Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07

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1 Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō ano/ ō S 6/7 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES Sistemas de equações lineares. Quais das seguintes equações são equações lineares em x, y e z? a) x+5y z = b) x +y z = c) x = y+π d) x + 5y + cos z = e) x + 5y z =. Determine a equação da parábola, y = ax + bx + c, que passa pelos pontos (, ), (, 4) e (, ).. Use os resultados do problema anterior para determinar o polinómio p de grau menor ou igual a dois, que toma os valores indicados na tabela seguinte x - p(x) 4 4. Diga para que valores de α e de β o sistema seguinte é possível: { x + y = α 8x 4y = β 5. Sem efectuar cálculos, diga quantas soluções tem o sistema: x x + πx 4 = e π π x x 4 = x +.5x 4 =.x 4 = π π 6. Considere as rectas x y = e x + y = 4. Diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes: (a) As rectas intersectam-se no ponto (, 9).

2 AL 6/7 (b) O ponto (, 9) pertence a uma das rectas e não é ponto de intersecção das duas rectas. (c) As rectas são paralelas. 7. Complete a igualdade [ ] [ ] = [ ]. por forma a que esta equação tenha como solução a recta y = mx + b que passa pelos pontos (, ) e (, ). Indique ainda a equação desta recta. 8. Sendo i a unidade imaginária (i.e. i = ), diga se (z, z ) = ( i, i) é ou não solução do sistema: { z z = i ( + i)z =. 9. Quais das seguintes matrizes são matrizes em escada por linhas? Indique as respectivas características. a) b) c) d) e) i) f) j) g) k) h) l). Determine a característica de cada uma das matrizes seguintes (i denota a unidade imaginária ): [ ] (a) 4 + i (b) + i 5 + 5i 5

3 AL 6/7. Considere as seguintes matrizes aumentadas em escada de linhas. Resolva cada um dos respectivos sistemas de equações lineares (a (b) Construa matrizes aumentadas para um sistema de equações lineares cuja solução geral seja x =, x = e x = 5.. Resolva cada um dos sistemas de equações lineares, utilizando o Método de Eliminação de Gauss. (a) (c) x + y + z = 8 x y + z = x 7y + 4z = x y + z w = x + y z w = x + y 4z + w = (b) x + x + x = x + 5x + x = 8x + x + 4x = 4. Faça a discussão de cada um dos seguintes sistemas de equações lineares nas variáveis x, y, z em função dos respectivos parâmetros e determine a solução geral em caso (a) (c) x y = az = x 5y 5z = b z = cy + 4z = d 4x + 5y z = Cálculo Matricial (b) (d) αx + βz = αx + αy + 4z = 4 αy + z = β x + y + z = 4 z = (a 4)z = a 5. Escreva a matriz A = [a ij ] i,j=,,4 definida por: se i = j (a) a ij = se i = j + (b) a ij = i (c) a ij = caso contrário 6. Complete a igualdade:.5 = { aji para todo i, j j para j > i

4 AL 6/ Calcule, se possível, os produtos AB e BA, quando: [ (a) A = 4 ] e B = (b) A = [ + i i ] e B = [ i i π ] 8. Para cada par de matrizes A e B abaixo indicadas determinar, caso estejam definidas, as matrizes A + B, A B, A, B, AB e BA. [ ] [ ] [ ] a) A = B = 4 4 b) A = B = [ ] [ ] c) A = [] e B = 4 d) A = B = e) A = [ ] B = 9. Para A = [ ] e B =, calcule: (AB), (AB) T, B T A T e A T B T. [ ]. Considere uma função definida por f(x) = Ax, que aplica o vector no [ ] [ ] [ ] 5 vector e o vector no vector. Determine a matriz A e use-a para ([ ]) 6 calcular f.. Obtenha uma fórmula para A n, onde A é a seguinte matriz: [ ] [ ] [ ] [ i cos(α) sin(α) a) b) c) d) i sin(α) cos(α) ]. Dê exemplos sempre que possível, de matrizes quadradas A e B que verifiquem as condições abaixo indicadas. Caso não seja possível, justifique porquê.

5 AL 6/7 5 (a) AB = BA. (b) AB BA. (c) AB = e BA. (d) (A + B) = A + B + AB. (e) AB = e A e B.. Seja B uma matriz cuja ā coluna é b = Complete as afirmações: e A = 5. (a) A ā coluna de AB é... (b) X = Ab é uma combinação linear das colunas de A com coeficientes Considere os vectores: u =, u =, u =, b =. Verifique se b é combinação linear de u, u e u. Inversão de matrizes 5. Considere a seguinte matriz: A = 5 a) Encontre matrizes elementares tais que E k...e A = Id. b) Escreva A como um produto de k matrizes elementares. c) Escreva A como um produto de k matrizes. 6. Mostre que a matriz A = a b c d e f g h não é invertível para quaisquer entradas a, b, c, d, e, f, g, h reais.

6 AL 6/ Utilizando o Método de Gauss-Jordan, calcule, sempre que existir, a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes. 4 4 a) b) 4 c) d) e) f) Calcule, sempre que existir, a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes k k k a) k k b) k k c) k k k 4 k 4 k em que k, k, k, k 4 e k são reais. 9. Senda A e B duas matrizes n n invertíveis, diga justificando quais das matrizes seguintes são invertíveis, indicando nesses casos a expressão da matriz inversa. Nos casos em que a matriz não seja necessariamente invertível, ilustre as diferentes possibilidades através de exemplos. a)ab b)a + B c)a B A p B q A q B q (p, q N). Sejam A e B duas matrizes quadradas tais que AB = Id. Calcule a matriz BA A. Factorização LU. Considere o sistema Ax = b onde A e b são: A = 5 6 b = 4 (a) Construa a factorização LU para a matriz (em banda) A. (b) Use a factorização LU para resolver o sistema Ax = b. (c) Calcule A e verifique que enquanto L e U são triangulares superiores (têm bastantes zeros) a matriz A não possui qualquer zero.

7 AL 6/7 7 Matrizes em blocos. Determine as matrizes X, Y e Z em termos de A, B e C, fazendo as hipóteses necessárias nas dimensões das matrizes, por forma a que se verifiquem as igualdades. (I designa a matriz identidade). [ ] [ ] [ ] [ ] Z [ ] A B I I X (a) = (b) A I = C D X Y Z Y I I B I [ ] B C. Uma matriz da forma A = é designada por uma matriz triangular D superior por blocos. Supondo que A é invertível e que B e D são matrizes quadradas respectivamente p p e q q, determine A. 4. Use o exercício anterior para calcular a inversa da matriz 5 A = 4. 5 Exercícios de escolha múltipla α β 5. Para a matriz A = verdadeira., diga qual das afirmações seguintes é A característica de A é. A característica de A é. A característica de A depende dos valores de α e de β. A característica de A é. ( ) 6. A matriz A = é uma matriz elementar. Sendo B uma matriz, então BA é a matriz que se obtém de B: trocando a ō linha com a ō linha. trocando a ō coluna com a ō coluna. substituindo a ō linha de B pela soma da ō linha com a ō multiplicada por. substituindo a ō coluna de B pela soma da ō coluna com a ō multiplicada por.

8 AL 6/ Diga qual das afirmações seguintes é verdadeira para A uma matriz quadrada e b um vector não nulo. Se x é solução do sistema Au = e y solução do sistema Au = b, então (x y) é solução de Au = b. Se x é solução do sistema Au = e y solução do sistema Au = b, então (x y) é solução de Au = b. Se x é uma solução de Au = então necessariamente x =. Se A não é invertível então x = é a única solução de Au =. 8. A = Ax = é 4 5 é a matriz inversa de A. Então a solução do sistema (, 4, ). (4, 4, ). (4, 9, ). (, 9, ). Exercício resolvido 9. Faça a discussão do sistema homogéneo A α x = em termos do parâmetro α, onde A α = 4 4 α α. α Resolução: Aplique-se o método de eliminação de Gauss à matriz dos coeficientes do sistema: 4 4 α α L L 4 4 α α L 4L 4 α α 4 α α α L4 L 4 α α 4. α

9 AL 6/7 9 Note que a característica de A α é : se α = car(a α ) = se α = 4 se α ± Logo, para α ± o sistema tem exclusivamente a solução nula. O sistema dado é equivalente ao sistema: x + y z + w = y + z + w = (4 α )z + (α 4)w = (α )w =. () Quando α = o sistema () reduz-se às duas primeiras equações. Resolvendo a segunda equação obtemos y = z w e substituindo na primeira equação vem x = z. Logo a solução geral do sistema (para α = ) é: {(x, y, z, w) : y = z w x = z z R w R} = = {(z, z w, z, w) : z, w R} Quando α = o sistema reduz-se a x + y z + w = y + z + w = 4w =. Logo, da última equação vem w =, que substituido nas duas primeiras equações dá y = z e x = z. A solução geral do sistema (para α = ) é: {(x, y, z, w) : y = z x = z z R} = {(z, z, z, ) : z R}. Concluindo: O sistema é sempre possível pois é um sistema homogéneo. Se α e α o sistema é determinado com solução única (,,, ). Se α = o sistema é indeterminado com grau de indeterminação e solução geral: {(z, z w, z, w) : z, w R}. Se α = o sistema é indeterminado com grau de indeterminação e solução geral: {(z, z, z, ) : z R}.