Aula 1 Assimetria e Curtose

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Jónatas Teixeira Beltrão
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1 2º Bimestre 1 Estatística e Probabilidade Aula 1 Assimetria e Curtose Professor Luciano Nóbrega

2 Medidas de assimetria As medidas de assimetria e curtose (esta última veremos na próxima aula) são as que restam para completarmos o quadro das estatísticas descritivas, que proporcionam, juntamente com as medidas de posição e dispersão, a descrição e compreensão completas da distribuição de freqüências estudadas até agora. As medidas de assimetria referem-se à forma da curva de uma distribuição de freqüências, mais especificamente do polígono de freqüência ou do histograma. Você lembra? Distribiuição simétrica

descrição e compreensão completas da distribuição de freqüências estudadas até agora.

3 Medidas de assimetria A idéia é que podemos classificar aqueles gráficos a partir do comportamento da série com o auxílio de algumas fórmulas. Vejamos alguns casos: 1º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Simétrica Neste caso, a média, a moda e a mediana são iguais. Assim: x = m d = m o Em resumo: x = m o Simetria

Vejamos alguns casos: 1º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Simétrica

4 Medidas de assimetria 2º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica Negativa Neste caso, a média aritmética apresentará um valor menor do que a mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor menor do que a moda. Distribuição assimétrica negativa A cauda apresenta-se à esquerda do eixo de simetria. Assim: x < m d < m o x < m o Assimetria Negativa < < Em resumo:

apresentará um valor menor do que a moda.

5 Medidas de assimetria 3º caso: Curva ou Distribuição de Freqüências Assimétrica Positiva Neste caso, a média aritmética apresentará um valor MAIOR do que a mediana, e esta, por sua vez, apresentará um valor MAIOR do que a moda. Assim: Distribuição assimétrica positiva A cauda apresenta-se à direita do eixo de simetria. m o < m d < x x > m o Assimetria Positiva < < Em resumo:

apresentará um valor MAIOR do que a moda.

6 Medidas de assimetria Como calcular o coeficiente de assimetria? Existem diversos modos, todos obtidos empiricamente, de se calcular o coeficiente de assimetria. Vamos estudar os mais usuais: 1º Coeficiente de Pearson AS = (x - m o ) = (x - m o ) σ DP Quando: AS = 0 temos que a distribuição é simétrica; AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva; AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.

Vamos estudar os mais usuais: 1º Coeficiente de Pearson AS = (x - m o ) = (x - m o ) σ DP Quando: AS =

7 1º Coeficiente de Pearson AS = (x - m o ) = (x - m o ) σ DP Medidas de assimetria x < m o Assimetria Negativa x = m o Simetria Exemplo: x > m o Assimetria Positiva Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguintes medidas: x = 45,23 m o = 42,51 m d = 43,48 e DP = 21,3 a) Classifique o tipo de assimetria; b) Calcule o coeficiente de assimetria.

distribuição de frequências foram encontradas as seguintes medidas: x = 45,23 m o = 42,51

8 Medidas de assimetria 2º Coeficiente de Pearson AS = 3.(x - m d ) = 3(x - m d ) σ DP Da mesma forma: AS = 0 temos que a distribuição é simétrica; AS > 0 temos que a distribuição é assimétrica positiva; AS < 0 temos que a distribuição é assimétrica negativa.

distribuição é simétrica; AS > 0 temos que a distribuição é

9 2º Coeficiente de Pearson AS = 3(x - m d ) = 3(x - m d ) σ DP Medidas de assimetria x < m o Assimetria Negativa x = m o Simetria Exemplo: x > m o Assimetria Positiva Em uma distribuição de frequências foram encontradas as seguintes medidas: x = 15,23 m o = 12,89 m d = 13,48 e DP = 7,3 a) Classifique o tipo de assimetria; b) Calcule o coeficiente de assimetria.

distribuição de frequências foram encontradas as seguintes medidas: x = 15,23 m o = 12,89

10 1º Coeficiente de Pearson AS = (x - m o ) DP 2º Coeficiente de Pearson AS = 3(x - m d ) DP Testando os conhecimentos 1 Considerando a distribuição de frequência relativa aos pesos de 100 operários de uma fábrica: Classifique, quanto à Pesos (Kg) f i x i f i (x i x) 2.f i assimetria, segundo os coeficientes de Pearson. Para isso, siga o seguinte procedimento: Moda de Pearson mo = 3.md 2.x a) Preencha a tabela; b) Determine a média, a moda, a mediana, a var. e o D.P.; c) Substitua as variáveis nas fórmulas: m d = lm d + n / 2 - F ant. h fm d

f i assimetria, segundo os 50 --- 58 10 coeficientes de Pearson.

11 1º Coeficiente de Pearson AS = (x - m o ) DP 2º Coeficiente de Pearson AS = 3(x - m d ) DP Testando os conhecimentos 2 Considerando a distribuição de frequência relativa aos salários de 70 operários de uma fábrica: Classifique, quanto à Pesos (Kg) f i x i f i (x i x) 2.f i assimetria, segundo os coeficientes de Pearson. Para isso, siga o seguinte procedimento: a) Preencha a tabela; b) Determine a média, a moda, a mediana, a var. e o D.P.; c) Substitua as variáveis nas fórmulas: Moda de Pearson mo = 3.md 2.x m d = lm d + n / 2 - F ant. h fm d

f i assimetria, segundo os 500 --- 580 10 coeficientes de Pearson.

12 1º Coeficiente de Pearson AS = (x - mo) DP 2º Coeficiente de Pearson AS = 3(x - md) DP Testando os conhecimentos: 3 Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequências. Determine os coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a escala. Distribuições x m o m d DP A B C Quando: AS = 0 Distribuição Simétrica 0 < AS < 1 Assimétrica Fraca AS 1 Assimétrica Forte

Determine os coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a escala.

13 Resumo Classificação quanto a assimetria x mo = 0 Distribuição Simétrica x mo < 0 Distribuição Assimétrica Negativa x mo > 0 Distribuição Simétrica Positiva 1º Coeficiente de Pearson AS = (x - mo) DP 2º Coeficiente de Pearson AS = 3(x - md) DP Quando: AS = 0 Distribuição Simétrica 0 < AS < 1 Assimétrica Fraca AS 1 Assimétrica Forte

Coeficiente de Pearson AS = (x - mo) DP 2º Coeficiente de Pearson AS = 3(x - md) DP

14 Medidas de Curtose Definição Denominamos por CURTOSE o grau de achatamento de uma curva de distribuição de frequência. Esse comportamento é dado pela concentração dos valores em relação a moda. São duas as fórmulas: Índice de Momento de Curtose (fórmula do 4) c = (xi x) 4.fi fi 3 DP 4 Coeficiente Percentílico de Curtose c = 0,263 Q3 Q1 2.(D9 D1)

Esse comportamento é dado pela concentração dos valores em relação a moda.

15 Medidas de Curtose São três casos para classificarmos a curtose: 1º caso: Curva Normal Os dados estão razoavelmente em torno da moda. Mesocúrtica c = 0 mo

16 Medidas de Curtose 2º caso: Curva Afilada Os dados estão fortemente em torno da moda. Leptocúrtica c >0 mo

17 Medidas de Curtose 3º caso: Curva Achatada Os dados estão fracamente em torno da moda. Platicúrtica c <0 mo

$dados estão fracamente em$

18 c = (xi x) 4.fi fi 3 DP 4 c = 0,263 Q3 Q1 2.(D9 D1) Medidas de Curtose Exemplo: Sabendo que uma distribuição apresenta as seguintes medidas: fi = 20 Q1 = 24. P75 = 41, P10 = 20, P90 = 48, (xi x) 4.fi = 29 e DP = 1,5 Determine o momento de curtose e o coeficiente percentílico de curtose, em seguida, classifique a curva de frequência quanto à curtose. c = 0 Mesocúrtica c > 0 Leptocúrtica c < 0 Platicúrtica c = ,5 4 c = 0, (48 20) c = 1,45 3 5,0625 c = 0, c = 0,286 3 = 2,714 Platicúrtica c = 0,263 0,303 = 0,04 Platicúrtica

19 c = (xi x) 4.fi fi 3 DP 4 c = 0,263 Q3 Q1 2.(D9 D1) Testando os conhecimentos 1 Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequências. Determine os coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a escala. Distribuições (x i x) 4.f i f i DP P 75 P 25 P 90 P 10 A , B , C , c = 0 Mesocúrtica c > 0 Leptocúrtica c < 0 Platicúrtica

frequências. Determine os coeficientes de assimetria de Pearson e classifique-as de acordo com a escala.

20 1º Coeficiente de Pearson AS = (x - mo) DP 2º Coeficiente de Pearson AS = 3(x - md) DP var = (xi x) 2 n Testando os conhecimentos 2 Uma amostra aleatória de 250 residências revelou a seguinte distribuição do consumo de energia elétrica mensal. Consumo (Kw/h) f i fr i F i Fr i x i x i f i (x i x) (x i x) 2 (x i x) 2.f i Complete a tabela e responda: a) Qual o consumo médio? b) Qual o desvio padrão? c) Qual os coeficientes de Pearson e os de curtose?

Consumo (Kw/h) f i fr i F i Fr i x i x i f i (x i x) (x i x) 2 (x i x) 2.

21 Pi = li + i.n /100 - Fant. h fi Testando os conhecimentos 3 Com base na tabela abaixo, determine o coeficiente de curtose e classifique em relação à curva. Pesos (kg) Quant. Func Para isso, faça o que se pede: a) Determine as separatrizes Q1, Q3, D1 e D9 b) Utilize a fórmula c = 0,263 Q3 Q1 2.(D9 D1)

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