Matemática /09 - Determinantes 37. Determinantes. det A = a 11 a 22 a 12 a 21 = = 2

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1 Matemática - 008/09 - Determinantes Determinantes de ordem e. Determinantes O erminante de uma matriz quadrada é um número real obtido a partir da soma de erminados produtos de elementos da matriz. Vamos descrever como se calculam erminantes de matrizes de ordem e. Ordem : a 11 a 1 Se A a 1 a ; então o seu erminante é Exemplo: 1 a 1 a a A a 11 a a 1 a 1 1 Ordem : a 11 a 1 a 1 Se A a 1 a a ; então o seu erminante é A a 11 a a + a 1 a a 1 + a 1 a 1 a a 11 a a a 1 a 1 a a 1 a a 1 : Nota: Como se pode observar, o erminante de ordem três é uma soma de seis parcelas, três afectadas do sinal positivo e três do sinal negativo. Cada parcela é o produto de três entradas da matriz, situadas em linhas e colunas diferentes. Para calcular estes produtos e o sinal de que são afectados, costuma utilizar-se uma regra prática, conhecida como regra de Sarrus 1 : 1- Repetem-se as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira: a 11 a 1 a 1 a 11 a 1 a 1 a a a 1 a a 1 a a a 1 a - Os produtos afectados com o sinal + obtêm-se multiplicando os elementos que se situam ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte: a 11 a a ; a 1 a a 1 e a 1 a 1 a 1 Pierre Frederic Sarrus ( ) foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de Sarrus foi provavelmente escrita no ano de 18.

2 Matemática - 008/09 - Determinantes 8 - Os produtos afectados com sinal obtêm-se multiplicando os elementos que se situam ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte: a 1 a a 1, a 11 a a e a 1 a 1 a 1 Exemplo: Cálculo do erminante da matriz Parcelas com sinal + : 8 9 Parcelas com sinal : 1 9; e ; 1 8 e Determinantes de ordem maior que. O cálculo de erminantes de ordem superior a três não se pode fazer directamente pois envolve o cálculo de muitas parcelas (por exemplo, no caso de ordem são parcelas e no de ordem, 10 parcelas). No entanto, quando muitas entradas da matriz são nulas também muitas das parcelas se anulam o que pode facilitar o cálculo do erminante. Em particular, no caso da matriz ser triangular (superior ou inferior), o erminante é apenas o produto das entradas principais. Como a forma de escada de uma matriz quadrada é uma matriz triangular, o método de eliminação de Gauss fornece um método para o cálculo do erminante: Começamos por ver o efeito de cada uma das operações elementares no erminante de uma matriz:

3 Matemática - 008/09 - Determinantes 9 Tipo I: Se a matriz B foi obtida da matriz A por troca de duas linhas, então (B) (A). 0 1 Exemplo: 9 1 L 1 $ L Tipo II: Se multiplicarmos uma linha da matriz por um número real diferente de zero então multiplica-se o erminante pelo inverso desse número. 9 1 Exemplo: L 1 Tipo III: Se adicionarmos a uma linha da matriz outra linha multiplicada por um número real o erminante não se altera. 1 1 Exemplo: L 1 + L Cálculo do erminante através do método de eliminação Vimos qual o efeito no erminante nas operações elementares nas linhas da matriz. Para calcular o erminante de uma matriz começa-se por reduzir a matriz a uma forma de escada, assinalando as alterações que ocorram no erminante. Como a forma de escada de uma matriz quadrada é uma matriz triangular, o erminante desta obtém-se, como foi referido atrás, multiplicando os elementos da diagonal principal. Este método pode ser usado para matrizes de qualquer ordem, também de ordem dois ou três. Exemplos: L 1 $ L L 1 L L L 1 + L L 10L + L ( ) ( ) 1 0 0

4 Matemática - 008/09 - Determinantes L L 1 + L L $ L L L 1 + L L L 1 + L L L + L L L + L L L + L L L 1 + L L L + L L L 1 + L No exemplo anterior o erminante deu 0; o que era de esperar pois este erminante já tinha sido calculado na página 8. É fácil compreender que sempre que uma matriz tem característica inferior à sua ordem o erminante é nulo, pois a forma de escada da matriz tem, pelo menos, uma linha nula o que vai implicar que o produto dos elementos da diagonal seja 0. Propriedades: Seja A uma matriz de ordem n: 1. A A T :. Se cara < n então A 0. Se A tem uma linha nula então A 0. Se A tem duas linhas iguais ou proporcionais, então A 0:

5 Matemática - 008/09 - Determinantes 1 Outra caracterização da invertibilidade de uma matriz. Vimos no capítulo de Sistemas de Equações Lineares que uma matriz quadrada A é invertível se e só se a sua característica é igual à sua ordem. Acabámos de relacionar a característica da matriz com a nulidade, ou não, do seu erminante. Vamos agora enunciar um novo critério, baseado no erminante, para decidir a invertibilidade de uma matriz: Teorema: Seja A uma matriz quadrada. A matriz A é invertível se e só se (A) 0: Exemplos: 1. A matriz não é invertível porque. A matriz é invertível porque. Seja A se e só se o seu erminante é diferente de 0. : 0: ; ; R. Pelo teorema anterior esta matriz é invertível Como e ,, (veri car), 0 ou ; concluímos que A é invertível se 0 e :