Determinantes - Parte 02

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1 Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial de maio de / 26

2 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Determinante da Matriz Inversa 3 Observações 2 / 26

3 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Determinante da Matriz Inversa 3 Observações 3 / 26

4 Considere a matriz identidade de ordem n n I = Lembrando que as operações elementares sobre as linhas de uma matriz são: 1 Permuta de linhas; 2 Multiplicação de linha por escalar; 3 Combinação de linhas; Uma matriz elementar é aquela obtida de I a partir da aplicação de uma operação elementar sobre as suas linhas 4 / 26

5 O que acontece com o determinante de uma matriz elementar? 1 Mudança de linha: muda sinal do determinante; 2 Multiplicação de linha por escalar α: multiplica o deteminante por α; 3 Combinação de linhas: não altera o determinante. 5 / 26

6 Dada uma matriz A quadrada, o que acontece se fizermos o produto E.A onde E é uma matriz elementar? Considere a matriz A = 0 3 2, onde det A = Considere a matriz E 1 = Fazendo a multiplicação E 1.A, obtemos: onde det E 1.A = 36. E 1.A = / 26

7 Considerando ainda a matriz A = elementares E 2 = , E 3 = e as matrizes Qual o resultado de E 2.A? det E 2.A = 108 Qual o resultado de E 3.A? det E 3.A = 36 7 / 26

8 Conclusão: Aplicar uma operação elementar em uma matriz A corresponde ao produto E.A onde E é a matriz elementar correspondente a operação sobre as linhas de A. Além disso, o determinante de E.A altera o determinante de A de acordo com a matriz E. 8 / 26

9 Teorema Seja A uma matriz quadrada de ordem n n. Se E é uma matriz elementar, então det(e.a) = det E. det A Corolário Se E 1 e E 2 são duas matrizes elementares, então det(e 2.E 1.A) = det E 2. det E 1. det A Corolário Se E 1, E 2,..., E k são k matrizes elementares, então det(e k..e 2.E 1.A) = det E k.. det E 2. det E 1. det A 9 / 26

10 Seja A uma matriz quadrada de ordem n n. Como sabemos, é possível escalonar A de modo a obter uma matriz triangular superior T. Escalonar A = aplicar operações elementares nas linhas de A. Operações elementares nas linhas de A = multiplicar A por uma matriz elementar à esquerda. Daí, T = E k..e 2.E 1.A E, portanto, det T = det(e k..e 2.E 1.A) = (det E k )..(det E 2 ).(det E 1 ).(det A) Isolando o determinante de A, obtemos: det T det A = (det E k )..(det E 2 ).(det E 1 ) 10 / 26

11 Calcular o determinante de A = det A = / 26

12 Calcular o determinante de A = det A = / 26

13 det A = det T (det E k )..(det E 2 ).(det E 1 ) (i) Se posto(a) = n, então det T 0 e, portanto, det A 0. (ii) Se posto(a) < n então det T = 0 e, portanto, det A = 0. Teorema Se A é uma matriz quadrada, então det A 0 posto(a) = n Qual a relação entre determinante e inversa? Teorema Se A é uma matriz quadrada, então A possui inversa det A 0 13 / 26

14 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Determinante da Matriz Inversa 3 Observações 14 / 26

15 Determinante da Matriz Inversa Seja A uma matriz não singular. Então (i) A 1 = E k..e 2.E 1.I ( ) det A 1 = det(e k ).. det(e 2 ). det(e 1 ). det I }{{} =1 (ii) I = A 1.A. ( ) A 1.A = (E k..e 2.E 1.I ).A = E k..e 2.E 1.A (iii) det(a 1.A) = det(e k..e 2.E 1.A) = det(e k ).. det(e 2 ). det(e 1 ). det A = det(e k ).. det(e 2 ). det(e 1 ). det }{{} I. det A =1 = det(e k ).. det(e 2 ). det(e 1 ). det I. det A }{{} det A 1 det(a 1.A) = det A 1. det A 15 / 26

16 det(a } 1 {{.A} ) = det A 1. det A I det I = det A 1. det A 1 = det A 1. det A det A 1 = 1 det A 16 / 26

17 Como vimos, se Então Logo, A = det A = 24 det A 1 = / 26

18 Da mesma forma, se Então, Logo, A = det A = 58 det A 1 = / 26

19 Sumário 1 Matrizes elementares 2 Determinante da Matriz Inversa 3 Observações 19 / 26

20 Observação det(a) = det(a T )? det(a ) = det(a)? Nem sempre! [ ] 1 2 A = 0 i [ 1 0 A T = 2 i deta = i, ], A = A T = deta = i [ ] i 20 / 26

21 Sistemas Lineares Sistemas Lineares Seja S um sistema onde o número de variáveis é igual ao número de equações. Qual a relação entre SOLUÇÃO DO SISTEMA e DETERMINANTE DA MATRIZ A DOS COEFICIENTES? det A 0 posto(a) é máximo det A = 0 posto(a) não é máximo Impossível ou indeterminado Única Solução 21 / 26

22 Produto de Matriz por escalar Seja d o determinante de uma matriz A. Qual o determinante de α.a? R: α n.d onde n n é a ordem de A. 22 / 26

23 Filas iguais Uma matriz tem duas colunas (ou linhas) iguais. O que se pode dizer sobre o seu determinante? 23 / 26

24 Linhas proporcionais Uma matriz tem duas linhas proporcionais. O que se pode dizer sobre o seu determinante? 24 / 26

25 Ainda sobre as colunas Uma das colunas da matriz A n n é combinação linear de duas outras colunas da mesma matriz. O que se pode dizer sobre o seu determinante? 25 / 26

26 Calcular os determinantes A = , B = C = , D = det A = 151 det C = 237 det B = 275 det D = / 26