Álgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP

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1 Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP Autovalores e Autovetores Definição e Exemplos 2 Polinômio Característico 3 Diagonalização

2 Autovalores e Autovetores Atenção: Nesta seção consideraremos somente matrizes quadradas, ou seja, A n n. Definição: Seja A n n. O número λ é chamado de autovalor de A se existir um vetor não-nulo x R n tal que Ax = λx () Todo vetor x não-nulo que satisfaz () é chamado de um autovetor de A associado ao autovalor λ. Os autovalores também são chamados de valores próprios, ou de valores característicos; e os autovetores também são chamados de vetores próprios ou de vetores característicos.

3 Autovalores e Autovetores: Exemplos Exemplo () Se A é a matriz identidade I n então o único autovalor é λ = ; todo vetor não-nulo em R n é um autovetor de A associado com o autovalor λ = : I n x = x Exemplo (2) Seja A = A = de modo que x = λ = 2. [ [ ]. Então: [ 0 ] [ ] 2 2 = = ] é um autovetor de A associado ao autovalor Exemplo (3) Considere a matriz [ do ] Exercício (2). Calcule o autovalor λ 2, para o autovetor x 2 =.

4 Autovalores e Autovetores Exemplo (cont. ) 0 0 Exemplo (4) Seja A =. Calcule os autovalores λ 0 e λ 2 para 0 os autovetores x = e x 0 2 =. Observação: Embora o autovetor não possa ser o vetor nulo (definição), o autovalor pode ser o número zero. Exemplo (5) Seja A =. Encontre os autovalores de A e 2 4 seus autovetores associados. Ou seja, [ encontre ] todos os números λ x e todos os vetores não-nulos x = tal que: x 2 [ 2 4 ] [ x x 2 ] = λ [ x x 2 ]

5 Calculando Autovalores e Autovetores Definição: Seja A n n. O determinante λ a a 2 a n f(λ) = det(λi n A) = det a 2 λ a 22 a 2n a n a n2 λ a nn é chamado de polinômio característico de A. A equação f(λ) = det(λi n A) = 0 é chamada de equação característica de A. Exemplo (6) Seja A = 2 0. Encontre o polinômio característico

6 Autovalores e Autovetores: Teorema Teorema Os autovalores de A são as raízes do polinômio característico de A. Demonstração Seja λ um autovalor de A com autovetor associado x. Então Ax = λx, que pode ser rescrito como Ax = (λi n )x ou (λi n A)x = 0 um sistema homogêneo de n equações e n incógnitas. Este sistema tem uma solução não-trivial se e somente se o determinante de sua matriz de coeficientes se anular, isto é, se e somente se det(λi n A) = 0. Reciprocamente, se λ é uma raiz do polinômio característico de A, então det(λi n A) = 0, logo o sistema homogêneo (λi n A)x = 0 tem solução não-trivial x. Portanto λ é um autovalor de A.

7 Autovalores e Autovetores: Exercícios e Procedimento Exercício (7) Seja A = 2 0. Calcule os autovalores e seus autovetores associados. Exemplo (8) Calcule os autovalores e autovetores associados de A = Procedimento Para encontrar os autovalores e autovetores associados de uma matriz considere as seguines etapas: Etapa Determine as raízes do polinômio característico f(λ) = det(λi n A). Estes são os autovalores de A. Etapa 2 Para cada autovalor λ, encontre todas as soluções não-triviais para o sistema homogêneo (λi n A)x = 0. Estes são os autovetores de A associados ao autovalor λ.

8 Diagonalização: Matrizes Semelhantes Definição Uma matriz B é dita semelhante a uma matriz A se há uma matriz invertível P tal que B = P AP. Exemplo (9) Seja A = (Exemplo (5)). Definimos P = 2 4 com P 2 2 =. Assim, B = P AP = = Propriedades Elementares válidas para semelhança:. A é semelhante a A. 2. Se B é semelhante a A, então A é semelhante a B. 3. Se A é semelhante a B e B é semelhante a C, então A é semelhante a C.

9 Diagonalização: Definição Definição Dizemos que a matriz A é diagonalizável se ela for semelhante a uma matriz diagonal. Neste caso, dizemos também que A pode ser diagonalizada. Exemplo (0) Sejam A e B do Exemplo (9), então A é diagonalizável, uma vez que é semelhante a B. Teorema (2) Matrizes semelhantes têm os mesmos autovalores. Demonstração Sejam A e B semelhantes. Então B = P AP, para alguma matriz P invertível. Vamos provar que A e B têm os mesmos polinômios característicos, f A (λ) e f B (λ), respectivamente. Temos f B (λ) = det(λi n B) = det(λi n P AP ) = det(p λi n P P AP ) = det(p (λi n A)P ) = det(p )det(λi n A)det(P ) = det(p )det(p )det(λi n A) = det(λi n A) = f A (λ) Como f A (λ) = f B (λ), segue que A e B têm os mesmos autovalores.

10 Diagonalização: Teorema Teorema 3 Uma matriz n n é diagonalizável se e somente se ela tiver n autovetores linearmente independentes. Demonstração (= ) Suponha que A seja semelhante a D. P AP = D, uma matriz diagonal, logo AP = P D. Seja λ 0 0 D = 0 λ 2 0.., 0 0 λ n Então e seja x j, j =, 2,..., n, a j-ésima coluna de P. A j-ésima coluna da matriz AP é Ax j e a j-ésima coluna de P D é λ j x j. Assim, como AP = P D, temos: Ax j = λ j x j. Como P é uma matriz invertível, suas colunas são L.I.. Portanto, λ j é um autovalor de A e x j é um autovetor correspondente.

11 Diagonalização: Teorema 3 (Continuação) Demonstração ( =) Considere λ, λ 2,..., λ n, como n autovalores de A e que os autovetores x, x 2,..., x n correspondentes são L.I.. Seja P = [x x 2... x n ] a matriz cuja j-ésima coluna é x j. Como as colunas de P são L.I., P é invertível. De Ax j = λ j x j obtemos AP = P D, que implica que A é diagonalizável. Exemplo () Considere a matriz A do Exemplo (9), cujos autovalores λ = 2 e λ 2 = 3 foram encontrados no Exemplo (5). Exemplo (2): Seja A =. Os autovalores de A são λ 0 = e[ λ 2 ] =. Os autovetores associados a λ e λ 2 são vetores do tipo k, k 0 R. Como A não possui dois autovetores L.I., A não é diagonalizável.

12 Diagonalização: Teorema 4 Teorema (4) Se as raízes do polinômio característico de uma matriz A n n são todas distintas, então A é diagonalizável. Exemplo (3) Verifique se A = é diagonalizável. 0 0 Exemplo (4) Verifique se A = é diagonalizável. 0

13 Procedimento para Diagonalização de uma matriz A n n Etapa Forme o polinômio característico f(λ) = det(λi n A) de A. Etapa 2 Encontre as raízes do polinômio característico de A. Etapa 3 Para cada autovalor λ j de A de multiplicidade k j, encontre uma base para o espaço de (λ j I n A)x = 0 (o auto-espaço associado a λ j ). Se a dimensão do auto-espaço for menor do que k j, então A não é diagonalizável. Assim, determinamos n autovetores L.I. de A. Etapa 4 Seja P uma matriz cujas colunas são n autovetores L.I. determinados na Etapa 3. Então, P AP = D é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são os autovalores de A que correspondem às colunas de P. The End!