GUIDG.COM PG. 1. Exercícios iniciais: Determine o conjunto solução das inequações: i) x 2 + 1< 2x 5x: Solução: Resolvendo em partes: y1)

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1 5/7/011 CDI-1: Inequações, passo à passo, exercícios resolvidos. TAGS: Exercícios resolvidos, Inequações, passo à passo, soluções, cálculo 1, desigualdades, matemática básica. GUIDG.COM PG. 1 Exercícios iniciais: Determine o conjunto solução das inequações: i) x + 1< 5x: Resolvendo em partes: y1) x + 1 < x + < 0 > 0 x =Fp =F y) 5x x + 5x@ 3 5F 5@ ` a ` a 3 x 5F 7 x = = x i = 1 e xii =@ 3 Logo o conjunto solução é a interseção de y1 e y, então montamos o diagrama: R S B c S = x <@ ou por intervalos S =@ 3,@ Exercício para o leitor: 5 < 3 < 1 R S S = < x < ou por intervalos S

2 TAGS: Exercícios resolvidos. Livro: Calculo A Funções, Limite, Derivação, Noções de integração (5ª Edição, revista e ampliada). Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves GUIDG.COM PG. (Números reais, pg. 15) Exercícios. (Inequações) 1. Determinar todos os intervalos de números que satisaçam as desigualdades abaixo. Fazer a representação gráica. a a 3@ x < 5 + 3x b a x@ 5 < x c a >@ 3@ 7 d a 5 x 3 < e a x 9 a 3x + > 0 g a 1@ x@x 0 h a x + 1 x x 3 + x i a x > x + x j a x ` 1 x + 0 1@ x + 3 l a x x m a x < x@ 3 n a 1 x@ 3 > 1 + x o a 3 x@ 5 p a x x@ > 0 q a x 3x + 0 r a 1 3 x + 1 x@ s a 8x x + 1 < 0 t a 1x 11x + k a x + 1 x@ x@ Soluções: a a 3@ x < 5 + 3x Por tratar-se de uma desigualdade simples, podemos resolver da seguinte maneira: 3@x < 5 + 3x 3@x@ 5@ 3x < x@ < 0 x + > 0 x>@ x >@ x >@ 1 S 1 g, +1

3 GUIDG.COM PG. 3 b a x@ 5 < x 1@ x + 3 x 1 < 3x + 1@ x ma ma c 1,3, = 1 x@ 60 < + 9x x 1 x@ + x < 0 19x@ 68 < 0 x < S 68 g 19 c a >@ 3@ 7 >@ 3@ < 5 < x 3 3 S 5, G 3 3 d a 5 x 3 < 5 < 0 x 0@ 3x + 0 < 0 ou < 0 inequação quociente x x Análise do comportamento de sinais das unções. Pela última desigualdade queremos a parte menor que zero (negativa): a y 3x + 0 < 3x + 0 = 3x =@ 0 x = 0 3 y a x< 0 x = 0 Então montamos o diagrama de sinais: Logo, vemos que os valores que tornam a desigualdade verdadeira é a união de dois intervalos: S S 0 g, +1 3

4 GUIDG.COM PG. e a x produto notavel, dierença de quadrados ` a` a x + 3 A x@ 3 0 inequação produto Análise do comportamento de sinais das unções: y 1 a x x + 3 = 0[x =@ 3 y a x@ 3 0 x@ 3 = 0[x = 3 E assim montamos o diagrama de sinais: Portanto encontramos os valores que tornam esta inequação verdadeira: R S B C S = x 3 ou por intervalos S =@ 3,3

5 GUIDG.COM PG. 5 a 3x + > 0 3x + = 0 Para resolver, precisamos comparar com a equação do segundo grau: ax² + bx + c = 0, assim identiicamos os valores de a = 1, b = -3, c =. Isso se repetirá sempre, é importante saber! x bf q A aa c a Agora substituímos nessa órmula, que é conhecida como órmula de Bhaskara, daqui pra rente será muito útil, portanto você deve memorizar! Substituindo os valores na órmula temos: x ` 3 a ` a A `a 1A ` q a `a 3Fp9@ 8 3Fp 1 3F 1 = = = 1 Resolvendo, encontramos os valores de x : S = { 1, } Mas o exercícios não quer os valores de x, e sim os valores de x para os quais a unção é maior que zero (símbolo >), então azemos o gráico para melhor visualizar: O sotare Geogebra gera esse gráico acilmente, mas você também deve aprender a azer o gráico sem a ajuda do computador, veja que só precisamos dos valores de x e do sinal de a, que identiica se a parábola esta para cima (positivo) ou para baixo (negativo). Agora podemos responder a pergunta. Para que valores a unção é maior que zero? A resposta é a parte cinza do gráico, ou R S S S, +1 ou ainda S = xr x6 1 < x < g a 1@ x@x 0 Este ica como exercício para o leitor. O processo de resolução é o mesmo, mas veja que o sinal de a é negativo, então a parábola esta para baixo. V S = x x 1 W F ou por intervalos:@ 1, 1 G

6 GUIDG.COM PG. 6 h a x + 1 x x 3 + x Veja que x e 3 (veja que o denominador não pode ser zero)... então: ` a` a ` a x x < x ` a` x 3 + x x + x + 3 < x + 6 Inequação quociente, resolvendo o numerador: y 1 a x + x + 3< 0 x + x + 3 = ` a` q 3 F p@ 0 x = = Como vemos deu raiz negativa e isso implica que não existem raízes Reais tais que tornem a equação verdadeira, isto é, as raízes são números complexos. Logo a unção é positiva para todo x pertencente aos reais. Resolvendo o denominador: y x + 6 < x + 6 = 0 ` a`a 1 6 1F 5 x x i =@ 3 e x ii = Logo, temos os valores que satisazem a inequação e podemos ver neste esboço. (em vermelho os valores de x): A solução é dada após montarmos o diagrama de sinais: Então os valores que tornam a inequação verdadeira é o conjunto: R S S = x R x<@ 3 e x> ou por intervalos S 3 S, +1

7 GUIDG.COM PG. 7 i a x > x + x x 3 + 1@ x > 0 x ` a ` a x@ 1 x@ 1 > 0 x ` 1 x@ 1 > 0 y 1 a 1> 0 1 = 0 x =Fp1 =F 1 y a x@ 1 > 0 x@ 1 = 0 x = 1 Montamos o diagrama de sinais de y1 com y : Portanto o conjunto de números que satisazem a inequação: R S S = < x < 1 e x >1 ou por intervalos S 1,1 S 1, +1 j a x ` 1 x + 0 Inequação produto, resolvendo: y 1 a = 0 y a x + 0 x + = 0 x =@ Montando o diagrama de sinais temos: Portanto o conjunto de números que satisazem a inequação: R S b C B C S = xr 1 x 1 S@ 1,1

8 GUIDG.COM PG. 8 k a x + 1 x@ x@ Resolvendo cada inequação separadamente, com x : x + x@ x@ 0 x@ z~ y 1 ~x ` x ` a 0 {~ x@ }~y y b c passando ao lado esquerdo e simpliicando ineqa proda Pelo gráico das unções podemos concluir, visualizando o digrama de sinais: b C Logo S 1 U, +1 Agora, resolvendo o lado direito: x + 1 x@ x 1 0 mmc e simpliicação x@ 0 x@ Pelo gráico da unção do denominador, concluímos: S

9 GUIDG.COM PG. 9 Comparado as soluções: b C S 1 U, +1 S Visualizando por intervalos, lembrando que x para não zerar no denominador: A única solução (ou o domínio) que satisaz simultaneamente as duas inequações é a interseção das soluções: R S S = xr x 0 b C ou S 0 l a x x Solução x x x 0 x + x x 0 y 1 a x + x 0 x + x = 0 x 1F q A 1A 1F 1 = x i = 0 x ii =@ 1 y a x 0 x = 0 x = 1F q 1 A 1A 0 1F 1 = x i = 1 e x ii = 0 Montando o diagrama de sinais: E assim: b C B S 1S 1, +1 c S PQ 0

10 GUIDG.COM PG. 10 m a x < x@ 3 Fica como exercício para o leitor. S U, +1 n a 1 x@3 > 1 + x 1 x@ 3 + x = 1 x@ 1>0 + x x@ 1>0 + x x@ 6 1 1>0 + x x@ 1>0 8 + x x@ >0 8 + x 8 + x x@ 6@ 8@x >0 8 + x@ 1 >0 8 + x Da última desigualdade temos: y1) -x-1 > 0 -x -1 = 0 -x = 1 x = -1 y) 8+x > 0 x +8 = 0 x = -8/ = - Logo, os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira é o intervalo aberto: S 1,@. Isto é, a inequação é verdadeira para todo x pertencente a este intervalo, exceto as bordas x = -1 e x = -.

11 o a 3 F g 13 Fica como exercício para o leitor. S 5 U, +1 x@ 5 p a x x@ > 0 x x@ = 0 GUIDG.COM PG. 11 O método para encontrar as raízes de polinômios como este se chama Pesquisa de raízes, e é assim: (-) é o coeiciente d, e 1 é o coeiciente a da unção polinomial. As possíveis raízes são os divisores inteiros de d, e de a, na ração d/a. Divisores de d(-): {±1, ±} Divisores de a(1): {±1} Possíveis raízes: d P Q :F 1,F a Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a primeira que reduza o grau: F F V E re-escrevemos a unção polinomial como: x ` a + x + 1 A x@ = 0 Mas estamos procurando por valores tais que: x ` a + x + 1 A x@ > 0 y 1 a x@ > 0 x@ = 0[x = a y x + x + 1>0 x + x + 1 = 1Fp1@A 1A 1 x = logo9+ xr as raízes são números complexos Como y é maior que zero para todo x pertencente aos Reais, temos que: S =, +1

12 GUIDG.COM PG. 1 q a x 3x + 0 Neste caso a soma dos coeicientes resulta num valor igual a zero: a = 1, b = -3, c = a+b+c = 0 Conclui-se que 1 é raiz da equação, para mais inormações consulte o exercício t. Prosseguimos realizando a divisão de polinômios. Divisão de polinômios, método da chave: x³ - 3x + x - 1 -x³ + x² x² + x - = 0 + x² -3x + -x² + x = 0-x + +x - = 0+0 Então 1 é raiz. Logo podemos escrever: x³ -3x + = (x -1)(x² + x -) 0 y1) x-1 0 x -1 = 0 x = 1 y) x² + x - 0 x² + x = 0 x 1F ` q 1F 3 = x i = 1 e x ii =@ b C P Q Portanto o intervalo que satisaz a inequação é: S U 1

13 GUIDG.COM PG. 13 r a 1 3 x + 1 x@ Veriicando o denominador vemos que: x -1 e x. 1 0 x + 1 x@ ` a ` a 3 x + 1 ` a` a 0 x + 1 x@ 3x@ 3 0 x + x@ 5 0 x@ Resolvendo a última desigualdade: y1) -x x -5 = 0 -x = 5 x = -5 x = -5/ y) x² -x - 0 x² -x - = 0 Vamos resolver esta equação de segundo grau usando Soma e Produto, isto é dois números somados que são iguais à S, e dois números multiplicados que são iguais à P: S =@ 1 =@ = 1 a 1 P = c =@ =@ a 1 x i =@ 1 e x ii = ` a Pois S:@ 1 + = 1 e P: 1A@ =@ Logo, as raízes são x i =@ 1 e x ii = Com isso montamos o diagrama: Logo os valores de x que satisazem a inequação é o intervalo S 5 G S@ 1,.

14 GUIDG.COM PG. 1 s a 8x x + 1 < 0 Uma das ormas de resolver este exercício é atorando o polinômio: 8x x + 1 = x ` a ` a x@ x@ 1 <0 ` a x@ 1 1 <0 Resolvendo a última desigualdade: y1) x-1< 0 x-1= 0 x= 1 x=1/ y) x² -1 < 0 x²-1 = 0 x² = 1 x² = ¼ s x = ± 1 =F 1 então: x i =@ 1 e xii = 1 Então montamos o diagrama: Logo, os valores que tornam a desigualdade verdadeira é o intervalo: S = (-, -1/)

15 GUIDG.COM PG. 15 t a 1x 11x + O procedimento já oi visto na resolução do exercício ( p ), chama-se Pesquisa de raízes, inelizmente são poucos os alunos que tenham estudado este assunto no ensino médio, portanto se você não entender deverá estudar Polinômios e equações polinomiais. 1x 0x + 11x@ 0 1x 0x + 11x@ = 0 Agora devemos atorar o polinômio e precisamos das raízes. O procedimento é um pouco longo, mas unciona. Pesquisa de raízes: (-) é o coeiciente d, e 1 é o coeiciente a da unção polinomial. As possíveis raízes são os divisores inteiros de d, e de a, na ração d/a. Divisores de d(-): {±1, ±} Divisores de a(1): {±1, ±, ±3, ±, ±6, ±1} Possíveis Raízes: d a V 1 : F 1,F 1,F 3 1,F 1,F 1,F 6 1,F,F,F,F 3 Percebemos que algumas são equivalentes, e resumimos o conjunto em: V d 1 : F 1,F 1,F a 3 1,F 1,F 1,F 6 1 W,F,F 3,F 6 W,F 1 Agora utiliza-se o dispositivo de Briot-Ruini para dividir o polinômio pelas possíveis raízes e achar a primeira que reduza o grau: F F 1/ V Logo podemos re-escrever a unção polinomial como um produto: g 1 1x + A x@ = 0 Mas estamos procurando por valores tais que: g 1 1x + A x@ 0

16 GUIDG.COM PG. 16 g 1 1x + A x@ 0 Resolvendo a última desigualdade: a 1 y 1 x@ 0 x@ 1 = 0 x = 1 y a 1x + 0 1x + = 0 7x + = 0 7Fp9@A 6A 7F 1 x = = 1 1 x i = 8 = e xii = 6 1 = Então, montamos o diagrama: Logo, os valores de x que tornam a inequação verdadeira é o intervalo: S = {1/} U [/3, + ) Encontrou erros? Envie sua sugestão, ajude-nos a melhorar este manual de soluções. guilhermedg@hotmail.com.guidg.hd1.com.br