Determinantes. 23 de janeiro de 2014

Transcrição

1 s s Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial 23 de janeiro de / 19

2 Sumário s / 19

3 Sumário s / 19

4 s Uma permutação de (1, 2, 3,..., n) é uma disposição qualquer desses números. 4 / 19

5 s Uma permutação de (1, 2, 3,..., n) é uma disposição qualquer desses números. Ex: (3, 2, 1) é uma permutação de (1, 2, 3) 4 / 19

6 s Uma permutação de (1, 2, 3,..., n) é uma disposição qualquer desses números. Ex: (3, 2, 1) é uma permutação de (1, 2, 3) Ex: (5, 3, 1, 4, 2) é uma permutação de (1, 2, 3, 4, 5) 4 / 19

7 s Uma permutação de (1, 2, 3,..., n) é uma disposição qualquer desses números. Ex: (3, 2, 1) é uma permutação de (1, 2, 3) Ex: (5, 3, 1, 4, 2) é uma permutação de (1, 2, 3, 4, 5) Ex: (1, 2, 3, 4, 5, 6) é uma permutação de (1, 2, 3, 4, 5, 6) 4 / 19

8 s Podemos reordenar uma permutação de modo a obter a sequência natural (1, 2, 3,..., n) trocando os elementos de posição dois a dois. Por exemplo, considere a permutação (5, 3, 1, 2, 4). 5 / 19

9 s Podemos reordenar uma permutação de modo a obter a sequência natural (1, 2, 3,..., n) trocando os elementos de posição dois a dois. Por exemplo, considere a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Vamos realizar trocas de posição entre dois elementos até que obtenhamos a sequência (1, 2, 3, 4, 5). 5 / 19

10 s Podemos reordenar uma permutação de modo a obter a sequência natural (1, 2, 3,..., n) trocando os elementos de posição dois a dois. Por exemplo, considere a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Vamos realizar trocas de posição entre dois elementos até que obtenhamos a sequência (1, 2, 3, 4, 5). Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4) (5, [1], [3], 2, 4); 5 / 19

11 s Podemos reordenar uma permutação de modo a obter a sequência natural (1, 2, 3,..., n) trocando os elementos de posição dois a dois. Por exemplo, considere a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Vamos realizar trocas de posição entre dois elementos até que obtenhamos a sequência (1, 2, 3, 4, 5). Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4) (5, [1], [3], 2, 4); Troca 02:(5, 1, 3, [2], [4]) (5, 1, 3, [4], [2]); 5 / 19

12 s Podemos reordenar uma permutação de modo a obter a sequência natural (1, 2, 3,..., n) trocando os elementos de posição dois a dois. Por exemplo, considere a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Vamos realizar trocas de posição entre dois elementos até que obtenhamos a sequência (1, 2, 3, 4, 5). Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4) (5, [1], [3], 2, 4); Troca 02:(5, 1, 3, [2], [4]) (5, 1, 3, [4], [2]); Troca 03:([5], 1, 3, 4, [2]) ([2], 1, 3, 4, [5]); 5 / 19

13 s Podemos reordenar uma permutação de modo a obter a sequência natural (1, 2, 3,..., n) trocando os elementos de posição dois a dois. Por exemplo, considere a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Vamos realizar trocas de posição entre dois elementos até que obtenhamos a sequência (1, 2, 3, 4, 5). Troca 01:(5, [3], [1], 2, 4) (5, [1], [3], 2, 4); Troca 02:(5, 1, 3, [2], [4]) (5, 1, 3, [4], [2]); Troca 03:([5], 1, 3, 4, [2]) ([2], 1, 3, 4, [5]); Troca 04:([2], [1], 3, 4, [5]) ([1], [2], 3, 4, 5); 5 / 19

14 s Portanto, foram necessários k = 4 passos para reordenar a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Como k é um número par, dizemos que a permutação é par. 6 / 19

15 s Portanto, foram necessários k = 4 passos para reordenar a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Como k é um número par, dizemos que a permutação é par. Já vimos também, que mesmo que tentemos outro caminho na reordenação, também seria necessário um número par de trocas. 6 / 19

16 s Portanto, foram necessários k = 4 passos para reordenar a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Como k é um número par, dizemos que a permutação é par. Já vimos também, que mesmo que tentemos outro caminho na reordenação, também seria necessário um número par de trocas. Se tomássemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permutação ímpar. 6 / 19

17 s Portanto, foram necessários k = 4 passos para reordenar a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Como k é um número par, dizemos que a permutação é par. Já vimos também, que mesmo que tentemos outro caminho na reordenação, também seria necessário um número par de trocas. Se tomássemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permutação ímpar. Daí, atribuimos um sinal à paridade da permutação, o número σ(p); 6 / 19

18 s Portanto, foram necessários k = 4 passos para reordenar a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Como k é um número par, dizemos que a permutação é par. Já vimos também, que mesmo que tentemos outro caminho na reordenação, também seria necessário um número par de trocas. Se tomássemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permutação ímpar. Daí, atribuimos um sinal à paridade da permutação, o número σ(p); Se uma permutação p é par, então σ(p) = +1; 6 / 19

19 s Portanto, foram necessários k = 4 passos para reordenar a permutação (5, 3, 1, 2, 4). Como k é um número par, dizemos que a permutação é par. Já vimos também, que mesmo que tentemos outro caminho na reordenação, também seria necessário um número par de trocas. Se tomássemos (5, 1, 3, 2, 4), esta seria uma permutação ímpar. Daí, atribuimos um sinal à paridade da permutação, o número σ(p); Se uma permutação p é par, então σ(p) = +1; Se uma permutação p é ímpar, então σ(p) = 1; 6 / 19

20 Sumário s / 19

21 s Considere uma matriz quadrada de ordem / 19

22 s Considere uma matriz quadrada de ordem 3 3 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 8 / 19

23 s Considere uma matriz quadrada de ordem 3 3 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Escolhamos um elemento em cada linha de A de modo que não se repita a coluna. 8 / 19

24 s Considere uma matriz quadrada de ordem 3 3 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Escolhamos um elemento em cada linha de A de modo que não se repita a coluna. Por exemplo: A = a 11 [a 12 ] a 13 a 21 a 22 [a 23 ] [a 31 ] a 32 a 33 8 / 19

25 s Considere uma matriz quadrada de ordem 3 3 a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Escolhamos um elemento em cada linha de A de modo que não se repita a coluna. Por exemplo: A = a 11 [a 12 ] a 13 a 21 a 22 [a 23 ] [a 31 ] a 32 a 33 Assim, ordenando por linha, a sequência escolhida foi: (a 12, a 23, a 31 ) 8 / 19

26 s Observe o segundo índice de cada elemento do conjunto (a 12, a 23, a 31 ) 9 / 19

27 s Observe o segundo índice de cada elemento do conjunto (a 12, a 23, a 31 ) Temos o conjunto p = (2, 3, 1), que é uma permutação de (1, 2, 3) 9 / 19

28 s Observe o segundo índice de cada elemento do conjunto (a 12, a 23, a 31 ) Temos o conjunto p = (2, 3, 1), que é uma permutação de (1, 2, 3) Tal permutação é par pois σ(p) = +1 (duas trocas são necessárias!); 9 / 19

29 s Observe o segundo índice de cada elemento do conjunto (a 12, a 23, a 31 ) Temos o conjunto p = (2, 3, 1), que é uma permutação de (1, 2, 3) Tal permutação é par pois σ(p) = +1 (duas trocas são necessárias!); Consideremos, então, o produto σ(p).a 12.a 23.a 31 9 / 19

30 s Retornando a matriz A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a / 19

31 s Retornando a matriz A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras possibilidades, como por exemplo: 10 / 19

32 s Retornando a matriz A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras possibilidades, como por exemplo: A = [a 11 ] a 12 a 13 a 21 [a 22 ] a 23 a 31 a 32 [a 33 ] 10 / 19

33 s Retornando a matriz A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras possibilidades, como por exemplo: A = [a 11 ] a 12 a 13 a 21 [a 22 ] a 23 a 31 a 32 [a 33 ] (a 11, a 22, a 33 ), p = (1, 2, 3) e σ(p) = / 19

34 s Retornando a matriz A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Podemos fazer o mesmo procedimento com as outras possibilidades, como por exemplo: A = [a 11 ] a 12 a 13 a 21 [a 22 ] a 23 a 31 a 32 [a 33 ] (a 11, a 22, a 33 ), p = (1, 2, 3) e σ(p) = +1 E consideramos o produto σ(p).a 11.a 22.a / 19

35 s Tomando, então, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: 11 / 19

36 s Tomando, então, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a 11.a 22.a 33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = / 19

37 s Tomando, então, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a 11.a 22.a 33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a 12.a 23.a 31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = / 19

38 s Tomando, então, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a 11.a 22.a 33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a 12.a 23.a 31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 21.a 32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = / 19

39 s Tomando, então, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a 11.a 22.a 33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a 12.a 23.a 31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 21.a 32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 22.a 31, onde p = (3, 2, 1), σ(p) = 1 11 / 19

40 s Tomando, então, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a 11.a 22.a 33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a 12.a 23.a 31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 21.a 32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 22.a 31, onde p = (3, 2, 1), σ(p) = 1 σ(p).a 11.a 23.a 32, onde p = (1, 3, 2), σ(p) = 1 11 / 19

41 s Tomando, então, todas as possibilidades para a matriz A, teremos os seguintes produtos: σ(p).a 11.a 22.a 33, onde p = (1, 2, 3), σ(p) = +1 σ(p).a 12.a 23.a 31, onde p = (2, 3, 1), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 21.a 32, onde p = (3, 1, 2), σ(p) = +1 σ(p).a 13.a 22.a 31, onde p = (3, 2, 1), σ(p) = 1 σ(p).a 11.a 23.a 32, onde p = (1, 3, 2), σ(p) = 1 σ(p).a 12.a 21.a 33, onde p = (2, 1, 3), σ(p) = 1 11 / 19

42 s Definimos o determinante de A como a soma de todos os produtos definidos anteriormente, isto é: 12 / 19

43 s Definimos o determinante de A como a soma de todos os produtos definidos anteriormente, isto é: det(a) = σ(p).a 11.a 22.a 33 + σ(p).a 12.a 23.a 31 + σ(p).a 13.a 21.a 32 + σ(p).a 13.a 22.a 31 + σ(p).a 11.a 23.a 32 + σ(p).a 12.a 21.a / 19

44 s Definimos o determinante de A como a soma de todos os produtos definidos anteriormente, isto é: det(a) = σ(p).a 11.a 22.a 33 + σ(p).a 12.a 23.a 31 + σ(p).a 13.a 21.a 32 + σ(p).a 13.a 22.a 31 + σ(p).a 11.a 23.a 32 + σ(p).a 12.a 21.a 33 Ou, usando notação de somatório, det(a) = p σ(p)a 1p1.a 2p2.a 3p3 onde p = (p 1, p 2, p 3 ) é uma permutação de (1, 2, 3). 12 / 19

45 s A ideia usada para matrizes de ordem 3 3 pode ser estendida para matrizes quadradas de ordem n n: 13 / 19

46 s A ideia usada para matrizes de ordem 3 3 pode ser estendida para matrizes quadradas de ordem n n: det(a) = p σ(p)a 1p1.a 2p2..a npn onde p = (p 1, p 2,..., p n ) é uma permutação de (1, 2,..., n). 13 / 19

47 Sumário s / 19

48 s A partir da definição, vimos que para o caso de matrizes 2 2, o deteminante era a diferença entre os produtos das diagonais: ( ) a11 a A = 12 a 21 a / 19

49 s A partir da definição, vimos que para o caso de matrizes 2 2, o deteminante era a diferença entre os produtos das diagonais: ( ) a11 a A = 12 a 21 a 22 det(a) = a 11.a 22 a 12.a / 19

50 s De modo análogo, deduzimos a regra de Sarrus para os determinantes de matrizes de ordem 3 3: A = a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a / 19

51 s De modo análogo, deduzimos a regra de Sarrus para os determinantes de matrizes de ordem 3 3: A = a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 det(a) = a 11.a 22.a 33 + a 12.a 23.a 31 + a 13.a 21.a 32 a 13.a 22.a 31 a 11.a 23.a 32 a 12.a 21.a / 19

52 s Vimos também que quando A é uma matriz triangular, o determinante nada mais é do que o produto dos elementos da diagonal principal. 17 / 19

53 s Vimos também que quando A é uma matriz triangular, o determinante nada mais é do que o produto dos elementos da diagonal principal. det(a) = a 11.a 22..a nn 17 / 19

54 s Ao considerarmos uma matriz A e sua transposta A T, vimos que o determinante não muda, isto é: 18 / 19

55 s Ao considerarmos uma matriz A e sua transposta A T, vimos que o determinante não muda, isto é: det(a T ) = det(a) 18 / 19

56 s Observações: 19 / 19

57 s Observações: Suponha que uma matriz quadrada de ordem 20 tem uma coluna completamente nula. O que se pode dizer sobre o determinante desta matriz? 19 / 19