Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares

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1 1 CÁLCULO NUMÉRICO Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1

2 2 INTRODUÇÃO Considere o problema de determinar as componentes horizontais e verticais das forças que atuam nas junções da treliça abaixo: Para isso, teríamos que determinar as 17 forças que atuam em cada nó (junções por pinos) desta treliça t 15 t 10 t Um teorema da física diz que: O somatório das forças que atuam em um determinado ponto deve ser igual a zero para que o ponto esteja em repouso. Sejam F x e F y as componentes horizontais e verticais, respectivamente. Fazendo a = sen 45º = cos 45º (apenas para facilitar o cálculo aqui apresentado), as condições de deslocamento são: Junção 2: F x : Junção 3: F x : Junção 2: F y : Junção 3: F y : E assim, sucessivamente, até que tenhamos coberto as 10 junções. Portanto, teríamos que resolver um sistema com 17 variáveis. 8

3 54 Resolva o SPD do exemplo utilizando todos os métodos já conhecidos. 55 Resolva os exemplos pelo método gráfico. LEMBRE-SE: Classificação de um sistema quanto ao número de soluções Resolvendo o sistema encontramos uma única solução: o par ordenado (3,5). Assim, dizemos que No caso do sistema verificamos que os pares ordenados (0,8), (1,7), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3),... são algumas de suas infinitas soluções. Dizemos que trata-se de um Para verificamos que nenhum par ordenado satisfaz simultaneamente as equações. Portanto, é um MÉTODOS DIRETOS Dizemos que um método direto para resolução de sistemas lineares é um método que não considera os erros por arredondamentos e / ou cortes, ou seja, o método direto determina a solução exata do sistema. Já conhecemos alguns métodos diretos, como por exemplo: Método da substituição; Método da adição; Método da comparação; Método gráfico; Regra de Cramer; Escalonamento. 3

4 4 LEMBRE-SE: REPRESENTAÇÃO MATRICIAL O sistema linear a 1 x +b 1 y = k 1 pode ser escrito na a 2 x +b 2 y = k 2 forma matricial como: Se fizermos o determinante da matriz dos coeficientes, obtemos D = Se D 0, então REGRA DE CRAMER Um sistema linear n x n, cujo determinante é D, é possível e determinado se, e somente se, D 0 e sua única solução é dada por: x = Dx / D ; y = Dy / D ; z = Dz / D... n = Dn / D Onde D x, D y, D z e D n são os determinantes obtidos substituindo-se, respectivamente a coluna dos coeficientes de x, y, z e n pela coluna dos termos independentes (coluna do 2º membro). Se D = 0, então o sistema é impossível (nenhuma solução) ou é possível e indeterminado (infinitas soluções), a diferença é que: 56 Verifique se o sistema é no primeiro caso temos D x D y D z D n, possível, em caso afirmativo, enquanto que no segundo, temos D x = D y = D z = D n. qual valor de y?

5 5 CURIOSIDADE: A Regra de Cramer, quando aplicada a resolução de um sistema linear de 17 equações e 17 incógnitas, envolve o cálculo de 18 determinantes, estes, precisariam de 16! x 288 multiplicações e um número semelhante de adições. Sendo assim, um computador que efetue 100 milhões de operações por segundo, levaria 300 mil anos para calculá-lo. MÉTODO DE GAUSS Consiste em transformar o sistema linear original em um sistema linear equivalente com matriz dos coeficientes sendo do tipo triangular superior ou triangular inferior, pois estes, possuem resolução imediata. EXEMPLO: a) Resolva a seguinte equação matricial. b) Sendo A.x = b tente, usar essas fórmulas: x 1 = b 1 /a 11 x 2 = (b 2 a 21 x 1 )/a 22 x 3 = (b 3 a 31 x 1 a 32 x 2 )/a 33 Observe que, embora não tenhamos encontrado dificuldades em resolver pelo método da substituição é inegável que usando as fórmulas o esforço computacional seria bem reduzido. 57 Resolva o sistema linear pelo método de Gauss: Para isso, siga o procedimento: 1º) Devemos eliminar x 1 na 2ª e 3ª equação; 2º) Devemos eliminar x 2 na 3ª equação; 3º) Determine os valores das incógnitas.

6 6 Vamos introduzir algumas denominações: a jj m ij = a ij /a jj L i L i m ij.l j 58 Resolva o sistema linear pelo método de Gauss: Para isso, siga o procedimento: 1º) Determine o pivô, os multiplicadores e as operações de transformações da 1ª etapa; 2º) Elimine x na 2ª e 3ª equação; 3º) Determine o pivô, os multiplicadores e as operações de transformações da 2ª etapa; 4º) Elimine y na 3ª equação. 5º) Determine os valores das incógnitas. 59 Resolva os sistemas lineares pelo método de Gauss: x + y + z = 10 x y + z = 4 2x 2y 2z = 0

7 7 PIVOTAMENTO PARCIAL Vimos que o método de Gauss requer o cálculo dos multiplicadores. Que de forma geral são divisões do tipo: m ij = a ij /a jj OBSERVAÇÃO: Se o pivô for zero ou próximo de zero, recairemos em uma impossibilidade de utilizar esse método pois, como vimos, a máquina não consegue registrar valores em UNDERFLOW (próximos de zero), resultando em um erro que pode tornar o resultado final inadequado. Para driblarmos essa dificuldade é necessário que façamos a seguinte estratégia: 1º) No início de cada etapa, devemos verificar e escolher para pivô o elemento de maior valor absoluto; 2º) Devemos trocar as linhas para que o pivô escolhido ocupe a posição a jj 60 Resolva o sistema linear pelo método de Gauss com pivotamento parcial: Para isso, siga o procedimento: 1º) Escolha, convenientemente, o pivô; 2º) Faça a troca de linha necessária; 3º) Utilize o método de Gauss.

8 8 MATRIZ INVERSA Sendo o sistema linear A.x = b, sua solução é x = A -1.b, onde A -1 significa a matriz inversa da matriz A. LEMBRE-SE: Definição da inversa Matriz inversa A. A -1 = I *Onde I é a matriz identidade Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A -1, de mesma ordem, tal que A.A -1 = A -1.A = I n, então A -1 é matriz inversa de A. EXEMPLO: Seja a matriz A dada a seguir, determine, se existir, A Determine a inversa da matriz A, usando o método de Gauss.

9 9 TESTANDO OS CONHECIMENTOS 61 Usando o método de Gauss, resolva as equações matriciais: 62 Calcule o determinante e a inversa das matrizes. Gabarito: 61) a) (0, 0, 1) b) (1, 1, 0) c) (0, 1, 0)

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