Pré-requisitos Algebra Linear. Lorí Viali. Afiliação

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1 Lorí Viali Licenciatura Plena em Matemática UFRGS Bacharelado em Matemática UFRGS Especialização em Formação de Pesquisadores PUCRS Mestrado em Engenharia de Produção (PO) UFSC Doutorado Sanduíche na USF (University of South Florida) Doutorado em Engenharia de Produção (IA) UFSC f : A B, significa que f é definida no conjunto A (domínio - domain) e assume valores em B (contradomínio range). Afiliação Professor Titular do Departamento de Estatística Faculdade de Matemática da PUCRS [email protected] Professor Adjunto do Departamento de Estatística do Instituto de Matemática da UFRGS. [email protected] da R é o conjunto dos reais; R n é o conjunto dos vetores n-dimensionais reais; Os vetores em R n são colunas ao menos que seja estabelecido o contrário; Para qualquer x R n, x é o vetor transposto de x, isto é o vetor linha n-dimensional; Pré-requisitos Algebra Linear O produto interno (inner product) de dois vetores x, y R n n ' é definido por: x y = xi yi i= 1 Quaisquer dois vetores x, y R n satisfazendo x y = 0 são ditos ortogonais. Módulo de um vetor v = v'.v 1

2 Se w é um vetor do R n, então as notações w > 0 e w 0 indicam que todas as coordenadas de w são positivas ou nãonegativas, respectivamente. A notação w v ou w < v, etc. são interpretadas da mesma forma. Um conjunto V de n vetores m- dimensionais é linearmente dependente se existe uma CL de vetores não trivial em V que iguala a zero. Seja V = {v 1, v,..., v n } um conjunto de vetores com a mesma dimensão. v 1 = (1, 1) = AB y v = (, ) = AC v = (1, 1) y v 1 = (1, 0) Uma Combinação Linear (CL) dos vetores em V é qualquer vetor v da forma: v = c 1 v 1 + c v c n v n C 1 B v 1 v A 1 3 x 1 v A v x onde c 1, c,..., c n são escalares arbitrários. (i) Dois vetores LD (ii) Dois vetores LI Um conjunto V de n vetores m- dimensionais é linearmente independente se a única CL de vetores em V que iguala a zero é a combinação trivial, isto é, se c 1 = c =... = c n = 0. Para qualquer matriz A, a notação a ij indica o elemento da linha i e coluna j. Para duas matrizes A e B de dimensões compatíveis (AB) = B A Se A é uma matriz quadrada diremos que A é simétrica se A = A.

3 Uma matriz A é diagonal se a ij = 0 sempre que i j. Ela é uma triangular inferior se a ij = 0 para i < j. Ela é triangular superior se sua transposta for triangular inferior. I representa a matriz identidade e det(a) representa o determinante de A. Claramente A e A tem a mesma ordem. Diremos que A que apresenta ordem plena (full rank) se a sua ordem é igual a min{m, n}. Pode ser visto que A tem ordem plena se e só se ou as linhas de A são linearmente independentes ou as colunas de A são linearmente independentes. O espaço imagem (range space) de A é o conjunto de todos os vetores y R m tal que y = Ax para algum x R n. O espaço nulo (null space) ou núcleo (kernel) de A é o conjunto de todos os vetores x R n tais que Ax = 0. Definição Dada uma matriz mxm A a matriz mxm B é sua inversa se e somente se BA = AB = I. O espaços imagem e núcleo de uma matriz A são subespaços. A ordem (rank) de A é o mínimo das dimensões do espaço imagem de A e do espaço imagem da transposta A. Associado a qualquer matriz quadrada A existe um número denominado de determinante de A (abreviado por det A ou A ). Assim se A = [a 11 ] é 1x1 matriz, então o determinante de A é a 11 = a 11. 3

4 Para uma matriz x a A = a 11 1 a a 1 O determinante é dado por: deta = a 11 a a 1 a 1. Calcular o determinante pela expansão dos cofatores da seguinte matriz: Antes de calcular o determinante de matrizes de ordem mais alta é necessário definir o conceito de menor de uma matriz. Se A é uma matriz de ordem mxn então para quaisquer dois valores i, j m, o M ij menor de A é a sub-matriz obtida de A eliminando-se a linha i e a coluna j. Na planilha as funções matriciais pode ser encontradas na categoria: matemática e trigonométrica. 1. Inversão: MATRIZ.INVERSO(Matriz);. Multiplicação: MATRIZ.MULT(Matriz_1; Matriz_) 3. Determinante: MATRIZ.DETERM(Matriz) Seja A uma matriz mxm com m > então o determinante de A é dado por: A = (-1) i+1 a i1 M i1 + (-1) i+ a i M i (-1) i+m a im M im Essa fórmula é denominada de expansão do deta pelos cofatores da linha i. O determinante é: = ( 1) ( 1).. + ( 1) = (45 48) (36 4) + 3(3 35) = = 0 5 = 8 4

5 Utilize operações elementares (método de Gauss- Se AX = B, então: A -1 (AX) = A -1 B (A -1 A)X = A -1 B IX = A -1 B X = A -1 B Jordan) para resolver o seguinte sistema de equações: x + 5z = -6 + y 3x + 3y = 10 + z x + 3y +z = 5 Inicialmente vamos escrever o sistema na forma padrão: Em álgebra linear, define-se como uma operação elementar as transformações que, aplicadas às linhas ou às colunas de uma matriz, não alteram a independência linear das mesmas, nem a característica da matriz. x - y + 5z = -6 3x + 3y z = 10 x + 3y + z = 5 Para iniciar as operações elementares precisamos escrever a matriz aumentada do sistema, isto é: Assim são operações elementares as seguintes transformações aplicadas sobre linhas (ou colunas) de uma matriz: troca de duas linhas; multiplicação de uma linha por um número ( 0); substituição de uma linha pela sua soma com um múltiplo de outra linha Utilizando as operações elementares transformamos a matriz antes da linha vertical em uma matriz identidade. Assim a solução será o vetor a esquerda da linha vertical. 5

6 Pode-se observar que o elemento a 11 da matriz já é igual a 1. Assim vamos zerar o segundo elemento da primeira coluna, isto é, vamos fazer a 1 = Para tal multiplicamos cada elemento da linha 1 (L 1 ) por (-3) e somamos com a linha (L ). A operação é indicada por (-3L 1 + L ) /3-4/ /3-3/ /3-4/ Para zerar o último elemento da primeira coluna, isto é, fazer a 31 = 0, vamos multiplicar a primeira linha por -1 e somar com a linha 3, isto é, -L 1 + L Com isso transformamos a primeira coluna. A segunda e a terceira coluna são transformadas de maneira idêntica. (-7/3)L 3 + L Assim a solução do sistema e: x = 1, y = e z = /3-4/ BERTSEKAS, Dimitri P. Nonlinear Programming. Belmont (MA): Athena Scientific, LIAL, Margaret L., MILLER, Charles D. Finite Mathematics. 4 ed. New York (NY): HarperCollins, WISTON, Wayne L. Operations Research: Applications and Algorithms. 3 ed. Belmont(CA): Duxbury Press,