Determinantes e Matrizes Inversas
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- Luiz Felipe Azambuja
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1 Determinante e Matrizes Inversas FFCLRP - USP Departamento de Computação e Matemática 10 de março de 2019 e Matrizes Inversas
2 1 Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes Propriedades dos determinantes 2 e Matrizes Inversas
3 Referência Bibliográfica: [1] Iezzi, G. & Hazzan, S., Fundamentos de Matemática Elementar - Sequências, Matrizes,, Sistemas, Vol. 4, Editora Atual. [2] Caroli,A., Callioli, C. & Feitosa, M. Matrizes, Vetores e Geometria Analítica, 17a. ed., São Paulo, Editora Nobel, e Matrizes Inversas
4 Definição: Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real. Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo uma certa ordem. e Matrizes Inversas
5 Definição: Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real. Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo uma certa ordem. Para entender como é feito esse cálculo, precisamos da definição de permutação e inversão de um permutação: e Matrizes Inversas
6 Definição: Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real. Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo uma certa ordem. Para entender como é feito esse cálculo, precisamos da definição de permutação e inversão de um permutação: Definição: Dados n objetos distintos a 1, a 2,..., a n, uma permutação detes objetos consiste em dispô-los em uma determinada ordem. e Matrizes Inversas
7 Definição: Determinante é uma função que associa a cada matriz quadradada A n n um número real. Mais especificamente, é um número que obtemos através de produtos e somas dos elementos da matriz obedecendo uma certa ordem. Para entender como é feito esse cálculo, precisamos da definição de permutação e inversão de um permutação: Definição: Dados n objetos distintos a 1, a 2,..., a n, uma permutação detes objetos consiste em dispô-los em uma determinada ordem. Exemplo: e são permutações dos objetos 1, 2 e 3. e Matrizes Inversas
8 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) e Matrizes Inversas
9 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. e Matrizes Inversas
10 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação e Matrizes Inversas
11 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação possui 0 inversões, e Matrizes Inversas
12 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação possui 0 inversões, possui 1 inversão, e Matrizes Inversas
13 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação possui 0 inversões, possui 1 inversão, possui 1 inversão, e Matrizes Inversas
14 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação possui 0 inversões, possui 1 inversão, possui 1 inversão, possui 2 inversões, e Matrizes Inversas
15 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação possui 0 inversões, possui 1 inversão, possui 1 inversão, possui 2 inversões, possui 2 inversões e e Matrizes Inversas
16 A quantidade máxima de permutações que podemos fazer com estes n objetos é n! = n(n 1)(n 2) Definição: Dada uma permutação dos inteiros 1, 2,..., n existe uma inversão quando um inteiro precede outro menor que ele. Exemplo: Considerenado os inteiros 1,2 e 3, a permutação possui 0 inversões, possui 1 inversão, possui 1 inversão, possui 2 inversões, possui 2 inversões e possui 3 inversões. e Matrizes Inversas
17 Definição: Seja A = (a ij ) n n uma matriz quadrada. Definimos o determinante de A, e denotamos por det(a) ou A, por det(a) = ρ ( 1) J a 1j1 a 2j2... a njn onde J é o número de inversões da permutação (j 1 j 2... j n ) dos números 1, 2,..., n e ρ indica que a soma é estendida a todas as n! permutações de 1, 2,..., n. e Matrizes Inversas
18 Exemplo: Determinante de 3a. ordem: Se A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23, então a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. e Matrizes Inversas
19 Podemos, também, definir determinante de maneira recorrente. e Matrizes Inversas
20 Podemos, também, definir determinante de maneira recorrente. Determinante de 1a. ordem: Se A = (a 11 ), então det A = a 11. Exemplo: se A = ( 8), então det A = 8. e Matrizes Inversas
21 Podemos, também, definir determinante de maneira recorrente. Determinante de 1a. ordem: Se A = (a 11 ), então det A = a 11. Exemplo: se A = ( 8), então det A = 8. ( ) a11 a Determinante de 2a. ordem: Se A = 12, então a 21 a 22 det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21. Exemplo: det A = = = 10 e Matrizes Inversas
22 a 11 a 12 a 13 Determinante de 3a. ordem: Se A = a 21 a 22 a 23, então a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Exemplo: = 49 e Matrizes Inversas
23 Para definir determinantes de matrizes de ordem superior precisamos do conceito de cofator. e Matrizes Inversas
24 Para definir determinantes de matrizes de ordem superior precisamos do conceito de cofator. Definição: Seja A = (a ij ) n n. Eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz, obtêm-se uma outra matriz, de ordem (n 1) (n 1), representada por M (n 1) (n 1). O determinante dessa matriz é denominado menor da matriz A e o escalar C ij = ( 1) i+j M é chamado cofator de A. e Matrizes Inversas
25 Para definir determinantes de matrizes de ordem superior precisamos do conceito de cofator. Definição: Seja A = (a ij ) n n. Eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz, obtêm-se uma outra matriz, de ordem (n 1) (n 1), representada por M (n 1) (n 1). O determinante dessa matriz é denominado menor da matriz A e o escalar C ij = ( 1) i+j M é chamado cofator de A. Exemplo: Se A = [ ] 1 2, então: 3 4 e Matrizes Inversas
26 Para definir determinantes de matrizes de ordem superior precisamos do conceito de cofator. Definição: Seja A = (a ij ) n n. Eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz, obtêm-se uma outra matriz, de ordem (n 1) (n 1), representada por M (n 1) (n 1). O determinante dessa matriz é denominado menor da matriz A e o escalar C ij = ( 1) i+j M é chamado cofator de A. [ ] 1 2 Exemplo: Se A =, então: 3 4 C 11 = ( 1) = 4 C 12 = ( 1) = 3 C 21 = ( 1) = 2 C 22 = ( 1) = 1 e Matrizes Inversas
27 Exercício: Calcular os cofatores de A = e Matrizes Inversas
28 O determinante de uma matriz quadrada A = (a ij ) n n, n 2, pode ser calculado pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou uma coluna da matriz A pelos respectivos cofatores, isto é, e Matrizes Inversas
29 O determinante de uma matriz quadrada A = (a ij ) n n, n 2, pode ser calculado pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou uma coluna da matriz A pelos respectivos cofatores, isto é, - fixando a coluna j: det A = n i=1 C ij a ij ; e Matrizes Inversas
30 O determinante de uma matriz quadrada A = (a ij ) n n, n 2, pode ser calculado pela soma dos produtos dos elementos de uma linha ou uma coluna da matriz A pelos respectivos cofatores, isto é, - fixando a coluna j: det A = n i=1 C ij a ij ; - fixando a linha i: det A = n j=1 C ij a ij. e Matrizes Inversas
31 Exemplo: e Matrizes Inversas
32 6 1 0 Exemplo: Utilizando a 1a. linha : det A = 6 C C C 13 = = 6 ( 1) ( 1) = 6 ( 17) + 1 (14) = 88. e Matrizes Inversas
33 Exercício: Exercício: e Matrizes Inversas
34 Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. e Matrizes Inversas
35 Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. det(a) = det(a t ). e Matrizes Inversas
36 Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. det(a) = det(a t ). Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por essa constante. Assim, det(λ A) = λ n det(a). e Matrizes Inversas
37 Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. det(a) = det(a t ). Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por essa constante. Assim, det(λ A) = λ n det(a). Se trocarmos a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal. e Matrizes Inversas
38 Propriedades dos determinantes Se todos os elementos de uma linha ( ou coluna ) de uma matriz são nulos, então det(a) = 0. det(a) = det(a t ). Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o determinante fica multiplicado por essa constante. Assim, det(λ A) = λ n det(a). Se trocarmos a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal. O determinante de uma matriz que tem duas linhas iguais ( ou duas colunas iguais ) é nulo. e Matrizes Inversas
39 a 11 a a 1n. b i1 + c i1 b i2 + c i2... b in + c in. a n1 a n2... a nn = a 11 a a 1n. b i1 b i2... b in. a n1 a n2... a nn + a 11 a a 1n. c i1 c i2... c in. a n1 a n2... a nn e Matrizes Inversas
40 det(ab) = det(a)det(b) e Matrizes Inversas
41 det(ab) = det(a)det(b) O determinante não se altera se somarmos a uma linha, outra linha multiplicada por uma constante. e Matrizes Inversas
42 Definição: Dada uma matriz A, a matriz formada pelos cofatores de A é chamada matriz dos cofatores de A e denotada por Ā ou A Exemplo: Dada A = 3 1 4, determinar Ā ā 11 = ( 1) = 19. ā 12 = ( 1) = 19. ā 13 = ( 1) = 19. ā 21 = ( 1) = 5. ā 22 = ( 1) = 10. ā 23 = ( 1) = 11. ā 31 = ( 1) = 4. ā 32 = ( 1) = 8. ā 33 = ( 1) = 5. e Matrizes Inversas
43 Portanto, Ā = e Matrizes Inversas
44 Definição: Dada uma matriz quadrada A n n, chamamos de matriz adjunta de A a matriz transposta da matriz dos cofatores de A. Notação: adj(a) = (Ā)t Para o exemplo anterior: adj A = Para esta mesma A, det A = 19 ( verificar! ). e Matrizes Inversas
45 Agora, calculando A adj A, obtemos: e Matrizes Inversas
46 Agora, calculando A adj A, obtemos: A adj A = = = = 19 I 3 = det A I e Matrizes Inversas
47 Agora, calculando A adj A, obtemos: A adj A = = = = 19 I 3 = det A I Teorema: A adj A = (deta) I n. e Matrizes Inversas
48 Definição: Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal que A B = B A = I n, onde I n é a matriz identidade de ordem n. Notação: B = A 1. Uma matriz não invertível é dita singular. Exemplo: Se A = [ ] 2 3 então A = [ 4/5 ] 3/5 1/5 2/5 e Matrizes Inversas
49 Observações: e Matrizes Inversas
50 Observações: 1) Dadas A e B matrizes invertíveis, então (A B) 1 = B 1 A 1. e Matrizes Inversas
51 Observações: 1) Dadas A e B matrizes invertíveis, então (A B) 1 = B 1 A 1. 2) Seja A uma matriz quadrada. Se existe B tal que BA = I, então A é invertível e B = A 1. e Matrizes Inversas
52 Observações: 1) Dadas A e B matrizes invertíveis, então (A B) 1 = B 1 A 1. 2) Seja A uma matriz quadrada. Se existe B tal que BA = I, então A é invertível e B = A 1. 3) Se existe A 1 então (A 1 ) 1 = A. e Matrizes Inversas
53 Teorema: Uma matriz quadrada A admite inversa se, e somente se, det A 0. E, A 1 = 1 adj A. det A e Matrizes Inversas
54 [ ] a b Exemplo: A = c d e Matrizes Inversas
55 [ ] a b Exemplo: A = c d Exemplo: A = [ 6 ] e Matrizes Inversas
56 [ ] a b Exemplo: A = c d Exemplo: A = [ 6 ] Exemplo: A = e Matrizes Inversas
57 [ ] a b Exemplo: A = c d Exemplo: A = [ 6 ] Exemplo: A = Exemplo: A = e Matrizes Inversas
1 Determinante. det(a) = ρ. ( 1) J a 1j1 a 2j2... a njn. Exemplo 1.6. Determinante de 3a. ordem: a 11 a 12 a 13. a 21 a 22 a 23.
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