Francisco Magalhães Gomes IMECC UNICAMP. Matemática básica. Volume 1 Operações, equações, funções e sequências

Transcrição

1 Francisco Magalhães Gomes IMECC UNICAMP Matemática básica Volume 1 Operações, equações, funções e sequências 2016

2

3 Sumário Prefácio vii Capítulo 1 Números reais Conjuntos de números Soma, subtração e multiplicação de números reais A precedência das operações e o uso de parênteses Propriedades da soma e multiplicação Números negativos Divisão e frações A divisão como um produto Soma e subtração de frações com denominadores iguais Multiplicação de frações Divisão de frações Frações equivalentes Soma e subtração de frações com denominadores diferentes Resumo Simplificação de frações Divisores, múltiplos e números primos Máximo divisor comum Simplificação de frações usando o mdc Simplificação de frações durante o cálculo do produto Mínimo múltiplo comum O uso do mmc na soma e subtração de frações A reta real Razões e taxas Razão Taxa Porcentagem Crescimento e decrescimento percentual Potências Expoentes negativos Simplificação de expressões com potências Notação científica Operações com números em notação científica Raízes Quadrados perfeitos Raiz enésima Propriedades das raízes Raízes como potências Racionalização de denominadores i

4 ii Sumário 1.10 Unidades de medida Mudança de unidades Unidades derivadas Medidas imperiais Unidades de armazenamento de dados Operações com horas, minutos e segundos Capítulo 2 Equações e inequações Equações Solução de equações Formas abreviadas de aplicação das propriedades das equações Proporções e a regra de três Grandezas diretamente proporcionais Grandezas inversamente proporcionais Regra de três para grandezas diretamente proporcionais Regra de três para grandezas inversamente proporcionais Problemas complexos Regra de três composta Equações lineares Resolução de problemas Resolução de problemas com o uso de equações lineares Sistemas de equações lineares O método da substituição Conjuntos União e interseção de conjuntos Intervalos União e interseção de intervalos Inequações Inequações lineares Resolução de problemas com o uso de inequações lineares Polinômios e expressões algébricas Soma e subtração de expressões algébricas Produto de expressões algébricas Produtos notáveis Fatoração Reconhecendo produtos notáveis Equações quadráticas Equações com polinômios na forma fatorada Equações com c = Equações com b = Equações com todos os coeficientes não nulos Inequações quadráticas Conversão de um polinômio quadrático à forma fatorada Solução de inequações do segundo grau Equações racionais e irracionais Domínio de uma expressão algébrica Operações com expressões fracionárias Equações racionais Equações irracionais Inequações racionais e irracionais Inequações racionais Inequações irracionais Valor absoluto Distância na reta real Equações com valor absoluto Inequações modulares

5 Seção Sumário iii Capítulo 3 Funções Coordenadas no plano Regiões do plano Cartesiano Equações no plano Interceptos Solução gráfica de equações e inequações em uma variável Inequações Retas no plano Inclinação de uma reta Equação da reta a partir da inclinação e do intercepto-y Equação da reta a partir da inclinação e de um ponto Equação da reta que passa por dois pontos conhecidos Retas horizontais e retas verticais Traçado do gráfico de equações lineares Aplicações Funções Definição de função Domínio e imagem Gráficos de funções Obtenção de informações a partir do gráfico Valor da função Domínio e conjunto imagem Zeros da função Intervalos de crescimento e decrescimento Máximos e mínimos Simetria Funções usuais Função linear e função afim Função potência Função raiz Funções recíprocas Funções definidas por partes Função valor absoluto Transformação de funções Deslocamento vertical e horizontal Reflexão Esticamento e encolhimento Combinação e composição de funções Composição de funções Erros a evitar na manipulação de funções Capítulo 4 Funções polinomiais Funções quadráticas Gráfico das funções quadráticas Forma canônica da função quadrática Ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadrática Inequações quadráticas Divisão de polinômios Algoritmo de Ruffini Teorema do resto Zeros reais de funções polinomiais Fatorações sucessivas usando a divisão de polinômios Número de zeros reais Determinação aproximada de zeros de funções polinomiais Inequações polinomiais

6 iv Sumário 4.4 Gráficos de funções polinomiais Continuidade e suavidade Comportamento extremo Máximos e mínimos locais Números complexos Raiz quadrada de números negativos Número complexo Soma e subtração de números complexos Multiplicação e divisão de números complexos Zeros complexos de funções polinomiais Teorema fundamental da álgebra Multiplicidade de zeros e pares conjugados Ajuste de curvas Coeficiente de determinação Ajuste de curva polinomial Capítulo 5 Funções exponenciais e logarítmicas Função inversa Gráfico da função inversa Funções injetoras Definição de função inversa Inversa da função inversa Função exponencial Gráfico da função exponencial Transformações da função exponencial Aplicação da função exponencial Função logarítmica Operações com logaritmos Logaritmos usuais e mudança de base Gráfico da função logarítmica Transformações e composições da função logarítmica Equações exponenciais e logarítmicas Expansão e contração de expressões logarítmicas Equações exponenciais Equações logarítmicas Erros a evitar na manipulação de logaritmos Inequações exponenciais e logarítmicas Inequações exponenciais Inequações logarítmicas Problemas com funções exponenciais e logarítmicas Gráficos em escala logarítmica Novos ajustes de curvas Ajuste com uma função exponencial Ajuste com uma função potência Linearização do ajuste Capítulo 6 Sequências e progressões Sequências Sequências definidas recursivamente Determinação do termo geral Somatórios Propriedades do somatório Progressões aritméticas Soma dos termos de uma progressão aritmética Progressões geométricas

7 Seção Sumário v Soma dos termos de uma progressão geométrica Séries Séries geométricas Aplicações financeiras Valor futuro Valor presente Valor futuro de um investimento constante mensal Valor presente de prestações Índice Remissivo 593

8

9 Prefácio Os cursos de engenharia e de ciências exatas das universidades brasileiras incluem, em seus primeiros semestres, disciplinas de cálculo, equações diferenciais, geometria analítica e álgebra linear. Além disso, os currículos de muitos cursos superiores de ciências humanas e biológicas possuem alguma disciplina básica de matemática, com tópicos selecionados de cálculo e álgebra. Ao contrário do que acontece em outras áreas do conhecimento, para obter um bom desempenho nas disciplinas iniciais de matemática dos cursos universitários, os estudantes precisam ter uma base sólida em tópicos que vão das operações aritméticas básicas às funções, e da geometria à trigonometria. Esse livro é fruto de cinco anos do esforço para criar um texto adequado a essa preparação. Além dos jovens que ingressam em cursos universitários, o público-alvo do livro inclui pessoas que queiram empregar a matemática para analisar os dados, tabelas e gráficos com os quais somos bombardeados todos os dias, ou que desejem criar seus próprios modelos matemáticos. A intenção foi criar um texto com um caráter prático, combinando aplicações com um grande número de exemplos de fixação das técnicas de manipulação de expressões, equações e funções matemáticas. O livro é composto por seis capítulos, que tratam de operações, equações, funções e sequências. Cada capítulo é dividido em seções numeradas, as quais incluem um bom número de exercícios, quase todos com resposta. Os capítulos estão encadeados, de modo que o conteúdo do primeiro é essencial para a compreensão de todos os demais. Portanto, recomenda-se que o leitor só deixe de ler uma seção se tiver certeza de que domina seu conteúdo. Em geral, os assuntos são abordados à medida que são necessários. Assim, por exemplo, as funções inversas são introduzidas no capítulo sobre funções exponenciais e logarítmicas, em lugar de fazerem parte do capítulo sobre funções em geral. Além disso, embora as demonstrações formais tenham sido evitadas para que o livro fosse acessível a um público mais amplo, os principais resultados matemáticos apresentados são acompanhados de breves explicações e exemplos, com o propósito de permitir que o leitor compreenda como foram obtidos. Para auxiliar a leitura, foram incluídos comentários, explicações, referências, curiosidades e figuras à margem do texto. Observações e explicações breves são apresentadas em azul. Comentários e dicas mais relevantes aparecem em caixas verdes. Já as advertências são mostradas em caixas vermelhas. Os quadros com fundo amarelo que aparecem ao longo do texto dão destaque a definições, propriedades e roteiros de resolução de problemas, que servem de referência e podem sem consultados com frequência pelo leitor. Esse livro não cobre todos os tópicos de um curso de matemática básica. Um segundo volume abordará geometria plana e espacial, trigonometria, matrizes, sistemas lineares e geometria analítica, temas igualmente importantes na preparação para as disciplinas de matemática dos cursos superiores. Como mensagem final ao leitor, lembro que o nosso progresso pessoal e profissional se baseia no conhecimento, um ingrediente fundamental para que nos tornemos verdadeiramente independentes. Isso é particularmente relevante quando se trata de matemática, pois é nela que se baseia grande parte da ciência e das decisões que

10 viii Prefácio nos afetam cotidianamente. Entretanto, conhecer não é sinônimo de decorar. Em lugar de decorar como resolver um problema específico, deve-se tentar compreender completamente seu enunciado e a lógica envolvida em sua resolução. E não basta acompanhar a resolução impressa no livro, para dominar um tópico matemático é preciso pôr em prática o que se lê, pois só tentando por conta própria é que se aprende como lidar com as sutilezas dos problemas. E se um caminho não der frutos, deve-se tentar outros, uma vez que não há satisfação maior do que aquela decorrente da percepção de que se é capaz de superar as dificuldades, ainda que estas pareçam pequenas. Boa leitura! Francisco A. M. Gomes