MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES

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1 MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES SISTEMAS LINEARES

2 SISTEMAS LINEARES Equação linear Equação linear é toda equação da forma: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b em que a 1, a 2, a 3,..., a n são números reais, que recebem o nome de coeficientes das incógnitas x 1, x 2,x 3,..., x n, e b é um número real chamado termo independente ( quando b=0, a equação recebe o nome de linear homogênea). Veja alguns exemplos de equações lineares: 3x - 2y + 4z = 7-2x + 4z = 3t - y + 4

3 Sistema linear Um conjunto de equações lineares da forma: é um sistema linear de m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a n-upla de números reais ordenados (r 1, r 2, r 3,..., r n ) que é, simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.

4 Matrizes associadas a um sistema linear A um sistema linear podemos associar as seguintes matrizes: matriz incompleta: a matriz A formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema. Em relação ao sistema: a matriz incompleta é: para o mesmo sistema acima, a matriz completa é:

5 Sistemas homogêneos Um sistema é homogêneo quando todos os termos independentes da equações são nulos:

6 Exemplo: A n-upla (0, 0, 0,...,0) é sempre solução de um sistema homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são chamadas nãotriviais.

7 Quanto ao número de soluções um sistema linear pode ser classificado em: a) SPD - possível e determinado (solução única); Exemplo: S={(3,5)} b) SPI - possível e indeterminado (infinitas soluções); Exemplo: S={(0,8); (1,7); (2,6); (3,5); (4,4); (5,3)....} c) SI - sistema impossível (não tem solução). Exemplo: S=

8 RESOLUÇÃO DE SISTEMA LINEARES MÉTODO DE CRAMER Sistema normal Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero. Se m=n e det A 0, então o sistema é normal. Regra de Cramer Todo sistema normal tem uma única solução dada por: em que i { 1,2,3,...,n}, D= det A é o determinante da matriz incompleta associada ao sistema, e D xi é o determinante obtido pela substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

9 Exemplo Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A. Agora calculamos o seu determinante que será representado por D. D = D = 15.

10 Agora, substituindo a primeira coluna da matriz incompleta pela coluna formada pelos termos independentes, calcularemos Dx. Dx = Dx = 15 Agora, substituindo a segunda coluna da matriz incompleta pela coluna formada pelos termos independentes, calcularemos Dy. Dy = Dy = 30 Agora, substituindo a terceira coluna da matriz incompleta pela coluna formada pelos termos independentes, calcularemos Dz. Dz = Dz = 45

11 Assim, podemos calcular a solução do sistema: x D x 15 1 D 15 y D y 30 D 15 2 z D z 45 D 15 3 S={(1,2,3)}

12 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1) A D D (3 2 2) ( 1 2 6) 3 ( 9)

13 D x D ( ) ( ) 8 ( 44) x Dy D ( ) ( ) 44 ( 92) y D ( ) ( ) 4 ( 56) x D z

14 Assim, podemos calcular a solução do sistema: x D x 36 D 12 3 y D y 48 D 12 4 z D z 60 D 12 5 S={(3,4,5)}

15 1 2 2 A D D (4 8 8) ( ) 20 ( 8)

16 D x D ( ) ( ) 68 ( 56) x Dy D ( ) ( ) y D z D ( ) ( ) 44 ( 20) x

17 Assim, podemos calcular a solução do sistema: x D x 12 1 D 12 y D y 0 D 12 0 z D z 24 D 12 2 S={(1,0,2)}

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19 EXPRESSÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA Um sistema de equações pode ser representado na forma de uma matriz. Os coeficientes das incógnitas serão os elementos da matriz que ocuparão as linhas e as colunas de acordo com o posicionamento dos termos no sistema.

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21 EXEMPLOS O sistema poderá ser representado por: 2 5 x y 3 Matriz dos coeficientes Matriz das variáveis Matriz dos termos independentes

22 O sistema poderá ser representado por: x y z 1 Matriz dos coeficientes Matriz das variáveis Matriz dos termos independentes

23 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Discutir o sistema é saber se ele é possível, impossível ou determinado. Utilizando a regra de Cramer, temos:

24 det A 0 Sistema Possível e Determinado det e det A 0 A det A... det A 1 2 n 0 Sistema Possível e Indeterminado det A 0 e pelo menos um det A n 0 Sistema Impossível x 1 det A1 det A, x 2 det det A 2 A,..., x n det det A n A

25 ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES Dizemos que um sistema, em que existe pelo menos um coeficiente não-nulo em cada equação, está escalonado se o número de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta de equação para equação.

26 Para escalonar um sistema adotamos o seguinte procedimento: a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 1º incógnita diferente de zero. b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

27 EXEMPLO Trocamos de posição a 1º equação com a 2º equação, de modo que o 1º coeficiente de x seja igual a 1:

28 Trocamos a 2º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -2, com a 2º equação: Trocamos a 3º equação pela soma da 1º equação, multiplicada por -3, com a 3º equação:

29 Trocamos a 3º equação pela soma da 2º equação, multiplicada por -1, com a 3º equação: Agora o sistema está escalonado e podemos resolvê-lo. -2z= -6 z=3 Substituindo z=3 em (II): -7y - 3(3)= -2-7y - 9 = -2 y=-1 Substituindo z=3 e y=-1 em (I): x + 2(-1) + 3= 3 x=2 Então, x=2, y=-1 e z=3 S = {(2,1,3)}

30 Agora é com vocês. Resolva escalonando os sistemas. 1)

31 Primeiro passo: Trocar a primeira e a terceira linhas de posição

32 Segundo passo: Trocar a segunda linha pela soma da segunda linha com a primeira linha multiplicada por 1.

33 Terceiro passo: Trocar a terceira linha pela soma da segunda linha com a terceira linha. O sistema está escalonado e z = 3. Substituindo z = 3 na 2 a equação: y + 3 = 5 y = 2 Substituindo z = 3 e y = 2 na 1 a equação: x = 6 x = 1 Portanto, teremos: S = {(1,2,3)}

34 2)

35 L2=L2+( 1).L1 L3=L3+( 2).L1 L4=L4+( 2).L1

36 L3=L3+( 1).L2 L4=L4+( 2).L2 O sistema está escalonado e z=1, y=3 e x=1 S={(1,3,1)}