Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática

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1 Ministério da Educação Secretária de Educação Profissional e Tecnologia Instituto Federal Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Curso de Licenciatura em Matemática Plano de Aula 1- IDENTIFICAÇÃO Secretaria de Estado da Educação de Santa Catarina - 22 Gerei Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Catarinense - Câmpus Avançado Sombrio Matemática Turma aplicável: 2º ano Acadêmico: Sabrina Vicente de Oliveira Data: 21/10/ TEMA: Determinante, propriedades dos determinantes.

2 3- JUSTIFICATIVA A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado de determinante da matriz que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz. O estudo de determinantes se faz necessário visto que constitui uma ferramenta importante para resolver sistemas lineares. 4- OBJETIVOS Exemplificar aplicações de determinantes de 1º, 2º e 3º ordem. Aplicar as propriedades da regra de Sarrus para resolver o determinante de uma matriz 1x1; 2x2; 3x3; Calcular o determinante de matrizes 2x2 e 3x3 pela regra de Cramer; Apresentar as propriedades dos determinantes. 5- CONTEÚDOS ENVOLVIDOS Multiplicação, divisão, adição e subtração; Matrizes 6- ESTRATÉGIA: 6.1- Recursos Lousa, software matemático VCN, projetor; 6.2- Técnicas Aula expositiva e dialogada com a utilização de software

3 7- PROCEDIMENTOS 7.1- Problematização Uma vendedora de loja de roupas atendeu, no mesmo dia, três clientes e efetuou as seguintes vendas: Cliente 01 1 calça, 2 camisas e 3 pares de meias valor: R$ 156,00 Cliente 02 2 calças, 5 camisas e 6 pares de meias valor: R$ 347,00 Cliente 03 2 calças, 3 camisas e 4 pares de meias valor: R$ 253,00 Quanto custa cada par de meia? Solução: Montando o sistema: { Então, como cada par de meias equivale à incógnita, temos que cada par custa R$ 12, Historicização O estudo sobre determinantes precedeu o estudo de matrizes, feito por Cayley. A definição de determinante é atribuída ao matemático alemão Gottfried Leibniz ( ) e teria sido realizada em Mais tarde, em 1750, o matemático e

4 astrônomo suíço Gabriel Cramer ( ) publicou a solução de sistemas lineares através da Regra de Cramer. Em 1683, paralelamente a Leibniz, no Oriente resolvia sistemas lineares por intermédio do matemático japonês Kowa, de forma parecida com a usada hoje. No século XVIII outros matemáticos, como Bézout, Vandermonde e Laplace, deram sua contribuição para aperfeiçoar esse estudo, consolidada no século XIX por Cauchy e Jacobi. O francês Pierre Laplace ( ) contribui de forma significativa para a Matemática. Seu objetivo maior, porém, foi a Astronomia. Sua obra principal é a Mecânica Celeste. Neste percurso precisou solucionar alguns problemas matemáticos, que acabaram por se tornar valiosíssimos, como a teoria das probabilidades e o conceito de potencial. Esses trabalhos fizeram dele um dos principais matemáticos de seu tempo. 7.3-Operacionalização da aula 1 momento: Cumprimentos a turma. Chamada e registro de presenças/ faltas dos alunos. 2 momento: Iniciarei a aula apresentando a história do determinante 3º momento: Apresentar a problematização 4º momento: Apresentar alguns o conceito de determinante de matriz quadrada de 1º ordem. Seja a matriz quadrada de 1º ordem, indicada por A= [a11]. Por definição o determinante de A é igual ao número a11 Indicamos assim det A= a11 Exemplo: dadas as matrizes A=[4] e B[-2], escrevemos det A= 4; det B= -2; det A+ det B = 4+(-2 )= 2 5º momento: Apresentar o conceito de determinante de uma matriz de 2º ordem. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2, calculamos seu determinante fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

5 Dada a matriz A = * +, indicamos seu determinante assim: Det A= a11.a22 a12. a21 ou = a11.a22 a12. A21 Exemplo 01): O determinante da matriz A (deta), sendo A=( ), é dado por: Det A= 6.(-4) 3.2 = = -30 Exemplo 02) B= ( ) Det B= = = 7-6 = 1 6º momento: Apresentar determinante de matriz quadrada de 3º ordem. consideremos a matriz genérica de ordem 3 Podemos obter o determinante de uma matriz quadrada de 3º ordem utilizando uma regra prática denominada regra de sarrus. Fazemos o seguinte: repetimos as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuamos as seis multiplicações.

6 Os produtos obtidos na direção da diagonal principal permanecem com o mesmo sinal; Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária mudam de sinal; O determinante é a soma dos valores assim obtidos. Exemplo 01) Calcular o determinante da matriz [ ]. det A = = - 34 Exemplo 02) A=[ ] = 72 Det A= 72. 7º momento: Regra de Cramer Vamos considerar um sistema linear em que o número de equações é igual ao número de incógnitas. Um processo de resolução desse tipo de sistema é a conhecida Regra de Cramer, baseada no cálculo de determinantes. Inicialmente, vamos enunciar essa regra para o caso de um sistema 2 x 2. 8º momento: Caso 2x2 Considere o sistema nas incógnitas e : {. Seja o determinante da matriz incompleta dos coeficientes do sistema:

7 * + e Se, então o sistema é possível e determinado (SPD) e sua solução é dada por: em que e são os determinantes das matrizes obtidas a partir da matriz e substituindo, respectivamente, a 1ª coluna e a 2ª coluna de independentes da equação do sistema, como descritas abaixo. pela coluna dos coeficientes [ ] * + Exemplo: 1) Usando a Regra de Cramer, vamos resolver o sistema: { Solução: Observemos que, como, podemos usar a Regra de Cramer. Assim, esse sistema é possível e determinado. Calculemos e : Então, e. Logo,,( )- 9º momento: Caso 3x3 Considere o sistema linear {, nas incógnitas Se, então o sistema é possível e determinado (SPD). Sua solução é dada por, e, em que, e são os determinantes das matrizes obtidas quando trocamos, na matriz dos coeficientes do sistema, a coluna dos coeficientes de, respectivamente, pela coluna dos coeficientes independentes das equações, como descritas abaixo:

8 [ ] [ ] [ ] Exemplo: 1) Resolva o sistema: { Solução: Como, o sistema é SPD; podemos usar a Regra de Cramer: Assim, { }. 10º momento: Propriedades de determinantes utilizando o software VCN 1. Abrindo o software VCN escolha a opção Sistemas Lineares em seguida selecione a opção operação com matrizes.

9 1º propriedade 1. Na opção matriz A escreva a matriz de odem 2, ( ), e na matriz B escrever a matriz de ordem 2 ( ). 2. Logo após, selecione a opção adição matricial e depois selecione calcular. 3. O aplicativo vai calcular o determinante de cada matriz. Logo, a primeira propriedade tem-se que se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada forem nulos, o seu determinante é zero. 2º propriedade 4. Na opção matriz A escreva a seguinte matriz de ordem 2, ( ),e na matriz B de ordem 3 escrever a seguinte matriz[ ]. 5. Logo após, selecione a opção adição matricial e depois selecione calcular. Se 2 linhas ou 2 colunas de uma matriz quadrada forem iguais ou proporcionais, seu determinante é nulo. 3º propriedade 6. Na opção matriz A escreva a seguinte matriz de ordem 3 [ ], Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada for combinação linear de outras linhas ou colunas, seu determinante é nulo. Matriz A 3º linha é a soma da 1º com a segunda linha, ou seja, a 3º linha é combinação linear da 1º com a segunda. 4º propriedade 7. Na opção matriz A (2x2) ( ) e coloque o mesmo valor na matriz B. 8. Selecione a opção matriz transposta e em segui aperte calcular. O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta 5º propriedade 9. Na opção matriz A (2x2) ( ) e na matriz B( )

10 Se trocarmos de posição entre si duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada, o determinante da nova matriz é o oposto do determinante da primeira matriz. A matriz a o determinante vai dar 6 e na matriz b o determinante vai dar -6 logo os determinantes são opostos. 11º momento: Aplicar uma avaliação com a turma 7.4- Conclusão: A proposta deste trabalho foi apresentar aos alunos os principais conceitos envolvendo determinantes. Para finalizar a aula, será entregue para cada aluno uma avaliação afim de que possam praticar os conteúdos ensinados na aula atingindo assim, os objetivos. Segue a avaliação Nome: Data: 01) Calcule o valor de cada um dos seguintes determinantes: a) b) c) d) e) 02) Justifique em cada caso o motivo do determinante ser nulo a) b) c) ) Resolva as equações: a) * +=0 b) * +=0 c) * +=0

11 d) [ ]=0 04) Calcule cada um dos determinantes a seguir, utilizando a regra de sarrus. a) [ ] b) [ ] 05) Resolva os seguintes sistemas lineares, usando a regra de Cramer; a) { b), 8- AVALIAÇÃO aulas Critérios Participação e interesse nas explicações e ao realizarem as atividades propostas nas 8.2- Instrumentos Observação, avaliação e registro do desempenho individual.

12 9- BIBLIOGRAFIA GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa. 2. ed. renovada. São Paulo: FTD, DANTE, Luiz Roberto. Matemática- volume único: 1.ed- São Paulo: ática, MIRANDA, Danielle de. Regra de cramer. Disponível em: < Acesso em: 03/10/2015 PAIVA, Manoel. Matemática. 1. ed. São Paulo: Moderna, 2009.