CAPÍTULO 8. de Variância - ANOVA ANOVA. Análise
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1 CAPÍTULO 8 Análise de Variância - UFRGS Os testes de hipótese apresentados até aqui limitaram-se à comparação de duas médias ou duas variâncias. Contudo, há situações onde se deseja comparar várias médias, cada uma oriunda de um grupo diferente. Esses grupos, também chamados tratamentos, poderiam ser: a performace em Km/l de carros consumindo 4 marcas de combustíveis, a eficiência de 3 métodos de treinamento, comparação da produtividade entre 5 máquinas ou 3 postos de trabalho ou 3 layouts. 1 One Way One Way - Analisa experimentos que envolvem: 1 Variável de resposta 1 Fator controlável a vários níveis (várias grupos) Os ensaios (repetições) realizados em cada nível do fator controlável configuram um grupo O objetivo é identificar se os valores da variável de resposta medidos nos diversos níveis do fator controlável diferem entre si. Exemplo: Um profissional deseja estudar se a temperatura ambiente influencia na produtividade dos funcionários. Para isso realizou três medidas de produtividade (peças/hora) em três temperaturas diferentes. Fator controlável: temperatura Níveis do fator controlável: 15, 5, 35 Variável de resposta: produtividade Repetições: 3 valores para cada nível Fator controlável Temperatura Níveis do fator control Variável de resposta 3 4
2 Existem dois tipos de experimentos Disposição dos dados Fatores Controláveis a níveis fixos: quando o efeito de cada nível é fixo, como no caso em que os tratamentos são 4 pressões de operações, ou 4 layouts ou 5 temperaturas; Por ex., 6 linhas produtivas. Fator A A 1 A... A k y 11 y 1... y k1 y 1 y... y k : : : : : : y : Fatores Controláveis a níveis aleatórios: quando o efeito de cada nível é aleatório, como no caso em que os tratamentos são k lotes de produção, ou k operadores escolhidos aleatoriamente; Por ex., 3 lotes escolhidos ao acaso. : : : : y 1,n1 y,n... y k,nk Totais T i. T 1. T.... T k. T.. = No.Obs. n i n 1 n... n k N = Médias Yi. Y 1. Y.... Y k. Y.. = 5 6 Modelo Estatístico Teste de Hipótese Os resultados poderiam ser representados por um modelo aditivo: Y = µ + τi. + ε ; i = 1,..., k onde: j = 1,..., n j Y é a observação j medida no tratamento i; µ média geral de todas as observações; Ho: não há diferenças significativas entre os grupos; µ = µ =... = 1 µ k H1: há diferenças significativas entre os grupos. µ µ... 1 µ k τ i. efeito do tratamento i; ε erro aleatório; 7 8
3 Decomposição da variabilidade A Análise de Variância se baseia na decomposição da variabilidade total. Mais especificamente, os desvios das observações individuais em relação a média global podem ser escritos como: ( Y Y ) = ( Y i. Y ) + ( Y Y.) ( Y i. Y.. ) ( Y Y i. ).... i é o desvio da média do tratamento i em relação à média global é o desvio da observação individual em relação a média do tratamento i correspondente; Exemplo 0 = Temperatura Ti.= T.. = 144 ni = N = 9 Yi. = Y.. = 16 Modelo Estatístico Y = µ + τ + ε i Níveis do fator controlável 9 10 Decomposição da variabilidade Y=0 ( Y Y..)=0 16=4 Y. = 19 ( Y Yi. )=0 19=1 ( Yi. Y.. )=19 16=3 Y 3. = 17 Elevando ao quadrado ambos os termos e efetuando o somatório, resulta:(eq. 144) ( Y Y ) = n ( Y Y ) + ( Y Y ).. i... i. i Desde que é fácil demonstrar que ( Yi. Y..)( Y Y i. ) = 0 Identificamos as seguintes somas quadradas: Y 1. = 1 Y.. = 16 SQT = SQG + SQR 15 o C 5 o C 35 o C Tratamentos= níveis do fator controlável 11 1
4 Teste F SQT soma dos quadrados totais, decomposta em: SQG soma dos quadrados dos grupos (tratamentos), associada exclusivamente a um efeito dos grupos; SQR soma dos quadrados dos resíduos, devida exclusivamente ao erro aleatório, medida dentro dos grupos. Observamos que a soma quadrada dos resíduos dividida pelos seus graus de liberdade fornecerá uma estimativa da variância dentro dos grupos: SQR i, j MQR = = N k ( Y Y ) N k i. = σ Da mesma forma, se não houver efeito dos grupos, a divisão da SGQ pelos respectivos graus de liberdade também fornecerá uma estimativa da variância dentro dos grupos: ( Y ) i. Y.. = n( / ) = SQG MQG = n σ = σ k 1 k 1 n Teste F Teste F Notem que, se não há efeito dos grupos, a quantidade entre colchetes é a variância das médias, a qual sabese que é igual a σ /n. Obseva-se que para as somas quadradas vale a aditividade: SQT = SQG + SQR As grandezas apresentadas acima são chamadas de médias quadradas, Observa-se que as Médias Quadradas são simplesmente uma outra notação para Variância. MQG = SQG/(k-1) é a Média Quadradas dos Grupos; N-1 = (k-1) + (N-k) Mas o mesmo não vale para as médias quadradas MQT MQG + MQR MQR = SQR/(N-k) é a Média Quadradas dos Resíduos; 15 16
5 Teste de hipótese Se não há diferença significativa entre os grupos: E(MQG) = E (MQR) Teste de Hipótese Verifica-se que, se não há efeito dos grupos, esse quociente é próximo de 1 Para testar a hipótese referente ao efeito dos grupos usamos a distribuição F que é o modelo adequado para a distribuição do quociente de duas variâncias. F calc = MQG MQR Estima a variância entre os grupos Estima a variância dentro do grupo Se há efeito dos grupos esse quociente será significativamente maior do que 1 O limite de decisão é estabelecido usando os valores tabelados da distribuição F : F α,k 1,N k = nível de significância graus de liberdade do numerador: k-1 graus de liberdade do denominador: N-k Distribuição F Distribuição F A hipótese nula µ 1 = µ =... = µ k será rejeitada se F calculado > F tabelado = F α,k 1,N k Logo há diferença significativa entre os grupos Caso contrário, não há diferenças significativas entre os grupos 19 0
6 Formulário para cálculo Tabela TC SQT SQG SQR = ( T..) N (Termo de Correção) ( Y ) ( T i. ni ) ( Y ) ( T n ) = TC = TC = SQT = SQG onde: T.. é a soma de todas as observações i. i Os cálculos associados à Análise de Variância são apresentados em uma tabela, chamada de Tabela de Análise de Variância ou Tabela (Analysis of Variance): Fonte de Variação SQ GDL MQ Teste F Entre Grupos SQG k-1 MQG MQG/MQR Dentro Grupos SQR N-k MQR Total SQT N-1 T i. é a soma das observações no grupo i 1 Exemplo a níveis fixos Os dados a seguir representam o alongamento de um composto de borracha, em função da quantidade de agente de processo adicionado durante a mistura. Agente Totais T..= 315 N o.obs N = 60 Médias 45,5 50,0 54,7 55,3 54,9 Y.. = 5, 08 Tabela TC = T.. / N = (315) / 60 = ,4 SQT = Σ (Y ) - TC = , ,4 = 110,58 SQG = Σ (T i. / n i ) - TC = [(546) / 1] [(659) / 1] ,4 = 875,33 SQR = SQT - SQG = 110,58-875,33 = 335,5 Fonte SQ GDL MQ Teste F Entre Grupos 875, ,83 35,9 (Agente de processo) Dentro Grupos (Residual) 335,5 55 6,09 Total 110,
7 Teste de Significânica Comparação múltipla de médias Como F calculado > F tabelado = F 0,05,4,55 Calcular o desvio padrão das médias 35,9 >,55 Conclui-se que existe diferença significativa de alongamento entre os grupos, ou seja, a quantidade de agente na mistura influencia significativamente o alongamento Qual a melhor quantidade considerando qualidade e economia?? s x = MQR / n c =,47 / 3,46 = 0,71 onde nc = (n1 + n nk) / k Calcular o limite de decisão L d = 3 s x = 3 x 0,71 =,13 Escrever as médias em ordem crescente ou decrescente e compará-las duas a duas. 45,5 50,0 54,7 54,9 55,3 Y (1) Y () Y (3) Y (5) Y (4) 5 6 Comparação múltipla de médias A diferença entre as médias será significativa se for maior que o L d Y () - Y (1) = 50,0-45,5 = 4,5 > Ld =,13 Y (3) - Y () = 54,7-50,0 = 4,7 > Ld =,13 Y (5) - Y (3) = 54,9-54,7 = 0, < Ld =,13 Y (4) - Y (5) = 55,3-54,9 = 0,4 < Ld =,13 Dif. Signif. Dif.Signif. Dif. Não Signif. Dif. Não Signif. Usar barras contínuas sobre as médias que não diferem entre si Y (1) Y () Y (3) Y (5) Y (4) Otimização A análise técnica deve acompanhar e completar a análise estatística. Para isso é recomendável representar graficamente os dados. Para os dados do experimento anterior, poderia se usar, por exemplo, um boxplot. Na otimização devemos considerar o binômio qualidade e custo. Os resultados estatísticos, em conjunto com a análise gráfica dão suporte à tomada de decisão a respeito do processo. Via de regra, o experimento revela opções para a redução de custos e melhoria da qualidade, simultaneamente. 7 8
8 Otimização Exemplo a níveis aleatórios Alongamento Boxplot Uma fábrica de embalagens de papel recebe a matéria prima (papel) em rolos. É desejável que as características dos rolos sejam homogêneas, de modo a fornecerem papel com a mesma resistência à tração. 35 G1 G G3 G4 G5 Agente de processo Como não existe diferença significativa entre as quantidades de agente 10, 15 e 0, a quantidade ótima de agente é 10 (dez) pois otimiza simultaneamente qualidade e custos O engenheiro suspeita que além da variabilidade inerente (dentro dos rolos) também possa haver uma variação significativa entre os rolos. Medições de resistência feitas em embalagens produzidas com material proveniente de cinco rolos aleatoriamente indicaram: 9 30 Exemplo a níveis aleatórios Hipóteses H o : não há diferenças significativas entre os rolos σ τ = 0 H 1 : há diferenças significativas entre os rolos σ τ > 0 Rolo Resistência Cálculos iniciais: Rolo T i. n i Y i , , , , ,38 T.. = 318 N = 43 Y.. = 74, 60 Tabela TC = (T.. ) / N = (308) /43 = 39331,7 SQT = Σ( Y ) - TC = 41476, ,7 = 144,8 SQG = Σ( T i. /n i ) - TC = [(749) /10] [(683) /8] ,7 = 1774,18 SQR = SQT - SQG = 144,8-1774,18 = 370,10 Fonte SQ GLD MQ Teste F Rolos 1774, ,54 45,54 Resíduos 370, ,74 Total 144,8 4 F calculado = 45,54 > F 0,05,4,38 =,856 Há diferenças significativas entre os rolos 31 3
9 Estimativa dos componentes de variação Estimativa dos componentes de variação Pode ser demonstrado que o valor esperado das médias quadradas vale: E (MQG) = σ + n c σ τ E (MQR) = σ Conhecidos os componentes de variação, podemos calcular a contribuição percentual de cada termo na composição da variabilidade total: ( ) σ = σ + σ Var Y = TOTAL τ A partir dessas equações, podemos obter as estimativas para os componentes de variaçãoσ e : σ = MQR MQG σ MQG MQR σ τ = = nc nc σ τ Percentual correspondente aos tratamentos: Percentual correspondente ao erro aleatório: σ 100 x τ σ TOTAL σ 100 x σ TOTAL Estimativa dos componentes de variação Otimização σ = MQR = 9,74 MQG MQR 443,54 9, 74 σ τ = = = 50,44 nc 8,6 σtotal = στ + σ = 50,44 + 9, 74 = 60,18 Os resultados indicam que 50,44 / 60,18 = 83,81 % da variabilidade total se deve a diferenças entre rolos. As causas dessas diferenças deveriam ser investigadas e, na medida do possível, eliminadas. Via de regra, a variabilidade devida aos tratamentos se deve a causas especiais que podem e devem ser eliminadas. Re Rolo 35 36
10 Otimização Por exemplo, diferenças entre máquinas podem ser devidas a falta de manutenção apropriada ou diferenças de setup. Similarmente, diferenças entre lotes de produção podem ser devidas a qualidade da matéria prima usada na produção de cada lote. Nesse caso, deveriam ser investigados os fornecedores, ou as condições de estocagem, etc. A variabilidade devida ao erro aleatório deve-se a causas comuns, inerentes ao sistema em estudo. Para eliminar as causas comuns é preciso modificar o sistema como um todo, o que pode não se justificar economicamente Exercícios 8.1) Quatro concentrações de catalisadores que podem afetar o tempo de processo de uma mistura química estão sendo investigados. Os seguintes tempos de misturas foram obtidos: Catalisador es ,7 56,3 53,0 54,4 58, 55,9 51, 53,0 57, 54,5 54, 51,4 58,4 57,0 53, 51,5 55,8 55,3 53,3 54,9 Totais T.. = n N = Médias Y.. = Pede-se: Cálculos iniciais: Fazer a análise de Variância e concluir a respeito do efeito dos catalisadores. Fazer uma comparação múltipla de médias se for o caso. Fazer um gráfico de barras, indicando a concentração média obtida para cada catalisador e concluir a respeito do que deve ser feito para (i) assegurar qualidade e (ii) assegurar economia. TC = T.. / N = (Y ) = SQT = (Y ) - TC = SQG = (T i. /n i ) - TC = SQR = SQT - SQG = 39 40
11 Tabela Anova: Fonte de Variação SQ GDL MQ Teste F Entre Grupos SQG k-1 MQG MQG/MQR Dentro Grupos SQR N-k MQR Total SQT N-1 F calculado = F tabelado = Efeito dos catalisadores é significativo? Comparação múltipla de médias (1) Calcular o desvio padrão das médias s = MQR / x n c onde n c = (n 1 + n n k ) / k () Calcular o limite de decisão L d = 3 x S X (3) Escrever as médias em ordem crescente ou decrescente e compará-las duas a duas. A diferença será significativa se for maior que o L d. (4) Usar barras contínuas sobre as médias que não diferem entre si. 41 4
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