Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática

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Bruna Batista Affonso
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Ministério da Educação Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática Plano de Aula 1- IDENTIFICAÇÃO

1 Ministério da Educação Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática Plano de Aula 1- IDENTIFICAÇÃO Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina - 22 Gerei Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Matemática Turma aplicável: 2º ano Acadêmico: Sabrina Vicente de Oliveira Data: 04/11/ TEMA: Determinante, propriedades dos determinantes.

2 3- JUSTIFICATIVA A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado de determinante da matriz que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz. O estudo de determinantes se faz necessário visto que constitui uma ferramenta importante para resolver sistemas lineares. 4- OBJETIVOS Exemplificar aplicações de determinantes de 1º, 2º e 3º ordem. Aplicar as propriedades da regra de Sarrus para resolver o determinante de uma matriz 1x1; 2x2; 3x3; Apresentar as propriedades dos determinantes. 5- CONTEÚDOS ENVOLVIDOS Multiplicação, divisão, adição e subtração; Matrizes 6- ESTRATÉGIA: 6.1- Recursos Lousa, software matemático VCN, projetor; 6.2- Técnicas Aula expositiva e dialogada com a utilização de software

3 7- PROCEDIMENTOS Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade da criança, concluiu-se que o peso médio, em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz, onde Com base na fórmula, determine: a) o peso médio de uma criança de 5 anos; b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg. Solução: Vamos resolver esse problema usando a regra de Sarrus para calcular o determinante da matriz. Como o peso (massa) médio, em quilogramas, é dado por, onde é a idade da criança: a) b), então: anos

4 7.2- Historicização O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Cayley. A definição de determinante é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz ( ) e teria sido realizada em Mais tarde, em 1750, o matemático e astrônomo suíço Gabriel Cramer ( ) publicou a solução de sistemas lineares através da Regra de Cramer. Em 1683, paralelamente a Leibniz, no Oriente resolvia sistemas lineares por intermédio do matemático japonês Kowa, de forma parecida com a usada hoje. No século XVIII outros matemáticos, como Bézout, Vandermonde e Laplace, deram sua contribuição para aperfeiçoar esse estudo, consolidada no século XIX por Cauchy e Jacobi. O francês Pierre Laplace ( ) contribui de forma significativa para a Matemática. Seu objetivo maior, porém, foi a Astronomia. Sua obra principal é a Mecânica Celeste. Neste percurso precisou solucionar alguns problemas matemáticos, que acabaram por se tornar valiosíssimos, como a teoria das probabilidades e o conceito de potencial. Esses trabalhos fizeram dele um dos principais matemáticos de seu tempo. 7.3-Operacionalização da aula 1 momento: Cumprimentos a turma. Chamada e registro de presenças/ faltas dos alunos. 2 momento: Iniciarei a aula apresentando a história do determinante 3º momento: Apresentar a problematização 4º momento: Apresentar alguns o conceito de determinante de matriz quadrada de 1º ordem. Seja a matriz quadrada de 1º ordem, indicada por A= [a11]. Por definição o determinante de A é igual ao número a11 Indicamos assim det A= a11

Exemplo: dadas as matrizes A=[4] e B[-2], escrevemos det A= 4; det B= -2; det A+ det B = 4+(-2 )= 2 5º momento: Apresentar o conceito de determinante de uma matriz de 2º ordem.

5 Exemplo: dadas as matrizes A=[4] e B[-2], escrevemos det A= 4; det B= -2; det A+ det B = 4+(-2 )= 2 5º momento: Apresentar o conceito de determinante de uma matriz de 2º ordem. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Dada a matriz A = * +, indicamos seu determinante assim: Det A= a11.a22 a12. a21 ou = a11.a22 a12. A21 Exemplo 01): O determinante da matriz A (deta), sendo A=( ), é dado por: Det A= 6.(-4) 3.2 = = -30 Exemplo 02) B= ( ) Det B= = = 7-6 = 1 Exemplo 03)A= ( ) Det A= = (-2.4)= -5+8 = 3 6º momento: Apresentar determinante de matriz quadrada de 3º ordem. consideremos a matriz genérica de ordem 3 Podemos obter o determinante de uma matriz quadrada de 3º ordem utilizando uma regra prática denominada regra de sarrus.

Fazemos o seguinte: repetimos as duas primeiras

6 Fazemos o seguinte: repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações. Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal; Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal; O determinante é a soma dos valores assim obtidos. Exemplo 01) Calcular o determinante da matriz [ ]. det A = = - 34

Exemplo 02) A=[ ] 0+2+40+6+24= 72 Det A= 72.

7 Exemplo 02) A=[ ] = 72 Det A= 72. Exemplo 03) ) A=[ ] Logo det A= =15 7º momento: Resolver a problematização 8º momento: Propriedades de determinantes utilizando o software VCN 1. Abrindo o software VCN escolha a opção Sistemas Lineares em seguida selecione a opção operação com matrizes. 1º propriedade 1. Na opção matriz A escreva a matriz de odem 2, ( ), e na matriz B escrever a matriz de ordem 2 ( ). 2. Logo após, selecione a opção adição matricial e depois selecione calcular. 3. O aplicativo vai calcular o determinante de cada matriz. Logo, a primeira propriedade tem-se que se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem nulos, o seu determinante é zero.

8 2º propriedade 4. Na opção matriz A escreva a seguinte matriz de ordem 2, ( ),e na matriz B de ordem 3 escrever a seguinte matriz[ ]. 5. Logo após, selecione a opção adição matricial e depois selecione calcular. Se 2 linhas ou 2 colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, seu determinante é nulo. 3º propriedade 6. Na opção matriz A escreva a seguinte matriz de ordem 3 [ ], Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada for combinação linear de outras linhas ou colunas, seu determinante é nulo. Matriz A 3º linha é a soma da 1º com a segunda linha, ou seja, a 3º linha é combinação linear da 1º com a segunda. 4º propriedade 7. Na opção matriz A (2x2) ( ) e coloque o mesmo valor na matriz B. 8. Selecione a opção matriz transposta e em segui aperte calcular. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta 5º propriedade 9. Na opção matriz A (2x2) ( ) e na matriz B( ) Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da primeira matriz. A matriz a o determinante vai dar 6 e na matriz b o determinante vai dar -6 logo os determinantes são opostos.

9 7.4- Conclusão: A proposta deste trabalho foi apresentar aos alunos os principais conceitos envolvendo determinantes. Lista de Exercícios 01) Calcule o valor de cada um dos seguintes determinantes: a) b) c) d) e) 02) Calcule cada um dos determinantes a seguir, utilizando a regra de sarrus. a) [ ] b) [ ] 8- AVALIAÇÃO 8.1- Critérios Participação dos alunos e observação do conhecimento construído 8.2- Instrumentos Observação, atividades no software e exercícios.

10 9- BIBLIOGRAFIA GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed. renovada. São Paulo: FTD, DANTE, Luiz Roberto. Matemática- volume único: 1.ed- São Paulo: ática, MIRANDA, Danielle de. Regra de cramer. Disponível em: < Acesso em: 03/10/2015 PAIVA, Manoel. Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2009.

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