Resolução Numérica de Equações Parte I

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1 Cálculo Numérico Resolução Numérica de Equações Parte I Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG -

2 Cálculo Numérico Objetivos Estudar métodos numéricos para a resolução de equações não lineares (determinar a(s) raiz(es) de uma função f(), ou seja, encontrar o(s) valor(es) de tal que f() = 0) Fundamentar a necessidade de uso de métodos numéricos para a resolução de equações não lineares Discutir o princípio básico que rege os métodos numéricos para a resolução de equações não lineares Apresentar uma série de métodos destinados à resolução de equações não lineares 2

3 Cálculo Numérico Motivação I Necessidade de resolução de equações do tipo f() = 0 Estruturas F Circuitos i E 1 Principio da Conservação Momento Energia Massa Reatores +F V Em cada nó : -F H +F H F H = 0 F V = 0 -F V R + v = g(i) E - E - Ri g(i) = 0 (Lei de Kirchhoff) E 2 E S Em um dado intervalo: massa = entradas - saídas 3 S

4 Eio das ordenadas Cálculo Numérico Motivação II é um zero da função f() ou raiz da equação f() = 0 se f( ) = 0. Zeros podem ser reais ou compleos. Este módulo trata de zeros reais de f(). f() Zeros reais representados sobre o eio das abscissas 1 2 Eio das abscissas 4

5 Cálculo Numérico Motivação III A partir de uma equação de 2º grau da forma a 2 + b + c = 0 Determinação das raízes em função de a, b e c = -b ± b 2 4ac 2a Polinômios de grau mais elevado e funções com maior grau de compleidade Impossibilidade de determinação eata dos zeros 5

6 Cálculo Numérico Motivação IV Princípio Básico dos Métodos Numéricos MÉTODOS VALOR INICIAL APRIMORAMENTO DOS VALORES VALOR ACEITÁVEL DE RAIZ MINIMIZAÇÃO DOS ERROS 6

7 Cálculo Numérico Motivação V Etapas Usuais para a Determinação de Raízes a partir de Métodos Numéricos MÉTODOS FASE I Isolamento das raízes FASE II Refinamento das raízes Determinação de um intervalo (o menor possível) que contenha apenas uma raiz Melhoramento do valor da raiz aproimada (refinamento até a precisão desejada). 7

8 Cálculo Numérico Motivação VI FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES Realização de uma análise teórica e gráfica da função de interesse Precisão das análises é relevante para o sucesso da fase posterior 8

9 Cálculo Numérico Motivação VII TEOREMA 1: Sendo f() contínua em um intervalo [a, b], se f(a)f(b) < 0 então eiste pelo menos um ponto = entre a e b que é zero de f(). Obs: Se f () eistir e preservar o sinal no intervalo [a, b], então este intervalo contém um único zero de f(). 9

10 Cálculo Numérico Motivação VIII ANÁLISE GRÁFICA: f() f() a b a 1 2 b 3 f() a 1 2 b 10

11 Cálculo Numérico Motivação IX Eemplo 01: f() = f() f() é contínua para R. I 1 = [-5, -3] I 2 = [0, 1] I 3 = [2, 3] Cada um dos intervalos contém pelo menos um zero. 11

12 Cálculo Numérico Motivação X Eemplo 02: f() = 5e f() f() admite pelo menos um zero no intervalo [1, 2] O zero é único? Análise do sinal de f () f () =1/(2 )+ 5e - > 0, > 0 f() admite um único zero em todo seu domínio de definição, localizado no intervalo [1, 2]. 12

13 Cálculo Numérico Motivação XI OBSERVAÇÃO: Se f(a)f(b) > 0, então se pode ter diversas situações no intervalo [a, b]. f() f() a b f() a b a 1 b 2 13

14 Cálculo Numérico Motivação XII ANÁLISE GRÁFICA I II Construção do gráfico de f() Obtenção da equação equivalente g() = h() a partir da equação f() = 0 III Uso de programas para traçado de gráficos de funções Localização das abscissas dos pontos nos quais a curva intercepta o eio o Construção dos gráficos de g() e h() no mesmo sistema cartesiano Localização dos pontos nos quais g() e h() se interceptam (f( ) = 0 g( ) = h( ) ) 14

15 Cálculo Numérico Motivação XIII Estudo Detalhado do Comportamento de uma Função a partir de seu Gráfico Domínio da função Pontos de descontinuidade Intervalos de crescimento e decrescimento Pontos de máimo e mínimo Concavidade Pontos de infleão Assíntotas da função (Vide Cálculo...) 15

16 Cálculo Numérico Motivação XIV Eemplo 03: f() = (Uso do método I ) f () = f () = 0 <=> = 3 f() 1 [-4, -3] 2 [0, 1] 3 [2, 3] f() , ,

17 Cálculo Numérico Motivação XVI Eemplo 03: f() = y (Uso do método II ) g() h() g() = 3 h() = (-4, -3) 2 (0, 1) 3 (2, 3) 17

18 Cálculo Numérico Motivação XVIII Eemplo 04: f() = 5e - ( Uso do Método II ) 5e - = 0 <=> = 5e - g() = h() = 5e - h() y [1, 2] g()

19 Cálculo Numérico Motivação XX Eemplo 05: f() = log 1 log() 1 = 0 log() = 1/ g() = log() h() = 1/ y h() [2, 3] g()

20 Cálculo Numérico Motivação XXII FASE II: REFINAMENTO Aplicação de métodos numéricos destinados ao refinamento de raízes Diferenciação dos métodos Modo de refinamento Método Iterativo Caracterizado por uma série de instruções eecutáveis seqüencialmente, algumas das quais repetidas em ciclos (iterações) 20

21 Cálculo Numérico Motivação XXIII CRITÉRIOS DE PARADA Teste: k suficientemente próimo da raiz eata? Como verificar tal questionamento? Interpretações para raiz aproimada é raiz aproimada com precisão se: i. - < ou ii. f( ) < Como proceder se não se conhece? 21

22 Cálculo Numérico Motivação XXIV Redução do intervalo que contém a raiz a cada iteração Obtenção de um intervalo [a,b] tal que: [a,b] e b a < - <, [a,b] f( ) [a,b] pode ser tomado como a b a < b 22

23 Cálculo Numérico Motivação XXV - < f( ) < Nem sempre é possível satisfazer ambos os critérios Métodos numéricos são desenvolvidos de modo a satisfazer pelo menos um dos critérios 23

24 Cálculo Numérico Motivação XXVI PROGRAMAS COMPUTACIONAIS Teste de Parada Estipulação do número máimo de iterações Prevenção contra loopings erros do programa inadequação do método ao problema 24