UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Aula 03 Inversão de matrizes

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1 UNIVERSIDDE FEDERL DO RIO GRNDE DO NORTE Prof. Hector Carrion S. Álgebra Linear ula Inversão de matrizes

2 Resumo Matriz inversa Inversa de matriz elementar Matriz adjunta Inversão de matrizes

3 Uma matriz quadrada nxn admite inversa se existe uma matriz B nxn, onde B= - é a inversa de, tal que: B B I, ou - - Uma matriz inversível é dita também não singular. inversa de uma matriz é única (provar).

4 Propriedades (,B,C e D matrizes inversíveis) Cada matriz admite uma única inversa. - = -.=I ( - ) - = ( T ) - =( - ) T (B) - =B -. - (BCD) - =(BCD) - - =(CD) - B - - =D - C - B - -, verifique que : (B - ) =B -

5 Matriz elementar - E mxn (K), K={R, C,..} Matriz obtida com apenas uma operação elementar a partir da matriz Identidade I x L = L - L E E é matriz elementar

6 s matrizes elementares são inversíveis e sua Inversas são matrizes elementares. - E E I, ou seja E E E E. Se pode verificar facilmente que E é também elementar e E I E L = L + L

7 Determinação da inversa de uma matriz.. Caso particular:matriz x Usando operações elementares e a matriz identidade. Matriz adjunta

8 Determinação da inversa de uma matriz.. Matrizes x a c b d Matriz inversa det( ) d c a b Importante: Se det() é inversível

9 plicação direta: a a x x a a x x b b a a a a B b b X x x X = B, se det() então tem inversa ( - existe). Então X= - B solução do Sistema linear anterior x x ba ba det ba ba det

10 Teorema: Seja nxn a matriz de coeficientes do sistema de equações lineares X=B, B xn é matriz coluna. O sistema tem solução única se é inversível, e a solução é X= - B. Exemplo: Seja o sistema linear não homogêneo. x x B x x det(), então X= - B é solução do sistema linear anterior : {x =7/5; x =-/5} (solução única).

11 I) Inversão de matrizes (método de Gauss) Uso da identidade Teorema: nxn é inversível se e somente se for linha equivalente à matriz identidade Operações elementares I ~ I Caso não haja a equivalência, a matriz não admite inversa

12 Inversão de matrizes Uso da identidade Exemplo 5

13 Inversão de matrizes Uso da identidade Exemplo I 5

14 5 I L=L+L 8 ~ I L=L-L ~ I

15 L=L/ Troca L com L L=L-L ~ I ~ I ~ I

16 L=L-L I ~ I - I ~ I

17 II) Inversão de matrizes : usando matriz adjunta Matriz de Cofatores c ij M ij C i j ~ ( ) det( ~ det( ), M ij ij ij c c c n c c c ) n é dito menor complement ar relativo ao elemento a ) ( i j M ij c c c n n nn ij

18 Matriz adjunta É a transposta da matriz de Cofatores dj ( ) T C Determine a matriz adjunta de 5

19 Inversão de matrizes inversa de uma matriz quadrada de orden n é: det( ) adj( ) matriz admite inversa (inversível) se, somente se, det() não é nulo. Logo Se det()= então a matriz não admite inversa

20 Inversão de matrizes Uso da matriz adjunta Exemplo 5

21 Matriz dos cofatores 6 8 C Matriz djunta 6 adj() 8

22 Determinante Matriz inversa det() 8 6 ) ( ) det( adj

23 Se é uma matriz de ordem n n, então as seguintes afirmativas são equivalentes a) det() b) é inversivel c) x = b tem uma solução única, b = [b i ] xn. d) x = tem somente a solução trivial. e) é linha equivalente à identidade I n f) pode ser escrita como produto de matrizes elementares.

24 Exercício.- Calcule det( - ), existe a inversa de. Exercício.-Resolva a equação C - (+X)B - =I para X, considere, B inversíveis. Exercício.-Dada a matriz, construa a matriz elementar E a partir da matriz identidade, somando - vezes a linha da I x. Calcule B= E, qual é a operação elementar para passar de a B?. Determine uma matriz F tal que FE=I (identidade).

25 Exercício.- Calcule a inversa de T, - existe. Exercicio 5.- Demonstre I+X+X +...X n = (X n+ - I)(X-I) -, sendo que I é matriz identidade e (X-I) tem inversa. Exercício 6.-Dada a matriz B, Determine inversa de B B cos( sin( ) ) sin( cos( ) ) Exercício 7.- Dado, determine -

26 Exercício 8.- demonstre que se é inversível então X=, tem somente a solução trivial. Exercicio 9.- Seja simétrica é inversível,então - é simétrica.. Exercício.-Mostre que a matriz não é inversível sin ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ), a,,, R a a a

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