Escalonamento de matrizes
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- Mafalda Cabreira de Caminha
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1 Escalonamento de matrizes Laura Goulart UESB 20 de Outubro de 2016 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
2 Operações elementares sobre as linhas Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz uma das seguintes operações: Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
3 Operações elementares sobre as linhas Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz uma das seguintes operações: E1) Permutação de linhas (L i L j ) Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
4 Operações elementares sobre as linhas Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz uma das seguintes operações: E1) Permutação de linhas (L i L j ) E2) Multiplicação de linhas por um escalar não nulo (L i αl i ) Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
5 Operações elementares sobre as linhas Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz uma das seguintes operações: E1) Permutação de linhas (L i L j ) E2) Multiplicação de linhas por um escalar não nulo (L i αl i ) E3) Substituição de uma linha pela soma desta com outra previamente multiplicada por um escalar não nulo. (L i L i + αl j ) Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
6 Operações elementares sobre as linhas Chamamos de operações elementares nas linhas de uma matriz uma das seguintes operações: E1) Permutação de linhas (L i L j ) E2) Multiplicação de linhas por um escalar não nulo (L i αl i ) E3) Substituição de uma linha pela soma desta com outra previamente multiplicada por um escalar não nulo. (L i L i + αl j ) Se uma matriz B puder ser obtida de A por meio de uma sequência nita de operações elementares diremos que A é equivalente a B e denotamos por A B. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
7 Propriedades Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
8 Propriedades Reexiva: A A Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
9 Propriedades Reexiva: Simétrica: A A A B B A Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
10 Propriedades Reexiva: A A Simétrica: A B B A Transitiva: A B e B C A C. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
11 Matriz Escalonada Uma matriz escalonada satisfaz as seguintes condições: Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
12 Matriz Escalonada Uma matriz escalonada satisfaz as seguintes condições: i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
13 Matriz Escalonada Uma matriz escalonada satisfaz as seguintes condições: i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas. ii) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é chamado pivô. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
14 Matriz Escalonada Uma matriz escalonada satisfaz as seguintes condições: i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas. ii) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é chamado pivô. iii) O pivô da linha i + 1 ocorre à direita acima do pivô da linha i (ie, os pivôs cam na "diagonal") Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
15 Matriz Escalonada Uma matriz escalonada satisfaz as seguintes condições: i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas. ii) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é chamado pivô. iii) O pivô da linha i + 1 ocorre à direita acima do pivô da linha i (ie, os pivôs cam na "diagonal") iv) Numa coluna todos os elementos abaixo do pivô são nulos. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
16 Matriz Escalonada Uma matriz escalonada satisfaz as seguintes condições: i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas. ii) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é chamado pivô. iii) O pivô da linha i + 1 ocorre à direita acima do pivô da linha i (ie, os pivôs cam na "diagonal") iv) Numa coluna todos os elementos abaixo do pivô são nulos. Qualquer matriz poderá ser reduzida para uma matriz escalonada através do Método de Eliminação de Gauss. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
17 Matriz Escalonada Uma matriz escalonada satisfaz as seguintes condições: i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas. ii) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é chamado pivô. iii) O pivô da linha i + 1 ocorre à direita acima do pivô da linha i (ie, os pivôs cam na "diagonal") iv) Numa coluna todos os elementos abaixo do pivô são nulos. Qualquer matriz poderá ser reduzida para uma matriz escalonada através do Método de Eliminação de Gauss. posto de A = no. de linhas não nulas na forma escalonada. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
18 Matriz Escalonada Uma matriz escalonada satisfaz as seguintes condições: i) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas. ii) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é chamado pivô. iii) O pivô da linha i + 1 ocorre à direita acima do pivô da linha i (ie, os pivôs cam na "diagonal") iv) Numa coluna todos os elementos abaixo do pivô são nulos. Qualquer matriz poderá ser reduzida para uma matriz escalonada através do Método de Eliminação de Gauss. posto de A = no. de linhas não nulas na forma escalonada. nulidade de A = n posto(a) Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
19 Matrizes Elementares Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
20 Matrizes Elementares Uma matriz elementar E M n (R) é uma matriz obtida de I n de uma única operação elementar. por meio Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
21 Matrizes Elementares Uma matriz elementar E M n (R) é uma matriz obtida de I n de uma única operação elementar. por meio Proposição Toda matriz elementar é inversível. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
22 Observação Seja A M n (R) e apliquemos uma operação elementar em A, obtemos uma matriz equivalente B. Se aplicarmos a mesma operação em I n, obteremos uma matriz elementar E. Armamos que B = E A. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
23 Observação Seja A M n (R) e apliquemos uma operação elementar em A, obtemos uma matriz equivalente B. Se aplicarmos a mesma operação em I n, obteremos uma matriz elementar E. Armamos que B = E A. Proposição A B e A inversível B é inversível. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
24 Determinação da Inversa Teorema A M n (R) é inversível sse A I n. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
25 Determinação da Inversa Teorema A M n (R) é inversível sse A I n. P A = I n A 1 = P Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
26 Determinação da Inversa Teorema A M n (R) é inversível sse A I n. P A = I n A 1 = P Em outras palavras, se A M n (R) é inversível, então existe uma sequência nita de operações elementares que torna A igual a matriz identidade I n. Essas mesmas sequências de operações aplicadas ao mesmo tempo em A e em I n transformam I n em A 1. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
27 Determinação da Inversa Teorema A M n (R) é inversível sse A I n. P A = I n A 1 = P Em outras palavras, se A M n (R) é inversível, então existe uma sequência nita de operações elementares que torna A igual a matriz identidade I n. Essas mesmas sequências de operações aplicadas ao mesmo tempo em A e em I n transformam I n em A 1. (A...In ) P (I n...a 1 ) Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
28 Determinação da Inversa Teorema A M n (R) é inversível sse A I n. P A = I n A 1 = P Em outras palavras, se A M n (R) é inversível, então existe uma sequência nita de operações elementares que torna A igual a matriz identidade I n. Essas mesmas sequências de operações aplicadas ao mesmo tempo em A e em I n transformam I n em A 1. (A...In ) P (I n...a 1 ) Corolário A é inversível sse det(a) 0. Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
29 Exemplo A = Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
30 Exemplo L 1 L 3 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
31 Exemplo L 2 L 2 5L 1 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
32 Exemplo L 3 L 3 5L Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
33 Exemplo L 1 L 1 +L 2 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
34 Exemplo L 2 ( 1)L 2 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
35 Exemplo L 3 L 3 +2L 2 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
36 Exemplo L 3 20 L 3 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
37 Exemplo L 1 L 1 14L 3 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
38 Exemplo L 2 L 2 +15L 3 Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
39 Exemplo Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
40 Resposta A 1 = Laura Goulart (UESB) Escalonamento de matrizes 20 de Outubro de / 20
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