1 NOTAS DE AULA FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA. Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos

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1 FFCLRP-USP - VETORES E GEOMETRIA ANALÍTICA 1 NOTAS DE AULA Professor Doutor: Jair Silvério dos Santos (i) Matrizes Reais Uma matriz real é o seguinte arranjo de números reais : a 11 a 12 a 13 a 1m a 21 a 22 a 23 a 2m A n m...., a n1 a n2 a n3 a nm onde, cada entrada (elemento) a ij R, i 1, 2,,n e j 1, 2,,m. Chama-se Matriz Nula, a matriz cujas entradas são zero, ou seja a ij 0, para i 1, 2,,n e j 1, 2,,m. Escolhemos a letra O para representá-la, isto é O n m Seja M n m (R) o conjunto de todas as matrizes reais A n m. Note que O M n m (R). Adição de Matrizes Dadas A n m e B n m, a adição de matrizes é uma função + : M n m (R) M n m (R) M n m (R) dada por +(A,B) A + B, onde A n m (a ij ) n m, B n m (b ij ) n m, A + B (c ij ) n m e c ij a ij + b ij, i 1, 2,,n e j 1, 2,,m. Multiplicação de Número (Escalar) por Matrizes Dados α R e A n m a multiplicação de número real (escalar) por matriz é uma função : R M n m (R) M n m (R) dada por (α,a) α A, onde A n m (a ij ) n m, α B (c ij ) n m e c ij α a ij, i 1, 2,,n e j 1, 2,,m. 1

2 Exemplo 1. Considremos as matrizes A 2 3, B Calcule A + B e ( 1) A. Começamos por determinar a matriz A + B, A B ( 2) c11 c 12 c 13 c 21 c 22 c A + B A multiplicação de número por matriz ( 1) A, ( 1) ( 1)1 ( 1) 1 ( 1)3 ( 1)0 ( 1) 2 ( 1) ( 1) A Propriedades da Adição de Matrizes Dadas A n m, B n m e C n m, são verdadeiras as afirmações abaixo: A1 : A + (B + C) (A + B) + C). A2 : A + B B + A. A3 : A + O A. A4 : A + ( B) O. Associativa Comutativa Elemento Neutro Elemento Simétrico O elemento A M n m (R) é o Elemento Simétrico de A em relação à Adição de Matrizes Propriedades da Multiplicação de Número (Escalar) por Matrizes Dados α,β R, A n m e B n m, são verdadeiras as afirmações abaixo: M1 : (α + β) A α A + β A. M2 : α (A + B) α A + α B. M3 : 1 A A 2

3 M4 : α (β A) (αβ) A β (α A). Observe que o conjunto M n m (R) com as operações de Adição e Multiplicação por Escalar, que aqui indicamos por (M n m (R), +, ) tem estruturas especiais com as propriedades listadas em A1, A2, A3 e A4; M1, M2, M3 e M4 o que dá ao conjunto (M n m (R), +, ) um nome diferenciado, que é o de ESPAÇO VETORIAL. Multiplicação de Matrizes Definição 1. Dadas A n p e B p m, a multiplicação de matrizes é uma função : M n p (R) M p m (R) M n m (R) dada por (A,B) A B, onde A n p (a ij ) n p, B p m (b jk ) p m, A B (c ik ) n m e c ik p (a ij b jk ). j1 Exemplo 2. Considere as matrizes A e B Calcule A B. Podemos utilizar umaa regra prática que consiste de posicionar as matrizes A e B e realizar a multiplicação como segue, c 11 a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 c 12 a 11 b 12 + a 12 b 22 + a 13 b 32 c 21 a 21 b 11 + a 22 b 21 + a 23 b 31 c 22 a 21 b 12 + a 22 b 22 + a 23 b 32 ( c 11 ( 1)1 + 1(0) + ( 3)3 1 1 c 12 ( 1)( 1) + 1( 2) + ( 3)2 0 2 c 21 0(1) + 2(0) + ( 2)3 3 2 c 22 0( 1) + 2( 2) + ( 2)2 ) c11 c 12 Assim, obtemos a matriz A B dada por c 21 c 22 Matriz Produto 10 7 A B

4 Definição 2. Dada uma matriz A n p (a ij ) n p chama-se Matriz Transposta de A n p, outra matrix B p n (b ij ) n n tal que b ij a ji, para i 1, 2 n, j 1, 2 p e escrevemos B A t. Propriedade da Transposição de Matrizes Dados α R e matrizes quadradas A e B tem-se T1 (A t ) t A. T2 (A + B) t A t + B t. T3 (A B) t B t A t. T3 (αa) t αa t. Exercício 1. Dadas as matrizes A e B Calcule A B, (A B) t e B t A t. Dizemos que uma matriz quadrada A é SIMÉTRICA se A A t. A é ANTI- SIMÉTRICA se A A t. Exercício 2. Mostre que se A e B forem semétricas então A+B e αa são simétricas. Mostre que se A e B forem semétricas então A B é simétrica se e somente se A B B A. Propriedades da Multiplicação de Matrizes Por alguns momentos, consideraremos apenas as Matrizes Quadradas, isto é, matrizes A n n M n n (R). Faremos isto somente por que nossos propósitos estarão satisfeitos com com matrizes quadradas. Chama-se Matriz Identidade a matriz A n n (a ij ) n n tal que a ij esta matriz será denotada por I n e então { 1, se i j, 0, se i j, I n I n n

5 Dadas duas matrizes A n n e B n n, dizemos que as matrizes A e B Comutam se A B B A. Observe que a comutatividade do produto de matrizes não é sempre verdadeira, veja exemplo abaixo. Exemplo 3. Consideremos as matrizes A e B Verifique que A B B A. Aplique a definição 1 (m n p) e verá que A B e B A Note que A B B A. Não é dificil ver que a matriz I n comuta com qualquer A n n (a ij ) n n. Definição 3. Dada uma matriz quadrada A n n M n n (R) chama-se Matriz Inversa A à uma outra matriz B n n M n n (R) tal que A B I n e B A I n. Denotaremos a Matriz Inversa de A por A 1 (B A 1 ). A matriz A 1 é o elemento simétrico de A em relação à Multiplicação de Matrizes. Exemplo 4. Considere as matrizes 2 1 A 0 3 Não é dificil ver que, e B 1 6 e que Portanto, A B I n e B A I n. Ou seja B é a matriz inversa de A em relação à Multiplicação de Matrizes. Propriedades da Multiplicação de Matrizes 5

6 Dadas A n n, B n n e C n n, são verdadeiras as afirmações abaixo: MM1 : A (B C) (A B) C). Associativa MM2 : A I n A, e I n A A. Elemento Neutro MM3 : A (A 1 ) I n. Propriedades de Distributividade Dadas A n n, B n n e C n n, são verdadeiras as afirmações abaixo: DM1 A (B + C) A B + A C) e (B + C) A B A + C A). A notação A n significa A n vezes A A. Elemento Simétrico Exemplo 5. Dadas as matrizes A e B A t Uma Aplicação das Matrizes Exemplo 6. Uma industria produz três produtos, X, Y, e Z, utilizando dois tipos de insumos, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y são utilizados 1 grama do insumo A e 1 grama do insumo B, e cada kg de Z são utilizados 1 grama do insumo A e 4 gramas do insumo B. Usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma: gramas de A por kg gramas de B por kg AW ( X Y Z) A, x + y + z 2x + y + z x kg de X produzidos W y kg de Y produzidos z kg de Z produzidos gramas de A usadas gramas de B usadas. Exercício 3. Dadas as matrizes A e B

7 Verifique se A B B A. Exercício 4. Mostre que as matrizes A 1 1 y y 1 onde 0 y R, satisfazem X 2 2X. (X 2 X X). Encontre os valores de y R tais que A B B A. Nós definimos a Matriz Inversa (ver definição 3) e não dissemos que tipo de matriz quadrada pode ter inversa, e também, não sabemos o que fazer para determinar a inversa de uma matriz. Uma ajuda importante é dada por uma função chamada determinante. Determinantes de Uma Matrizes Ressasltamos que apenas as matrizes quadradas serão utilizadas neste momento. Definição 4. Seja A n n (a ij ) n n, n 2. Chamamos Menor do elemento a ij, denotado por M ij, a sub-matriz de ordem (n 1) (n 1) obtida de A suprimindo da matriz A a i-ésima linha e j-ésima coluna. Definição 5. O determinante de uma matriz A n n (a ij ) n n ; é uma função que a cada matriz quadrada associa um número real, isto é, Det : M(R) n n R dada por Se n 1 então o Det(A) a 11. se n 2 então Det(A) n ( 1) (i+j) a ij Det(M ij ) i1 n ( 1) (i+j) a ij Det(M ij ). (1.2) j1 Não é difícil ver que se a11 a A 12, a 21 a 22 então Det(A) 2 ( 1) (i+j) a ij Det(M ij ) i1 ( 1) (1+1) a 11 Det(M 11 ) + ( 1) (1+2) a 12 Det(M 12 ) a 11 a 22 a 12 a 21. Note que o determinante dado pela definição 5 pode ser desenvolvido por linhas ou por colunas, (ver (1.2)). O determinante de uma matriz nos oferece um teste infalível para 7

8 saber quais são as matrizes quadradas que podem ser invertíveis ou seja que possuem inversa com relação ao produto de matrizes. Uma matriz A n n (a ij ) n n, tem inversa em relação ao produto de matrizes se e somente se Det(A) 0. Uma pergunta ainda se apresenta. Há um mecanismo capaz de produzir a insversa de uma matriz quadrada em relação ao produto de matriz? Veja abaixo que o determinante de uma matriz também nos ajuda responder esta questão. Definição 6. Seja A n n (a ij ) n n, n 2. Chamamos Cofator do elemento a ij, denotado por A ij, o número real dado por A ij ( 1) (i+j) Det(M ij ), i,j 1, 2,,n, onde M ij é o Menor do elemento a ji, i,j 1, 2,,n. À matriz formada por todos os cofatores de A chamamos Matriz dos Cofatores de A e denotamos por Cof(A). Exemplo 7. Considere a matriz Calcule Det(A). A 11 A 12 A 13 A 1n A 21 A 22 A 23 A 2n Cof(A) n m...., A n1 A n2 A n3 A nn A Nós vamos calcular o determinante de A desenvolvendo pela primeira linha Det(A) ( 1) (1+j) a 1j Det(M 1j ) ( 1) (1+1) 0 Det j ( 1) (1+2) 1 Det + ( 1) 2 1 (1+3) 5 Det Exercício 5. Considere a matriz A Calcule Cof(A), [Cof(A)] t, A [Cof(A)] t, [Cof(A)] t A e 1 Det(A) [Cof(A)]t. 8

9 Matriz Adjunta Clássica e Inversa Definição 7. Dada A n n (a ij ) n n, chama-se Adjunta Clássica de A à matriz [Cof(A)] t. Teorema 1. Dada A n n (a ij ) n n, se DetA 0, então 1 Det(A) A [Adj(A)] I n e 1 Det(A) [Adj(A)] A I n (1.3) Segue facilmente da definição 3 que Exemplo 8. Considere a matriz 1 Det(A) [Adj(A)] A 1 ( Inversa de A) A Use (1.3) e calcule a martiz inversa (elemento inverso) de A em relação ao produto de matriz. Vamos calcular os cofatores dos elementos de A A 11 ( 1) (1+1) Det 6; A ( 1) (1+2) Det 0; 0 2 A 13 ( 1) (1+3) Det ; A ( 1) (2+1) Det 4; A 22 ( 1) (2+2) Det 2; A ( 1) (2+3) Det 0; 0 0 A 31 ( 1) (3+1) Det ; A ( 1) (3+2) Det 2; 0 2 A 33 ( 1) (3+3) Det Assim, a matriz cofatora de A será dada por Cof(A) A matriz Adjunta Clássica é a transposta de matriz cofatora de A, ou seja 9

10 6 4 5 Adj(A) O teorema 1 nos dá a matriz procurada que é A 1 1 DetA Adj(A) Exemplo 9. Uma industria produz três produtos, X, Y, e Z, utilizando dois tipos de insumos, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 1 grama do insumo A e 2 gramas do insumo B; para cada kg de Y s ao utilizados 1 grama do insumo A e 1 gramas do insumo B e, cada kg de Z s ao utilizados 1 grama do insumo A e 4 gramas do insumo B. O preço de venda de um kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 2,00 R$ 3,00 e R$ 5,00 respectivamente. Com a venda de toda produção de X, Y e Z manufaturada com 1 kg de A e 2 kg de B, essa industria arrecadou R$ 2500,00. Vamos determinar quantos kg de cada produto X, Y e Z foram vendidos. Como já vimos no exemplo 6 usando matrizes o esquema de produção pode ser descrito da seguinte forma: gramas de A por kg gramas de B por kg preço por kg (S) AW X Y Z x A, W y z x + y + z x + y + z x + 3y + 5z kg de X produzidos kg de Y produzidos kg de Z produzidos gramas de A usadas gramas de B usadas. arrecadação Veja que a resposta à pergunta que foi formulada no exemplo 6 será dada pelo conjunto solução para o Sistema de Equações (S). 2 Sistemas de Equações Lineares Considere o conjunto dos números reais R e R n {(x 1,x 2,,x n ), tais que x i R, i 1, 2,,n}. (2.4) 10

11 Diremos que R n é co conjunto das n-uplas ordenadas com estradas reais. Quando escrevemos A [x 1 x 2 x n ], estamos denotando uma matriz com uma linha e n colunas, e quando escrevemos B [x 1 x 2 x n ] t (t indica transposição ) estamos denotamos uma matriz com n linhas e uma coluna. Uma Equação Linear em n variáveis x 1,x 2,,x n reais é uma equação da forma a 1 x 1 + a 2 x a n x n b, onde a 1,a 2,,a n e b são números reais que não dependem das variáveis envolvidas na equação e são conhecidos. Um Sistema de Equações Lineares ou simplesmente Sistema Linear é um conjunto de equações lineares, ou seja (σ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n b a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n b m onde os a ij e b i i 1, 2, m, j 1, 2, n são todos números reais conhecidos. (2.5) Usando o produto de matrizes (ver definição 1) o sistema 2.5 pode ser escrito como uma equação matricial, AX B, onde, a 11 a 12 a 13 a 1m x 1 b 1 a 21 a 22 a 23 a 2m A n m...., X x 2. e B b 2.. (2.6) a n1 a n2 a n3 a mm x n b n Uma Solução para o sistema 2.5 é uma n-upla (u 1,u 2,,u n ) R n tal que a matriz u 1 u 2 u n S 0., satisfaz todas as equações do sistema (σ) em 2.5, quando substituimos x 1 u 1, x 2 u 2,,x n u n. O Conjunto Solução para σ é o conjunto de todas as u-uplas (u 1,u 2,,u n ) R n que são suluções para o sistema (σ) em 2.5 e que será denotado por S {(u 1,u 2,,u n ) R n tais que A[u 1 u 2 u n ] t [b 1 b 2 b n ] t } (2.7) 11

12 Exemplo 10. Considere o sistema linear de duas equações e duas incógnitas (σ) { x + 2y 1 2x + y 0 O sistema ( σ) pode ser escrito na forma matricial (σ) x y 0. 1 Ainda, podemos verificar facilmente que x 1 3 e y 2 3 sistema ( σ), ou seja S 0 ( ) formam uma solução para o e o conjunto solução de ( σ) é dado por S {( 1 3, 2 3 )} R2. Um Sistema Linear que tem solução é denominado SISTEMA POSSÍVEL. Se um Sistema Linear que não tem solução é denominado SISTEMA IMPOSSÍVEL. Mas dentre os SISTEMAS POSSÍVEIS, há aqueles que possuem mais que uma solução. Portanto (σ) é um Sitema Possível. Exemplo 11. O sistema linear de duas equações e quatro incógnitas (σ) tem mais que uma solução. { x + 3y + 0z + 2w 5 0x + 0y + z 3w 2 Note que S 1 {( 5, 0, 2, 0)} R 4 e S 2 {( 7, 0, 5, 1)} R 4 são soluções para o sistema (σ). Mas afinal dado um Sistema Linear (σ) o que devemos fazer para decidirmos entre as três possibilidades; Sistema Possível com mais que uma solução, Sistema Possível apenas uma solução e Sistema Impossível. Operações Elementares Definição 8. Uma Operação Elementar sobre as linhas de uma matriz é uma das seguintes operações com outra linha da mesma matriz: (i) Trocar a posição de uma das linhas da matriz. 12

13 (ii) Multiplicar uma linha por uma constante (escalar) diferente de zero. (iii) Somar a uma linha da matriz, um múltiplo escalar de outra linha da mesma matriz. Dado um Sistema Linear (σ) como em (2.5) temos a Matriz A e B associada à (σ). Chama-se Matriz Aumentada associada à (σ) a Matriz a 11 a 12 a 13 a 1m. b 1 a [A B] 21 a 22 a 23 a 2m. b b 1 a n1 a n2 a n3 a mm. b 1 Exemplo 12. Considere o sistema linear de duas equações e duas incógnitas (σ) { x + 2y 1 2x + y 0 A Matriz Aumentada associada ao sistema (σ) é a matriz [A B] Teorema 2. Dados dois Sistemas Lineares AX B e CX D tais que a Matriz Aumentada [C D] pode ser obtida da Matriz Aumentada [A B] aplicando-se apenas uma Operação Elementar (ver definição 8), então os dois sistemas lineares possuem o mesmo Conjunto Solução. Agora vamos utilizar o teorema 2 e apresentar uma maneira eficiente para encontrarmos o conjunto solução para um Sistema Linear. Método de Gauss-Jordan O método que vamos apresentar aqui para resolver Sistemas Lineares, consiste na aplicação das operações elementares às linhas da Matriz Aumentada associada ao sistema linear em estudo. Primeiro procuramos através de operações elementares obter a Matriz Aumentada de forma que na primeira linha o primeiro elemento seja não nulo, este elemento será chamado de Pivô. Vejamos um exemplo. 13

14 Exemplo 13. Considere o sistema linear (S) dado por x y + z 1 (σ) 2x + y + 4z 0 3x + 2y + 5z 2 A Matriz Aumentada associada à (σ) é A L 1 l L 2 2l 1 l L 3 3l 1 l L 1 l L 2 l L 3 l 2 l (2.8) Note que as linhas L 1, L 2 e L 3 são linhas da matriz aumentada obtida da outra matriz aumentada (anterior) cujas linhas são l 1, l 1 e l 3 elas operações elementares indicadas (ver figura 2.8). Agora usando o teorema 2 vemos facilmente que x + y + z 1 (σ) 0x + y 3z 2 0x + y 2z 5 x + y + z 1 0x + y 3z 2 0x + 0y + z 3 Mas o Sistema x + y + z 1 (σ) 3 0x + y 3z 2 0x + 0y + z 3 tem como conjunto solução S 3 {(11, 7, 3)} R 3. Portanto, pelo teorema 2, o conjunto solução para o Sistema (σ) é S S 3 {(11, 7, 3)} R 3, Dada uma matriz (ii) Sistemas Escalonados a 1r1 a 1r1 +1 a 1r1 +2 a 1m 0 a 2r2 a 2r2 +1 a 2m A n m...., (2.9) a nrm onde, a 1r1 0, a 1r2 0, a 1rm 0. Se tivermos 1 r 1 < r 2 < < r m m, diremos que a matriz A está escalonada. 14

15 Um Sistema Linear (σ) está escalonado se a matriz aumentada associada à (σ) estiver na forma. a 1r1 a 1r1 +1 a 1r1 +2 a 1n. β 1 0 a 2r2 a 2r2 +1 a 2n. β 2 [A B]......, (2.10) a mrm. β k β k+1 ou seja (σ) a 1r1 x 1 + a 1r1 +1x 2 + a 1n x n β 1 0x 1 + a 2r2 +1x 2 + a 2n x n β x 1 + 0x 2 + a mrm x n β k 0x 1 + 0x 2 + 0x n β k (2.11) onde, a 1r1 0, a 1r2 0, a 1rm 0 e 1 r 1 < r 2 < < r m m. Discussão e Resolução de Um Sistema Linear Discutir um Sistema Linear (σ) significa efetuar um estudo de (σ) visando classificá-lo segundo a definição a seguir. Definição 9. Dizemos que um Sistema Linear (σ) é Incompatível se (σ) não admite solução. Um Sistema Linear (σ) que admite uma única solução é chamado Compatível Determinado. Se um sistema (σ) admitir mais do que uma solução então ele é denominado Compatível e Indeterminado (I) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtém-se (σ) 0x 1 + 0x 2 + 0x n β k (2.12) com β k 0, o Sistema Linear será Imcompatível ou Impossível e denoteremos por (SI) ou o conjunto solução para (σ) é o conjunto vazio (ver difinição 9). (II) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtém-se (σ) x 1 + a 1r1 x 2 + a 1n x n β 1 0x 1 + x 2 + a 2n x n β x 1 + 0x 2 + x n β n, 15 (2.13)

16 o sistema (σ) é Compatível e Determinado (o sistema linear está escalonado e número de equações é igual ao número de incógnitas) (III) No processo de escalonamento, numa certa etapa, obtém-se (σ) x 1 + a 1r1 x 2 + a 1rp x rp + a 1n x n β 1 0x 1 + x 2 + a 2rp x rp + a 2n x n β x 1 + 0x 2 + x rp + a pn x n β p, (2.14) onde, p < n o sistema (σ) é Compatível e Indeterminado (o sistema linear está escalonado e número de equações é menor ao número de incógnitas) Se um Sistema Linear (σ) tiver mais que uma solução, então o sistema terá uma quantidade infinita soluções. Exemplo 14. Considere o Sistema x 2y z 1 σ 2x + y 3z 0 0x 7y + 0z 3 x 2y z 1 (σ) 2x + y 3z 0 x 7y + 0z 3 L 1 l 1 L 2 l 2 L 3 l 2 + l 3 L 1 l 1 L 2 2l 1 + l 2 L 3 l 1 + l 2 x 2y z 1 0x + 5y z 2 0x + 0y + 0z 0 x 2y z 1 0x + 5y z 2 0x 5y + z 2 L 1 l 1 L 2 l 2 L 3 pode ser eliminada { x 2y z 1 (σ 3 ) 0x + 5y z 2 O teorema 2, garante que o conjunto solução do Sistema (σ 3 ) é igual ao conjunto solução para o Sistema (σ 3 ), que é S {( z, z,z) z R} {(1 5, 2 5, 0) + z(7 5, 1 5, 1) z R} R3. Note que o Sistema (σ 3 ) tem uma quantidade infinita de soluções. Exemplo 15. Considere o Sistema x + y + z 1 (σ) 2x + y + 5z 0 3x + 2y + 5z 2 16

17 Vamos realizar o escalonamento de (S), (σ) L 1 l 1 L 2 l 2 L 3 l 2 l 3 L 1 l 1 L 2 2l 1 l 2 L 3 3l 1 l 3 x + y + z 1 0x + y 3z 2 0x + y 2z 5 x + y + z 1 (σ 3 ) 0x + y 3z 2 0x + 0y z 3 como conjunto solução para o sistema (σ 3 ) é S 3 {( 14, 11, 3)} R 3, pelo teorema 2, o conjunto solução para o Sistema (σ) também é S σ 3 {( 14, 11, 3)}. Note que o Sistema (σ) tem uma única solução e portanto (σ) é Compatível e Determinado. Exemplo 16. Considere o Sistema Precedomos ao escalonamento de (σ), (σ) x + 2y + 3z 1 (σ) 3x + 6y + 9z 0 3x + 2y + 5z 2 L 1 l 1 L 2 3l 1 l 2 L 3 3l 1 l 3 (σ 0 ) x + y + z 1 0x + 0y 0z 3 0x + y 2z 5 Note que não existe ternas (u 1,u 2,u 3 ) R 3 que satisfaça a segunda equação do sistema (σ 0 ), então ela é incompatível com as demais, e isto torna o Sistema (σ) incompatível ou seja o conjunto solução de (σ) é vazio. (a) Considere a matriz A (i) Calcule a matriz cofatora de A. (ii) Calcule a matriz inversa de A em relação ao produto de matriz. (ii) Uma Matriz é Ortogonal se A 1 A t. Verifique se A é ortogonal. (b) Considere as matrizes A e B abaixo e calcule a matriz AB. Use transformações elementares e reduza cada uma das matrizes abaixo á forma escalonada a matriz A B

18 (c) Dadas A,B M n n, mostre que a martiz B 1 2 [A+At ] é uma matriz simétrica. (d) Dado z a + bi C (número complexo), seu conjugado z é dado por z a bi, seu módulo é dado por a + bi a 2 + b 2 (lembre-se que i 2 1). (i) Prove que se z a + bi então z z a 2 + b 2. (ii) Prove que se z a+bi então z + z 2a 2Re(z) e que z z 2b 2Im(z) (iii) Se ω c + id e z a + bi, calcule a parte real e a parte imaginária de u zω, v 0 z ω v 1 ω + z z ω. (e) Calcule o determinante e a matriz dos cofatores de cada uma das matrizes abaixo: A [ 1 + i i 0 1 Dê o conjunto solução do sistema (f) Dê o conjunto solução do sistema ] B 1 + i i 1 + i 0 1 i i 2 0 2x + 4y 5z + 3t 0 (σ) 3x + 6y 7z + 4t 0 5x + 10y 11z + 6t 0 x 3y 2z + 4t 5 (σ) 3x 8y 3z + 8t 18 2x 3y + 5z 4t