de, que também é chamada de incremento de, por D -, e a variação de y é dada por Dy f( - f (, o que é ilustrado na figura a seguir: 58

2 y f ( f ( Dy f ( D y O quociente das diferenças, dado por f ( f (, é dito taa de variação média de y em relação a, no intervalo [, ] O limite destas taas médias de variação, quando D Ø, é chamado de taa de variação instantânea de y em relação a, em Assim, temos: Taa de variação instantânea lim f ( f ( lim f ( + f ( f ( + f ( Porém, lim f '( Portanto, a taa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua derivada neste ponto Eemplos: Suponha que a posição de uma partícula em movimento sobre uma reta r seja dada por p(t t - 6t, onde p(t é medida em pés e t em segundos a Determine a velocidade em um instante t a qualquer b Determine a velocidade da partícula em t e t 4 c Determine os intervalos de tempo durante os quais a partícula se move no sentido positivo e negativo sobre r d Em que instante a velocidade é nula? Solução: a A velocidade instantânea é o limite da velocidade média, quando consideramos um intervalo de tempo tendendo a zero, o que é fornecido pela derivada da função posição, no instante desejado Portanto, temos: 59

3 Velocidade média da partícula no intervalo de tempo t: p( a + t p( a [( a + t] V m t a + a t t 6a 6 t a t 6( a + t ( a t + 6a a t + t t 6a] 6 t a + t 6 Velocidade instantânea p( a + t p( a V ( a lim t t lim(a + t 6 a 6 t b t V( ( 6-6 pés/s t 4 V(4 (4 6 pés/s c P se move para a direita quando a velocidade é positiva P se move para a esquerda quando a velocidade é negativa Assim: a 6 < a < 3 ( velocidade negativa a 6 > a > 3 ( velocidade positiva Portanto o objeto: - se movimenta para a esquerda se t (-, 3 - se movimenta para a direita se t (3,+ d V(a quando a 6, o que ocorre quando a 3, ou seja, após 3 segundos, a velocidade é nula (o objeto está parado No decorrer de uma eperiência, derrama-se um líquido sobre uma superfície plana de vidro Se o líquido vertido recobre uma região circular e o raio desta região aumenta uniformemente, qual será a taa de crescimento da área ocupada pelo líquido, em relação à variação do raio, quando o raio for igual a 5 cm? 6

4 Solução: A taa de crescimento da área é a sua taa de variação Como a área varia com o raio, seja A(r πr a área de um círculo de raio r A sua taa de crescimento será portanto, dada por A (r Considerando um raio r qualquer, teremos: A'( r lim r A( r + r A( r π ( r + r lim r r r π r r + ( r r πr [ ] lim lim π [ r + r] π r r r π lim r [ r + r r + ( r r ] Quando r 5, então A (5 π, ou seja, a área aumenta π cm para cada cm de aumento no raio, quando o raio mede 5 cm Em outras palavras, a taa de crescimento da área é de π cm /r r Interpretação Geométrica: a derivada de uma função f em um ponto a fornece o coeficiente angular (inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a Vejamos: Dada uma curva plana que representa o gráfico de f, se conhecermos um ponto P(a, f(a, então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y - f(a m ( - a, onde m é o coeficiente angular da reta Portanto, basta que conheçamos o coeficiente angular m da reta e um de seus pontos, para conhecermos a sua equação Mas como obter m para que r seja tangente à curva em P? Consideremos um outro ponto arbitrário sobre a curva, Q, cujas coordenadas são (a +, f(a+ A reta que passa por P e Q que é chamada reta secante à curva 6

5 Analisemos agora a variação do coeficiente angular da reta secante fazendo Q se aproimar de P, ou seja, tomando cada vez menor Tudo indica que quando P está próimo de Q, o coeficiente angular m sec da reta secante deve estar próimo do coeficiente angular m da reta r, ou seja, o coeficiente angular m sec tem um limite m quando Q tende para P, que é o coeficiente angular da reta tangente r Indicando-se a abscissa do ponto Q por a + ( - a e sabendo-se que a abscissa de P é epressa por a, então, se Q P temos que, o que é equivalente a a Assim: m lim a m PQ f ( a + lim f ( a f ( f ( a lim, a a ( se este limite eiste, é o coeficiente angular da reta tangente r Porém, f ( a + f ( a lim lim a a f ( f ( a f (a Logo, m f (a, ou seja, a derivada de uma função em um ponto, de fato, fornece o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função, neste ponto Eemplo: Se f(, determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto P(, 4 Solução: m sec f ( + f ( ( (se Portanto, coeficiente angular m da reta tangente, quando, é dado por: m lim (4 + 4 Logo, a equação reduzida para a reta tangente no ponto P(,4 é dada por: y 4 4( ou y 4 4, a qual é ilustrada na figura a seguir: 6

6 Observação: O conceito que se conhece na geometria plana de reta tangente a uma circunferência, o qual estabelece que a reta tangente toca a circunferência em um único ponto, não pode ser estendido ao conceito de reta tangente a uma curva definida pela função y f( A figura a seguir ilustra essa afirmação Eemplos: Dada a função f( : a Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f, no ponto P(4, b Determine a reta normal ao gráfico de f, no ponto P (4, Observação: A reta normal é a reta perpendicular à reta tangente neste ponto e, portanto, seu coeficiente angular satisfaz: m n / m t 63

7 Solução: a A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dada por: y f (4 ( 4 Portanto, basta determinar f (4: f '(4 lim lim ( ( ( lim lim ( (Se D Logo, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dada por y ( 4 ou 4 y 4 + cujo gráfico é apresentado abaio: b A reta normal, por sua vez, é dada por y 4 ( 4 ou y 4 +8 Observação: Uma conseqüência imediata da interpretação geométrica da derivada é que uma função só é derivável (ou diferenciável em um ponto de seu domínio se eistir uma reta tangente ao seu gráfico por este ponto, ou seja, o gráfico da função neste ponto não apresenta comportamento pontiagudo Estendendo este raciocínio a todos os pontos do domínio da função, notamos que o gráfico de uma função diferenciável é uma curva suave, sem nenhum pico pontudo Assim, a função apresentada na da figura abaio, por eemplo, não é diferenciável em, ou seja, neste ponto não eiste a sua derivada, pois por (, f( não passa uma única reta tangente 64

8 f( f( Como podemos notar, o cálculo da derivada através da sua definição nem sempre é simples, pois envolve o cálculo de um limite Para minimizar este problema, utilizamos algumas propriedades das derivadas, que chamaremos de regras de derivação, as quais não serão demonstradas neste teto, porém suas demonstrações decorrem da definição de derivada e podem ser encontradas na maioria dos livros de Cálculo Regras de Derivação: Se f é a função constante definida por f( c, c R, então f ( Se f(, então f ( 3 Se f( n, onde * n R, então f ( n n - 4 Se f é diferenciável em e g( c f(, então g ( c f ( 5 Se f e g são diferenciáveis em, então (f ± g ( f ( ± g ( 6 Se f e g são diferenciáveis em, então (f g ( f ( g( + g ( f( 7 Se f e g são diferenciáveis em e g(, então f g( f '( f ( g'( '( g g( 8 f ( sen f '( cos 9 f( cos > f ( sen f ( a f '( a ln a; f ( e f '( e [ ] f ( log f '( ; f ( ln f '( a ln a f( arc sen( df d 65

9 3 f( arc cos( df d df 4 f( arc tg( d + df 5 f( arc cotg( > d + df 6 f( arc sec( >, > d df 7 f( arc cosec( >, > d 8 Derivada da função composta (Regra da Cadeia: Sejam duas funções diferenciáveis f e u, onde f f(u e u u(, e tal que dy y f (u( Então, f (u u ( d Eemplos: a f( sen( Seja u Então f(u sen (u e f ( f (u u ( cos(u, ou seja, f ( cos( b f( cos( + 3sen( Seja u + e g(u cos(u Então g '( cos'( u u'( sen( u ( + Assim, g'( ( + sen( + e, portanto, f ( ( + sen( + 3 cos( c f( ( 3 Seja u Então f(u u 3 e f ( f (u u ( 3 u Portanto, f ( 6 (- d f( ( +5 (3 f ( (3 + ( ou f (

10 e f( sen (sen Seja u ( sen Então f(u u e f ( f (u u (, ou seja, f ( u cos Portanto, f ( sen cos Obs: Neste caso também poderíamos ter usado a regra do produto, fazendo: f( sen sen sen ï f ( cos sen + sen cos sen cos f f( cos ( / cos Seja u( cos Então ( / f u u e f '( f '( u u'( u ( sen sen Portanto, f '( cos g f( tg sen cos cos cos sen ( sen cos + sen f '( sec cos cos ( cos h f( log 3 ( - 5 Seja u ( - 5 Então f(u logu e f ( f (u u (, ou seja, f ( 3 u ln 3 f '( ( ( 5ln 3 ( 5ln 3 Assim, i f( e ln f '( e ln + e e ln + 67

11 EXERCÍCIOS: Calcule a derivada das funções abaio: f( f( sen cos 3 3 g( ( 3-7( +3 4 f( 5 h(r r (3r 4-7r+ 6 f( ln ( ++ 7 f( cossec( 8 f( ln 3 8 z + 3z 9 g(z 9z f(t t 5 t + + t 3 s( + + f( ln( 3 f( (ln (sen 4 f( ln(sen 3 5 p( f( e f( sec 8 f( f( e + e f( sen 3 68