Aulas Teóricas de Álgebra Linear

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1 Aulas Teóricas de Álgebra Linear Instituto Superior Técnico - o Semestre 009/00 MEAmbi - MEBiol Matrizes De nição Uma matriz A, do tipo m n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas: a a a n a a a n A 6 : a m a m a mn A linha i de A é: ai a i a in ; para i ; :::; m A coluna j de A é: 6 a j a j a mj para j ; :::; n Usa-se também a notação A (a ij ) mn na qual a ij é a entrada (i; j) da matriz A Se m n, diz-se que A é uma matriz quadrada do tipo n n e as entradas a ; a ; :::; a nn formam a chamada diagonal principal de A Exemplo As matrizes A ; B 0 0 ; C 0 0 e D são dos seguintes tipos: A é, B é, C é, A é Tem-se, por exemplo, a, b, c 0 e d 6 Observação Uma matriz (real) A do tipo m n é uma aplicação: A : f; :::; mg f; :::; ng! R (i; j)! a ij Notação O conjunto de todas as matrizes reais (complexas) do tipo mn é denotado por M mn (R) (M mn (C))

2 De nição Duas matrizes são iguais se forem do mesmo tipo e se as entradas correspondentes forem iguais, isto é, A (a ij ) mn e B (b ij ) pq são iguais se m p, n q e a ij b ij, para i ; :::; m e j ; :::; n De nição A soma de duas matrizes do mesmo tipo A (a ij ) mn e B (b ij ) mn é a matriz A + B (a ij + b ij ) mn Exemplo Sejam A Tem-se A + B 6 0, B, C e não é possível somar C com D e D p : De nição O produto de um escalar (número real ou complexo) por uma matriz A (a ij ) mn é a matriz: A (a ij ) mn Notação A matriz ( )A será denotada por A Exemplo Seja A 6 A Tem-se, por exemplo, 8 6 De nição O produto AB de duas matrizes A e B só pode ser efectuado se o número de colunas da a matriz, A, fôr igual ao número de linhas da a matriz, B Nesse caso, o produto AB de A (a ij ) mp por B (b ij ) pn é de nido por:! px AB a ik b kj, isto é, a a a p a i a i a ip 6 6 a m a m a mp k b b j b n b b j b n b p b pj b pn mn 6 pp a k b k k pp a mk b k k pp a ik b kj k pp a k b kn k pp a mk b kn k

3 Exemplo Sejam A, B, C e D as matrizes do exemplo Não é possível efectuar, por exemplo, AB No entanto, tem-se: p p AC e CD p Observação O produto de matrizes não é comutativo Por exemplo, para A e B tem-se AB e BA Logo AB 6 BA De nição 6 A transposta de uma matriz A (a ij ) mn é a matriz A T (a ji ) nm que se obtem trocando as linhas com as colunas de A Exemplo Sejam A e C as matrizes do exemplo Tem-se A T e C T 6 : Teorema Sejam A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, e escalares São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais (a) (Comutatividade da soma) A + B B + A (b) (Associatividade da soma) A + (B + C) (A + B) + C (c) (Elemento neutro da soma) Existe uma única matriz 0 do tipo mn tal que A+0 A, para toda a matriz A do tipo m n À matriz 0, cujas entradas são todas iguais a zero, chama-se matriz nula (d) (Simétrico) Para cada matriz A existe uma única matriz B tal que A + B 0 Esta matriz B denota-se por A (e) (Associatividade do produto por escalares) (A) () A (f) (Distributividade) ( + ) A A + A (g) (Distributividade) (A + B) A + B (h) (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) (AB) C (i) (Distributividade) A (B + C) AB + AC e (B + C) D BD + CD

4 (j) (AB) (A) B A (B) (k) A T T A (l) (A + B) T A T + B T (m) (A) T A T (n) (AB) T B T A T (o) (A A :::A n ) T A T n:::a T A T, com A, A, :::, A n matrizes de tipos apropriados (p) À matriz, do tipo n n, cujas entradas da diagonal principal sejam iguais a e as restantes sejam iguais a 0: I chama-se matriz identidade (de ordem n) e é tal que AI A e IB B, para todas as matrizes A (a ij ) mn e B (b ij ) nm De nição (i) A diferença entre duas matrizes A e B do mesmo tipo é de nida por ou seja, é a soma de A com o simétrico de B A B A + ( B), (ii) Sejam A uma matriz do tipo n n e p N A potência p de A é de nida por A p A:::A {z } p vezes e para p 0 de ne-se A 0 I (iii) À matriz do tipo n n a a 0 6, 0 0 a nn cujas entradas fora da diagonal principal são nulas, chama-se matriz diagonal Observação Tem-se: A A, 0A 0, A + A A, A + : {z : : + A } na n vezes De nição 8 Seja A (a ij ) nn uma matriz do tipo n n Diz-se que A é simétrica se A A T, isto é, se a ij a ji, para i; j ; :::; n Diz-se que A é anti-simétrica se A A T, isto é, se a ij a ji, para i; j ; :::; n

5 Sistemas de Equações Lineares De nição 9 Uma equação linear com n incógnitas x ; x ; :::; x n é uma equação da forma a x + a x + ::: + a n x n b; em que a ; a ; :::; a n e b são constantes (reais ou complexas) De nição 0 Um sistema de m equações lineares com n incógnitas é um conjunto de equações da forma 8 a x + a x + ::: + a n x n b >< a () x + a x + ::: + a n x n b : : : >: a m x + a m x + ::: + a mn x n b m em que a ij e b k são constantes (reais ou complexas), para i; k ; :::; m e j ; :::; n Observação Usando o produto de matrizes de nido na secção anterior, o sistema linear acima pode ser escrito como uma equação matricial AX B, em que A 6 a a a n a a a n a m a m a mn, X 6 x x x n e B 6 b b b m A matriz A é a matriz dos coe cientes do sistema, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes Uma solução do sistema linear () é uma matriz s s S 6 s n tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos x s ; x s ; :::; x n s n Ao conjunto de todas as soluções do sistema chama-se conjunto solução ou solução geral do sistema x + y Exemplo 6 O sistema linear de duas equações e duas incógnitas x + y 0 pode ser escrito do seguinte modo: x y 0

6 A solução (geral) do sistema acima é x e y (veri que!), isto é, X : Observação De modo a facilitar a resolução de um sistema linear, este pode ser sempre substituído por outro que tenha o mesmo conjunto solução Esse outro é obtido depois de aplicar sucessivamente operações sobre as equações do sistema inicial que não alterem a solução do mesmo As operações são: - Trocar a posição de duas equações do sistema; - Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero; - Somar a uma equação um múltiplo escalar de outra equação Estas são as chamadas operações elementares Quando aplicamos operações elementares às equações de um sistema linear, só os coe cientes e os termos independentes do sistema são alterados Assim, podemos aplicar as operações à matriz [A j B] 6 a a a n j b a a a n j b a m a m a mn j b m à qual se dá o nome de matriz aumentada do sistema, De nição As operações elementares que podem ser aplicadas às linhas de uma matriz são as seguintes: (i) Trocar a posição de duas linhas da matriz; (ii) Multiplicar uma linha da matriz por um escalar diferente de zero; (iii) Somar a uma linha da matriz um múltiplo escalar de outra linha Teorema Se dois sistemas lineares AX B e CX D são tais que a matriz aumentada [C j D] é obtida de [A j B] através de uma operação elementar, então os dois sistemas têm o mesmo conjunto solução, isto é, são equivalentes De nição Uma matriz A (a ij ) mn diz-se em escada de linhas se: (i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) estão por baixo das linhas não nulas; (ii) Por baixo (e na mesma coluna) do primeiro elemento não nulo de cada linha e por baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas Esse primeiro elemento não nulo de cada linha tem o nome de pivot De nição O método de resolver sistemas lineares que consiste em aplicar operações elementares às linhas da matriz aumentada do respectivo sistema de modo a que essa matriz que em escada de linhas, chama-se método de eliminação de Gauss 6

7 Exemplo O sistema linear de variáveis reais x; y e z 8 x + z >< 0 x + y + z 6 é equivalente a 0 >: y + z 6 x y z Consideremos então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: 0 j 0 j 0 j j 6! 0 j! 0 j L 0 j 6 +L!L 0 j 6 L +L!L 0 0 j Logo, 8>< >: x + z y + z z 8 x ><, y >: z Neste exemplo o sistema tem solução única e diz-se possível e determinado >< >: Exemplo 8 O sistema linear de variáveis reais x; y; z e w z 9w 6 x + y 0z + 0w x + y z + w é equivalente a x y z w 6 Consideremos então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: j 6 j 0 0 j! 8 j 9! L $L j L j 6 +L!L! L +L!L Logo, 8 < : L!L j 0 0 j j 6 x + y z + w z + w! L +L!L j 0 0 j j 0 8 < x y w, : z w + As incógnitas y e w são livres e as incógnitas x e z são não livres A solução geral do sistema é: x s t X 6 y z 6 s t +, w t

8 para quaisquer s; t R, isto é, o conjunto solução é dado por: S f( s t ; s; t + ; t) : s; t Rg Neste exemplo o sistema tem in nitas soluções e diz-se possível e indeterminado Exemplo 9 Seja a R O sistema linear de variáveis reais x; y e z 8 x + y + z >< x x + y z é equivalente a y a >: z x + y + (a ) z a Consideremos então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: j j j! 0 j! a L j a +L!L L +L!L 0 a L 6 j a +L!L! L +L!L j 0 j 0 0 a j a Se a, então o sistema é possível e indeterminado: 8 8 < x + y + z < x z +, : : y z y z +, a incógnita z é livre, as incógnitas x e y são não livres e a solução geral do sistema é x t + X y z t +, t para qualquer t R, isto é, o conjunto solução é dado por: S f(t + ; t + ; t) : t Rg Assim, se a, o sistema tem in nitas soluções e diz-se possível e indeterminado Se a, o sistema não tem solução e diz-se impossível Se a 6 e a 6, o sistema tem a solução única: x (a + )(a + ) X y z a(a + ) (a + ) e diz-se possível e determinado a 8

9 De nição Seja A uma matriz em escada de linhas Ao n o de colunas de A que não contêm pivots chama-se nulidade de A e escreve-se nul A Ao n o de pivots de A, isto é, ao n o de linhas não nulas de A, dá-se o nome de característica de A e escreve-se car A Se A fôr a matriz em escada de linhas obtida de C através de operações elementares então diz-se que a característica de C é car A, tendo-se car C car A: Exemplo 0 As seguintes matrizes estão em escada de linhas: A ; A 0 0 ; A p Pivot de A : Pivots de A : ; Pivots de A : ; ; Tem-se: car A, car A e car A Além disso: nul A, nul A e nul A Observação 6 incógnitas Seja [A j B] a matriz aumentada associada a um sistema linear com n (i) Se car A car [A j B] n então o sistema é possível e determinado (tem uma única solução) (ii) Se car A car [A j B] < n então o sistema é possível e indeterminado (tem um n o in nito de soluções) (iii) Se car A < car [A j B] então o sistema é impossível (não tem solução) (iv) As incógnitas livres (podem tomar valores arbitrários) do sistema são aquelas que correspondem às colunas, que não contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A através de operações elementares (v) As incógnitas não livres do sistema são aquelas que correspondem às colunas, que contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A através de operações elementares (vi) car A n o de linhas não nulas da matriz em escada de linhas obtida de A n o de pivots n o de incógnitas não livres nul A n o de incógnitas livres (vii) Seja A uma matriz do tipo m n Então: 0 car A min fm; ng e car A + nula n Teorema Sejam A uma matriz do tipo m n e B uma matriz do tipo m Se o sistema linear AX B tem duas soluções distintas X 0 e X (X 0 6 X ), então terá in nitas soluções Dem Basta veri car que X ( qualquer R ) X 0 + X é solução do sistema AX B, para 9

10 8 a x + a x + ::: + a n x n 0 >< a De nição Um sistema linear da forma x + a x + ::: + a n x n 0 : : : >: a m x + a m x + ::: + a mn x n 0 tem o nome de sistema linear homogéneo Este sistema poder ser escrito na forma AX 0 Observação solução trivial: (i) Todo o sistema linear homogéneo AX 0 admite pelo menos a X 6 x x x n Assim, todo o sistema linear homogéneo tem solução Além disso, ou tem apenas a solução trivial ou tem in nitas soluções (ii) Como iremos ver num próximo capítulo, à solução geral do sistema linear homogéneo AX 0 dá-se o nome de núcleo de A e escreve-se N (A) Teorema Se A (a ij ) mn é tal que m < n, então o sistema linear homogéneo AX 0 tem in nitas soluções Dem Como o sistema tem menos equações do que incógnitas (m < n), o n o de linhas não nulas r da matriz em escada de linhas obtida da matriz aumentada do sistema também é tal que r < n Assim, há r pivots e n r incógnitas livres as quais podem assumir qualquer valor Logo, o sistema linear homogéneo AX 0 tem in nitas soluções Teorema Sejam A (a ij ) mn e ; escalares (i) Se Y e W são soluções do sistema AX 0, então Y + W também o é (ii) Se Y é solução do sistema AX 0, então Y também o é (iii) Se Y e W são soluções do sistema AX 0, então Y + W também o é (iv) Sejam Y e W soluções do sistema AX B Se Y + W (para quaisquer escalares ; ) também é solução de AX B, então B 0 (Sugestão: basta fazer 0) Teorema 6 Seja A uma matriz do tipo m n e B 6 0 uma matriz do tipo m Qualquer solução X do sistema AX B escreve-se na forma X X 0 + Y onde X 0 é uma solução particular do sistema AX B e Y é uma solução do sistema homogéneo AX 0 Assim: solução geral de AX B solução particular de AX B + solução geral de AX 0 Dem Sendo X 0 uma solução particular do sistema AX B, basta escrever X X 0 + (X X 0 ) e mostrar que X X 0 é solução do sistema homogéneo AX 0 0

11 Matrizes Elementares e Matriz Inversa De nição 6 Uma matriz elementar do tipo n n é uma matriz obtida da matriz identidade I (do tipo n n) através de uma única operação elementar (i) A matriz P ij, chamada matriz de permutação, é a matriz elementar obtida por troca da linha i com a linha j da matriz I Tem-se: P ij i j (ii) A matriz E i () é a matriz elementar obtida da matriz I através do produto do escalar 6 0 pela linha i da matriz I Tem-se: E i () i (iii) A matriz E ij () é a matriz elementar obtida da matriz I por soma da linha j com um múltiplo escalar da linha i Por exemplo para i < j tem-se: E ij () i j

12 Observação 8 As matrizes elementares E ij (), com i < j, são matrizes triangulares inferiores, pois todas as entradas por cima das respectivas diagonais principais são nulas Exemplo Sejam ; escalares com 6 0 As matrizes elementares do tipo são: P P ; E 0 () ; E 0 (), 0 0 E () e E () 0 Teorema Sejam E uma matriz elementar do tipo m m e A uma matriz qualquer do tipo m n Então, EA é a matriz obtida de A através da mesma operação elementar que originou E Isto é, aplicar uma operação elementar a uma matriz corresponde a multiplicar essa matriz à esquerda por uma matriz elementar Exemplo Consideremos a matriz aumentada do exemplo 8: j j j A operação elementar: j j! L $L j corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): j j 0 0 j A operação elementar: j 0 0 j! j 6 L!L corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): 0 0 j j j 6 A operação elementar: j 8 j 9! L j 6 +L!L j 0 0 j j 6, j 0 0 j j 6 j 8 j j 6, j 8 j j 6 j 0 0 j j 6,

13 corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): 0 0 j 0 8 j j 6 Finalmente, a operação elementar: j 0 0 j! L j 6 +L!L corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): 0 0 j j j 6 Tem-se então: E () E ( ) E P j 0 0 j j 6 j 0 0 j j j j j, j 0 0 j j 0 j 0 0 j j 0 De nição Uma matriz A (do tipo n n) diz-se invertível se existir uma matriz B (do tipo n n) tal que AB BA I À matriz B chama-se matriz inversa de A e denota-se por A Observação 9 Obviamente que resulta da de nição de matriz inversa o seguinte facto: sendo A a matriz inversa de A, então A é invertível e a sua inversa é a própria matriz A, isto é, (A ) A outra Exemplo As matrizes A 0 Teorema 8 A inversa de uma matriz é única e B 6 0 são a inversa uma da Dem Sejam B e C as inversas de A Então, B BI B (AC) (BA) C IC C Teorema 9 (i) Se A (a ij ) nn e B (b ij ) nn são duas matrizes invertíveis, então AB é invertível e (AB) B A (ii) Seja m N Se A (a ij ) nn é invertível, então A m é invertível e (A m ) (A ) m e escreve-se A m (A m )

14 (iii) Se A (a ij ) nn é invertível, então A T é invertível e A T (A ) T (iv) Seja A (a ij ) nn Se existir l N tal que A l 0 então A não é invertível De nição 8 Uma matriz A (a ij ) nn diz-se não singular se após o método de eliminação de Gauss esta fôr transformada numa matriz triangular superior (matriz cujas entradas por baixo da diagonal principal são todas nulas) cujas entradas da diagonal principal sejam todas não nulas Uma matriz A (a ij ) nn diz-se singular se após o método de eliminação de Gauss existir (pelo menos) uma linha nula na matriz obtida de A Teorema 0 Seja A (a ij ) nn A é invertível, A é não singular, car A n Teorema Toda a matriz elementar é invertível e a respectiva inversa é também uma matriz elementar Tem-se: (i) (P ij ) P ij (ii) (E i ()) E i (), para 6 0 (iii) (E ij ()) E ij ( ) Observação 0 Uma matriz A é invertível se e só se fôr igual ao produto de matrizes elementares Teorema Seja A uma matriz do tipo n n (i) O sistema associado a AX B tem solução única se e só se A fôr invertível Neste caso a solução é X A B (ii) O sistema homogéneo AX 0 tem solução não trivial se e só se A fôr singular (não invertível) Teorema Sejam A e B duas matrizes do tipo n n Se AB é invertível, então A e B são invertíveis Dem Considere o sistema (AB) X 0 Se B não fosse invertível, então pelo teorema existiria X 6 0 tal que BX 0 Logo, X 6 0 seria solução não trivial de ABX 0, o que contraria o teorema uma vez que por hipótese AB é invertível Assim, B é invertível Finalmente, A é invertível por ser o produto de duas matrizes invertíveis: A (AB) B Observação (Como inverter matrizes do tipo n n) Seja A uma matriz do tipo n n e consideremos a equação AX B Se A fôr invertível temos AX B, X A B, isto é, AX IB, IX A B Assim, para determinar a inversa de A, iremos transformar a matriz aumentada [A j I] na matriz [I j A ], por meio de operações elementares aplicadas às linhas de [A j I] Este método tem o nome de método de eliminação de Gauss-Jordan e consistirá na continuação do método de eliminação de Gauss agora aplicado a [matriz triangular superior j ], efectuando-se as eliminações de baixo para cima de modo a obter-se [I j A ]

15 Exemplo (i) Seja A! L $L! L +L!L j j j 0 0! L +L!L Logo, 0 0 j j j 0 0 Veri que(!) que: (ii) Seja A [A j I]! L +L!L L +L!L! L +L!L Tem-se [A j I]! L +L!L L +L!L 0 0 j 0 0 j 0 0 j Tem-se 9 8 j j 0 0 j 0 0 j j 0 0 j 0! L $L j j 0 0 0! L!L L!L L!L j 0 0 j 0 0 j j 0 0! L +L!L 0 j 0 0 j! 0 0 j L +L!L! L +L!L Logo, A é singular e como tal não é invertível 0 (iii) Sejam A, B, C 0 8 A X T B C Tem-se j 0 0 j 0 0 j j j j 0 0! L +L!L L +L!L j j j Determine-se X tal que A X T B C, X T A CB, X T A CB,, X T B C A, X AT C T B T,, X 0 0, X :! L $L

16 Determinante De nição 9 Dados os números naturais ; ; :::; n chama-se permutação desses n números a qualquer lista em que os mesmos sejam apresentados por ordem arbitrária De nição 0 Seja (i i :::i n ) uma permutação dos números naturais ; ; :::; n Diz- -se que um par (i j i k ) é uma inversão quando (j k) (i j i k ) < 0 (isto é, quando i j e i k aparecerem na permutação por ordem decrescente) De nição Uma permutação (i i :::i n ) diz-se par (ímpar) quando o n o máximo de inversões incluídas fôr par (ímpar) Exemplo A permutação () é ímpar pois contem as inversões (); () e () De nição Seja A uma matriz do tipo n n Chama-se determinante de A, e escreve-se jaj ou det A, o número que se obtem do seguinte modo: (i) Formam-se todos os produtos possíveis de n factores em que intervenha um elemento de cada linha e, simultaneamente, um elemento de cada coluna de A (ii) Afecta-se cada produto do sinal + ou do sinal conforme as permutações (dos números naturais ; ; :::; n) que guram nos índices de linha e de coluna tenham a mesma paridade ou não (iii) Somam-se as parcelas obtidas Em resumo: xando, por exemplo, a permutação (i i :::i n ) de ; ; :::; n X jaj ( ) a i j a i j :::a injn, em que (j j :::j n) permutação de ;;:::;n 8 < 0 se (i i :::i n ) e (j j :::j n ) têm a mesma paridade : se (i i :::i n ) e (j j :::j n ) têm paridade diferente Observação Podemos ainda escrever de modo equivalente: (i) em que jaj X (j j :::j n) permutação de ;;:::;n ( ) a j a j :::a njn, 8 < 0 se (j j :::j n ) é par : se (j j :::j n ) é ímpar 6

17 (ii) em que jaj X (i i :::i n) permutação de ;;:::;n ( ) a i a i :::a inn, 8 < 0 se (i i :::i n ) é par : se (i i :::i n ) é ímpar P Teorema (i) Sendo A (a ij ) nn, chama-se traço de A a: tr A n a ii Se A é do tipo, então: jaj a a a a a a a a (ii) Seja A uma matriz do tipo Então jaj a a a a a a a a a Só no caso i (tr A) tr A : a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Observação Se A é uma matriz do tipo n n então jaj tem n! parcelas Exemplo 6 (i) ( ) ( ) 0 (ii) ( )( ) ( ) 6( ) De nição Seja A (a ij ) uma matriz do tipo n n, com n > Seja A ij a matriz do tipo (n )(n ) que se obtem de A suprimindo a linha i e a coluna j de A Chama-se a A ij o menor-ij da matriz A Teorema (Fórmula de Laplace) Seja A uma matriz do tipo n n, com n > Tem-se nx det A a ij ( ) i+j det A ij, com i f; : : : ; ng xo j Observação Seja A uma matriz do tipo n n, com n > Tem-se det A nx a ij ( ) i+j det A ij, i

18 com j f; : : : ; ng xo Exemplo ( )( ) ( )( )+ 0 0 ( )( ) + ( ) + ( ) ( ) ( )( ) ( ) + [( ) ( )] 8 Teorema 6 Sejam A e B matrizes do tipo n n Seja um escalar (i) Se A fôr uma matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior então o determinante de A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de A (ii) Se A tiver uma linha (ou coluna) nula então det A 0 (iii) det A T det A (iv) Se B fôr obtida de A trocando duas linhas (ou colunas) de A então det B det A (v) Se B fôr obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por um escalar então det B det A (vi) Se B fôr obtida de A somando a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo escalar de uma outra linha (ou coluna) de A então det B det A (vii) Se duas linhas (ou colunas) de A forem iguais então det A 0 (viii) det A 6 0 se e só se A é invertível (ix) det (A) n det A (x) det (AB) det A det B (xi) Seja l N Sejam A ; A ; : : : ; A l matrizes do tipo nn Tem-se: det (A A : : : A l ) det A det A : : : det A l (xii) Se A fôr invertível det (A ) det A (xiii) det (AB) 0 ) det A 0 ou det B 0 (xiv) det (AB) det (BA) De nição Seja A (a ij ) uma matriz do tipo n n, com n > Seja a 0 ij ( ) i+j det A ij onde A ij é o menor-ij da matriz A Chama-se a a 0 ij o cofactor-ij da matriz A e à matriz cof A (a 0 ij) do tipo n n, com n >, a matriz dos cofactores de A Teorema Para qualquer matriz A do tipo n n, com n >, tem-se A (cof A) T (cof A) T A (det A) I 8

19 Se det A 6 0 então A é invertível e A det A (cof A)T 0 )j+i det A ji C A {z } entrada (i;j) de A det A ( a b Exemplo 8 (i) Seja A tal que det A 6 0 Então A é invertível e c d A d b ad bc c a (Veja por exemplo o ex o (i),(ii),(iv),(viii) da cha ) Note que ad bc det A (ii) Podemos usar o teorema para calcular não só a inversa de uma matriz (não singular) mas também entradas concretas dessa inversa Seja 0 0 A A entrada (; ) da matriz A é dada por (A ) det A (cof A) T det A ( )+ det A nn 0 det 6 Teorema 8 (Regra de Cramer) Seja A uma matriz do tipo n n tal que A é não singular Então a única solução do sistema de equações lineares AX B é dada por X A B det A (cof A)T B Isto é, sendo X T T x : : : x n e B b : : : b n tem-se, para j ; : : : ; n, x j nx det (B j ) T a 0 det A jib i det B j det A det A, i onde B j é a matriz obtida de A substituindo a coluna j de A pela matriz coluna B dos termos independentes 8 < x + y 8 Exemplo 9 O sistema de equações lineares x + y + z pode ser resolvido : x + z usando a regra de Cramer: x , y e z

20 Espaços Lineares De nição Um conjunto não vazio V é um espaço linear (real) se existirem duas operações associadas a V, uma soma de elementos de V e um produto de escalares (números reais) por elementos de V, com as seguintes propriedades: (a) (Fecho da soma) Para quaisquer u; v V tem-se u + v V: (b) (Fecho do produto por escalares) Para quaisquer R e u V tem-se u V: (c) (Comutatividade da soma) Para quaisquer u; v V, u + v v + u: (d) (Associatividade da soma) Para quaisquer u; v; w V, u + (v + w) (u + v) + w: (e) (Elemento neutro da soma) Existe um elemento de V designado por 0 tal que, para qualquer u V, u + 0 u: (f) (Simétrico) Para cada (qualquer) u V existe v V tal que u + v 0: A v chama-se o simétrico de u e denota-se por u (g) (Associatividade do produto por escalares) Para quaisquer ; R e u V, (u) () u: (h) (Distributividade em relação à soma de vectores) Para quaisquer R e u; v V, (u + v) u + v: (i) (Distributividade em relação à soma de escalares) Para quaisquer ; R e u V, ( + ) u u + u: (j) Para qualquer u V, u u: 0

21 Observação Aos elementos de V chamaremos vectores Exemplo 0 Exemplos de espaços lineares Seja R (i) R n f(x ; x ; :::; x n ) : x ; x ; :::; x n Rg, com as operações usuais: (u ; u ; :::; u n ) + (v ; v ; :::; v n ) (u + v ; u + v ; :::; u n + v n ), (u ; u ; :::; u n ) (u ; u ; :::; u n ) (ii) M mn (R) (conjunto de todas as matrizes reais do tipo m n), com as operações (usuais): A + B e A (iii) O conjunto de todas as funções reais de variável real de nidas num conjunto S R, com as operações usuais: (f + g)(x) f(x) + g(x), (f)(x) f(x) (iv) O conjunto P fa 0 + a t + ::: + a s t s : a 0 ; a ; :::; a s R e s N 0 g de todos os polinómios reais de variável real, com as operações usuais (v) Seja n N xo O conjunto P n fa 0 + a t + ::: + a n t n : a 0 ; a ; :::; a n Rg de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais (a 0 + a t + + a n t n ) + (b 0 + b t + + b n t n ) a 0 + b 0 + (a + b ) t + + (a n + b n ) t n (a 0 + a t + + a n t n ) a 0 + (a ) t + + (a n ) t n Observação 6 Existem espaços lineares com operações não usuais: (i) O conjunto dos números reais R, com a soma de nida por e o produto por escalares de nido por u v u + v +, u u +, é um espaço linear (Neste caso o elemento neutro é ) (ii) O conjunto dos números reais maiores do que zero, com a soma de nida por e o produto por escalares de nido por u v uv, u u, é um espaço linear (Neste caso o elemento neutro é )

22 Observação Alterações nos conjuntos considerados anteriormente podem resultar em conjuntos que não são espaços lineares (i) O conjunto f(x; y) R : x 0 e y 0g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, os simétricos não estão no conjunto (ii) O conjunto V fa 0 + a t + ::: + a n t n : a 0 ; a ; :::; a n R e a n 6 0g de todos os polinómios reais de grau igual a n, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, para n > : t n ; t n + t V, mas t n + ( t n + t) t V (iii) O conjunto U ff : R! R tais que f() g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, se f ; f U, Logo, f + f U (f + f ) () f () + f () + 6 De nição 6 Seja V um espaço linear Diz-se que S é um subespaço de V se S é um subconjunto de V e se S, com as operações de V, fôr um espaço linear Observação 8 No entanto, para mostrar que um certo conjunto S V é um subespaço do espaço linear V, não será necessário veri car as 0 propriedades da de nição, como se pode ver no seguinte teorema Teorema 9 Um subconjunto não vazio S de um espaço linear V é um subespaço de V se e só se: (i) Para quaisquer u; v S tem-se u + v S (ii) Para quaisquer R e u S tem-se u S Exemplo Exemplos de subespaços: (i) Os únicos subespaços do espaço linear R, com as operações usuais, são f0g e R (ii) Os subespaços do espaço linear R, com as operações usuais, são: f(0; 0; 0)g, R, todas as rectas que passam pela origem e todos os planos que passam pela origem (iii) O conjunto de todas as matrizes (reais) triangulares superiores (do tipo n n) é um subespaço do espaço linear M nn (R), com as operações usuais (iv) O conjunto de todas as funções reais de nidas e contínuas em I R (I é um intervalo) é um subespaço do espaço linear de todas as funções f : I! R, com as operações usuais

23 (v) Seja A uma matriz (real) do tipo m n O conjunto C(A) fb R m : Au b tem pelo menos uma solução ug é um subespaço do espaço linear R m, com as operações usuais, ao qual se dá o nome de espaço das colunas de A (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m n O conjunto N (A) fu R n : Au 0g é um subespaço do espaço linear R n, com as operações usuais, ao qual se dá o nome de espaço nulo ou núcleo de A Observação 9 (i) Se A é invertível então N (A) f0g (ii) Se N (A) f0g então A é invertível De nição Seja S um subconjunto não vazio de um espaço linear V Diz-se que um vector u é combinação linear nita dos elementos de S, se existir um n o nito de elementos de S, u ; :::; u k, e de escalares ; :::; k tais que u u + ::: + k u k kx i u i i Ao cojunto de todas as combinações lineares nitas de elementos de S chama-se expansão linear de S e designa-se por L(S) Se S é o conjunto vazio?, escreve-se L(?) f0g Teorema 0 Seja S um subconjunto não vazio de um espaço linear V A expansão linear L(S) de S é o menor subespaço de V que contém S Deste modo, a L(S) também se chama o subespaço gerado por S, e diz-se que S gera L(S) Observação 0 (i) Seja S e T dois subconjuntos não vazios de um espaço linear V, com S T Se L(S) V então L(T ) V (ii) Todo o subespaço do espaço linear R n pode ser escrito como o núcleo de uma matriz Exemplo (i) O espaço linear R é gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: f(; 0); (0; )g, f(; ); ( ; )g e f(; 8); (6; )g (ii) O subespaço f(x; y) R : y xg do espaço linear R é gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: f(; )g, f( ; )g e f(; )g

24 (iii) O espaço linear P n de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, é gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: f; t; t ; :::; t n g, f; + t; ( + t) ; :::; ( + t) n g e f; t! ; t tn ; :::;! n! g (iv) O espaço linear P de todos os polinómios reais de variável real, é gerado pelo conjunto in nito de vectores: f; t; t ; :::g (v) Seja U o espaço linear de todas as funções reais com primeira derivada contínua em R (isto é, pertencentes a C (R)) e tais que f 0 (x) af (x) (em R) com a R Então U é gerado pela função g (x) e ax, tendo-se U L (fgg) (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m n O espaço das colunas de A, C(A) fb R m : Au b tem pelo menos uma solução ug, é o subespaço (do espaço linear R m ) gerado pelas colunas de A, uma vez que: b a a a n u a a b 6 a a a n 6 u 6 a 6 a 6 b m 6 6 a m a m a mn u n u 6 a m + u 6 a m + ::: + u n 6 a n a n a mn (vii) Seja A uma matriz (real) do tipo m n Ao subespaço linear de R n gerado pelas linhas de A dá-se o nome de espaço das linhas de A e designa-se por L(A) (viii) Sejam A , B , C, D 0 0 Tem-se C(A) f(0; 0)g, N (A) R, L(A) f(0; 0; 0)g C(B) L (f(; 0; 0) ; (; ; 0)g), N (B) L (f(; ; 0)g) ; L(B) L (f(; ; ) ; (0; 0; )g) C(C) L (f( ; ; )g), N (C) L (f(; )g) e L(C) L (f( ; )g) C(D) L (f(; 0) ; (0; )g), N (D) f(0; 0)g e L(D) L (f(; 0) ; (0; )g)

25 (ix) Seja U fa M (R) : a a a 0 e a + a 0g A U, a a a A a a 0 a a a 0 a a a Tem-se, para, com a ; a R Logo, 08 < U : ; A ; (x) Seja U fp(t) a 0 + a t + a t P : p() p(0)g Tem-se, para p(t) U, p() p(0), a 0 + a + a a 0, a + a 0, a a Logo, p(t) a 0 a t + a t a 0 + a ( t + t ), com a 0 ; a R Assim, U L ; t + t Teorema Se U e V são subespaços do espaço linear W, então: (i) O conjunto U \ V é um subespaço linear de W (ii) O conjunto U + V fu + v : u U e v V g é um subespaço de W É o menor subespaço de W que contém U [ V O conjunto U [ V em geral não é um subespaço Escreve-se U + V L(U [ V ) Exemplo (i) Em R, considere os subespaços: U f(x; y; z) R : x + y z 0g e V L (f(; ; ); (; ; )g) Seja v V, então v (; ; ) + (; ; ) ( + ; + ; + ), com ; R Para que v esteja também em U é preciso que: ( + ) + ( + ) ( + ) 0 A última equação é equivalente a + 0, Logo, U \ V f( ; ; ) : Rg f( ; ; ) : Rg L (f(; ; )g) (ii) Em R, considere os subespaços: U L (f(; ; ); (; ; )g) e V L (f(; ; ); ( ; ; )g)

26 Seja v U, então v (; ; ) + (; ; ) ( + ; + ; + ), com ; R Para que v esteja também em V é preciso que: ( + ; + ; + ) (; ; ) + ( ; ; ) ( ; + ; + ), com ; R Deste modo, 8 < : + + Considerando a matriz aumentada tem-se j j j +! 0 j L j + +L!L L +L!L 0 j +! L +L!L j 0 j 0 0 j + Logo, 8 < + : 0 + Assim, 8 <, : (; ; ) + (; ; ) (; ; ) + (; ; ) (; ; ) (; ; ) Logo, U \ V f(; ; ) : Rg f(; ; ) : Rg L (f(; ; )g) Observação Neste exemplo (ii), os subespaços U e V poderiam ter sido apresentados inicialmente na forma: U f(x; y; z) R : x + y z 0g e V f(x; y; z) R : x y + z 0g, uma vez que! L x y z +L!L xl +L!L e logo z x 0 0 x + y z x! (x+y)l +L!L y 0, x + y z 0 Por outro lado, z U f(x; y; z) R : x + y z 0g L (f(; ; 0); (0; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) pois sendo y x + z, U f(x; x+z; z) : x; z Rg fx(; ; 0)+z(0; ; ) : x; z Rg L (f(; ; 0); (0; ; )g) Como (; ; 0)) (; ; ) (; ; ) e (0; ; ) (; ; ) + (; ; ) 6

27 ou seja (; ; ) (; ; 0) + (0; ; ) e (; ; ) (; ; 0) + (0; ; ) 0 0 em que Analogamente se mostra que, 0 0, tem-se U L (f(; ; 0); (0; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) V f(x; y; z) R : x y+z 0g L (f(; ; 0); ( ; 0; )g) L (f(; ; ); ( ; ; )g) (iii) Seja U o subespaço de M nn (R) das matrizes triangulares superiores e seja V o subespaço de M nn (R) das matrizes triangulares inferiores Então U + V M nn (R) e U \ V subespaço das matrizes diagonais (iv) Sejam U L(f(; 0)g) e V L(f(0; )g) subespaços de R O conjunto U [ V f(x; y) R : x 0 _ y 0g não é um espaço linear pois (; 0) + (0; ) (; ) U [ V No entanto, tem-se U + V R {z } {z } U V Teorema Se U e V subespaços do espaço linear W, então U [ V é subespaço de W se e só se U V ou V U Teorema Sejam W e W subespaços de um espaço linear V tais que W \W f0g: Se V W + W então todo o vector v V pode ser escrito de modo único na forma v w + w com w W e w W Neste caso escreve-se V W W e diz-se que V é a soma directa dos espaços W e W Teorema Seja A M mn (R) Tem-se C(A) L(A T ) e L(A) \ N (A) f0g Observação Seja A M mn (R) Se A 0 fôr a matriz em escada que se obtem de A por aplicação do método de eliminação de Gauss, tem-se C(A) 6 C(A 0 ) Teorema Seja A M mn (R) O espaço das linhas L(A) e o núcleo N (A) mantêmse invariantes por aplicação do método de eliminação de Gauss Isto é, sendo A 0 a matriz em escada que se obtem de A por aplicação desse método, tem-se L(A) L(A 0 ) e N (A) N (A 0 )

28 Independência linear De nição 8 Seja V um espaço linear Seja S fv ; v ; :::; v k g V: Diz-se que o conjunto S é linearmente dependente se e só se algum dos vectores de S se escrever como combinação linear dos restantes, isto é, se e só se existir algum i f; ; :::; kg e escalares ; ; :::; i ; i+ ; :::; k R tais que v i v + v + ::: + i v i + i+ v i+ + ::: + k v k De nição 9 Seja V um espaço linear Seja S fv ; v ; :::; v k g V: Diz-se que o conjunto S é linearmente independente se e só se nenhum dos vectores de S se puder escrever como combinação linear dos restantes, isto é, se e só a única solução do sistema homogéneo v + v + ::: + k v k 0 fôr a solução trivial, ou seja, ::: k 0 No caso em que V R n, sendo A a matriz cujas colunas são os vectores de S V, diz-se que S é linearmente independente se e só se N (A) f0g Teorema 6 Seja A 0 uma matriz em escada de linhas (i) As colunas de A 0 que contêm pivots são linearmente independentes (ii) As linhas não nulas de A 0 são linearmente independentes (iii) O n o de linhas independentes e o n o de colunas independentes (de A 0 ) são ambos iguais à característica de A 0 Observação (i) Assim, atendendo ao teorema anterior, a independência linear de S fv ; v ; :::; v k g V (espaço linear) pode ser decidida aplicando o método de eliminação à matriz A cujas colunas são os vectores de S, de modo a colocá-la em escada de linhas Sendo A 0 essa matriz em escada, tem-se pelo teorema N (A) N (A 0 ) (*) Uma vez que as colunas de A 0 que contêm pivots são linearmente independentes então, devido a (*), as colunas de A nas posições correspondentes também serão linearmente independentes (ii) Em R, quaisquer dois vectores são linearmente dependentes (iii) Em R, dois vectores são linearmente independentes se não forem colineares 8

29 (iv) Em R, três vectores são linearmente independentes se não forem coplanares (v) Qualquer conjunto que contenha o vector nulo (elemento neutro) é linearmente dependente Em particular, o conjunto f0g, formado apenas pelo vector nulo, é linearmente dependente (vi) O conjunto vazio? é linearmente independente Teorema Sejam S e S dois subconjuntos nitos de um espaço linear, tais que S S (i) Se S é linearmente dependente então S também é linearmente dependente (ii) Se S é linearmente independente então S também é linearmente independente Observação Sejam S e S dois subconjuntos nitos de um espaço linear, tais que S S (i) Se S fôr linearmente dependente então S tanto pode ser linearmente dependente como linearmente independente (ii) Se S fôr linearmente independente então S tanto pode ser linearmente dependente como linearmente independente Exemplo Seja S f(; 0; ); (; 0; ); (0; ; )g Tem-se A 0 0! 0 0! 0 0 L +L!L L 0 0 +L!L A 0 : Logo, como apenas existem dois pivots e portanto uma variável livre, as três colunas de A são linearmente dependentes, isto é, o conjunto S é linearmente dependente O subconjunto de S: f(; 0; ); (; 0; )g também é linearmente dependente No entanto, uma vez que a a e a colunas de A são independentes pois correspondem às colunas da matriz em escada A 0 que contêm os pivots, o subconjunto de S: f(; 0; ); (0; ; )g é linearmente independente 9

30 Bases e Dimensão de um Espaço Linear De nição 0 Chama-se base de um espaço linear V a qualquer subconjunto B de V que veri que as duas condições: (i) B gera V, isto é, L(B) V (ii) B é linearmente independente Teorema 8 Qualquer espaço linear V 6 f0g tem pelo menos uma base Observação Qualquer espaço linear V 6 f0g tem um n o in nito de bases Por exemplo, se B fu ; :::; u k g fôr uma base de V então para cada 6 0 o conjunto fu ; :::; u k g é também uma base de V Teorema 9 Todas as bases de um espaço linear V 6 f0g têm o mesmo n o de vectores De nição Chama-se dimensão de um espaço linear V 6 f0g ao n o de vectores de uma base qualquer de V, e escreve-se dim V Se V f0g então dim V 0 uma vez que o conjunto vazio? é base de f0g Um espaço linear terá dimensão nita se uma sua base tiver um n o nito de vectores Observação 6 A dimensão de um espaço linear, isto é, o n o de elementos de uma sua base é igual ao n o mínimo de vectores possam constituir um conjunto gerador desse espaço e é também igual ao n o máximo de vectores que possam constituir um conjunto linearmente independente nesse espaço Exemplo (i) O conjunto fg é uma base de R, chamada base canónica ou natural de R Logo, dim R (ii) O conjunto f(; 0); (0; )g é uma base de R, chamada base canónica ou natural de R Logo, dim R (iii) O conjunto f(; 0; 0); (0; ; 0); (0; 0; )g é uma base de R, chamada base canónica ou natural de R Logo, dim R (iv) O conjunto ; ; ; ; ; 0 0 é uma base de M (R), chamada base canónica ou natural de M (R) Logo, dim M (R) 6 0

31 (v) Tem-se dim R n n e dim M mn (R) mn (vi) O conjunto f; t; t ; :::; t n g é uma base de P n (espaço linear de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n), chamada base canónica ou natural de P n Logo, dim P n n + (vii) O conjunto f; t; t ; :::g é uma base de P (espaço linear de todos os polinómios reais de variável real), chamada base canónica ou natural de P Logo, dim P Observação Seja A uma matriz do tipo m n Tem-se nul A dim N (A) e car A dim L(A) Teorema 0 Seja A uma matriz do tipo m n Tem-se dim C(A) dim L(A) car A Dem Suponhamos que car A k Sendo A 0 a matriz m n em escada (reduzida) de linhas, então A 0 tem exactamente k linhas não nulas Sejam R ; R ; : : : ; R k essas linhas Como L(A) L(A 0 ), então as linhas L ; L ; : : : ; L m de A podem ser expressas como combinações lineares das linhas R ; R ; : : : ; R k, ou seja, existem escalares c ij ; com i ; : : : ; m e j ; : : : ; k tais que L c R + c R + + c k R k L c R + c R + + c k R k : : : L m c m R + c m R + + c mk R k Para i ; : : : ; m, sejam a ij e r ij as componentes j das linhas L i e R i respectivamente Assim, tem-se a j c r j + c r j + + c k r kj a j c r j + c r j + + c k r kj : : : a mj c m r j + c m r j + + c mk r kj ou seja, matricialmente, a j c c c k a j 6 r c j 6 + r c j r c k kj 6 Como 6 a j a j a mj a mj c m c m c mk é a coluna j de A, a última igualdade mostra que os vectores 6 c c c m ; 6 c c c m ; ; 6 c k c k c mk

32 geram C (A) Logo, tem-se dim C (A) k dim L (A) Deste modo, substituindo A por A T tem-se também dim C A T dim L A T : {z } {z } dim L(A) dim C(A) Isto é, Ou seja, tem-se dim C (A) dim L (A) e dim L (A) dim C (A) dim C (A) dim L (A) Teorema Sejam W e W dois subespaços de dimensão nita de um espaço linear V Então, dim (W + W ) dim W + dim W dim (W \ W ) Teorema Sejam V um espaço linear de dimensão nita e W um subespaço de V (i) Seja S fu ; :::; u k g V Se S é linearmente independente então S será um subconjunto de uma base de V e ter-se-á dim V k (ii) Se dim V n, então quaisquer m vectores de V, com m > n, são linearmente dependentes (iii) Se dim V n, então nenhum conjunto com m vectores de V, em que m < n, pode gerar V (iv) O subespaço W tem dimensão nita e dim W dim V (v) Se dim W dim V, então W V (vi) Se dim V n, então quaisquer n vectores de V linearmente independentes constituem uma base de V V (vii) Se dim V n, então quaisquer n vectores geradores de V constituem uma base de Exemplo 6 Seja A M mn (R) Recorde que: car A + nul A n Como L(A) e N (A) são subespaços de R n então L(A) + N (A) L (L(A) [ N (A))

33 é também um subepaço de R n Por outro lado, atendendo a que L(A) \ N (A) f0g (teorema ), tem-se Assim, dim (L(A) \ N (A)) 0 dim (L(A) + N (A)) dim L(A) + dim N (A) dim (L(A) \ N (A)) car A + nul A 0 n Logo, pelo teorema (v), tem-se R n L(A) N (A) Exemplo (i) Os seguintes conjuntos são todos os subespaços de R: f0g e R (ii) Os seguintes conjuntos são todos os subespaços de R : f(0; 0)g, todas as rectas que contêm a origem e R (iii) Os seguintes conjuntos são todos os subespaços de R : f(0; 0; 0)g, todas as rectas que contêm a origem, todos os planos que contêm a origem e R Observação 8 O método de eliminação de Gauss permite determinar a dimensão e uma base quer para o espaço das linhas L(A) quer para o espaço das colunas C(A) de uma matriz A Seja A 0 a matriz em escada que se obtem de A por aplicação do método de eliminação de Gauss Então, (i) Uma base para L(A) será formada pelas linhas não nulas de A 0 (ii) Uma base para C(A) será formada pelas colunas de A que correspondem às posições das colunas de A 0 que contêm os pivots Exemplo 8 Seja A 6

34 Tem-se A 6! L +L!L L +L!L ! L +L!L A 0 Logo, f(; ; ; ); (0; 0; ; )g é uma base de L(A) e f(; ; 6); (; ; )g é uma base de C(A) Assim, dim L(A) dim C(A) e Por outro lado, L(A) L (f(; ; ; ); (0; 0; ; )g), C(A) L (f(; ; 6); (; ; )g) N (A 0 ) 8 >< (x; y; z; w) R : A 0 >: 6 x y z w f(x; x; w; w) : x; w Rg L (f(; ; 0; 0); (0; 0; ; )g) > >; Como o conjunto f(; ; 0; 0); (0; 0; ; )g é linearmente independente e gera N (A 0 ) então é uma base de N (A 0 ) Finalmente, uma vez que N (A) N (A 0 ), o conjunto f(; ; 0; 0); (0; 0; ; )g é uma base de N (A) e portanto dim N (A), com N (A) L (f(; ; 0; 0); (0; 0; ; )g) Exemplo 9 Seja S f; ; ); (; ; ); ( ; ; ); (0; ; 0)g R Determinemos uma base para L(S) Considerando a matriz cujas colunas são os vectores de S, tem-se 0 0 0! 0 0! 0 0 L 0 +L!L L L +L!L L!L Logo, S 0 f; ; ); (; ; ); (0; ; 0)g é uma base de L(S) Como dim R, então tem-se mesmo: L(S) R e S 0 é uma base de R Resolução alternativa: Considerando a matriz cujas colunas são os vectores de S, tem-se 6! 6 0 L +L!L 0 0 0! 6 0 L $L 0 0! 6 0 L +L!L 0 0 L 0 0 +L!L

35 Logo, S 0 f; ; ); (0; ; ); (0; 0; )g é uma base de L(S) Como dim R, então tem-se mesmo: L(S) R e S 0 é uma base de R Exemplo 0 Seja S a;b f; 0; ); (0; ; a); (; ; b); (; ; )g R Determinemos os valores dos parâmetros a e b para os quais S a;b não gere R Considerando a matriz cujas colunas são os vectores de S, tem-se ! 0! 0 L a b +L!L al 0 a b 0 +L!L 0 0 b a a Logo, S a;b não gera R se e só se b a 0 e a 0, isto é, se e só se a 0 e b Teorema (i) Seja A M mn (R) As colunas de A geram R m se e só se car A m (ii) Seja A M mn (R) car A n As colunas de A são linearmente independentes se e só se (iii) Seja A M nn (R) A matriz A é invertível se e só se as colunas de A (ou as linhas de A) formarem uma base de R n No caso de A ser invertível tem-se C(A) L(A) R n Observação 9 Seja A M mn (R) e considere o sistema de equações lineares Au b (i) O sistema Au b é impossível (não tem solução) se e só se b C(A), isto é, se e só se car A < car [A j b] (ii) O sistema Au b é possível e indeterminado (tem um n o in nito de soluções) se e só se b C(A) e as colunas de A forem linearmente dependentes, isto é, se e só se car A car [A j b] < n, isto é, se e só se car A car [A j b] e nul A 6 0 (iii) O sistema Au b é possível e determinado (tem uma única solução) se e só se b C(A) e as colunas de A forem linearmente independentes, isto é, se e só se car A car [A j b] n, isto é, se e só se car A car [A j b] e nul A 0 Observação 0 Seja A M mn (R) e considere o sistema de equações lineares Au b (i) Existência de solução: Se m n então o sistema Au b tem pelo menos uma solução u para cada b R m se e só se car A m (ii) Unicidade de solução: Se m n então o sistema Au b tem no máximo uma solução u para cada b R m se e só se car A n, isto é, se e só se nul A 0 (iii) Existência e unicidade de solução: Se m n então o sistema Au b tem solução única u para cada b R m se e só se A fôr invertível

36 Teorema Seja A M nn (R) As seguintes a rmações são equivalentes (i) A é não singular (ii) A é igual ao produto de matrizes elementares (iii) A é invertível (iv) Au 0 tem apenas a solução trivial u 0 (v) Au b tem solução única u para cada b R n (vi) N (A) f0g (vii) nul A 0 (viii) car A n (ix) As colunas de A geram R n (x) As colunas de A são independentes (xi) As colunas de A formam uma base de R n (xii) As linhas de A geram R n (xiii) As linhas de A são independentes (xiv) As linhas de A formam uma base de R n (xv) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é sobrejectiva (Num próximo capítulo) (xvi) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é injectiva (Num próximo capítulo) (xvii) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é bijectiva (Num próximo capítulo) (xviii) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é invertível (Num próximo capítulo) (xix) det A 6 0 (xx) 0 não é valor próprio de A (Num próximo capítulo) (xxi) A T A é invertível (xxii) (N (A))? R n (Num próximo capítulo) (xxiii) (L (A))? f0g (Num próximo capítulo) 6

37 Coordenadas de um vector numa base e matriz de mudança de base De nição Seja B fv ; v ; :::; v k g uma base ordenada de um espaço linear V e seja u um vector de V Chamam-se coordenadas do vector u na base ordenada B aos escalares ; ; :::; k da combinação linear: u v + v + ::: + k v k Teorema Seja V um espaço linear (i) Um conjunto B de vectores não nulos de V é uma base de V se e só se todo o vector de V puder ser escrito de modo único como combinação linear dos vectores de B (ii) Se dim V n, então dados u; w V e B fv ; v ; : : : ; v n g uma base ordenada de V, tem-se u w se e só se as coordenadas de u e de w na base B forem iguais Teorema 6 Seja V um espaço linear de dimensão n Sejam B fv ; v ; : : : ; v n g e B fw ; w ; : : : ; w n g duas bases ordenadas de V Seja S B!B a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vectores de B em relação à base B Isto é, S B!B (s ij ) nn com v j nx s ij w i para todo o j ; :::; n i A matriz S B!B é não singular e chama-se matriz de mudança de base (da base B para B ) Assim, se tivermos nx u i v i, i isto é, se ( ; :::; n ) forem as coordenadas do vector u na base B então as coordenadas ( ; :::; n ) de u na base B são dadas por 6 n S B!B 6 n Dem Tem-se u nx i w i i nx j v j j nx j j nx s ij w i i nx i! nx s ij j w i j Atendendo ao teorema (i), as coordenadas de um vector u numa base são únicas Logo, para todo o i ; :::; n,! nx 6 6 i s ij j Isto é, S B!B j n n

38 Observação Tem-se S B!B (S B!B ) : Exemplo Consideremos a base canónica de R Seja B c f(; 0); (0; )g B f(; ); (; )g uma outra base ordenada de R Sejam (; 6) as coordenadas de um vector u na base canónica B c e determinemos as coordenadas de u na base B usando a matriz de mudança de base S Bc!B Tem-se S Bc!B, uma vez que (; 0) (; ) + (; ) e (0; ) (; ) (; ) (*) Logo, as coordenadas de u na base B são dadas por S Bc!B 6 6 Logo, e são as coordenadas de (; 6) na base ordenada B, isto é (; 6) (; ) + (; ) Observação Colocando os vectores em coluna, note que as duas igualdades em (*) podem ser escritas na forma: 0 0 sendo esta última igualdade equivalente a 0 0 {z } 8 < (; ) (; 0) + (0; ), : (; ) (; 0) + (0; ) querendo isto dizer que as coordenadas dos vectores (; ) e (; ) relativamente à base canónica (ordenada) f(; 0); (0; )g são respectivamente (; ) e (; ) 8

39 Transformações Lineares De nição Sejam U e V espaços lineares Diz-se que T : U! V é uma transformação linear se e só se veri car as duas condições: (i) T (u + v) T (u) + T (v), para todos os u; v U (ii) T (u) T (u), para todos os u U e escalares Observação Sejam U e V espaços lineares Sejam 0 o vector nulo de U e 0 0 o vector nulo de V (i) Se T : U! V fôr uma transformação linear então T (U) é um subespaço de V e além disso tem-se T (0) 0 0 (T (0) T (0 + 0) T (0) + T (0), T (0) 0 0 ) Logo, se T não veri car T (0) 0 0 então T não será uma transformação linear (ii) T : U! V é uma transformação linear se e só se para todos os u; v U e escalares ; T (u + v) T (u) + T (v), (iii) Seja T : U! V uma transformação linear, com U L (fv ; v ; : : : ; v n g) Seja u U Logo, existem escalares ; ; :::; n tais que u v + v + ::: + n v n Tem-se então T (u) T (v ) + T (v ) + ::: + n T (v n ) Exemplo Consideremos a base canónica f(; 0) ; (0; )g de R Seja T : R! R uma transformação linear tal que T (; 0) e T (0; ) Para qualquer (x; y) R tem-se Então, (x; y) x(; 0) + y(0; ) T (x; y) T (x(; 0) + y(0; )) xt (; 0) + yt (0; ) x + y Logo, T : R! R é a transformação linear de nida explicitamente por T (x; y) x + y 9

40 Teorema Sejam U e V espaços lineares e seja fv ; v ; : : : ; v n g uma base de U Sejam T ; T : U! V duas transformações lineares Se T (v i ) T (v i ) para todo o i ; : : : ; n, então T (u) T (u), para todo o u U, isto é, T T Exemplo (i) Sejam U e V espaços lineares e seja 0 o vector nulo de V Seja O : U! V de nida por O(u) 0, para todo o u U O é uma transformação linear e chama-se transformação nula (ii) Seja A M mn (R) Seja de nida por T : R n! R m T (u) Au, para todo o u R n T é uma transformação linear (iii) Sejam V um espaço linear e k um escalar ( xo) Seja T k : V! V de nida por T k (v) kv; para todo o v V T k é uma transformação linear Diz-se que T k é uma homotetia Se 0 < k < diz-se que T k é uma contracção Se k > diz-se que T k é uma dilatação Se k então chama-se a T a transformação identidade e denota-se por I Tem-se para todo o u U I(u) u; (iv) T : R! R de nida por T (x; y) ( y; x) não é uma transformação linear (v) T : R! R de nida por T (x; y) xy não é uma transformação linear (vi) Seja T : P! P de nida por T (p (t)) tp (t) : T é uma transformação linear (vii) Seja T : P! P de nida por T (p) p 00 : T é uma transformação linear (viii) Seja T : C (R)! C (R) de nida por T (f) f 0 ; 0

41 onde C (R) é o espaço linear de todas as funções reais com primeira derivada contínua em R e C (R) é o espaço linear de todas as funções reais contínuas em R T é uma transformação linear (ix) Seja a R ( xo) Seja T : C (R)! R de nida por T é uma transformação linear T (f) f 0 (a) (x) Seja n N Seja T : C n (R)! C (R) de nida por T (f) f (n) ; onde f (n) é a derivada de ordem n de f, C n (R) é o espaço linear de todas as funções reais com derivada de ordem n contínua em R e C (R) é o espaço linear de todas as funções reais contínuas em R T é uma transformação linear (xi) Seja T : C (R)! C (R) de nida por T é uma transformação linear T (f) Z x 0 f (t) dt: (xii) Seja T : C ([a; b])! R de nida por T é uma transformação linear T (f) Z b a f (t) dt: (xiii) Seja T : M nn (R)!M nn (R) de nida por T (X) X T : T é uma transformação linear (xiv) Seja T : M nn (R)!M nn (R) de nida por T (X) AX; com A M nn (R) xa T é uma transformação linear (xv) Seja tr : M nn (R)! R de nida por nx tr(a) a + a + ::: + a nn a ii, para todo o A (a ij ) nn M nn (R) tr (traço) é uma transformação linear i

42 Observação Para matrizes quadradas A (a ij ) nn de ne-se o traço de A, tr(a), P como sendo a soma de todas as entradas da diagonal principal de A, isto é, tr(a) n a ii Sejam A (a ij ) nn e B (b ij ) nn duas matrizes do tipo n n e um escalar Tem-se: i (i) (ii) (iii) (iv) tr(a + B) tr(a) + tr(b); tr(a) tr(a); tr(a T ) tr(a); tr(ab) tr(ba): De nição Sejam U e V espaços lineares e T : U! V uma transformação linear Seja 0 o vector nulo de V (i) Chama-se contradomínio ou imagem de T ao conjunto T (U) ft (u) : u Ug, que também se denota por I(T ) Note-se que se existir fu ; : : : ; u k g U tal que U L (fu ; : : : ; u k g) então I(T ) L (ft (u ) ; : : : ; T (u k )g) : (ii) Chama-se núcleo ou espaço nulo de T ao conjunto N (T ) fu U : T (u) 0g Teorema 8 Sejam U e V espaços lineares e T : U! V uma transformação linear Então, os conjuntos N (T ) e I(T ) são subespaços de U e V respectivamente Exemplo (i) Sejam U e V espaços lineares Sejam 0 e 0 0 os vectores nulos de U e V respectivamente Considere a transformação nula O : U! V de nida por O(u) 0 0, para todo o u U Tem-se N (O) U e I(O) f0 0 g (ii) Considere a transformação identidade I : U! U de nida por I(u) u,

43 para todo o u U Tem-se N (I) f0g e I(I) U (iii) Seja A M mn (R) Seja de nida por para todo o u R n Tem-se T : R n! R m T (u) Au, N (T ) N (A) e I(T ) C(A) (iv) Seja T : C (R)! C (R) de nida por T (f) f 0 Tem-se N (T ) ff : R! R tal que f é constante em Rg e I(T ) C (R) : (v) Seja T : C (R)! C (R) de nida por T (f (t)) f 00 (t) +! f (t), com! Rn f0g Tem-se (pág de []) N (T ) L (fcos (!t) ; sen (!t)g) ; onde fcos (!t) ; sen (!t)g é uma base de N (T ) Observe-se que N (T ) é precisamente a solução geral da equação diferencial linear homogénea f 00 (t) +! f (t) 0 (vi) Seja T : C (R)! C (R) de nida por T (f (t)) f 00 (t) Tem-se (pág de []) N (T ) L e!t ; e!t ;! f (t), com! Rn f0g onde fe!t ; e!t g é uma base de N (T ) Note-se que N (T ) é precisamente a solução geral da equação diferencial linear homogénea f 00 (t)! f (t) 0 De nição Sejam U e V espaços lineares e T : U! V uma transformação linear (i) Chama-se característica de T à dimensão de I(T ), isto é, car T dim I(T ) (ii) Chama-se nulidade de T à dimensão de N (T ), isto é, nul T dim N (T ) Teorema 9 Sejam U um espaço linear de dimensão nita e T uma transformação linear de nida em U Então, o subespaço I(T ) tem dimensão nita e dim N (T ) + dim I(T ) dim U De nição 6 Sejam U e V espaços lineares e S; T : U! V transformações lineares Seja um escalar Sejam S + T; T : U! V de nidas por (S + T ) (u) S(u) + T (u) e (T )(u) T (u), para todo o u U S + T e T são transformações lineares

44 De nição Sejam U e V espaços lineares Chama-se a L(U; V ) o conjunto de todas as transformações lineares de U em V Teorema 0 Sejam U e V espaços lineares O conjunto L(U; V ), com as operações da de nição 6, é um espaço linear Exemplo Seja B ft ; T ; T ; T g com T ; T ; T ; T L(R ; R ) de nidas por T (x; y) (x; 0), T (x; y) (y; 0), T (x; y) (0; x) e T (x; y) (0; y), para todo o (x; y) R O conjunto B é uma base de L(R ; R ) Logo, dim L(R ; R ) : De nição 8 Sejam U; V e W espaços lineares e, T : U! V e S : V! W transformações lineares Seja S T (ou ST ): U! W de nida por (S T ) (u) S (T (u)), para todo o u U S T é uma transformação linear Chama-se a S T (ou ST ) a composição de S com T Observação Em geral, tem-se S T 6 T S Teorema (i) Sejam T : U! V; S : V! W e R : W! X Então, tem-se R (S T ) (R S) T (ii) Sejam R; S : U! V e T : V! W Seja R Então, tem-se T (R + S) T R + T S e T (R) (T R) Se o contradomínio de Q estiver contido em U então (R + S) Q R Q + S Q e (R) Q (R Q) De nição 9 De ne-se T 0 I e T k T T k, para todo o k ; ; ::: Observação 6 Tem-se T m+n T m T n para todos os m; n N De nição 0 (i) T : U! V diz-se injectiva se e só se T (u) T (w) ) u w, para todos os u; w U, isto é, se e só se u 6 w ) T (u) 6 T (w), para todos os u; w U (ii) T : U! V diz-se sobrejectiva se e só se T (U) V

45 (iii) T : U! V diz-se bijectiva se e só se fôr injectiva e sobrejectiva De nição Sejam U e V espaços lineares Diz-se que U e V são isomorfos se e só se existir um isomor smo entre U e V, isto é, se e só se existir uma transformação linear bijectiva T : U! V Sendo U e V isomorfos escreve-se U V Teorema Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Então, U e V são isomorfos se e só se dim U dim V Observação (i) Qualquer espaço linear real de dimensão n é isomorfo a R n (ii) Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas A transformação linear T : U! V é sobrejectiva se e só se T transformar um qualquer conjunto gerador de U num conjunto gerador de V (iii) Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Se a transformação linear T : U! V fôr sobrejectiva então dim V dim U (iv) Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Se a transformação linear T : U! V fôr injectiva então dim U dim V Exemplo 6 (i) A transformação linear T : R n! M n (R) de nida por é um isomor smo Logo R n Mn (R) T (a ; : : : ; a n ) 6 a a n ; (ii) A transformação linear T : M mn (R)! R mn de nida por 0 B6 a a m a n a mn C A (a ; : : : ; a m ; : : : ; a n ; : : : ; a mn ) ; é um isomor smo Logo M mn (R) R mn (iii) A transformação linear T : R n+! P n de nida por T (a 0 ; a ; : : : ; a n ) a 0 + a t + + a n t n ; é um isomor smo Logo R n+ Pn

46 (iv) Seja A uma matriz mn Os espaços C (A) e L (A) são isomorfos pois têm a mesma dimensão (car A) C (A) L (A) Teorema Sejam U e V espaços lineares de dimensões nitas tais que dim U dim V: Seja T : U! V uma transformação linear Então, T é injectiva se e só se T é sobrejectiva De nição Diz-se que T : U! V é invertível se existir S : T (U)! U tal que S T I U e T S I T (U), onde I U e I T (U) são as funções identidade em U e T (U) respectivamente Chama-se a S a inversa de T e escreve-se S T Teorema Sejam U e V espaços lineares de dimensões nitas Seja T : U! V uma transformação linear Seja 0 o vector nulo de U As seguintes a rmações são equivalentes (i) T é injectiva (ii) T é invertível e a inversa T : T (U)! U é linear (iii) N (T ) f0g (iv) dim U dim T (U) (v) T transforma vectores linearmente independentes de U em vectores linearmente independentes de V (vi) T transforma bases de U em bases de T (U) Teorema Sejam U e V espaços lineares Seja T : U! V uma transformação linear Seja b V Então: (i) Existência de solução: a equação linear T (u) b tem sempre solução (para qualquer b) se e só se T fôr sobrejectiva (T (U) V ); (ii) Unicidade de solução: a equação linear T (u) b a ter solução, ela é única se e só se T fôr injectiva; (iii) Existência e unicidade de solução: a equação linear T (u) b tem solução única u se e só se T fôr bijectiva 6

47 Teorema 6 Sejam U e V espaços lineares Seja T : U! V uma transformação linear Seja b V A solução geral da equação linear T (u) b obtém-se somando a uma solução particular dessa equação, a solução geral da equação linear homogénea T (u) 0 Teorema (Representação matricial de uma transformação linear) Sejam U e V espaços lineares de dimensões nitas tais que dim U n e dim V m Sejam B fu ; u ; : : : ; u n g e B fv ; v ; : : : ; v m g duas bases ordenadas de U e V respectivamente Seja T : U! V uma transformação linear Considere-se a matriz A (a ij ) mn cuja coluna j, para cada j ; :::; n, é formada pelas coordenadas de T (u j ) na base B Isto é, T (u j ) mx a ij v i Chama-se a esta matriz A a representação matricial de T em relação às bases B e B e escreve-se A M(T ; B ; B ) Além disso, sendo ; ; :::; n as coordenadas de um vector u U na base ordenada B então as coordenadas ; ; :::; m de T (u) V na base ordenada B são dadas por 6 6 m i M(T ; B ; B ) 6 n Observação 8 (i) Nas condições do teorema anterior, tem-se u N (T ), ( ; ; :::; n ) N (A) uma vez que T (u) T! nx j u j j T é linear nx j T (u j ) j nx j j m X i a ij v i mx i! nx a ij j v i j e sendo fv ; v ; : : : ; v m g uma base de V tem-se! nx u N (T ), T (u) 0, a ij j 0; para i ; :::; m, ( ; ; :::; n ) N (A): Além disso: j I(T ) L (fa v + a v + + a m v m ; : : : ; a n v + a n v + + a mn v m g) L (ft (u ); : : : ; T (u n )g) (ii) Seja V um espaço linear de dimensão nita, com dim V n Sejam B fu ; u ; : : : ; u n g e B fv ; v ; : : : ; v n g duas bases ordenadas de V A representação matricial da transformação identidade I : V! V em relação às bases B e B é igual à matriz de mudança da base B para B Isto é, M(I; B ; B ) S B!B

48 Teorema 8 Sejam U e V espaços lineares tais que dim U n e dim V m Seja T : U! V uma transformação linear Sejam B e B bases (ordenadas) de U e V respectivamente Seja A M(T ; B ; B ) M mn (R) a matriz que representa T em relação às bases B e B Tem-se então: (i) dim N (T ) nul A; (ii) dim I(T ) car A; (iii) T é injectiva se e só se nul A 0, isto é, se e só se car A n; (iv) T é sobrejectiva se e só se car A m Teorema 9 Sejam B n c fe ; e ; : : : ; e n g e B m c fe 0 ; e 0 ; : : : ; e 0 mg as bases canónicas (ordenadas) de R n e R m respectivamente Seja T : R n! R m uma transformação linear Considere-se a matriz A (a ij ) mn M(T ; B n c ; B m c ) M mn (R) cuja coluna j, para cada j ; :::; n, é formada pelas coordenadas de T (e j ) na base B m c Isto é, T (e j ) mx a ij e 0 i a j ::: + a mj 6 i a j a mj Então, tem-se, para todo o u R n, T (u) Au Dem Seja u R n Então, existem ; ; :::; n R tais que u e + e + ::: + n e n nx j e j j Uma vez que, para todo o j ; :::; n, T (e j ) P m i a ije 0 i, tem-se! nx nx nx X m T (u) T j e j j T (e j ) a ij e 0 i j nx a j j ; :::; j T é linear j! nx a mj j j j j i a a n a m a mn 6 mx i n! nx a ij j e 0 i j Au Observação 9 No caso em que U R n, V R m e B B n c, B B m c, como caso particular da alínea (i) da observação 8, tem-se: N (T ) N (A) e I(T ) C(A), 8

49 uma vez que neste caso as coordenadas de um vector numa base coincidem com o próprio vector Exemplo (i) Seja T : R! R de nida por T (x; y; z; w) (x + y z; 0; x + z): T é uma transformação linear e a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas (ordenadas) Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por 0 A M(T ; Bc; Bc) , 0 0 uma vez que T (; 0; 0; 0) (; 0; ), T (0; ; 0; 0) (; 0; 0), T (0; 0; ; 0) ( ; 0; ) e T (0; 0; 0; ) (0; 0; 0) Tem-se então: Além disso, tem-se T (x; y; z; w) M(T ; Bc; Bc) 6 x y z w (x + y z; 0; x + z) N (T ) N (A) (x; y; z; w) R : y z e x z f( z; z; z; w) : z; w Rg L (f( ; ; ; 0); (0; 0; 0; )g) e I (T ) C (A) L (f(; 0; ); (; 0; 0)g) Uma base de I (T ) : f(; 0; ); (; 0; 0)g Uma base de N (T ) : f( ; ; ; 0); (0; 0; 0; )g (ii) Sejam B f; t; t g e B f; t; t ; t g as bases canónicas (ordenadas) de P e P respectivamente Seja D : P! P tal que D() 0, D(t) e D(t ) t D é uma transformação linear e a matriz M(D; B ; B ) que representa D em relação às bases canónicas B e B, é dada por Além disso tem-se M(D; B ; B ) M(D; B ; B ) a 0 a a isto é, D (a 0 + a t + a t ) a + a t, com a 0 ; a ; a R a 0 a a 6 a a 0 0, 9

50 Além disso, como N (D) a 0 + a t + a t : D a 0 + a t + a t 0 a 0 + a t + a t : a a 0 e a 0 R ; tem-se N (D) fa 0 : a 0 Rg L (fg) e I (D) L (f; tg) Uma base de I (D) : f; tg Uma base de N (D) : fg (iii) Seja T : R! R a transformação linear cuja matriz que a representa em relação às bases B f(; ; ); (0; ; ); (0; 0; )g e B f(; ); (; )g de R e R respectivamente, é dada por A M(T ; B ; B ) 6 Seja u R e sejam ( ; ; ) as coordenadas de u em relação à base B Tem-se e como N (A) N u N (T ), ( ; ; ) N (A) f( y z; y; z) : y; z Rg L (f( ; ; 0); ( ; 0; )g), N (T ) f( y z) (; ; ) + y(0; ; ) + z(0; 0; ) : y; z Rg f( y z; y z; y z) : y; z Rg L (f( ; ; ); ( ; ; )g) Quanto ao contradomínio: I(T ) L (f(; ) + (; ); (; ) + (; ); (; ) + 6(; )g) L (f(; ); (6; ); (9; )g) L (f(; )g) Uma base de I (T ) : f(; )g Uma base de N (T ) : f( ; ; ); ( ; ; )g Note-se que: dim N (T ) nul A e dim I(T ) car A Teorema 0 Sejam U; V e W espaços lineares de dimensões nitas Sejam B ; B e B bases de U; V e W respectivamente Sejam T L(U; V ) e S L(V; W ) Então, tem-se M(S T ; B ; B ) M(S; B ; B )M(T ; B ; B ) Teorema Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Seja T : U! V uma transformação linear Sejam B e B duas bases ordenadas de U e V respectivamente Seja A M(T ; B ; B ) a matriz que representa T em relação às bases B e B Se V T (U) então T é invertível se e só se A fôr uma matriz quadrada não singular Tem-se então A M(T ; B ; B ), isto é, A será a matriz que representa T em relação às bases B e B 0

51 Teorema Sejam U e V espaços lineares de dimensões nitas respectivamente n e m Isto é, dim U n e dim V m: Então, os espaços lineares L(U; V ) e M mn (R) são isomorfos e escreve-se L(U; V ) M mn (R) Dem Fixando bases B e B para U e V respectivamente, é uma transformação linear bijectiva L(U; V )! M mn (R) T! M(T ; B ; B ) Observação 0 No teorema anterior tem-se dim L(U; V ) mn Teorema Seja V um espaço linear de dimensão nita Seja T : V! V uma transformação linear Sejam B e B duas bases ordenadas de V Seja M(T ; B ; B ) a matriz que representa T em relação à base B Então, a matriz M(T ; B ; B ) que representa T em relação à base B, é dada por M(T ; B ; B ) S B!B M(T ; B ; B ) (S B!B ), onde S B!B é a matriz de mudança da base B para B Isto é, o diagrama seguinte é comutativo (V; B ) M(T ;B ;B )! T (V; B ) S B!B # I I # S B!B (V; B ) (V; B ) T! M(T ;B ;B ) Teorema Caso geral Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Seja T : U! V uma transformação linear Sejam B e B 0 duas bases ordenadas de U Sejam B e B 0 duas bases ordenadas de V Seja M(T ; B ; B ) a matriz que representa T em relação às bases B e B Então, a matriz M(T ; B 0 ; B 0 ) que representa T em relação às bases B 0 e B 0, é dada por M(T ; B 0 ; B 0 ) S B!B 0 M(T ; B ; B ) S B!B 0, onde S B!B 0 e S B!B 0 são as matrizes de mudança das bases B para B 0 e de B para B 0 respectivamente Isto é, o diagrama seguinte é comutativo (U; B ) M(T ;B ;B )! T (V; B ) S B!B 0 # I I # S B!B 0 (U; B) 0! M(T ;B 0 ;B0 ) (V; B) 0

52 Exemplo 8 Seja T : R! R de nida por T (x; y) (y; x; y x) T é uma transformação linear A matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação à base canónica (ordenada) Bc de R e à base canónica (ordenada) Bc de R, é dada por 0 M(T ; Bc; Bc) 0 Sejam B f(; ); ( ; )g uma base ordenada de R e B f(0; 0; ); (0; ; ); (; ; )g uma base ordenada de R A matriz M(T ; B ; B ) que representa T em relação à base ordenada B de R e à base ordenada B de R, é dada por uma vez que M(T ; B ; B ) 0 T (; ) (; ; 0) (0; 0; ) + 0(0; ; ) + (; ; ) T ( ; ) (; ; ) (0; 0; ) (0; ; ) + (; ; ) : Vamos agora veri car que se tem Uma vez que, M(T ; B ; B ) S B c!b M(T ; B c; B c) S B c!b (; 0; 0) 0(0; 0; ) (0; ; ) + (; ; ) ; (0; ; 0) (0; 0; ) + (0; ; ) + 0 (; ; ) ; (0; 0; ) (0; 0; ) + 0(0; ; ) + 0 (; ; ) tem-se então Logo, S B c!b S B c!b M(T ; Bc; Bc) S B c!b 0 Por exemplo, para (; ) R, tem-se: M(T ; B ; B ) S B!B c coordenadas de (; ) na base B c M(T ;B c ;B c )! T coordenadas de T (; ) na base B c S SB c!b # I I # S B c!b coordenadas de (; ) na base B T! M(T ;B ;B ) coordenadas de T (; ) na base B

53 Valores próprios e vectores próprios Diagonalização De nição Sejam U e V espaços lineares Seja T : U! V uma transformação linear Diz-se que um escalar é um valor próprio de T se existir um vector não nulo u U tal que T (u) u Aos vectores não nulos u que satisfaçam a equação anterior chamam-se vectores próprios associados ao valor próprio Dado um valor próprio de T, o conjunto E fu U : T (u) ug N (T I) é um subespaço linear de U Chama-se a E o subespaço próprio associado ao valor próprio À dimensão de E chama-se multiplicidade geométrica de e denota-se por m g (), isto é, dim N (T I) m g () Exemplo 9 (a) Seja V um espaço linear e I : V! V a transformação identidade Então todos os vectores de V, exceptuando o vector nulo, são vectores próprios de T associados ao valor próprio (b) Seja V o espaço linear das funções reais inde nidamente diferenciáveis em R e T : V! V a (transfomação) função derivada Como, por exemplo T e x e x então e x é vector próprio de T associado ao valor próprio (c) Seja T : R! R a transformação linear de nida por T (x; y) ( x x T (x; y) (x; y), ( x; y) (x; y), y y x; y) Como se x 6 0 e y 6 0 então e, pelo que não existem vectores próprios neste caso; se x 0 e y 0 então (x; y) não é vector próprio; se x 6 0 e y 0 então é valor próprio e os vectores próprios são (x; 0); se x 0 e y 6 0 então é valor próprio e os vectores próprios são (0; y); (d) Seja T : R! R a transformação linear de nida por T (x; y) (y; x) Como T (x; y) (x; y), (y; x) (x; y), y x x y, y x x x, y x x + 0 não existem vectores (x; y) com x 6 0 e y 6 0 e R que satisfaçam o sistema anterior Logo T não tem vectores próprios

54 Observação (i) Sejam V um espaço linear e 0 o vector nulo de V Seja T : V! V uma transformação linear Um escalar é um valor próprio de T se e só se N (T I) 6 f0g (ii) Se o espaço linear V tiver dimensão nita n e se A M (T ; B; B) fôr a matriz n n que representa T em relação a uma base ordenada B de V, então um escalar é um valor próprio de T se e só se esse escalar fôr solução da equação uma vez que se tem, para v V, det(a I) 0, 6 (T I) v 0, (A I) n 0 onde ; :::; n são as coordenadas de v na base ordenada B, daí que é um valor próprio de T, N (T I) 6 f0g, N (A I) 6 f0g, det(a I) 0 isto é é um valor próprio de T, det(a I) 0 Além disso, tem-se v é um vector próprio de T, v N (T I) n f0g, ( ; :::; n ) N (A I) n f0g isto é e v é um vector próprio de T, ( ; :::; n ) N (A I) n f0g m g () dim N (T I) dim N (A I) (iii) No caso em que V R n e A M (T ; B n c ; B n c ), como (neste caso) v ( ; :::; n ), tem-se N (T I) N (A I) : De nição Seja A uma matriz n n Chama-se ao polinómio p() det(a I) o polinómio característico da matriz A Este polinómio tem grau n, o coe ciente do termo de grau n é ( ) n, o coe ciente do termo de grau n é ( ) n tr A e o termo constante é p(0) det A De nição Seja A uma matriz n n Chama-se valor próprio de A a qualquer escalar tal que A I seja singular, isto é, tal que det(a I) 0 Ao conjunto de todos os valores próprios de A chama-se espectro de A À multiplicidade de como raíz

55 do polinómio det(a I) chama-se multiplicidade algébrica de e denota-se por m a () Chama-se vector próprio de A, associado ao valor próprio de A, a qualquer vector não nulo v que veri que (A I)v 0, isto é, a qualquer vector v N (A I)n f0g Observação (i) Seja A uma matriz n n O escalar 0 é valor próprio de A se e só se A fôr singular Isto é, a matriz A é invertível se e só se 0 não fôr valor próprio de A (ii) Seja A uma matriz n n Então o polinómio característico de A pode ser escrito na forma: p() det(a I) ( ) m ( ) m ( k ) m k, onde ; ; : : : ; k são os valores próprios distintos de A e m ; m ; : : : ; m k são as multiplicidades algébricas desses valores próprios respectivamente, com m +m + +m k n (iii) Seja A uma matriz n n Tem-se m g () m a (), para qualquer valor próprio de A (iv) Seja A uma matriz nn, com os valores próprios ; ; : : : ; n (repetidos de acordo com a respectiva multiplicidade algébrica) Então, atendendo à alínea anterior e à De nição tem-se det A n e tr A n De nição 6 Sejam A e B matrizes n n As matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir uma matriz S invertível tal que B SAS Teorema Duas matrizes são semelhantes se e só se existirem bases em relação às quais essas matrizes representem a mesma transformação linear Teorema 6 Sejam A e B matrizes n n Se A e B forem semelhantes então A e B têm o(a) mesmo(a): (i) determinante; (ii) característica; (iii) nulidade; (iv) traço; (v) polinómio característico, e portanto têm os mesmos valores próprios com as mesmas multiplicidades algébricas e geométricas Dem (Matrizes semelhantes têm o mesmo polinómio característico) det(b I) det(sas I) det(sas SS ) det(s(a I)S ) det S det(a I) det S det S det(a I) det S det(a I)

56 Teorema (i) Seja V um espaço linear Seja T : V! V uma transformação linear Se T tiver valores próprios distintos ; :::; k e se u ; :::; u k forem os vectores próprios associados a cada um destes valores próprios, então os vectores u ; :::; u k são linearmente independentes (ii) Seja A uma matriz nn Se A tiver valores próprios distintos ; :::; k e se u ; :::; u k forem os vectores próprios associados a cada um destes valores próprios, então os vectores u ; :::; u k são linearmente independentes Dem (ii) Seja r dim L (fu ; :::; u k g) Suponhamos que r < k Suponhamos ainda, a menos de uma reordenação, que o conjunto fu ; :::; u r g é linearmente independente Como o conjunto fu ; :::; u r ; u r+ g é linearmente dependente, então existem escalares não todos nulos c ; :::; c r ; c r+ tais que c u + + c r u r + c r+ u r+ 0 (*) Note que tem que se ter c r+ 6 0 caso contrário o conjunto fu ; :::; u r g é linearmente dependente Logo c r+ u r+ 6 0 e assim c ; :::; c r não podem ser todos nulos Por outro lado, atendendo a (*) tem-se A (c u + + c r u r + c r+ u r+ ) 0,c Au + + c r Au r + c r+ Au r+ 0, Logo, multiplicando, c u + + c r r u r + c r+ r+ u r+ 0 (**) r+ por (*) e somando a (**) tem-se: r+ (c u + + c r u r + c r+ u r+ ) + c u + + c r r u r + c r+ r+ u r+ 0,, c ( r+ ) u + + c r ( r r+ ) u r 0 Assim, sendo os escalares c ; :::; c r não todos nulos e sendo os escalares ; :::; k todos distintos, então o conjunto fu ; :::; u r g seria linearmente dependente, contrariando a hipótese de o mesmo ser linearmente independente Logo, tem que se ter r k De nição (i) Seja A uma matriz n n Se existir uma matriz P invertível tal que D P AP, com D matriz diagonal, então diz-se que A é uma matriz diagonalizável e que P é a matriz diagonalizante No caso de A ser uma matriz diagonal, a matriz diagonalizante é a matriz identidade (ii) Seja V um espaço linear tal que dim V n Seja T : V! V uma transformação linear Diz-se que T é diagonalizável se existir uma base B de V em relação à qual a matriz M (T ; B; B) que representa T nessa base seja uma matriz diagonal Teorema 8 Seja A M nn (R) A matriz A é diagonalizável se e só se existir uma base B vp de R n apenas constituída por vectores próprios de A Neste caso, as entradas da 6

57 diagonal principal da matriz diagonal D serão os valores próprios de A apresentados pela ordem dos vectores próprios correspondentes na base B vp Além disso, a matriz P será a matriz cujas colunas serão os vectores próprios de A, da base B vp de R n dispostos pela mesma ordem, tendo-se D P AP O mesmo se aplica a C n Teorema 9 Seja A uma matriz n n Então as a rmações seguintes são equivalentes: (i) A é diagonalizável (ii) A tem n vectores próprios linearmente independentes (iii) A soma das multiplicidades geométricas dos valores próprios de A é n (iv) A multiplicidade geométrica de cada valor próprio de A é igual à multiplicidade algébrica desse valor próprio Observação (i) Seja V um espaço linear tal que dim V n Seja A M (T; B; B) a matriz n n que representa a transformação linear T : V! V em relação à base ordenada B No caso de haver uma base B vp (ordenada) de V apenas constituída por vectores próprios de T, então tem-se M (T; B vp ; B vp ) P AP, onde P S Bvp!B, sendo deste modo M (T; B vp ; B vp ) a matriz diagonal cujas entradas da diagonal principal são os valores próprios de A apresentados pela ordem dos vectores próprios correspondentes na base B vp Assim, T é representada relativamente a uma base por uma matriz diagonal, isto é, T é diagonalizável No caso de se ter V R n e B B n c (base canónica) as colunas da matriz P S Bvp!B n c são os vectores próprios de A da base B vp dispostos pela mesma ordem (ii) No caso de se ter D P AP, com P invertível e D matriz diagonal, tem-se, para k N, D k P A k P, ou seja, A k P D k P Exemplo 0 Nos exemplos que se seguem as matrizes A consideradas poderão ser vistas como matrizes que representam transformações lineares T relativamente à base canónica (ou outras) de R, tendo-se nesse casos, para todo o u R, T (u) Au Deste modo, os valores próprios e vectores próprios de T serão respectivamente os valores próprios e vectores próprios de A (i) Uma matriz com valores próprios distintos A 0 0

58 O polinómio característico é dado por det(a I) 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 + ( + ) ( ) ( ) ( ) + ( ) [( ) ( + ) ] ( ) + 6 ( ) ( ) ( + ) Os valores próprios de A são os valores de para os quais det(a próprios de A são, e I) 0 Logo, os valores Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são os vectores não nulos u R para os quais (A I) u 0, isto é, são os vectores não nulos de N (A I) Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se 0 N (A I) 0 A L (f(0; ; )g) 0 0 Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(0; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (0; s; s), com s Rn f0g Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se 0 N (A I) 0 A L (f(; ; )g) 0 Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s; s), com s Rn f0g Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio 0 N (A I) 0 A L (f(; ; )g) 0 6 Tem-se 8

59 Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s; s), com s Rn f0g Atendendo a que os valores próprios de A são distintos, pelo teorema, os vectores próprios de A associados a esses valores próprios são linearmente independentes Como dim R, então vectores em R linearmente independentes formarão desde logo uma base de R Logo, o conjunto B f(0; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g é uma base de R Deste modo, temos uma base de R formada só por vectores próprios de A Logo, a matriz A é diagonalizável, isto é, existe uma matriz invertível P diagonalizante tal que a matriz P AP é diagonal, tendo-se D P AP , com P 0 Note que cada coluna de P é formada pelo vector próprio associado ao valor próprio respectivo e na posição respectiva Além disso, tem-se (R ; B c) M(T ;B c ;B c )! T (R ; B c) S B c!b # I I # S B c!b (R ; B) (R ; B) T! M(T ;B;B) com S B c!b P, M(T ; B; B) D e M(T ; B c; B c) A (ii) Uma matriz com valores próprios repetidos mas diagonalizável A O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9

60 Os valores próprios de A são os valores de para os quais det(a próprios de A são e I) 0 Logo, os valores Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são os vectores não nulos u R para os quais (A I) u 0, isto é, são os vectores não nulos de N (A I) Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se 0 N (A I) A L (f( ; ; 0) ; ( ; 0; )g) Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f( ; ; 0) ; ( ; 0; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u ( s t; s; t), com s e t não simultâneamente nulos Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se 0 N (A I) A L (f(; ; )g) Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são Atendendo a que u (s; s; s), com s Rn f0g dim E + dim E, podemos ter a seguinte base de R formada só por vectores próprios de A B f( ; ; 0) ; ( ; 0; ) ; (; ; )g Logo, a matriz A é diagonalizável, isto é, existe uma matriz invertível P diagonalizante tal que a matriz P AP é diagonal, tendo-se D P AP , com P

61 Note que cada coluna de P é formada pelo vector próprio associado ao valor próprio respectivo e na posição respectiva Além disso, tem-se (R ; B c) M(T ;B c ;B c )! T (R ; B c) S B c!b # I I # S B c!b (R ; B) (R ; B) T! M(T ;B;B) com S B c!b P, M(T ; B; B) D e M(T ; B c; B c) A (iii) Uma matriz com valores próprios repetidos e não diagonalizável A O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) [( ) ( ) + 0] ( ) + 6 ( ) ( ) ( ) Os valores próprios de A são os valores de para os quais det(a próprios de A são e I) 0 Logo, os valores Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são os vectores não nulos u R para os quais (A I) u 0, isto é, são os vectores não nulos de N (A I) Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se 0 N (A I) 0 A L (f(0; ; )g) Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(0; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (0; s; s), com s Rn f0g 6

62 Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se 0 N (A I) 0 A L (f(; ; 0)g) 0 0 Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; 0)g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são Atendendo a que u (s; s; 0s), com s Rn f0g dim E + dim E <, não é possível ter uma base de R formada só por vectores próprios de A Logo, a matriz A não é diagonalizável, isto é, não existe uma matriz invertível P diagonalizante tal que a matriz P AP seja diagonal (iv) Uma matriz com apenas um valor próprio real 0 0 A O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) + ( ) ( ) + Os valores próprios de A são os valores de para os quais det(a próprios de A são, i e i I) 0 Logo, os valores Logo, a matriz A não é diagonalizável numa matriz de entradas reais, isto é, não existe uma matriz invertível P diagonalizante tal que a matriz P AP seja diagonal com entradas reais No entanto e atendendo a que os três valores próprios são distintos, a matriz A é diagonalizável numa matriz de entradas complexas: i i Exemplo A sucessão de Fibonacci (Leonardo de Pisa, 0) Seja (u n ) nn tal que u ; u e u n+ u n + u n+, n N 6

63 Considerando a igualdade u n+ u n+, podemos escrever o sistema un+ u n+ isto é u n+ un+ u n+ u n+ u n + u n+ 0 un u n+ para todo o n N Aplicando sucessivamente a igualdade anterior tem-se un un 0 Calculemos agora os valores próprios de det un u n+ n u u 0 : 0 n 0, ( ) ( ) 0, 0,, + p Valores próprios: +p e p Atendendo a que N 0 + N N ou p 0 0 p L u n ( + p!)! ; + p ; é um vector próprio associado ao valor próprio +p, sendo todos os vectores n próprios associados ao valor próprio +p + dados por L p o ; n f(0; 0)g Atendendo a que ( N p!)! N N +p L ; + p ; é um vector próprio associado ao valor próprio p, sendo todos os vectores próprios associados ao valor próprio p n + dados por L p o ; n f(0; 0)g Como existe uma base de R formada por só por vectores próprios (os dois valores próprios são distintos logo os vectores próprios correspondentes são linearmente independentes) então 0 a matriz é diagonalizável Assim, fazendo P + p 6 + p

64 tem-se e Logo Isto é, un+ P " u n+ D, 0 + p 0 0 p + p + p P " p p " + p # 0 0 p " 0 P n # n P p 0 p 0 u n+ p 0 P P " + p 0 p 0 P # 0 + p 0 0 p P, # + p 0 0 p + p 0 + p n 0 0 p n p p n + + p 0 n + p + 0 P # n 0 " p + p n + p p! n + + p para todo o n N, com u Veri que que (por exemplo) u, u ; u : 0 p P! n p n P n + p 0 p 0 + p! n # Exemplo (Um processo de difusão) Considere duas células adjacentes separadas por uma membrana permeável e suponha que um uído passa da a célula para a a a uma taxa (em mililitros por minuto) numericamente igual a vezes o volume (em mililitros) do uído da a célula Em seguida, passa da a célula para a a a uma taxa (em mililitros por minuto) numericamente igual a vezes o volume (em mililitros) do uído da a célula Sejam v (t) e v (t) respectivamente o volume da a célula e o volume da a célula no instante t Suponha que inicialmente a primeira célula tem 0 mililitros de uído e que a segunda tem 8 mililitros de uído, isto é v (0) 0 e v (0) 8 Determinemos o volume de uído de cada célula no instante t Tem-se v 0 (t) v (t) isto é v 0 (t) v 0 (t) v 0 (t) v (t) 0 v (t) v (t) v (t) : (*) 6

65 e são os valores próprios da matriz 0, sendo os vectores próprios associados (; ) e (0; ) respectivamente Como existe uma base de R formada por só por vectores próprios (os dois valores próprios são distintos logo os vectores próprios correspondentes são linearmente independentes) então a matriz P 0 0 é diagonalizável Assim, fazendo 0 tem-se P e D 0, P 0 P 0 P 0 0 Assim, considerando a mudança de variável v (t) P u (t) v (t) u (t) o sistema (*) é equivalente a u P 0 (t) 0 u 0 (t) u, P 0 (t) u 0 P 0 (t) 0 u, P 0 (t) u 0 P 0 u (t), (t) 0 u (t) 8 8 u 0 < u 0 (t) (t) u (t) >< u (t), : u 0 (t) u (t), Se u 60 e u 60 P u (t) u (t), P P u (t) u (t) u 0 (t) u 0 (t) 8 <, : u >: 0 (t) u (t) 8 < u (t) e t+k c e t, : u (t) e t+k c e t, u (t) u (t) log ju (t)j t + k log ju (t)j t + k, P,, com c e k ; c e k R Logo v (t) P c e t 0 c e v (t) c e t c c e t e t c e t + c e t v (0) 0 Como v (0) 8 então c 0 e c e assim a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares v 0 (t) v (t) v 0 (t) v (t) v (t) v (0) 0 com os valores iniciais é dada por v (0) 8 v (t) 0e t v (t) 0e t e t 6

66 Produtos internos e Ortogonalização De nição 8 Sejam V um espaço linear real e 0 o vector nulo de V Chama-se produto interno em V a uma aplicação h; i : V V! R que veri que as três condições seguintes (u; v)! hu; vi (i) Simetria: para todos os u; v V hu; vi hv; ui (ii) Linearidade: para todo o v V ( xo) a aplicação V! R é linear u! hu; vi (iii) Positividade: para todo o u V tal que u 6 0, Tendo-se hu; ui 0 se e só se u 0 hu; ui > 0 Observação (a) Um produto interno num espaço linear real é uma forma bilinear, simétrica e de nida positiva (b) Num espaço linear V sobre C (espaço linear complexo), um produto interno é uma aplicação que a cada par de vectores (u; v) V V associa o número complexo hu; vi e que veri ca as seguintes condições: (i) Para todos os u; v V hu; vi hv; ui (ii) Para todo o v V ( xo) tem-se hu + w; vi hu; vi + hw; vi para todos os u; w V e ; C, (onde por exemplo a para todo o u V ( xo) V! C v! hu; vi é linear bi se a+bi) e a aplicação, 66

67 (iii) Para todo o u V tal que u 6 0, hu; ui > 0 Tendo-se hu; ui 0 se e só se u 0 (c) A um espaço linear real de dimensão nita com um produto interno chama-se espaço euclidiano A um espaço linear complexo de dimensão nita com um produto interno chama-se espaço unitário Observação (i) Seja V um espaço linear real Seja B fw ; w ; :::; w n g uma base de V Sejam u; v V Sejam ; ; :::; n e ; ; :::; n as coordenadas de u e de v na base B respectivamente, isto é, e Logo, u w + w + ::: + n w n v w + w + ::: + n w n * nx hu; vi i w i ; i : : : n 6 + nx i w i i nx i nx i w i i nx i w i i nx i j hw i ; w j i j hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hw n ; w i hw n ; w i : : : hw n ; w n i Assim, a aplicação h; i : V V! R que a cada (u; v) V V faz corresponder hu; vi, é um produto interno em V se e só se a matriz hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i G 6 hw n ; w i hw n ; w i : : : hw n ; w n i fôr simétrica (G G T ) e de nida positiva (u T Gu > 0, para todo o u 6 0) Note-se que a linearidade é consequência das propriedades referentes às operações matriciais envolvidas 6 (ii) À matriz G anterior dá-se o nome de matriz da métrica do produto interno (iii) Num próximo capítulo (teorema 8 (i)), como consequência da diagonalização ortogonal (teorema e observação 9), sendo G simétrica (G G T ), será estabelecida a equivalência: (u T Gu > 0, para todo o u 6 0), (todos os valores próprios de G são positivos) 6 n

68 (iv) Observe-se ainda que no caso de se ter um espaço unitário pode-se encontrar uma matriz G cujos valores próprios sejam todos positivos e tal que G G T, (onde G é a matriz que se obtem de G passando todas as entradas desta ao complexo conjugado), tendo-se hu; vi : : : n G 6 Uma matriz A que satisfaça a condição A A T diz-se hermiteana n Teorema 60 Seja V um espaço linear real com dim V n Seja fw ; w ; :::; w n g uma base de V Então, uma aplicação é um produto interno (em V ) se e só se com e h; i : V V! R hu; vi : : : n G 6 u w + w + ::: + n w n v w + w + ::: + n w n e G é uma matriz simétrica cujos valores próprios são todos positivos Se a aplicação h; i fôr um produto interno tem-se hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i G 6 hw n ; w i hw n ; w i : : : hw n ; w n i n, Exemplo (i) Seja h; i : R R! R a aplicação de nida por: h( ; ) ; ( ; )i +, com ( ; ) ; ( ; ) R Esta aplicação é um produto interno em R a que se dá o nome de produto interno usual em R, uma vez que h( ; ) ; ( ; )i + G 68

69 com G 0 0 A matriz G é simétrica e o único valor próprio de G é > 0 (ii) Seja h; i : R R! R a aplicação de nida por: h( ; ) ; ( ; )i +, com ( ; ) ; ( ; ) R Esta aplicação não é um produto interno em R, uma vez que h( ; ) ; ( ; )i + G com G 0 0 A matriz G é simétrica, no entanto, os valores próprios de G: (iii) O produto interno usual em R n é dado por: onde u T u u : : : u n e v 6 h; i : R n R n! R v v v n (u; v)! hu; vi u T v, (iv) O produto interno usual em C n é dado por: h; i : C n C n! C (u; v)! hu; vi u H v, v onde u H u T v u u : : : u n e v 6 v n (v) Um produto interno em M mn (R) h; i : M mn (R) M mn (R)! R e não são ambos positivos (A; B)! ha; Bi mx nx a ij b ij tr A T B i j (vi) Um produto interno em C ([a; b]) h; i : C ([a; b]) C ([a; b])! R 69

70 (f; g)! hf; gi Z b a f (x) g (x) dx Exemplo R com um produto interno não usual Seja h; i : R R! R a aplicação de nida por: h( ; ) ; ( ; )i + + +, com ( ; ) ; ( ; ) R É fácil ver que esta aplicação é simétrica e linear em relação a ( ; ) ( xando ( ; )) Vejamos por exemplo que a condição é satisfeita Atendendo a que tem-se com h( ; ) ; ( ; )i > 0, para todo o ( ; ) 6 (0; 0), h( ; ) ; ( ; )i ( + ), h( ; ) ; ( ; )i 0, ( 0 e + 0), Em alternativa, podemos escrever, ( 0 e 0), ( ; ) (0; 0) h( ; ) ; ( ; )i G G A matriz G é simétrica e os valores próprios de G: +p e p são ambos positivos De nição 9 Sejam V um espaço linear com um produto interno e 0 o vector nulo de V Sejam u; v V (i) Chama-se norma de u a: kuk p hu; ui: (ii) Chama-se projecção ortogonal de v sobre u 6 0 a: proj u v hv; ui kuk u: (iii) Diz-se que u e v são ortogonais se hu; vi 0 (iv) Chama-se ângulo entre dois vectores não nulos u e v tais que hu; vi R a: 0

71 hu; vi arccos kuk kvk Note que este ângulo está bem de nido atendendo ao teorema 6 Observação 6 (i) O ângulo entre dois vectores não nulos u e v é são ortogonais se e só se u e v (ii) Para cada u V ( xo) com u 6 0, a aplicação proj u : V! V que a cada v V faz corresponder proj u v, é uma transformação linear Teorema 6 Desigualdade de Cauchy-Schwarz Seja V um espaço linear com um produto interno Então, para todos os u; v V, jhu; vij kuk kvk Observação (i) Teorema de Pitágoras Sejam u; v R Tem-se u e v ortogonais se e só se ku vk kuk + kvk Dem se e só se ku vk hu v; u vi hu; ui hv; ui hu; vi + hv; vi kuk hu; vi + kvk kuk + kvk isto é, se e só se u e v forem ortogonais hu; vi 0, (ii) Em R com o produto interno usual, a desigualdade de Cauchy-Schwarz é dada por q q j + j + +, uma vez que com ( ; ) ; ( ; ) R h( ; ) ; ( ; )i +, (iii) Em R n com o produto interno usual, a desigualdade de Cauchy-Schwarz é dada por v v nx ux i i t n ux t n i i, uma vez que i com ( ; :::; n ) ; ( ; :::; n ) R n i i h( ; :::; n ) ; ( ; :::; n )i + ::: + n n,

72 Teorema 6 Sejam V um espaço linear com um produto interno e 0 o vector nulo de V Sejam u; v V e escalar A norma é uma aplicação kk : V! R que satisfaz as seguintes propriedades (i) Positividade: kuk > 0 se u 6 0 (ii) Homogeneidade: kuk jj kuk (iii) Desigualdade triangular: ku + vk kuk + kvk Observação 8 Pode de nir-se norma num espaço linear V, sem estar associada a qualquer produto interno, como sendo uma aplicação de V em R que satisfaz as propriedades do teorema anterior A um espaço linear com uma norma chama-se espaço normado Observação 9 Seja V um espaço linear com um produto interno Sejam u; v V Tem-se hu; vi ku + vk kuk kvk Observação 0 Seja V um espaço normado Sejam u; v V Então, a norma pode ser obtida de um produto interno na forma se e só se kuk p hu; ui ku vk + ku + vk kuk + kvk Esta última equação é conhecida por lei do paralelogramo Exemplo Uma norma que não é obtida a partir de um produto interno Seja kk : R! R a aplicação de nida por k( ; )k j j + j j, com ( ; ) R É fácil veri car que esta aplicação satisfaz as três condições do teorema 6 Logo, é uma norma No entanto, é também fácil veri car que esta norma não satisfaz a lei do paralelogramo Logo, esta norma não poderá ser obtida a partir de um produto interno De nição 0 (i) Sejam V um espaço euclidiano (ou unitário) e S V Diz-se que S é ortogonal se para todos os u; v S com u 6 v, se tiver hu; vi 0 Diz-se que S é ortonormado se fôr ortogonal e se, para todo o u S, se tiver kuk

73 (ii) Sejam V um espaço euclidiano (ou unitário) e U ; U dois subespaços de V Diz-se que U e U são ortogonais e escreve-se U? U se para quaisquer u U e v U se tiver hu; vi 0 Teorema 6 Sejam V um espaço linear com um produto interno e S V Seja 0 o vector nulo de V Se S é ortogonal e 0 S então S é linearmente independente Em particular, se n dim V então qualquer conjunto S ortogonal de n vectores não nulos é uma base de V Teorema 6 Seja V um espaço euclidiano (ou unitário) com dim V n Seja B fu ; :::; u n g uma base ortogonal de V Então, as coordenadas de um vector v V em relação à base B são dadas por: j hv; u ji hu j ; u j i, com j ; :::; n Se B fôr ortonormada então as coordenadas de um vector v V em relação à base B são dadas por: com j ; :::; n j hv; u j i, Teorema 6 Seja V um espaço euclidiano com dim V n Seja B fw ; :::; w n g uma base ortonormada de V Então, para todos os u; v V, tem-se v nx ux hu; vi hu; w i i hv; w i i (fórmula de Parseval) e kuk t n hu; w i i i i Observação Seja V um espaço euclidiano com dim V n Seja B fw ; :::; w n g uma base ortonormada de V Sejam u; v V, com u w + w + ::: + n w n, v w + w + ::: + n w n Então, atendendo ao teorema 6, a fórmula de Parseval é dada por: v nx ux hu; vi i i + + ::: + n n e tem-se kuk t n i i i Notação Sejam V um espaço euclidiano (ou unitário) e 0 o vector nulo de V Para v qualquer v V, com v 6 0, o vector v será denotado por kvk kvk

74 Teorema 66 Método de ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço euclidiano (ou unitário) não nulo Então V tem bases ortonormadas Mais concretamente, considere o conjunto linearmente independente: e sejam então u v, fv ; v ; :::; v k g V u v proj u v, (i) L(fu ; u ; :::; u k g) L(fv ; v ; :::; v k g); ::: u k v k proj u v k ::: proj uk v k (ii) o conjunto fu ; u ; :::; u k g é uma base ortogonal de L(fv ; v ; :::; v k g) u (iii) o conjunto ku k ; u ku k ; :::; u k é uma base ortonormada de L(fv ; v ; :::; v k g) ku k k Exemplo 6 Considere-se R com o produto interno usual Seja U L(f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; 6; ); (; ; ; 9)g) Determinemos a dimensão de U e uma base ortonormada para U Tem-se 6 6! ! Logo, o conjunto fv ; v g, com v (; ; ; ) e v (; ; ; ), é uma base de U e como tal dim U Sejam u v e u v proj u v Logo, o conjunto fu ; u g, com u (; ; ; ) e + u (; ; ; ) (; ; ; ) (; ; ; ), é uma base ortogonal de U Uma base ortonormada para U: ( u ku k ; u ku k ; p ; ; 6 ; ; p p ; ; p!) 6 6 Teorema 6 Seja B fu ; u ; :::; u n g uma base de um espaço euclidiano (ou unitário) A base B é ortonormada se e só se a matriz da métrica G em relação a essa base fôr a matriz identidade Em R n o produto interno usual é aquele em relação ao qual a base canónica é ortonormada

75 Teorema 68 Seja fv ; v ; :::; v n g uma base de R n Então, existe um único produto interno em R n para o qual esta base é ortonormada Exemplo Considere em R a base B fv ; v g, com v (; 0) e v (; ) Vejamos que existe um e um só produto interno para o qual a base B é ortonormada Seja B c f(; 0); (0; )g a base canónica de R Tem-se Sejam u; v R Tem-se S B c!b S B!B c 0 u ( ; ) e v ( ; ), 0 onde ; e ; são as coordenadas na base B c de u e v respectivamente Seja P S B c!b Logo, a aplicação h; i : R R de nida por hu; vi (P u) T G (P v) com hv ; v G i hv ; v i 0, hv ; v i hv ; v i 0 é um produto interno e é o único para o qual a base B é ortonormada Tem-se então T 0 h( ; ) ; ( ; )i É fácil veri car que para este produto interno a base B é ortonormada: h(; 0) ; (; )i 0 e h(; 0) ; (; 0)i h(; ) ; (; )i De nição Sejam V um espaço euclidiano (ou unitário) e U um subespaço de V Diz-se que um elemento de V é ortogonal a U se fôr ortogonal a todos os elementos de U Ao conjunto de todos os elementos ortogonais a U chama-se complemento ortogonal de U e designa-se por U? Note-se que se U e U são dois subespaços de V tais que U? U (Def 0) então tem-se U U? e U U? Teorema 69 Qualquer que seja o subespaço U de um espaço euclidiano (ou unitário) V, também U? é um subespaço de V Exemplo 8 (i) Se U R é um plano que passa pela origem, então U? é uma recta que passa pela origem e é perpendicular ao plano (ii) Se U R é uma recta que passa pela origem, então U? é um plano que passa pela origem e é perpendicular à recta (iii) Seja A M mn (R) Então, N (A) (L(A))? C(A T )? e N (A T ) L(A T )? (C(A))? : (iv) Seja A M nn (R) tal que A é invertível Então, (N (A))? R n e (L (A))? f0g :

76 Teorema 0 Se U é um subespaço de dimensão nita de um espaço euclidiano (ou unitário) V, então V é a soma directa de U e U?, isto é, V U U? Logo, cada elemento v V pode ser escrito de modo único como soma de um elemento de U com um elemento de U? : v v U + v U?, com v U U e v U? U? À aplicação linear P U : V! V de nida por P S (v) v S e tal que P U P U P U chamase projecção ortogonal de V sobre U e à aplicação linear P U? : V! V de nida por P U?(v) v U? e tal que P U? P U? P U? chama-se projecção ortogonal de V sobre U? Tem-se I P U + P U? Se fw ; w ; :::; w l g é uma base ortonormada de U, então P U (v) lx hv; w i i w i, i para todo o v V Se fu ; u ; :::; u k g é uma base ortonormada de U?, então P U?(v) kx hv; u j i u j, j para todo o v V Neste caso, fw ; w ; :::; w l ; u ; u ; :::; u k g é uma base ortonormada de V As aplicações P U e P U? são transformações lineares de V em V que satisfazem as propriedades: (i) P U (V ) U (ii) P U?(V ) U? (iii) (P U ) P U (iv) (P U?) P U? (v) hp U (u) ; vi hu; P U (v)i, hp U? (u) ; vi hu; P U? (v)i, para todos os u; v V ; (vi) kuk kp U (u)k + kp U? (u)k, para todo o u V (Teorema de Pitágoras); Observação Seja U é um subespaço de dimensão nita de um espaço euclidiano (ou unitário) V Seja v V (i) dim U + dim U? dim V (ii) Se fv ; v ; :::; v n g é uma base de U então v U? se e só se hv; v i hv; v i ::: hv; v n i 0 6

77 Teorema Seja U é um subespaço de dimensão nita de um espaço euclidiano (ou unitário) V Seja v V Então, existe um elemento de U mais próximo de v do que qualquer dos outros pontos de U Este elemento é a projecção ortogonal P U (v) de v sobre U e tem-se kv P U (v)k kv uk, para todo o u U, e a igualdade veri ca-se se e só se u P U (v) Além disso, tendo-se 0 U, a distância d de um ponto b V a um subespaço U é dada por: d (b; U) kp U? (b 0)k kp U? (b)k kb P U (b)k De nição Seja V um espaço euclidiano (ou unitário) Seja U é um subespaço de V com dim U k Seja q V Chama-se ao conjunto fqg + U um k-plano A distância d de um ponto p V a um k-plano P fqg + U é dada por: d (p; P) kp U? (p q)k Observação A distância entre dois k-planos paralelos P fag + U e P fbg + U é dada por: d (P ; P ) kp U? (a b)k Exemplo 9 Considere-se R com o produto interno usual (i) Seja P o plano (em R ) que passa pelos pontos: (; ; ); (; 0; ) e (; ; ) Tem-se P f(; ; )g + L (f(0; ; ); (0; ; 0)g) Equação vectorial de P: com ; R (x; y; z) (; ; ) + (0; ; ) + (0; ; 0), Equações paramétricas de P: 8 >< >: x y z

78 com ; R Equação cartesiana de P: x Podemos determinar uma equação cartesiana de P do seguinte modo Atendendo a que P f(; ; )g + L (f(0; ; ); (0; ; 0)g) seja U L (f(0; ; ); (0; ; 0)g) Logo, U? (x; y; z) R : h(x; y; z); (0; ; )i 0 e h(x; y; z); (0; ; 0)i 0 0 N L (f(; 0; 0)g) 0 0 e assim, a equação cartesiana do plano P que passa pelo ponto (; ; ) é dada por: (h(x ; y ; z ); (; 0; 0)i 0),, ( (x ) + 0 (y ) + 0 (z ) 0), ou seja por x (ii) Determinemos a equação cartesiana da recta que passa pelos pontos (; ; 0) e (; ; ) Tem-se r f(; ; 0)g + L (f(0; ; )g), uma vez que (0; ; ) (; ; ) (; ; 0) Seja U L (f(0; ; )g) Logo, U? (x; y; z) R : h(x; y; z); (0; ; )i 0 N 0 L (f(; 0; 0); (0; ; )g) e assim, a equação cartesiana da recta r é dada por: (h(x ; y ; z); (; 0; 0)i 0 e h(x ; y ; z); (0; ; )i 0),, ( (x ) 0 e (y ) z 0), ou seja por 8 < x : y z 8

79 Produto Externo e Produto Misto De nição Sejam u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R Então o produto externo (vectorial) de u por v, denotado por u v, é o vector de R de nido por u v (u v u v ; u v u v ; u v u v ), isto é, u v u u v v ; u u v v u u v v e u u v v e e e u u u v v v, ; u u v v e + u u v v e onde fe ; e ; e g é a base canónica de R Observação Sejam u; v; w R e R Então, tem-se: (i) e e e (ii) e e e (iii) e e e (iv) u v (v u) (v) u (v + w) u v + u w (vi) (u + v) w u w + v w (vii) (u v) (u) v u (v) (viii) u 0 0 u 0 (ix) u u 0 (x) Se u e v forem paralelos então u v 0 (xi) u (v w) hu; wi v (xii) (u v) w hw; ui v hu; vi w hw; vi u (xiii) ku vk + hu; vi kuk kvk (xiv) u (v w) + v (w u) + w (u v) 0 9

80 Teorema Considere-se R com o produto interno usual Sejam u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R n f0g e seja [0; ] o ângulo formado por u e v Então tem-se: (i) ku vk kuk kvk sen (ii) A área do paralelogramo de lados adjacentes u e v é dada por: A ku vk Dem (i) Como [0; ], tem-se sen p kuk kvk sen cos e deste modo, kuk kvk p s hu; vi q cos kuk kvk kuk kvk kuk kvk hu; vi q (u + u + u ) (v + v + v) (u v + u v + u v ) q (u v u v ) + (u v u v ) + (u v u v ) k(u v u v ; u v u v ; u v u v )k (ii) A (base) (altura) kuk kvk sen ku vk De nição Considere-se R com o produto interno usual Sejam u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) ; w (w ; w ; w ) R À expressão chama-se produto misto de u; v e w hu; v wi Observação Considere-se R com o produto interno usual Sejam u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) ; w (w ; w ; w ) R Então, tem-se: (i) hu; v wi u u u v v v w w w (ii) Sendo o ângulo formado por u e v w, o volume do paralelepípedo com um vértice e arestas u; v; w com origem em (0; 0; 0), é dado por 0 u u u V kv wk kuk jcos j hu; v wi {z } {z } v v v A w w w área da face determinada por v e w (iii) hu; u vi 0 (iv) hv; u vi 0 (v) hu; v wi hu v; wi altura 80

81 Matrizes Hermiteanas, Matrizes Simétricas e Matrizes Normais Diagonalização Unitária e Diagonalização Ortogonal De nição Seja A (a ij ) M nn (C) Denota-se por A H a matriz A T, isto é, a transposta da matriz conjugada A (a ij ), onde a ij é o complexo conjugado de a ij Ou seja, escreve-se A H A T A matriz A diz-se hermiteana se A H A Observação 6 (a) Sejam ; C, A; C M mn (C) e B M nr (C) Tem-se: (i) A H H A (ii) (A + B) H A H + B H (iii) (AC) H C H A H (b) Seja A M nn (R) tal que A é simétrica (A T A) Então A é hermiteana uma vez que sendo A real tem-se A H A T Teorema Todos os valores próprios de uma matriz hermiteana são reais Além disso, os vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais Dem Seja A M nn (C) tal que A é hermiteana Seja um valor próprio de A e seja u um vector próprio associado Seja u H Au Então, tem-se H u H Au H u H A H u H H A é hermiteana uh Au Ou seja, é real Por outro lado, como tem-se kuk R u H Au u H u kuk, Sejam agora u e u vectores próprios associados respectivamente a valores próprios distintos e Então, tem-se e Logo, tem-se (Au ) H u u H A H u A é hermiteana uh Au u H u (Au ) H u u H Au H u H u H R u H u u H u u H u, ( ) u H u 0 E assim, como 6, então u H u {z } 0, ou seja, u e u são ortogonais hu ;u i Observação Todos os valores próprios de uma matriz simétrica real são reais Além disso, os vectores próprios associados a valores próprios distintos são ortogonais 8

82 De nição 6 (i) Seja U M nn (C) A matriz U diz-se unitária se se tiver U H U I, isto é, se U H U, ou seja, se as colunas de U constituirem um conjunto ortonormado em C n (ii) Seja A M nn (R) A matriz A diz-se ortogonal se se tiver A T A I, isto é, se A T A, ou seja, se as colunas de A constituirem um conjunto ortonormado em R n Observação 8 (i) Seja U M nn (R) tal que U é unitária Como, sendo U real, se tem U H U T, então U é ortogonal Isto é, toda a matriz real unitária é ortogonal (ii) Seja A uma matriz hermiteana Se os valores próprios de A forem distintos, então existe uma matriz unitária que diagonaliza A, isto é, existe U unitária tal que UAU H é uma matriz diagonal, ou seja, A diz-se unitariamente diagonalizável (iii) A a rmação anterior (ii) continua válida mesmo se os valores próprios não forem distintos, como será provado no Teorema 8 Teorema Seja A uma matriz n n Então, existe uma matriz unitária U tal que UAU H é triangular superior Dem A demonstração será efectuada por indução em n O resultado é óbvio para n Suponhamos que a hipótese é válida para matrizes kk e seja A uma matriz (k + )(k + ) Sejam um valor próprio de A e w um vector próprio associado de norma Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, seja fw ; : : : ; w k+ g uma base ortonormada para C k+ Seja W H a matriz cuja coluna i é igual ao vector w i, para i ; : : : ; k + Então, por construção, a matriz W H é unitária Por outro lado, a primeira coluna de W AW H é igual a W Aw, tendo-se Logo, tem-se W Aw W w W w W AW H 6 j j 0 j j M 0 j 6 onde M é uma matriz k k Pela hipótese de indução, existe uma matriz k k unitária V tal que V M (V ) H T, onde T é uma matriz triangular Seja V 6 j 0 0 j 0 j j V 0 j 8, 0 0

83 Então V é unitária e tem-se (V W ) A (V W ) H V W AW H V H 6 j j 0 j j V M (V ) H 0 j 6 j j 0 j j T 0 j T, onde T é uma matriz triangular Como a matriz V W é unitária, pondo U V W, tem-se com T triangular e U unitária UAU H T, Teorema Seja A uma matriz hermiteana Então existe uma matriz unitária U que diagonaliza A, isto é, A é diagonalizável unitariamente Ou seja, existe U unitária tal que tal que a matriz UAU H é diagonal Dem Pelo teorema anterior, existe uma matriz unitária U tal que a matriz UAU H é triangular Seja T UAU H Tem-se então T H UAU H H U H H A H U H A é hermiteana UAU H T Logo, como T T H e T é triangular então T é diagonal Observação 9 Atendendo ao resultado anterior tem-se então o seguinte Seja A M nn (R) tal que A é simétrica, isto é, tal que A A T Então existe uma matriz ortogonal P (matriz que veri ca: P T P ) tal que P AP T é diagonal, isto é, A é ortogonalmente diagonalizável relativamente a uma base ortonormada formada só por vectores próprios de A A matriz P T é a matriz cujas colunas são os vectores próprios de A que formam uma base ortonormada formada de R n, sendo P AP T a matriz diagonal onde se coloca na entrada i da diagonal principal o valor próprio correspondente ao vector próprio da coluna i da matriz P T Observação 60 (i) Existem matrizes não hermiteanas que são diagonalizáveis relativamente a bases ortonormadas formadas só por vectores próprios, como por exemplo as matrizes anti-hermiteanas (A H A) e as matrizes anti-simétricas (A T A) (ii) Seja A M nn (R) Suponhamos que A é ortogonalmente diagonalizável relativamente a uma base ortonormada formada só por vectores próprios de A Sejam D diagonal e P ortogonal tais que A P T DP Então A T P T DP T P T D T P T T P T DP A Logo A é simétrica Tem-se então, atendendo tambem à observação 9, sendo A real: A é ortogonalmente diagonalizável, A é simétrica 8

84 (iii) Seja A M nn (C) Suponhamos que A é unitariamente diagonalizável relativamente a uma base ortonormada formada só por vectores próprios de A Sejam D diagonal e U unitária tais que A U H DU Como em geral se tem D H 6 D, então A H U H DU H U H D H U 6 U H DU A Logo A não tem que ser necessariamente hermiteana (iv) O próximo teorema diz quais são as matrizes unitariamente diagonalizáveis De nição Uma matriz A diz-se normal se AA H A H A: Teorema 6 Uma matriz A é normal se e só se fôr unitariamente diagonalizável relativamente a uma base ortonormada formada só por vectores próprios de A Dem ()) Suponhamos que A é normal Pelo teorema, existe uma matriz unitária U e uma matriz triangular superior T tais que T UAU H Vejamos que T é normal Tem-se T H T UAU H H UAU H UA H U H UAU H UA H AU H A é normal UAA H U H UAU H UA H U H T T H Logo T é normal Seja T (t ij ) do tipo n n Comparando as entradas das diagonais principais de T H T e T T H tem-se: jt j + jt j + jt j + + jt n j jt j jt j + jt j + + jt n j jt j + jt j jt nn j jt n j + jt n j + jt n j + + jt nn j e assim, t ij 0 sempre que i 6 j Logo T é diagonal e portanto A é unitariamente diagonalizável (() Suponhamos agora que A é unitariamente diagonalizável Queremos mostrar que A é normal Sejam D diagonal e U unitária tais que D UAU H, ou seja, A U H DU Tem-se AA H U H DU U H DU H U H DUU H D H U U H DD H U e A H A U H DU H U H DU U H D H UU H DU U H D H D U Como j j 0 0 DD H D H 0 j D j 6 0, 0 0 j n j então tem-se AA H A H A e assim A é normal 8

85 Formas quadráticas De nição 8 Uma equação quadrática em duas variáveis x e x é uma equação da forma ax + bx + cx x + dx + ex + f 0 a qual pode ser escrita na forma Sejam a c x x c b x x x x x + d e x x a e A c + f 0 (A é uma matriz real simétrica) À função real a duas variáveis reais Q : R! R de nida por Q (x) x T Ax, com x T Ax ax + bx + cx x chama-se forma quadrática real a variáveis reais associada à equação quadrática anterior Podem haver equações do o grau e formas quadráticas com um n o de variáveis superior a Uma equação quadrática em n variáveis x ; x ; : : : ; x n é uma equação da forma onde x 6 x x x T Ax + Bx + 0,, A (a ij) é uma matriz real simétrica do tipo n n, B M n (R) e x n é um escalar À função real a n variáveis reais Q : R n! R de nida por c b : Q (x) x T Ax nx i! nx a ij x j x i j chama-se forma quadrática real a n variáveis reais associada à equação quadrática anterior Teorema (Teorema dos eixos principais) Seja A M nn (R) tal que A é simétrica Então existe uma mudança de variáveis ortogonal (teorema e observação 9) que transforma a forma quadrática x T Ax na forma quadrática y T Dy sem termos cruzados Isto é, se P diagonalizar A ortogonalmente (D P AP T ), então a mudança de variáveis x P T y transforma a forma quadrática x T Ax na forma quadrática y T Dy: x T Ax y T P AP T y y T Dy y + y + + n yn 0 0 y 0 0 y y y y n 6 6, 0 0 n y n 8

86 onde ; ; : : : ; n são os valores próprios de A associados respectivamente aos vectores próprios que constituem as colunas de P T e que formam uma base ortonormada de R n Observação 6 (i) Chama-se cónica ou secção cónica à curva plana obtida por meio de um corte efectuado por um plano relativamente a uma superfície cónica As secções cónicas que se obtêm quando o plano que efectua o corte não passa pelo vértice da superfície cónica, são elipses (os valores próprios têm o mesmo sinal) (podendo ter-se circunferências: quando o corte é efectuado perpendicularmente ao eixo de simetria do cone), parábolas (um dos dois valores próprios é zero) e hipérboles (os dois valores próprios têm sinais contrários) e (ii) Em R tem-se x x x x ; A a d e d b f e f c e B ax + bx + cx + dx x + ex x + fx x + gx + hx + ix + 0 À super cie resultante da equação anterior chama-se quádrica Existem quatro tipos de quádricas não degeneradas): elipsóides, hiperbolóides (de uma ou duas folhas), cones e parabolóides (elípticos ou hiperbólicos) g h i Exemplo 0 Considere-se a forma quadrática Q : R! R de nida por Tem-se Q(x; y) x + xy + y Q(x; y) x y x A y com A forma quadrática diagonal (isto é, sem termos cruzados) com e Os valores próprios de A são e Tem-se então a seguinte P T Q(x 0 ; y 0 ) x 0 y 0 D x 0 x 0 y D P AP T, 6 p p x 0 y 0 y 0 x 0 P y 0 p p cos sen 86, x y, sen cos,

87 em que P T é a matriz diagonalizante obtida colocando na a coluna um vector próprio de norma associado ao valor próprio e na a coluna um vector próprio de norma associado ao valor próprio, de tal modo que ambos os vectores próprios constituam uma base ortonormada de R Observe-se que a matriz P é ortogonal, isto é, tem-se P T P Tem-se então Q(x; y) x y x A y x x y P T DP y T x x P DP y y x x 0 y 0 0 D Q(x 0 ; y 0 ) Por exemplo, relativamente à equação quadrática x + xy + y y 0 y x tem-se a elipse: (x 0 ) + (y 0 ) x 0, + y0 p! : De nição 9 Seja A uma matriz real simétrica do tipo n n Diz-se que A e a forma quadrática Q : R n! R dada por Q (x) x T Ax são: (i) de nidas positivas se x T Ax > 0, para todo o x 6 0; (ii) de nidas negativas se x T Ax < 0, para todo o x 6 0; (iii) semide nidas positivas se x T Ax 0, para todo o x; (iv) semide nidas negativas se x T Ax 0, para todo o x; (v) inde nidas se existirem pontos onde x T Ax seja positiva e pontos onde x T Ax seja negativa 8

88 Teorema 8 Seja A M nn (R) tal que A é simétrica Então, (i) A é de nida positiva se e só se todos os valores próprios de A forem positivos; (ii) A é de nida negativa se e só se todos os valores próprios de A forem negativos; (iii) A é semide nida positiva se e só se todos os valores próprios de A forem não negativos; (iv) A é semide nida negativa se e só se todos os valores próprios de A forem não positivos; (v) A é inde nida se e só se A tiver pelo menos um valor próprio positivo e outro negativo Dem (i) ()) Suponhamos que A é de nida positiva, isto é, x T Ax > 0; para todo o x 6 0 Seja um valor próprio de A Então, para qualquer vector próprio x associado a tem-se x T Ax x T x kxk, com x 6 0 Logo xt Ax kxk > 0 (() Suponhamos que todos os valores próprios de A são positivos Seja fx ; : : : ; x n g um conjunto ortonormado de vectores próprios de A (existe esse conjunto pelo teorema e observação 9) Logo fx ; : : : ; x n g é uma base ortonormada de R n Se x 6 0, então tem-se com ; :::; n não todos nulos, pelo que x x + + n x n, x T Ax ( x + + n x n ) T A ( x + + n x n ) (x ) T + + n (x n ) T ( Ax + + n Ax n ) (x ) T + + n (x n ) T ( x + + n n x n ) Logo A é de nida positiva nx ( i ) i > 0 i 88

89 Mínimos Quadrados Existem aplicações relativamente às quais os erros cometidos nas medições das entradas de A ou de b podem levar a que o sistema de equações lineares Au b não tenha solução, quando teoricamente deveria ter Em tais casos é natural a procura da "melhor solução aproximada" para esse problema De nição 60 Sejam A M mn (R) e b R n Então, a bu R n chama-se melhor solução aproximada ou solução de mínimos quadrados de Au b se kb Abuk kb Auk, para qualquer u R n Ao vector b Abu chama-se vector erro de mínimos quadrados e ao escalar kb Abuk chama-se erro de mínimos quadrados Observação 6 Sejam A M mn (R) e b R n Procuremos então um método para determinar as soluções de mínimos quadrados de Au b Atendendo a que Au C (A) para todo o u R n, então a distância kb Auk é mínima se Au P C(A) (b), onde P C(A) é a projecção ortogonal de R n sobre C (A) Como P C(A) (b) C (A), a equação Au P C(A) (b) tem sempre solução e essas soluções são as soluções de mínimos quadrados de Au b Deste modo, qualquer sistema linear tem sempre pelo menos uma solução de mínimos quadrados Por outro lado, pode escrever-se a equação Au P C(A) (b) na forma b Au b P C(A) (b) P N (A T ) (b) tendo-se A T (b Au) A T b P C(A) (b) A T P N (A T ) (b) 0; pois (C (A))? N A T Logo A T Au A T b A esta equação chama-se equação normal associada a Au b Teorema 9 Sejam A M mn (R) e b R n (i) As soluções de mínimos quadrados do sistema linear Au b são as soluções da equação normal A T Au A T b: 89

90 (ii) Se car A n então a equação normal A T Au A T b tem a solução única e tem-se bu A T A A T b P C(A) (b) Abu A A T A A T b, isto é, A A T A A T é a matriz que representa a projecção ortogonal P C(A) Observação 6 Seja A M mn (R) Vejamos que se tem car A car A T A : Basta para isso, mostrar que N (A) N A T A : Seja u N (A) Como Au 0 então A T Au A T 0 0 e assim u N A T A Reciprocamente, seja u N A T A e vejamos que u N (A) Tem-se A T Au 0, logo Au N A T L A T? (C (A))? e como tal hau; Aui 0, ou seja kauk 0 e então Au 0, isto é, u N (A) Observação 6 Vejamos agora o modo como se pode determinar uma curva (ou recta) especí ca que se possa "ajustar" a um conjunto de pontos determinados experimentalmente (i) A partir de dois ou mais pontos dados (x ; y ) ; (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ), pretende-se determinar uma recta y a 0 + a x que seja a recta que "melhor aproxime" ou a recta de mínimos quadrados de melhor ajuste aos pontos dados (recta de regressão) Isto é, pretendese determinar as soluções de mínimos quadrados de 8 y a 0 + a x >< y a 0 + a x >: y m a 0 + a x m ou seja de x x 6 x m a0 a 6 y y y m 90

91 Sejam x x A 6 x m ; u a0 a e b 6 y y y m : Atendendo a que car A car A T A, se houver pelo menos dois pontos distintos, tem-se car A e nesse caso, a equação normal A T Au A T b tem como única solução de mínimos quadrados bu A T A A T b: Assim, a recta de mínimos quadrados y a + bx é a recta que torna mínimos os quadrados cuja soma é dada por onde kb (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) + + (y m (a 0 + a x m )) kb Abuk, Abuk é o erro de mínimos quadrados (ii) A partir de m pontos dados (x ; y ) ; (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ), pretende-se determinar um polinómio cujo grá co esteja tão perto quanto possível desses m pontos dados Isto é, com m N previamente xo, pretende-se determinar as soluções de mínimos quadrados do sistema de m equações a n + incógnitas (a 0 ; a ; a ; : : : ; a n ) 8 y a 0 + a x + a x >< + + a n x n y a 0 + a x + a x + + a n x n >: y m a 0 + a x m + a x m + + a n x n m ou seja de x x x n x x x n 6 6 x m x m x n m Sejam x x x n x x x n A 6 ; u 6 x m x m x n m a 0 a a n 6 a 0 a a n y y y m e b 6 Note-se que se n + m e se os pontos dados forem distintos, então existe um único polinómio de grau n (o chamado polinómio interpolador) que passa por todos esses m pontos 9 y y y m :

92 Por outro lado, atendendo a que car A car A T A, se n < m e pelo menos n + pontos forem distintos, tem-se car A n + e então a equação normal A T Au A T b tem como única solução de mínimos quadrados bu A T A A T b: Sejam Exemplo Determinemos a recta de mínimos quadrados relativa aos pontos A (0; ) ; (; ) ; (; ) e (; ) : 6 0 e b Tem-se car A e como tal a solução de mínimos quadrados é única e dada por: a0 bu A T A A T b tendo-se a 0 C A 6 0 y + x: 6, O vector b dado por: Abu é o vector erro de mínimos quadrados, sendo o erro de mínimos quadrados kb Abuk q (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) + (y (a 0 + a x )) s s r p 9

93 Bibliogra a Seymour Lipschutz, Linear Algebra, Schaum s Outline Series, fourth edition, McGraw- Hill, 009 Luis T Magalhães, Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada, 9 a edição, Texto Editora, 00 Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra, rd edition, Wellesley Cambridge Pr 00 Steven J Leon, Linear Algebra with Applications, 6th edition, Prentice Hall, 006 Bernard Kolman, Introductory Linear Algebra with Applications, Prentice Hall, Howard Anton and Robert C Busby, Contemporary Linear Algebra, John Wiley & Sons, Inc, 00 Howard Anton and Chris Rorres, Elementary Linear Algebra with Applications, 9th edition, John Wiley & Sons, Inc, 00 8 António Monteiro e Gonçalo Pinto, Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw- Hill, 99 9