ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-2011/2012- Determinantes 32. Determinantes

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1 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes Permutações Determinantes Seja n N. Uma permutação p (p ; p ; : : : ; p n ) dos elementos do conjunto f; ; ; ng é um arranjo dos n números em alguma ordem, sem repetições ou omissões. Denota-se por S n o conjunto de todas as permutações do conjunto f; ; ; ng. É fácil veri car que este conjunto tem n! n (n ) (n ) : : : elementos. (Note-se que p é uma aplicação bijectiva de f; ; ; ng em f; ; ; ng). À permutação (; ; : : : ; n) chama-se permutação identidade. Considerando uma permutação p, chama-se paridade da permutação à paridade do número de trocas que é necessário efectuar em p para voltar a pôr os números na ordem inicial. Esse número não é único, mas a sua paridade é sempre a mesma. Diz-se que a permutação é par se o número de trocas for par e ímpar se o número de trocas for ímpar. De ne-se o sinal de uma permutação p; sgn (p) ; da seguinte forma: ( + se p é par sgn (p) se p é ímpar Claramente, a permutação identidade tem sinal + e qualquer permutação que só troque dois números tem sinal : Alternativamente a paridade da permutação pode ser encontrada da seguinte forma: Diz-se que ocorre uma inversão na permutação sempre que um número maior precede um menor. O número total de inversões que ocorre numa permutação p (p ; p ; : : : ; p n ) calcula-se do seguinte modo: ) Contam-se os números menores que p que estão à sua frente na permutação. ) Contam-se os números menores que p que estão à sua frente na permutação. ) Continua-se esta contagem para p ; : : : ; p n : ) Somam-se os números obtidos em cada passo, o que dá o número total de inversões. Como o número total de inversões corresponde a um possível número de trocas para transformar a permutação na identidade, a paridade desse número é a paridade da permutação. Exemplos:. A permutação identidade (; ; : : : ; n) tem sinal mais +; pois efectuam-se 0 trocas.. Qualquer permutação que só troque dois números tem sinal : Por exemplo, em S ; as permutações (; ; ) e (; ; ) têm sinal :. A permutação em S ; (; ; ; ; ; ) é par pois ocorrem 8 inversões ( ) :. A permutação em S ; (; ; ; ; ; ) é ímpar, pois são necessárias trocas para obter a ordem usual ( ).

2 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes Produtos elementares Seja A [a i;j ] nn uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se produto elementar de A a um produto de n entradas da matriz A que contenha exactamente uma entrada de cada linha e de cada coluna de A; isto é, um produto da forma a ;p a ;p a n;pn ; em que p (p ; p ; : : : ; p n ) é uma permutação. A cada produto elementar está, portanto, associada uma permutação e vice-versa. Consequentemente, para uma matriz de ordem n, há n! produtos elementares. Exemplos:. Numa matriz n n; a ; a ; : : : a n;n é o produto elementar associado à permutação identidade (; ; : : : ; n) :. Numa matriz de ordem, a ; a ; a ; a ; a ; a ; é o produto elementar associado à permutação (; ; ; ; ; ) :. Numa matriz de ordem, a ; a ; a ; a ; a ; a ; é o produto elementar associado à permutação (; ; ; ; ; ) :. Na matriz ; de ordem, há produtos elementares: 0 associado a (; ; ) ; associado a (; ; ) ; 80 associado a (; ; ) ; 8 associado a (; ; ), associado a (; ; ) e 8 associado a (; ; ) : Um produto elementar assinalado ou produto elementar com sinal é um produto elementar multiplicado pelo sinal da permutação que lhe está associada, ou seja +a ;p a ;p a n;pn ou a ;p a ;p a n;pn : Exemplos:. +a ; a ; : : : a n;n porque sgn (; ; : : : ; n) +. Numa matriz de ordem, +a ; a ; a ; a ; a ; a ; é o produto elementar assinalado associado à permutação (; ; ; ; ; ) ; que tem sinal +:. Numa matriz de ordem, a ; a ; a ; a ; a ; a ; é o produto elementar assinalado associado à permutação (; ; ; ; ; ) ; que tem sinal :. Na matriz do exemplo, os produtos elementares assinalados são: +0 associado a (; ; ) ; + associado a (; ; ) ; +80 associado a (; ; ) ; 8 associado a (; ; ), associado a (; ; ) e 8 associado a (; ; ) :

3 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes De nição de erminante de uma matriz quadrada O erminante da matriz A ( A) é a soma de todos os produtos elementares assinalados de A; isto é: A X ps n sgn (p) a ;p a ;p a n;pn : Exemplo: O erminante da matriz dos exemplos da página anterior é a soma dos seus produtos elementares assinalados, isto é, ( 8) + ( ) + ( 8) Determinantes de ordem, e Ordem : A [a ] Ordem : Para A Assim: a ; a ; a ; a ; # (A) a ; : ; tem-se: Produtos elementares Permutação associada Paridade Prod. elem. assinalado Ordem : Para A a ; a ; (; ) par +a ; a ; a ; a ; (; ) ímpar a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; (A) a ; a ; a ; a ; : tem-se: Produtos elementares Permutação associada Paridade Prod. elem. assinalado a ; a ; a ; (; ; ) par +a ; a ; a ; a ; a ; a ; (; ; ) par +a ; a ; a ; a ; a ; a ; (; ; ) par +a ; a ; a ; a ; a ; a ; (; ; ) ímpar a ; a ; a ; a ; a ; a ; (; ; ) ímpar a ; a ; a ; a ; a ; a ; (; ; ) ímpar a ; a ; a ; Assim: (A) a ; a ; a ; + a ; a ; a ; + a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; a ; : Também se pode encontrar a notação jaj, sobretudo em textos antigos. Esta notação está a cair em desuso.

4 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes Regra prática para o cálculo de erminantes de matrizes de ordem (Regra de Sarrus) Na tabela atrás estão especi cadas as seis parcelas que se têm de calcular para obter um erminante de ordem três, cada uma composta pelo produto de três entradas da matriz, situadas em linhas e colunas diferentes e das quais três são afectadas do sinal positivo e três do sinal negativo. Para calcular estes produtos e o sinal de que são afectados, costuma utilizar-se uma regra prática, conhecida como regra de Sarrus : - Repetem-se as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira: a a a a a a a a a a a a a a a - Os produtos afectados com o sinal + obtêm-se multiplicando os elementos que se situam ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte: a a a ; a a a e a a a - Os produtos afectados com sinal obtêm-se multiplicando os elementos que se situam ao longo de cada uma das linhas do esquema seguinte: a a a, a a a e a a a Exemplo: Cálculo do erminante da matriz Parcelas com sinal + : 8 9 9; e 8 Pierre Frederic Sarrus (98-8) foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A regra de Sarrus foi provavelmente escrita no ano de 8.

5 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes Parcelas com sinal : 8 9 ; 8 e Nota: Esta regra SÓ se aplica a erminantes de matrizes de ordem Determinantes de matrizes de ordem superior a Por razões óbvias, os erminantes de ordem superior a três não se calculam, em geral, por de nição, uma vez que tal implicaria o cálculo de muitas parcelas (para uma matriz de ordem n é preciso considerar n! parcelas - por exemplo se n são 0 parcelas e se n ; 0 parcelas). Vamos estudar de seguida métodos alternativos para efectuar o cálculo. Felizmente que quando muitas entradas da matriz são nulas, também muitas dessas parcelas se anulam e o cálculo ca bastante menos moroso. Comecemos com alguns casos particulares: Determinantes de matrizes de tipo especial Seja A [a i;j ] nn uma matriz quadrada de ordem n: Matriz diagonal: Se A é uma matriz diagonal, então Como casos particulares tem-se que: (A) a ; a ; a n;n :. (I n ). (O n ) 0.. Se A é escalar e o elemento da diagonal é k, então, (A) k n : Matriz triangular: Se A é uma matriz triangular (inferior ou superior), então (A) a ; a ; a n;n :

6 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes Propriedades dos erminantes Seja A [a i;j ] nn uma matriz quadrada de ordem n :. (A) A T.. Se A é uma matriz com uma linha (ou com uma coluna) de zeros, então (A) 0.. Se a matriz A 0 pode ser obtida da matriz A por troca de duas linhas (ou duas colunas), então (A 0 ) (A).. Se a matriz A tem duas linhas iguais (ou duas colunas iguais), então (A) 0.. Se L ; : : : ; L i ; : : : ; L n designam as linhas da matriz A e L i L 0 i, R, então (A) L. L 0 i. L n. Se C ; : : : ; C i ; : : h : ; C n designam as colunas i da matriz A e C i Ci; 0 R, então (A) C Ci 0 : : : C n :. Se a matriz A tem uma linha (ou uma coluna) múltipla de outra, então (A) Se R, então (A) n (A). 9. Se L ; : : : ; L i ; : : : ; L n designam as linhas da matriz A e L i L 0 i + L 00 i (A) L. L 0 i. + L. L 00 i. : então L n L n 0. Se C ; : : : ; C i ; h : : : ; C n designam as colunas i h da matriz A e C i Ci 0 + Ci 00 (A) C Ci 0 : : : C n + C Ci 00 : : : C n i. então. Se B é também uma matriz de ordem n, então (AB) (A) (B).. A matriz A é invertível se e só se (A) 0 (e se e só se car (A) n).. Se A é invertível, então (A ) ( A).

7 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes 8 Efeitos das operações elementares no erminante Das propriedades anteriores pode-se deduzir de que modo o erminante de uma matriz é afectado quando se efectuam operações elementares nas linhas da matriz: Tipo I: Se a matriz B foi obtida da matriz A por troca de duas linhas, então (B) (A). 0 Exemplo: 9 L $ L 9 0 Tipo II: Se a matriz B foi obtida da matriz A multiplicando uma linha de A por um número diferente de zero, então (B) (A). Na prática, se multiplicarmos uma linha da matriz por 0, multiplica-se o erminante por. (Se (B) (A), então (A) (B)) 9 Exemplo: 0 L 0 Tipo III: Se Se a matriz B foi obtida da matriz A adicionando a uma linha de A outra linha multiplicada por um número real, então (B) (A) Exemplo: L L + L Cálculo do erminante através do método de eliminação Foi visto atrás qual o efeito no erminante das operações elementares nas linhas da matriz. Assim, o método de eliminação de Gauss fornece um método para o cálculo do erminante: Para calcular o erminante de uma matriz começa-se por reduzir a matriz a uma forma de escada, assinalando as alterações que ocorram no erminante. Como a forma de escada de uma matriz quadrada é uma matriz triangular, o erminante desta obtém-se, como foi visto atrás, multiplicando os elementos da diagonal principal. Exemplos:. 0 9 L $ L

8 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes L L L L + L L 0L + L ( ) ( ). L L + L L L + L L L + L L $ L L L + L L L + L L L + L

9 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes Cálculo do erminante através do Teorema de Laplace O teorema de Laplace fornece outro método de cálculo de erminantes, útil, sobretudo, para o cálculo de erminantes de ordem superior a. Seja A [a i;j ] nn uma matriz quadrada de ordem n. Chama-se Menor (i; j) da matriz A; A i;j ; ao erminante da matriz que se obtém de A retirando-lhe a linha i e a coluna j. Chama-se complemento algébrico de a i;j ao número ( ) i+j A i;j ; que se designa por ^A i;j : Exemplo: Sendo A 8 ; temos, por exemplo: # A ; e ^A ; ( ) + A ; : # A ; e ^A ; ( ) + A ; : 8 Teorema de Laplace: Seja A [a i;j ] nn uma matriz quadrada de ordem n: Então: (i) Para cada linha l, l f; ; :::; ng, tem-se: (A) a l; ^Al; + a l; ^Al; + + a l;n ^Al;n :(Desenvolvimento ao longo da linha l) (ii) Para cada coluna c; c f; ; :::; ng, tem-se: (A) a ;c ^A;c + a ;c ^A;c + + a n;c ^An;c :(Desenvolvimento ao longo da coluna c) Notas:. O Teorema de Laplace estabelece que o erminante de uma matriz se pode obter efectuando a soma do produto dos elementos de uma linha ou coluna pelos respectivos complementos algébricos e reduz o cálculo de um erminante de ordem n ao cálculo de erminantes de ordem n : Pierre Simon, Marquis de Laplace (Beaumont-en-Auge, de março de 9 - Paris, de março de 8) foi um matemático, astrónomo e físico francês.

10 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes. Para aplicação do Teorema de Laplace convém escolher uma linha ou coluna da matriz com o maior número possível de zeros.. Muitas vezes, para calcular o erminante de uma matriz, usam-se simultaneamente o método de eliminação e o teorema de Laplace. Começa-se o método de eliminação para obter, por exemplo na a coluna, apenas um elemento não nulo e aplica-se de seguida o desenvolvimento de Laplace ao longo dessa coluna. Exemplos: Desenv a coluna ( ) + 0 Desenv. 0 0 a coluna ( ) + ( ) # Desenv. a coluna Det. ordem. 0 9 L $ L 9 0 L

11 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes 0 L + L Desenv. a coluna ( ) + 0 ( ) # Det. ordem. L L + L L L + L L L + L Desenv. a coluna ( ) + 0 L $ L 0 L L + L 0 0 L L + L Desenv. a coluna

12 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes ( ) + ( 8 + 9) #! Det. ordem. k k k Desenv. a linha k ( ) ( ) + + k + k + k 0 0 k Det. ordem Inversa de uma matriz usando erminantes Os erminantes aplicam-se também ao cálculo da matriz inversa. Sendo A [a i;j ] nn uma matriz de ordem n, de ninem-se as seguintes matrizes: Matriz dos co-factores ou dos complementos algébricos: h i ^A ^Ai;j nn Matriz adjunta da matriz A: Adj (A) ^A T. Exemplo: Seja A ^A ; ( ^A ; ( 0 : Para esta matriz temos: # ) + # ) + 0

13 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes ^A ; ( ^A ; ( ^A ; ( ^A ; ( ^A ; ( ^A ; ( ^A ; ( Então ^A # ) + 0 # ) + # ) + + # ) + + # ) + 0 # ) + 0 # ) e adj (A) ^A T Teorema: Seja A uma matriz de ordem n. Então A Adj (A) (A) I n. Demonstração: Sendo A a ; a ; a ;n a ; a ; a ;n... a i; a i; a i;n... e Adj (A) ^A ^A ^Aj; ^An; ^A ^A ^Aj; ^An; ^A ;n ^A;n ^Aj;n ^An;n e sendo a n; a n; a n;n C [c i;j ] nn A Adj (A) ; veri ca-se que: c i;j a i; ^Aj; + a i; ^Aj; + + a i;n ^Aj;n Se i j obtemos c i;i a i; ^Ai; + a i; ^Ai; + + a i;n ^Ai;n, valor que, pelo teorema de Laplace, é igual a (A) : Se i j, o valor que se obtém para c i;j corresponde, pelo teorema de Laplace, ao desenvolvimento do erminante ao longo da linha j da matriz que se obtém de A substituindo a linha j pela linha i: Como essa matriz tem duas linhas iguais, o seu erminante é igual a 0:

14 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes Conclui-se que A Adj (A) (A) I n. Corolário: Seja A uma matriz de ordem n. Notas: (a) Se A não é invertível, então A Adj (A) é a matriz nula de ordem n. (b) Se A é invertível, então A Adj (A). A. A alínea (b) do corolário fornece um novo método de cálculo da matriz inversa.. Este método indica explicitamente cada entrada da matriz inversa: Se B A ; então b i;j A ^A j;i : Isto permite calcular entradas da matriz inversa de uma matriz, sem ter de calcular toda a matriz inversa.. Este método é também útil para o cálculo de inversas de matrizes em que algumas entradas sejam parâmetros e para as quais o método de eliminação se torna de difícil aplicação. Exemplo: Para a matriz do exemplo da página, A 0 ; (A). Tem-se, então:. A adj (A) (A) I

15 ALGA - Eng.Civil e Eng.Topográ ca-ise-0/0- Determinantes. A matriz A é invertível se e só se (A) 0; isto é se e só se 0 e. Para estes valores tem-se, usando a alínea (b) do corolário: A adj (A) (A)