SEEC UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO NORTE UERN FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FANAT DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS BIOLÓGICAS DECB

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1 Governo do Estado do Rio Grande do Norte Secretaria de Estado da Educação e da Cultura - SEEC UNVERSDADE DO ESTADO DO RO GRANDE DO NORTE UERN FACULDADE DE CÊNCAS EXATAS E NATURAS FANAT DEPARTAMENTO DE CÊNCAS BOLÓGCAS DECB Criado pela Resolução do CONSUN nº 08/97 de 09/12/97 e implantado em 03/01/2000 Fone: (0xx84) decb@uern.br Disciplina: Bioexperimentação Código: Professor: ron Macêdo Dantas Curso: Ciências Biológicas Bacharelado Período: 6º Ano: Exercício - Resolução Passo à Passo de um experimento hipotético montado em DC com análise de Regressão Os dados apresentados são modificados do exemplo do livro Experimentação Agrícola da BANZATTO e KRONKA (1989) os tratamentos referem-se a doses crescentes de gesso em kg/ha e os resultados são o peso em g de 1000 sementes de feijão. Tratamento x totais média var 0 134,80 139,70 147,60 132,30 554,40 140,70 45, ,70 157,70 150,30 144,70 614,40 156,57 57, ,70 172,70 163,40 161,30 658,10 165,60 31, ,80 168,20 160,70 161,00 659,70 166,23 22, ,70 170,00 168,20 161,00 674,90 171,30 36, ,80 177,30 170,40 180,40 719,90 179,83 79, ,50 190,40 178,80 184,00 737,70 184,57 22,51 RESOLUÇÃO DO EXERCÍCO PASSO À PASSO: 1. Verificar homocedasticidade dos dados Hartley = Hc= S 2 max Hc= 79,62 2 S min 22,51 = 3,54 Hartley tabelado = (para 7 grupos e 3 gl) 72,90 (p < 0,05) e 216,0 (p < 0,01) como H c < H tab Aceita-se H0 e conclui-se que os dados são homocedasticos. 2. Análise de variância - ANAVA dados iniciais. = Número de tratamentos = 7 tratamentos J = Número de repetições = 4 repetições n = número de parcelas do experimento = x J = 7 x 4 = 28 1

2 Etapas para a ANAVA 1. Calcular o fator de correção C C= G 2 J onde G= J x ij então deveremos somar todos os valores de x desde x 1 até x 28 j=1 G = 134, ,00 = 4619,1 e G 2 = 4619,1 2 = ,81 aplicando na fórmula C= G 2 J = C= 4619,12 7 x 4 = C= ,81 =762003, Calcular os graus de liberdade para tratamento GL Tratamento = 1 = 7 tratamentos 1 = 6 GL GL Total = ( x J) 1 = 7 x 4-1 = 28-1 = 27 GL Resíduo = por diferença = GL Total - GL Tratamento = 27 6 = Calcular a Soma de Quadrado Total SQ Total = J j =1 x 2 ij C então SQ Total = (134, ,00 2 ) ,0289 Obs.: note bem que é cada um valor de x (valor da parcela) elevado ao quadrado e depois somado, posteriormente este resultado é subtraído de C SQ Total = ( ,77) ,0289 = 6656, Calcular a Soma de Quadrado dos Tratamentos = T 2 C onde T = Soma de cada um dos tratamentos então J = 1 4 (554, , , , , , ,7 2 ) ,0289 ou = (554, , , , , , ,7 2 ) , = , ,0289 = SQ 4 Trat =767773, ,0289 =767773, ,0289 = 5770, Calcular a Soma de Quadrado do Resíduo SQ Resíduo = SQ Total = 6656, ,4036 = 886,3375 2

3 6 Calcular os Quadrados Médios do Tratamento e do Resíduo Quadrado Médio do Tratamento QM Trat = = 5770,4036 =961,7339 GL Trat 6 Quadrado Médio do Resíduo Obs: este valor o QM REs será considerado a variância do experimento. QM Res = SQ Res = 886,3375 =42,2065 GL Res 21 7 Calcular o Valor de F F = QM Trat QM Res = 961, ,2065 =22,77 8 Comparar o F cal com o F tab F tab (para 6 GL e 21 GL) para 5% = 2,57 e para 1% = 3,81 Como o F cal 22,7 foi maior que F tab, Rejeita-se H 0 e conclui-se que existem diferenças entre os tratamentos (F, p 0,01 ) Causa de Variação GL SQ QM F Tratamento , , , ** Resíduo ,34 42, Total ,74 3

4 Como o F foi significativo, e os tratamentos são quantitativos e em mais de dois níveis (temos 7 níveis) uma análise completa deverá ser realizada levando em conta a regressão, subdividindo-se os 6 Graus de Liberdade de Tratamento em Regressões da seguinte forma: cv GL SQ QM F Tratamento , , , ** Resíduo ,34 42, Total ,74 Regressão linear (1º grau) 1 Regressão quadrática (2º grau) 1 Regressão Cúbica (3º grau) 1 Regressão 4º grau 1 Regressão 5º grau 1 Regressão 6º grau 1 Veja que a soma dos graus de liberdade das regressões deverã ser igual a 6 que é o grau de liberdade dos tratamentos. Como verifica-se que os resultados dos tratamentos são crescentes com uma tendência a uma reta consequentemente uma regressão de 1º grau poderemos agrupar as regressões maiores o qual será chamado de desvio das regressões e somar os seus graus de liberdade, ficando da seguinte forma: cv GL SQ QM F Tratamento , , , ** Resíduo ,34 42, Total ,74 Regressão linear (1º grau) 1 Regressão quadrática (2º grau) 1 Desvio das regressões 4 Veja que o GL do desvio das regressões =4 é a soma dos GL das regressões de 3º, 4º, 5º e 6º graus. Precisamos agora calcular as somas de quadrados para as regressões 9 Calcular a Soma de Quadrado para a Regressão Linear SQ RegLinear = ( Y ) 2 rk 1 onde tabelado Y = C 1i, r é o número de repetições do tratamento e K 1 é 4

5 Primeiro precisamos calcular o contraste correspondente à Regressão Linear Y = C 1i onde C são os coeficientes e da regressão linear (Tabelado, porque os níveis são equidistantes) e T é o total de cada tratamento. Veja a tabela com os coeficientes para n= 7 níveis Coeficientes para 1º grau C 1i tabela para 7 niveis Coeficientes para 1º grau C2 i k M 1 1 O contraste será da seguinte forma Y = C 1i Y = 554,40. (-3) + 614,40. (-2) + 658,10. (-1) ,70. (3) = 777,7 para facilitar o entendimento poderemos fazer uma tabela como abaixo Totais dos tratamentos Coeficientes para 1º grau C 1i 554,40 x ,2 614,40 x ,8 658,10 x ,1 659,70 x 0 0,0 674,90 x 1 674,9 719,90 x ,8 737,70 x ,1 soma 777,7 5

6 Então a estimativa para o contraste da regressão do 1º grau é = 777,7 E poderemos então calcular a Soma de Quadrado da Regressão de 1º grau ou Regressão Linear. Como: a estimativa da = 777,7 r (número de repetições para cada tratamento) = 4 e K 1 = 28 (na tabela) é somente substituir na fórmula SQ RegLinear = ( Y ) 2 SQ rk RegLinear = 777, = SQ RegLinear = , = 5400, Calcular a Soma de Quadrado para a Regressão Quadrática (2º grau) SQ RegQuad = ( Y RQ ) 2 rk 2 onde tabelado Y RQ = C 2i, r é o número de repetições do tratamento e K 1 é Primeiro precisamos calcular o contraste correspondente à Regressão Linear Y = C 2i onde C são os coeficientes e da regressão quadrática (Tabelado, porque os níveis são equidistantes) e T é o total de cada tratamento. Veja a tabela com os coeficientes para n= 7 níveis tabela para 7 niveis Coeficientes para 1º grau C 1i Coeficientes para 1º grau C2 i k M 1 1 O contraste será da seguinte forma Y RQ = C 2i Y RQ = 554,40. (5) + 614,40. (0) + 658,10. (-3) ,70. (5) = 777,7 6

7 para facilitar o entendimento poderemos fazer uma tabela como abaixo Totais dos tratamentos Coeficientes para 2º grau C 2i 554,40 x ,0 614,40 x 0 0,0 658,10 x ,3 659,70 x ,8 674,90 x ,7 719,90 x 0 0,0 737,70 x ,5 soma -177,3 k 84 M 1 Então a estimativa para o contraste da regressão do 2º grau é = -177,3 E poderemos então calcular a Soma de Quadrado da Regressão de 2º grau ou Regressão Quadrática. Como: a estimativa da RQ= -177,3 r (número de repetições para cada tratamento) = 4 e K 1 = 84 (na tabela) é somente substituir na fórmula SQ RegLinear = ( Y RQ ) 2 SQ rk RegQuad = 177, = SQM RegQuad = 31435, = 93, Calcular a Soma de Quadro dos Desvios das Regressões Calcula-se pela diferença: SQ Desvios das Regressões = amento SQ RegLinear SQ RegQuad SQ Desvios das Regressões = 5770, , , Calcular os Quadrados Médios para Regressão Linear, quadrática e para os desvios os quais são calculados dividindo-se as somas de quadrados pelos respectivos graus de liberdade assim: QM = 5400,15438/1 = 5400,15438 QM RQ = 93, /1 = 93, QM Desvios = 276,691786/4 = 69, Calcular os Fs para cada regressão. Calcula-se dividindo-se sempre o quadrado médio de cada regressão pelo Quadrado médio do resíduo (sempre pelo quadrado médio do resíduo) 7

8 Assim: F Regressão Linear = 5400,15438/5400,15438 = 127, F Regressão Quadrática = 93, /42, = 2, F Desvio = 69, /42, = 1, Comparar os F calculados com os F tabelados para 1 gl e 21 gl (gl do resíduo) no caso da regressão linear e quadrática e para 4 gl e 21 gl (gl do resíduo) no caso dos desvios. Os valores são: para 1 e 21 gl a 5% = 4,32 e a 1% = 8,02 para 4 e 21 gl a 5% = 2,84 e a 1% = 4,37 cv GL SQ QM F Tratament , , , ** Resíduo ,34 42, Total ,74 reg linear , , ,945892** reg quadr 1 93, , , desvio das reg 4 276, , , Como o F cal 22,7 foi maior que F tab, Rejeita-se H 0 e conclui-se que a regressão linear foi significativa p< 0,01 indicando que é possível estabelecer uma relação funcional entre a dose de gesso utilizada X e o peso de 1000 sementes Y. 3 Determinação da equação de regressão Neste caso vamos determinar a equação de regressão Linear pois foi a regressão de maior grau que deu significativa. A fórmula geral é: Y =Ȳ +B 1 M 1 P 1 +B 2 M 2 P2+... no nosso caso como o F foi significativo apenas para a regressão linear utilizaremos apenas: Y =Ȳ +B 1 M 1 P 1 onde: Ȳ é a média do experimento dado por Ȳ = G J G já foi calculado e é a soma total do experimento = 4619,1 = tratamento e J= Repetição então: Ȳ = 4619,1 7x4 B 1 é dado por = 164,9678 Y B 1 = rk 1 8

9 Y já foi calculado veja novamente: O contraste será da seguinte forma Y = C 1i Y = 554,40. (-3) + 614,40. (-2) + 658,10. (-1) ,70. (3) = 777,7 para facilitar o entendimento poderemos fazer uma tabela como abaixo Totais dos tratamentos Coeficientes para 1º grau C 1i 554,40 x ,2 614,40 x ,8 658,10 x ,1 659,70 x 0 0,0 674,90 x 1 674,9 719,90 x ,8 737,70 x ,1 soma 777,7 Então a estimativa para o contraste da regressão do 1º grau é = 777,7 K 1 é Tabelado e tem valor = 28 P 1 também é tabelado e tem valor = x (observação: vamos verificar a posteriori que este x é uma variável auxiliar que deveremos calcular para finalizar a equação de regressão discutiremos isto mais adiante) Então já temos os valores vamos somente substituir na fórmula: Y B 1 = = B rk 1 = 777,7 1 4x28 = 6,94375 M 1 = 1 (tabela) P 1 = x (tabela) Então vamos substituir na fórmula geral para equação de 1º grau Y =Ȳ +B 1 M 1 P 1 Y= 1156, , x Y= 1156, ,94375 x Como comentado anteriormente x é uma variável auxiliar dada por: 9

10 x= X X q onde: X =média dos valores de X então: X = = 150 e q = é a diferença entre dois níveis sucessivos de X que neste caso é igual a 50 veja: 50 0 = 50; = 50; = 50 e assim por diante. Então substituindo na fórmula temos: x= X e substituindo na equação Y= 164, ,94375 x temos: Y =164,9678+6,94375 X 150 simplificando a equação vamos dividir 6,94375 que está 50 multiplicando a fração por 50 e dividir o denominador (50) também por 50 então teremos Y =164, , X = Y =164,9678+0, X Y =164,9678+0,138875( X 150) = Y =164,9678+0, X +( 0,138875( 150)) Y =164,9678+0, X 20,83125 = Y =164, , , X Y =164, , , X Y =144, , X onde Y= peso de 1000 sementes (em gramas) e X dose de gesso em kg/ha para 0 x Calcular o ceficiente de determinação R 2 Este coeficiente expressa em percentagem, quanto da variação na resposta é explicada pela regressão em questão e é dado pela fórmula: R 2 = SQ inear = R 2 = 5400, ,40357 =0,9358 ou seja 93,58% da variação é explicada pela regressão linear. 10

11 5 Fazer a verificação do ajuste da equação de regressão calculando os valores esperados Esta verificação é realizada substituindo-se os valores de X na equação Y =144, , X para X = 0, 50, 100, 150, 200, 250 e 300 Tratamento x Y observado (média) Y calculado 0 138,60 144, ,60 151, ,53 158, ,93 164, ,73 171, ,98 178, ,43 185,80 Representar no gráfico 200,00 180,00 160,00 140,00 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00 f(x) = 0,14x + 144,14 R² = 0,