Medidas de Localização

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1 MATEMÁTICA APLICADA ÀS CIÊNCIAS SOCIAIS RESUMO Estatística 2 Medidas de Localização e Dispersão 10º ano Cláudia Henriques Medidas de Localização Estatísticas Medidas que se calculam a partir dos dados de uma amostra. Estas medidas chamam-se de localização porque localizam pontos importantes na caracterização da amostra. Média; Propriedades da média: Adicionando um valor constante a cada um dos elementos de um conjunto de números, a média vem adicionada a essa constante. Multiplicando cada elemento de um conjunto de números por uma constante, a média vem multiplicada por essa constante. Dados dois conjuntos de média A e média B, respetivamente, o conjunto obtido pela soma dos elementos dos conjuntos dados, um a um, é um conjunto de n elementos de média A+B. Mediana; Moda; Página 1 de 5

2 os quantis, em particular os quartis. Com o cálculo dos quartis introduzimos uma nova representação gráfica o diagrama de extremos e quartis. A média não é resistente à influência, na amostra, de valores muito pequenos ou muito grandes. Nesta situação, a mediana medida resistente é uma alternativa à média. O diagrama de extremos e quartis é simples de construir e traduz informação a respeito da simetria e da dispersão de dados relativamente à parte central e também relativamente aos valores muito pequenos ou muito grandes do conjunto de dados. Estes diagramas são ainda muito úteis quando se pretende comparar vários conjuntos de dados. Os diagramas de extremos e quartis são muito úteis para comparar conjuntos de dados no que respeita à simetria e enviesamento, bem como da sua maior ou menor concentração. Para esta avaliação à que ter em conta a distância entre a linha representativa da mediana e as linhas representativas do 1º e do 3º quartis, bem como o comprimento das linhas entre os lados do retângulo e as linhas correspondentes aos extremos.

3 Medidas de Dispersão Amplitude Define-se amplitude e representa-se por R, como sendo a diferença entre os valores maior e menor das observações. Amplitude Interquartis A amplitude interquartis: Q3-Q1 Variância Define-se variância e representa-se por S 2, como sendo a medida que se obtém adicionando aos quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo número n. A variância não é geralmente utilizada como medida de dispersão mas é o suporte para o cálculo do desvio-padrão. Existem duas expressões para representar a variância. Ambas são obtidas a partir da soma dos quadrados dos desvios relativamente à média. As duas fórmulas dão valores muito próximos quando o número de dados é muito grande. Desvio-Padrão A interpretação do significado da variância, em situações concretas levanta problemas. Por exemplo, se estivermos a estudar a altura de um grupo de pessoas, em centímetros, a média das alturas ainda se exprime em centímetros, mas a variância exprime-se em centímetros quadrados.. Por isso seria vantajoso ter-se uma medida de dispersão que se exprimisse na mesma unidade de medida em que se exprimem os dados. O desvio-padrão é uma das medidas de dispersão que responde a esta exigência. O desvio- padrão representa-se por S ou σ conforme a variância e é igual à raiz quadrada positiva da variância. Assim temos:

4 Propriedades do desvio-padrão: 1. O desvio-padrão é sempre não negativo. 2. Quanto maior é o desvio-padrão maior é a dispersão dos dados em relação à média. 3. Se o desvio-padrão é igual a zero é porque não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais. 4. Ao multiplicar cada dado por uma constante diferente de zero, k, a média e o desvio-padrão vêm multiplicados por essa constante. Dados Bidimensionais Quando se pretende estudar duas caraterísticas conjuntamente, os dados observados aparecem sob a forma de pares de valores, isto é cada indivíduo ou resultado experimental contribui com um conjunto de dois valores. Dados Bidimensionais ou dados bivariados são dados obtidos de pares de variáveis. O gráfico que representa e organiza este tipo de informação tem o nome de diagrama de dispersão. Diagrama de dispersão é uma representação gráfica para os dados bivariados, em que cada par de dados (xi, yi) é representado por um ponto de coordenadas (xi, yi), num sistema de eixos coordenados. Análise Gráfica de dados bidimensionais Gráfico 1 - Diz-se que há uma associação positiva entre as variáveis se aos maiores valores de uma correspondem, de uma maneira geral, a maiores valores da outra. Gráfico 2 - Diz-se que há uma associação negativa entre as variáveis se aos maiores valores de uma correspondem, de uma maneira geral, a menores valores da outra. Gráfico 3 - Diz-se que não existe associação entre as duas variáveis.

5 Coeficiente de correlação linear Ao observarmos um diagrama de dispersão, intuitivamente verifica-se ou não a existência de associação entre as duas variáveis em estudo. Para quantificar o grau de associação linear entre duas variáveis utiliza-se uma estatística a que se dá o nome de correlação linear ou coeficiente de correlação linear, que se representa por r. Propriedades do coeficiente de correlação: 1. O valor do coeficiente de correlação r varia entre -1 e Quanto maior for o valor absoluto de r, mais forte será a relação linear existente entre as variáveis. 3. Se r é positivo significa que existe uma associação positiva entre as variáveis. Se r é negativo significa que existe uma associação negativa entre as variáveis. 4. A correlação não é afetada por uma mudança de unidades das variáveis. Reta de Regressão Quando duas variáveis estão fortemente correlacionadas os pontos do diagrama de dispersão colocam-se em torno de uma reta, a que se chama reta de regressão e que poderá ser obtida através da calculadora.