Inferência sobre duas proporções

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1 Teste para duas populações duas populações Amostra :,,,, alor comum para delta 0 Amostra 2:,,,, Tamanho Tamanho Média amostral x Média amostral x Desvio-padrão Desvio-padrão Teste para duas populações População Objetivo: A média da população é menor do que a da população 2 : : < : 0 : < 0 População 2 µ µ 2 Objetivo: A média da população é maior do que a da população 2 : = : > : = 0 : > 0 Objetivo: A média da população é diferente da população 2 : = : : = 0 : 0 Formas de obter as amostras Amostras independentes: As observações das amostras são obtidas de duas populações diferentes, sem quaisquer relação entre elas. Exemplo: Registrar o valor do aluguel de apartamentos selecionados de dois bairros diferentes. Amostras dependentes (ou pareadas): As observações das amostras são obtidas no mesmo elemento ou indivíduo, porém em momentos diferentes. Exemplo: Registrar o peso de pacientes antes e depois de uma dieta e o objetivo é ver se há efeito da dieta. Temos um par de medidas obtidas no mesmo indivíduo.

2 duas proporções duas proporções (amostras independentes) População População 2 Amostra Com elementos = #!" #$"%&# Amostra 2 Com elementos = #!" #$"%&# 2 duas proporções TESTE de HIPÓTESE: Estatística de teste Exemplo Uma empresa de T a cabo pretende incluir um novo canal em sua grade, mas isto implica em aumentar a mensalidade. A empresa deseja saber se a aceitação do novo canal é a mesma para os assinantes antigos e para os novos, ou se depende do tempo de assinatura. Para responder isto, uma amostra de novos assinantes (até dois anos) e uma de antigos assinantes (mais de dois anos) foi selecionada, obtendo os resultados abaixo: Z -./- = 2 3 Proporção combinada de sucessos 3 3 #!" 3 Pagariam a mais? Assinantes Novos Antigos Sim Não INTERALO DE CONFIANÇA (bilateral) para estimar a real diferença ) * ) Teste a hipótese de que a proporção de novos assinantes e antigos que pagariam a mais pelo novo canal é a mesma. Use nível de significância de α = 5%. Qual deve ser a conclusão da empresa?

3 Resolução do exemplo =novosclientes 2=antigosclientes >#>": 54/90= 0,60 05/50 = 0,7 0 59/240 = 0,6625 Z -./- = 2 3 0,60 0,70 0,6625 0,3375 Critério de rejeição: Rejeita H 0 se zcalc +, ,58 duas médias (amostras independentes) pvalor2 área esquerda de,58 2 0,0570,4 (ou,4%) Conclusão: Há evidências para não rejeitar H 0, portanto não há diferença significativa entre as proporções na população. duas médias População População 2 duas médias CASO : Supondo variâncias conhecidas TESTE de HIPÓTESES: Estatística de teste z -./- = x x 3 Amostra Amostra 2 IINTERALO DE CONFIANÇA (bilateral) para estimar a diferença Y * Y Para TH e IC, usar distribuição normal padrão (Z)

4 CASO 2: Com variâncias desconhecidas, porém desiguais TESTE DE HIPÓTESE: Estatística de teste CASO 3: Com variâncias desconhecidas, porém iguais (**) TESTE DE HIPÓTESES: Estatística de teste % Z[\Z = x x + t -./- = x x c + variância combinada c = INTERALO DE CONFIANÇA (bilateral) para estimar a diferença Y * Y + Usar distribuição t de Studentcom graus de liberdade igual a: ±% + ^_ = `ab +`ab `ab + `ab `ab = `ab = INTERALO DE CONFIANÇA (bilateral) para estimar a diferença Y * Y + ±% c + Para TH e IC, usar distribuição t com: + 2graus de liberdade Exemplo 2 Exemplo 3 Para determinar como uma dose experimental de anestesia afeta homens e mulheres, uma amostra de 5 mulheres e 3 homens foi selecionada aleatoriamente em uma clínica odontológica e seus tempos de reação (em minutos) registrados. Assuma que os tempos seguem a distribuição normal com os grupos tendo variâncias iguais. A tabela abaixo mostra a síntese das amostras. Para verificar se os recém-nascidos (RN) de ambos os sexos que nasceram em um hospital têm, em média, a mesma altura, uma amostra de uma amostra de 57 meninos RN e 55 meninas RN foi selecionada aleatoriamente e suas alturas (em cm) foram registradas. Assuma que as estaturas seguem a distribuição normal. A tabela abaixo mostra a síntese das amostras. << usar caso 3 >> (a) Há evidência de que o tempo de reação nas mulheres é menor que o dos homens? Use um teste de hipótese ao nível de 5% de significância. (b) Construa um intervalo de 95% de confiança para estimar a real diferença entre as médias do tempo de reação entre os dois grupos. Há evidência de que a estatura média dos meninos é maior do que a das meninas? Use um teste de hipótese ao nível de % de significância. << usar caso 2 >>

5 Exemplo 4 Para comparar dois métodos (A e B) de ensinar Matemática para crianças, o método A foi num grupo de crianças e o método B emoutro grupo.para evitar a influência de fatores intervenientes, a composição prévia dos dois grupos é feita de forma aleatória, cujos dado são mostrados na tabela a seguir: Método A de ensino: Método B de ensino: Esses dados têm evidência suficiente capaz de garantir que os dois métodos de ensino produzem o mesmo efeito? Use α= 0,05. Exemplo 5 Um cientista de computação está investigando a utilidade de duas diferentes linguagens (A e B) de programação na melhoria de tarefas computacionais. Doze programadores experientes, familiarizados com ambas as linguagens, codificaram uma função padrão nas duas linguagens. Os tempos em minutos foi registrado conforme tabela a seguir: A B Encontre um de 95 % para a diferença nos tempos médios de codificação. Há alguma indicação de que uma linguagem de programação seja preferível? << Calcular as variâncias preliminarmente de cada amostra e decida se deve usar caso 2 ou caso 3 >> duas médias duas médias (amostras emparelhadas) População População 2 Amostra Amostra 2

6 duas médias TESTE de HIPÓTESES: Estatística de teste t -./- > d / IINTERALO DE CONFIANÇA (bilateral) para estimar a diferença Y * Y + > 4% e d Exemplo 6 Um psicólogo com o objetivo de avaliar o efeito de um programa experimental de treinamento sobre a produtividade de funcionários de uma certa empresa, fez um estudo em que se observou a produtividade de uma amostra de 9 funcionários antes e depois do programa experimental de treinamento. Os dados obtidos estão na tabela abaixo: Antes Depois onde d e s f são, respectivamente, a média e o desvio-padrão das diferenças Usar distribuição t com n graus de liberdade Antes x x 2... x n Os dados mostram evidências suficientes para afirmar que o programa de treinamento aumenta a produtividade dos funcionários? Teste a hipótese a um nível de significância de 5 % Depois y y 2... y n di x -y x 2 y 2... x n -y n