Disciplina: Álgebra Linear - Engenharias ], C = Basta adicionar elemento a elemento de A e B que ocupam a mesma posição na matriz.

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1 Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear - Engenharias Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 1. Sejam Encontre: [ , B = [ a) A + B b) AC c) BC d) CD e) DA f) DB g) A h) D., C = 1 4 e D = [ 1. [ 1 4 a) A + B = Basta adicionar elemento a elemento de A e B que ocupam a mesma posição na matriz. [ 15 b) AC =. 4 Processo de multiplicar linha de A pela coluna de C. Repare que A 3, C 3 1, logo AC 1. [ 6 c) BC =. 1 Processo de multiplicar linha de B pela coluna de C. Repare que B 3, C 3 1, logo BC 1. 1 d) CD = 4. Processo de multiplicar linha de C pela coluna de D. Repare que C3x1, 8 4 D 1, logo CD 3x. e) D [ Processo de multiplicar linha de D pela coluna de A. Repare que D 1, A 3, logo DA 1 3. f) DB = [ Processo de multiplicar linha de D pela coluna de B. Repare que D 1, B 3, logo DB 1 3. Sejam [ [ 1 3 g), h) D = [ 1. Basta multiplicar cada elemento pelo 1 1 número que multiplica a matriz. Nestes casos, 1.. Qual é o valor de c 3 na multiplicação das matrizes abaixo? 1 [ = 5 1 c 11 c 1 c 13 c 14 c 1 c c 3 c 4 c 31 c 3 c 33 c 34 c 41 c 4 c 43 c 44. Pág. 1 de 11

2 O elemento c 3 é obtido através da multiplicação da segunda linha da primeira matriz pela terceira coluna da segunda matrix, ou seja, c 3 = Se [ encontre uma matriz B tal que B = A (B é uma raiz quadrada de A) onde B = BB., [ a b A matriz B é da forma: B = c d Queremos que B = A, assim, temos: [ a b, B = c d [ a b c d = [ a + bc ab + bd ac + cd bc + d { a + bc = 3 bc + d = 3 Logo, a = d e, consequentemente, a = ±d. Porém, observe que: se a = d então ab + bd = e isso implica que db + bd = 0 =. O que é um absurdo! Portanto, obrigatoriamente, a = d. Observe também que: 1. ab + bd =. Substituindo a = d, temos bd = ou bd = 1 implicando que b = 1 d ;. ac + cd = 4. Substituindo a = d, temos cd = 4 ou cd = implicando que c = b. Substituindo a = d, b = b = 1 d ou ainda, e c = b na primeira equação do sistema acima temos: d + b(b) = 3 ou d + b = 3 d + ( 1 d ) = 3 Multiplicando todos os termos desta última igualdade por d, temos: d 4 + = 3d Substituindo o termo d = y, temos a solução de uma equação biquadrada. A saber, y 3y + = 0 onde pela fatoração temos y = 1 ou y =. Ou seja, d = ± ou d = ±1 Portanto as possíveis matrizes são: 1. Se d =, a =, b = 1 e c =. Assim, B =. Se d =, a =, b = 1 e c =. Assim, B = [ 1 [ Se d = 1, a = 1, b = 1 e c =. Assim, B = 1 [ Se d = 1, a = 1, b = 1 e c =. Assim, B = 1 [ 1 Pág. de 11

3 4. A equação x = 1 possui apenas duas soluções reais: x = 1 e x = 1. Acha todas as matrizes que são soluções da equação matricial X = I, onde I é a matriz identidade. Análise de casos similar ao exercício Os únicos números reais cujos quadrados são eles próprios são 0 e 1. Ache todas as matrizes quadradas A,, tais que A = A. Análise de casos similar ao exercício Seja [ Qual é o valor de x para que tenhamos A t = A? x x 1 0. Se A t, onde A t é a matriz transposta de A, então: [ x x 1 0 = [ x 1 x 0 = A t. Duas matrizes são iguais, se cada elemento de A ij é igual a cada elemento de A t ij. Logo, basta resolver a equação x = x 1. Utilizando a fatoração, esta última equação pode ser escrita como cuja solução é a raiz dupla x = 1. (x 1) = 0, 7. Dadas mostre que AB = AC , B = e C = , AB = porém, note que AB = AC não implica em B = C. e AC = , 8. Considere as matrizes , B = e C = Pág. 3 de 11

4 1. Mostre que AB = B 0, AC = A e C C.. Use os resultados do item anterior para mostrar que ACB = CBA, A B = (A + B)(A B) e (A ± B) = A + B. 1. AB = AC = ,, B C a) Observe que ABC = AB, uma vez que AC = A, e AB = 0. Da mesma forma, CB CAB = AB = 0. b) (A + B)(A B) = A + AB BA B, como AB = BA vem que (A + B)(A B) = A B. c) (A ± B) = A ± AB + B. Como AB = B 0 vem que (A ± B) = A + B. 9. Sejam A, B, C matrizes tais que AB = AC. Se existir uma matriz Y tal que Y I, onde I é a matriz identidade, então podemos concluir que B = C? Sim, pois: B = IB = (Y A)B = Y (AB) = Y (AC) = (Y A)C = IC = C 10. Falso ou Verdadeiro? Justique. [ 1 1. Se, então A 3 =. (A + B) t = B t + A t. 3. Se AB = 0, então 0 ou B = Se AB = 0, então B 0. [ Se podemos efetuar o produto AA, então A é uma matriz quadrada. 6. ( A)( B) = (AB). 7. Sejam A e B duas matrizes. Se 0, então BA sempre existe.. Pág. 4 de 11

5 [ [ [ Falso. De fato, A = A = calculado elevando os membros da matriz A ao quadrado.. Observe que A NÃO é. Verdadeira. Observe que vale A t + B t, pois a adição entre matrizes é comutativa. 3. Falso. Veja um contra-exemplo no exercício 8, item 1). 4. Falso. Veja contra-exemplo na apostila, página Verdadeiro. Observe que pela condição da existência do produto, que é: o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz, sendo as matrizes iguais, não poderia haver matriz onde seu número de linhas fosse diferente do de colunas. 6. Falso. Mesmo considerando as possibilidades de o produto existir, isto é, número de colunas de A ser igual ao número de linhas de B, o resultado do produto indicado é positivo, ou seja, AB. 7. Falso. Nem sempre isto é possível, por exemplo, se A 1 = 0 e B qualquer matriz 3 o produto não é possível. 11. Usando as operações sobre linhas, reduza as seguintes matrizes à forma escalonada: [ [ , B =, C = E = , F = ,, D = [ G = a) b) B = [ [ [ [ 1 3 L L L L 1 L 1 + L [ [ L 1 L 1 L [ L 1 3 L L L 3L 1 [ L 1 L 1 L [ L 1 5 L c) C = L L 5L 1 L 3 L 3 + 4L 1 L 4 L 4 + L L 1 8 L L 1 L 1 + L L 3 L 3 + 4L Pág. 5 de 11

6 1. Calcule, quando possível, a inversa de: E = , F =, B = , G = =, C = [ k k 0 0 k k 4, D =, H = [ k 1 k k k 13. Considere o sistema de equações abaixo: x y + 3z = 11 4x 3y + z = 0 x + y + z = 6 3x + y + z = 4 1. Reescreva o sistema como uma equação matricial da forma AX = b.. Escalone a matriz aumentada [A b. 3. Escreva o sistema associado à matriz escalonada encontrada no item acima. 4. Quantas soluções tem o sistema? 1. Temos que: , X = x y z e b = Portanto, o sistema pode ser reescrito na forma matricial como segue: = x y z A matriz aumentada [A b é dada por Escalonando a matriz aumentada: Pág. 6 de 11

7 Escreva o sistema associado à matriz escalonada encontrada no item acima x y z = Logo, o sistema associado à matriz escalonada encontrada no item anterior é dado por: x = 1 y = z = 5 4. Como podemos ver no item anterior o sistema possui uma única solução dada por x = 1, y = e z = Dado o sistema 3x + 5y = 1 x + z = 3 5x + y z = 0 escreva a matriz aumentada associada ao sistema e coloque-a na forma escalonada. Resolva então o sistema original. 15. Determine k, para que o sistema admita solução. 4x + 3y = 5x 4y = 0 x y = k A matriz aumentada deste sistema e o seu escalonamento é dada por: k 1 k 0 1 k k + 6 O sistema associado à matriz escalonada encontrada no item acima é [ x y = 8 10 k + 6 Pág. 7 de 11

8 Logo, o sistema associado à matriz escalonada é x = 8 y = 10 0 = k + 6 Como podemos ver, o sistema possui solução somente se k + 6 = 0, ou seja, se k = Resolver os sistemas lineares a seguir, utilizando escalonamento: a) x + 3y z = 11 x y + z = 3 3x y + z = 3, b) 3x + y z = 5 x + y + z = 7 x y + 3z = 1, c) 17. Discutir os sistemas nas incógnitas x, y e z em função do parâmetro k: a) kx + y + z = 1 x + ky + z = 1 x + y + kz = 1, b) x + y + kz = 3x + 4y + z = k x + 3y z = 1 x + y + 8z = 0 x 3y 7z = 0 x y z = Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andréia pesam 13 kg; Andréia e Bidu pesam 66 kg. Podemos armar que: a) cada um deles pesa menos que 60kg. b) dois deles pesam mais de 60 kg. c) Andréia é a mais pesada dos três. d) o peso de Andréia é a média aritmética dos pesos de Carlos e de Bidu e) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos. Sejam a = Andréia, b = Bidu e c = Carlos. Sendo assim, de acordo com as armações Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andréia pesam 13 kg; Andréia e Bidu pesam 66 kg. temos o seguinte sistema: c + b = 87 c + a = 13 a + b = 66 Escrevendo este sistema na forma matricial temos: Pág. 8 de 11

9 a b c = Escalonando a matriz aumentada temos: Daí, temos o seguinte sistema equivalente: ou seja, a b c = a + b = 66 b + c = 87 c = Portanto, c = 7kg, b = 15kg e a = 51kg, e consequentemente, a resposta correta é a opção e). 19. Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao m de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou? Sejam a = Acerto e e = Erro. Sendo assim, de acordo com as armações temos o seguinte sistema: { a + e = 50 5a 3e = 130 Escrevendo este sistema na forma matricial temos: [ Escalonando a matriz aumentada temos: [ [ a e [ Daí, temos o seguinte sistema equivalente: = [ [ [ Pág. 9 de 11

10 ou seja, [ [ a e = [ { a = 35 e = 15 Portanto, o aluno acertou 35 exercícios, e a resposta correta e a opção a). 0. Uma loja vende certo componente eletrônico, que é fabricado por três marcas diferentes: A, B e C. Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durante três dias consecutivos, revelou que: no 1 o dia, foram vendidos dois componentes da marca A, um da marca B e um da marca C, resultando um total de vendas igual a R$ 150,00; no o dia, foram vendidos quatro componentes da marca A, três da marca B e nenhum da marca C, num total de R$ 40,00; no último dia, não houve vendas da marca A, mas foram vendidos cinco da marca B e três da marca C, totalizando R$ 350,00. Qual é o preço do componente fabricado por A? e por B? e por C? Sejam a = componente da marca A, b = componente da marca B e c = componente da marca C. Sendo assim, de acordo com as armações no 1 o dia, foram vendidos dois componentes da marca A, um da marca B e um da marca C, resultando um total de vendas igual a R$ 150,00; no o dia, foram vendidos quatro componentes da marca A, três da marca B e nenhum da marca C, num total de R$ 40,00; no último dia, não houve vendas da marca A, mas foram vendidos cinco da marca B e três da marca C, totalizando R$ 350,00. temos o seguinte sistema: ou equivalentemente, a + b + c = 150 4a + 3b = 40 5b + 3c = 350 c + b + a = 150 3b + 4a = 40 3c + 5b = 350 Escrevendo este sistema na forma matricial temos: Escalonando a matriz aumentada temos: c b a = Pág. 10 de 11

11 Daí, temos o seguinte sistema equivalente: c b a = Portanto, o preço dos componentes fabricados por A, B e C são, respectivamente, R$ 30, R$ 40 e R$ Pág. 11 de 11 Fim da Lista Boa Sorte!