Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear

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1 Aulas Teóricas e de Problemas de Álgebra Linear Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Maio de

2 Índice Parte I (Aulas teóricas e chas de exercícios) Matrizes e sistemas de equações lineares a cha de exercícios para as aulas de problemas a cha de exercícios facultativos9 Determinantes a cha de exercícios para as aulas de problemas9 Espaços lineares (ou Espaços vectoriais) a cha de exercícios para as aulas de problemas a cha de exercícios facultativos Transformações lineares a cha de exercícios para as aulas de problemas88 Valores próprios e vectores próprios Diagonalização98 a cha de exercícios para as aulas de problemas a cha de exercícios facultativos Produtos internos e ortogonalização a cha de exercícios para as aulas de problemas a cha de exercícios facultativos Produto externo e produto misto Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal Formas quadráticas Mínimos quadrados a cha de exercícios para as aulas de problemas Bibliogra a Parte II (Resoluções das chas de exercícios) Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas Resolução da a cha de exercícios facultativos8 Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas Resolução da a cha de exercícios facultativos8 Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas9 Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas8 Resolução da a cha de exercícios facultativos8 Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas8 Resolução da a cha de exercícios facultativos Resolução da a cha de exercícios para as aulas de problemas9

3 Matrizes e sistemas de equações lineares De nição (i) Sejam m; n N Uma matriz A, do tipo m n (lê-se m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas: a a a n a a a n A : a m a m a mn Usa-se também a notação A (a ij ) mn ou simplesmente A (a ij ), na qual a ij é a entrada (i; j) da matriz A Se m n, diz-se que A é uma matriz quadrada do tipo n n (ou de ordem n) e as entradas a ; a ; :::; a nn formam a chamada diagonal principal de A Se m n, diz-se que A é uma matriz rectangular (ii) A matriz linha i de A é: a i a i a in, para i ; :::; m A matriz coluna j de A é: a j a j para j ; :::; n a mj (iii) À matriz do tipo m n cujas entradas são todas iguais a zero, chama-se matriz nula e representa-se por mn ou simplesmente por Por exemplo e (iv) À matriz do tipo n n a a a nn tal que a ij se i j para todos os i; j, isto é, à matriz cujas entradas fora da diagonal principal são todas nulas, chama-se matriz diagonal (v) À matriz do tipo n n, chama-se matriz identidade e representa-se por I nn ou simplesmente por I

4 (vi) À matriz do tipo n n a a a n a a n a nn cujas entradas por baixo da diagonal principal são todas nulas, isto é, tais que a ij se i > j, chama-se matriz triangular superior À matriz do tipo n n a a a a n a n a nn cujas entradas por cima da diagonal principal são todas nulas, isto é, tais que a ij se i < j, chama-se matriz triangular inferior Uma matriz diz-se triangular se fôr triangular superior ou triangular inferior Exemplo As matrizes A, B, C e D são dos seguintes tipos: A é, B é, C é, D é Tem-se, por exemplo, a, b, c e d Observação Uma matriz (real) A do tipo m n é uma aplicação: A : f; :::; mg f; :::; ng! R (i; j)! a ij Notação O conjunto de todas as matrizes reais (complexas) do tipo mn é denotado por M mn (R) (M mn (C)) Tem-se M mn (R) M mn (C) De nição Duas matrizes são iguais se forem do mesmo tipo e se as entradas correspondentes forem iguais, isto é, A (a ij ) mn e B (b ij ) pq são iguais se m p, n q e a ij b ij, para i ; :::; m e j ; :::; n De nição A soma de duas matrizes do mesmo tipo A (a ij ) mn e B (b ij ) mn é a matriz A + B (a ij + b ij ) mn

5 Exemplo Sejam A, B 9, C p e D p : A + B, C + D e não é possível, por exemplo, somar B com C De nição O produto de um escalar (número real ou complexo) por uma matriz A (a ij ) mn é a matriz: A (a ij ) mn Notação A matriz ( )A será denotada por A Exemplo Seja A Tem-se, por exemplo, A 8 Observação A A, A (matriz nula), A + A A, A + {z ::: + A } na n vezes De nição A diferença entre duas matrizes A e B do mesmo tipo é de nida por ou seja, é a soma de A com o simétrico de B A B A + ( B), De nição (i) O produto AB de duas matrizes A e B só pode ser efectuado se o número de colunas da a matriz, A, fôr igual ao número de linhas da a matriz, B Nesse caso, o produto AB de A (a ij ) mp por B (b ij ) pn é de nido por:! px AB (a i b j + ::: + a ip b pj ) mn a ik b kj, k mn isto é, a a p a i a ip a m a mp b b j b n b p b pj b pn pp a k b k k pp a mk b k k pp a ik b kj k pp a k b kn k pp a mk b kn k

6 Note que sendo b ; :::; b p as colunas da matriz B, então AB A b b p Ab Ab p e sendo a ; :::; a p as linhas da matriz A, então AB a a m B a B a m B (ii) Sejam A uma matriz do tipo n n e p N A potência p de A é de nida por A p A:::A {z } p vezes e para p de ne-se (se A fôr não nula) A I (iii) Diz-se que duas matrizes A e B comutam se AB BA Exemplo (i) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 8 8 (ii) p ( ) + + ( ) p p (iii) p ( ) ( ) ( ) ( ) p p ( ) p ( ) p p p (iv) n N, a a a nn n (a ) n (a ) n (a nn ) n Observação (i) O produto de matrizes não é comutativo Por exemplo, para A e B tem-se AB e BA Logo AB BA (ii) CD ; (C ou D ), pois, por exemplo, para C e D ; CD : (iii) Se A (B) tem uma linha (coluna) nula então AB tem uma linha (coluna) nula

7 De nição (i) A transposta de uma matriz A (a ij ) mn é a matriz A T (a ji ) nm, isto é T a a a n a a a m a a a n a a a m : a m a m a mn a n a n a mn (ii) Sendo A (a ij ) mn M mn (C), à matriz A (a ij ) mn chama-se matriz conjugada de A (iii) Sendo A (a ij ) mn M mn (C), à matriz A H A T chama-se matriz transposta conjugada de A Exemplo T + i i H i i : Teorema Sejam A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, e escalares São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais (a) (Comutatividade da soma) A + B B + A (b) (Associatividade da soma) A + (B + C) (A + B) + C (c) (Elemento neutro da soma) Existe uma única matriz do tipo m n tal que A + + A A, para toda a matriz A do tipo m n (d) (Simétrico) Para cada matriz A existe uma única matriz B tal que A+B B+A Esta matriz B denota-se por A (e) (Associatividade do produto por escalares) (A) () A (f) (Distributividade) ( + ) A A + A (g) (Distributividade) (A + B) A + B (h) (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) (AB) C (i) (Distributividade) A (B + C) AB + AC e (B + C) D BD + CD (j) (AB) (A) B A (B) (k) AI A e IB B, para todas as matrizes A (a ij ) mn e B (b ij ) nm, onde I é a matriz identidade do tipo n n (l) A e B, para todas as matrizes A (a ij ) mn e B (b ij ) nm, onde é a matriz nula do tipo n n (m) A T T A: A H H A:

8 (n) (A + B) T A T + B T (A + B) H A H + B H (o) (A) T A T (A) H A H (p) (AB) T B T A T (AB) H B H A H (q) (A A :::A n ) T A T n:::a T A T, com A, A, :::, A n matrizes de tipos apropriados (A A :::A n ) H A H n :::A H A H De nição 8 Uma matriz A do (tipo n n) diz-se invertível se existir uma matriz B (do tipo n n) tal que AB BA I À matriz B chama-se matriz inversa de A e denota-se por A Exemplo é invertível e Observação (i) Sendo A a matriz inversa de A, então A é invertível e a sua inversa é a própria matriz A, isto é, (A ) A (ii) A matriz nula não é invertível No entanto, a matriz identidade I é invertível tendo-se I I (iii) Se uma matriz quadrada tiver uma linha ou uma coluna nula então não é invertível Teorema A inversa de uma matriz invertível é única Dem Sejam B e C as inversas de A Então, B BI B (AC) (BA) C IC C De nição 9 (i) Uma matriz A diz-se simétrica se A A T, isto é, se a ij a ji, para i; j ; :::; n Diz-se que A é anti-simétrica se A A T, isto é, se a ij a ji, para i; j ; :::; n (ii) Uma matriz A M mn (C) diz-se hermitiana (ou hermítica) se A H A Diz-se que A é anti-hermitiana se A H A (iii) Uma matriz A M nn (R) diz-se ortogonal se fôr invertível e se A A T (iv) Uma matriz A M nn (C) diz-se unitária se fôr invertível e se A A H (v) Uma matriz A diz-se normal se A H A AA H Exemplo é uma matriz simétrica T 8

9 + i i é uma matriz hermitiana + i i cos sen é uma matriz ortogonal ( R): sen cos i i é uma matriz unitária i i H i i i + i i é uma matriz normal Teorema (i) Se A (a ij ) nn e B (b ij ) nn são duas matrizes invertíveis, então AB é invertível e (AB) B A (ii) Sendo um escalar não nulo e A uma matriz invertível então A é invertível e (A) A (iii) Seja m N Se A (a ij ) nn é uma matriz invertível, então A m é invertível e (A m ) (A ) m e escreve-se A m (A m ) (iv) Seja A (a ij ) nn uma matriz Se existir l N tal que A l invertível então A não é (v) Sejam A e B matrizes com A invertível tais que AB Então B (vi) Sejam A e B matrizes com B invertível tais que AB Então A (vii) Sejam A, B e C matrizes com A invertível tais que AB AC Então B C (viii) Sejam A, B e C matrizes com B invertível tais que AB CB Então A C (ix) A (a ij ) nn é uma matriz invertível se e só se A T é invertível e A T (A ) T : (x) A (a ij ) nn é invertível se e só se A H é invertível e A H (A ) H : (xi) Se A (a ij ) nn é uma matriz simétrica invertível, então A é simétrica (xii) Se A (a ij ) nn é uma matriz hermitiana invertível, então A é hermitiana (xiii) Se A (a ij ) nn é uma matriz ortogonal, então A T e A são matrizes ortogonais (xiv) Se A (a ij ) nn é uma matriz unitária, então A H e A são matrizes unitárias (xv) Se A e B são duas matrizes ortogonais então AB é uma matriz ortogonal (xvi) Se A e B são duas matrizes unitárias então AB é uma matriz unitária (xvii) Se A e B são duas matrizes simétricas então AB é uma matriz simétrica se e só se A e B comutarem (xviii) Se A e B são duas matrizes hermitianas então AB é uma matriz hermitiana se e só se A e B comutarem 9

10 De nição Uma equação linear com n incógnitas x ; x ; :::; x n é uma equação da forma a x + a x + ::: + a n x n b; em que a ; a ; :::; a n e b são constantes (reais ou complexas) A b chama-se termo independente De nição Um sistema de m equações lineares com n incógnitas é um conjunto de equações da forma 8 a x + a x + ::: + a n x n b >< a () x + a x + ::: + a n x n b ::: >: a m x + a m x + ::: + a mn x n b m em que a ij e b k são constantes (reais ou complexas), para i; k ; :::; m e j ; :::; n Usando o produto de matrizes de nido na secção anterior, o sistema de equações lineares acima pode ser escrito como uma equação matricial AX B em que A a a a n a a a n a m a m a mn, X x x x n e B b b b m A matriz A é a matriz dos coe cientes do sistema, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes A matriz a a a n j b a a a n j b [A j B] a m a m a mn j b m associada ao sistema () chama-se matriz aumentada do sistema MUITO IMPORTANTE: Note que AX a a x + a a x + ::: + a n a n x n a m a m a mn

11 De nição Uma solução do sistema de equações lineares () de variáveis reais, é o elemento (s ; s ; :::; s n ) R n : f(a ; a ; :::; a n ) : a ; a ; :::; a n Rg tal que as equações do sistema são satisfeitas quando substituímos x s ; x s ; :::; x n s n (No caso das variáveis serem complexas ter-se-ia soluções em C n ) Note que isso equivale a dizer que s s S s n satisfaz a equação matricial AX B, isto é, fazendo X S tem-se a condição verdadeira AS B Ao conjunto de todas as soluções do sistema chama-se conjunto solução ou solução geral do sistema Exemplo 8 O sistema linear de duas equações e duas incógnitas ser escrito do seguinte modo: x y x + y x + y pode A solução geral do sistema acima é dada por f(x; y) : x + y e x + y g f( ; )g, isto é, X é a única matriz que satisfaz AX B, com A e B Teorema Sejam A uma matriz do tipo m n e B uma matriz do tipo m Se o sistema de equações lineares AX B tem duas soluções distintas X e X (X X ), então terá in nitas soluções Dem Basta veri car que X ( qualquer R ) X + X é solução do sistema AX B, para De nição A um sistema de equações lineares da forma 8 a x + a x + ::: + a n x n >< a x + a x + ::: + a n x n ::: >: a m x + a m x + ::: + a mn x n chama-se sistema linear homogéneo Este sistema pode ser escrito na forma AX

12 Observação solução trivial: (i) Todo o sistema linear homogéneo AX admite pelo menos a X x x x n Assim, todo o sistema linear homogéneo tem solução Além disso, ou tem apenas a solução trivial ou tem in nitas soluções (ii) Como iremos ver num próximo capítulo, à solução geral do sistema linear homogéneo AX dá-se o nome de núcleo de A e escreve-se N (A) Teorema Se A (a ij ) mn é tal que m < n, então o sistema linear homogéneo AX tem in nitas soluções Dem Como o sistema tem menos equações do que incógnitas (m < n), o n o de linhas não nulas r da matriz em escada de linhas obtida da matriz aumentada do sistema também é tal que r < n Assim, há r pivots e n r incógnitas livres as quais podem assumir qualquer valor Logo, o sistema linear homogéneo AX tem in nitas soluções Teorema Sejam A (a ij ) mn e ; escalares (i) Se Y e W são soluções do sistema AX, então Y + W também o é (ii) Se Y é solução do sistema AX, então Y também o é (iii) Se Y e W são soluções do sistema AX, então Y + W também o é (iv) Sejam Y e W soluções do sistema AX B Se Y + W (para quaisquer escalares ; ) também é solução de AX B, então B (Sugestão: basta fazer ) Teorema Seja A uma matriz do tipo m n e B uma matriz do tipo m Qualquer solução X do sistema AX B escreve-se na forma X X + Y onde X é uma solução particular do sistema AX B e Y é uma solução do sistema linear homogéneo AX Assim: solução geral de AX B solução particular de AX B + solução geral de AX Dem Sendo X uma solução particular do sistema AX B e Y uma solução qualquer de AY então A (X + Y ) AX B pelo que X + Y é também uma solução de AX B e não há solução de AX B que não seja deste tipo uma vez que, se X fôr uma solução qualquer de AX B tem-se AX B AX, A (X X ) e assim X X Y é solução de AY tendo-se X X + Y

13 Teorema 8 Seja A uma matriz do tipo n n (i) O sistema AX B tem solução única se e só se A fôr invertível Neste caso a solução geral é X A B: (ii) O sistema homogéneo AX tem solução não trivial se e só se A fôr não invertível Teorema 9 (i) Sejam A e B duas matrizes do tipo n n Se AB é invertível, então A e B são invertíveis (ii) Se A é uma matriz do tipo n n tal que AB I então BA I e B A : Dem (i) Considere o sistema (AB) X Se B não fosse invertível, então pelo teorema anterior existiria X tal que BX Logo, X seria solução não trivial de ABX, o que contraria o teorema anterior uma vez que por hipótese AB é invertível Assim, B é invertível Finalmente, A é invertível por ser o produto de duas matrizes invertíveis: A (AB) B (ii) Atendendo à alínea anterior, B é invertível Logo B também é invertível e A AI A BB (AB) B IB B, isto é, A é invertível e A (B ) B De nição (i) Às seguintes operações que se podem aplicar às equações de um sistema de equações lineares, chamam-se operações elementares (a) Trocar a posição de duas equações do sistema; (b) Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero; (c) Substituição de uma equação pela sua soma com um múltiplo escalar de outra equação (ii) Dois sistemas de equações lineares que se obtêm um do outro através de um número nito de operações elementares, dizem-se equivalentes Observação (i) Dois sistemas de equações lineares que se obtêm um do outro através de um número nito de operações elementares, têm o mesmo conjunto solução (ii) Quando aplicamos operações elementares às equações de um sistema de equações lineares, só os coe cientes e os termos independentes do sistema são alterados Logo, aplicar as operações elementares anteriores às equações de um sistema linear () equivale a aplicar às linhas da matriz aumentada as seguintes operações [A j B] a a a n j b a a a n j b a m a m a mn j b m

14 De nição As operações elementares que podem ser aplicadas às linhas (i e j) de uma matriz são: (i) Trocar a posição de duas linhas (i e j) da matriz: L i $ L j (ii) Multiplicar uma linha (i) da matriz por um escalar () diferente de zero: L i! L i (iii) Substituição de uma linha (j) pela sua soma com um múltiplo escalar () de outra linha (i): L i + L j! L j Teorema Se dois sistemas lineares AX B e CX D são tais que a matriz aumentada [C j D] é obtida de [A j B] através de uma ou mais operações elementares, então os dois sistemas são equivalentes De nição Uma matriz A (a ij ) mn diz-se em escada de linhas se: (i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) estão por baixo das linhas não nulas; (ii) Por baixo (e na mesma coluna) do primeiro elemento não nulo de cada linha e por baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas Esse primeiro elemento não nulo de cada linha tem o nome de pivot Exemplo 9 As seguintes matrizes estão em escada de linhas: A ; A ; A p De nição O método de resolver sistemas lineares que consiste em aplicar operações elementares às linhas da matriz aumentada do respectivo sistema de modo a que essa matriz que em escada de linhas, chama-se método de eliminação de Gauss Exemplo O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y e z 8 < : x + z x + y + z y + z é equivalente a x y z Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: j j j j! j! j L j +L!L j L +L!L j

15 Logo, 8 < : x + z y + z z 8 < x, y : z Neste exemplo o sistema tem a solução única f(; ; )g e diz-se possível e determinado 8 < : Exemplo O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y; z e w x z 9w 9 x + y z + w é equivalente a y z x + y z + w w Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: 9 j j j! 8 j 9! L $L j L 9 j +L!L! L +L!L L!L j j 9 j! L +L!L j j j Logo, x + y z + w z + w x y w, z w + As incógnitas y e w são livres e as incógnitas x e z são não livres A solução geral do sistema é: 9 8> s t < s > t + >: : s; t R >; t isto é, o conjunto solução é dado por: f( s t ; s; t + ; t) : s; t Rg Neste exemplo o sistema tem in nitas soluções e diz-se possível e indeterminado Exemplo Seja a R O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y e z 8 < x + y + z x x + y z é equivalente a y : x + y + (a ) z a a z a Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: j j j! j! a L j a +L!L L +L!L a L j a +L!L

16 ! L +L!L j j (a ) (a + ) j a Se a, então o sistema é possível e indeterminado: x + y + z y z, x z + y z +, a incógnita z é livre, as incógnitas x e y são não livres e a solução geral do sistema é 8 9 < t + t + : t R : ; t isto é, o conjunto solução é dado por: f(t + ; t + ; t) : t Rg Assim, se a, o sistema tem in nitas soluções e diz-se possível e indeterminado Se a, o sistema não tem solução e diz-se impossível Se a e a, o sistema tem a solução única a+ ; a ; a+ a+ a+ e diz-se possível e determinado Observação (Como inverter matrizes invertíveis do tipo n n) Seja A uma matriz do tipo n n e consideremos a equação AX B Se A fôr invertível temos AX B, X A B, isto é, AX IB, IX A B Assim, para determinar a inversa de A, iremos transformar a matriz aumentada [A j I] na matriz [I j A ], por meio de operações elementares aplicadas às linhas de [A j I]: [A j I]! I j A ::: Este método tem o nome de método de eliminação de Gauss-Jordan e consistirá na continuação do método de eliminação de Gauss agora aplicado a [matriz triangular superior j ], efectuando-se as eliminações de baixo para cima de modo a obter-se [I j A ] Exemplo Vejamos que! L +L!L j j! L +L!L j j : Tem-se j j! L!L L!L j! L +L!L j Isto é De facto I

17 Exemplo (i) Seja A Logo, [A j I] Veri que(!) que: AA I (ii) Seja A Tem-se j j! ::: j 9 8 [A j I] Logo, A não é invertível Tem-se 9 8 j j j! ::: j j j : j j j (iii) Sejam A B 8 C 8 Determine-se X tal que A I X T B C: Tem-se A I X T B C, I X T A CB, I X T A CB,, X T I B C A, X I A T C T B T,, X 8 8!, X : De nição 8 (Ver-se-á mais adiante a consistência desta de nição) Seja A uma matriz em escada de linhas Ao n o de colunas de A que não contêm pivots chama-se nulidade de A e escreve-se nul A Ao n o de pivots de A, isto é, ao n o de linhas não nulas de A, dá-se o nome de característica de A e escreve-se car A Se A fôr a matriz em escada de linhas obtida de C através de operações elementares então diz-se que a característica de C é car A, tendo-se car C car A e diz-se que a nulidade de C é nul A, tendo-se nul C nul A

18 Exemplo Considere-se as matrizes do exemplo 9 Pivot de A : Pivots de A : ; Pivots de A : ; ; Tem-se: car A, car A e car A Além disso: nul A, nul A e nul A De nição 9 Uma matriz A (a ij ) nn diz-se não singular se após o método de eliminação de Gauss esta fôr transformada numa matriz triangular superior cujas entradas da diagonal principal sejam todas não nulas Uma matriz A (a ij ) nn diz-se singular se após o método de eliminação de Gauss existir (pelo menos) uma linha nula na matriz obtida de A Teorema Seja A (a ij ) nn Tem-se isto é, A é invertível, A é não singular, car A n,, para todo o B o sistema AX B tem uma única solução (X A B), A não é invertível, A é singular, car A < n,, existe pelo menos um B para o qual o sistema AX B não tem solução Observação 8 Seja [A j B] a matriz aumentada associada a um sistema de equações lineares com n incógnitas (i) Se car A car [A j B] n então o sistema é possível e determinado (tem uma única solução) (ii) Se car A car [A j B] < n então o sistema é possível e indeterminado (tem um n o in nito de soluções) (iii) Se car A < car [A j B] então o sistema é impossível (não tem solução) (iv) As incógnitas livres (podem tomar valores arbitrários) do sistema são aquelas que correspondem às colunas, que não contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A através de operações elementares (v) As incógnitas não livres do sistema são aquelas que correspondem às colunas, que contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A através de operações elementares (vi) car A n o de linhas não nulas da matriz em escada de linhas obtida de A n o de pivots n o de incógnitas não livres: nul A n o de incógnitas livres: (vii) Seja A uma matriz do tipo m n Então car A min fm; ng e car A + nul A n: 8

19 De nição Uma matriz elementar é uma matriz do tipo n n obtida da matriz identidade I (do tipo n n) através de uma única operação elementar (i) A matriz P ij, chamada matriz de permutação, é a matriz elementar obtida por troca da linha i com a linha j da matriz I Tem-se: P ij i j (ii) A matriz E i () é a matriz elementar obtida da matriz I através do produto do escalar pela linha i da matriz I Tem-se: E i () i (iii) A matriz E ij () é a matriz elementar obtida da matriz I por soma da linha j com um múltiplo escalar da linha i Por exemplo para i < j tem-se: E ij () i j 9

20 Observação 9 (i) As matrizes elementares E ij (), com i < j, são matrizes triangulares inferiores (ii) As matrizes elementares E ij () e E ik () comutam, isto é, E ij ()E ik () E ik ()E ij () Exemplo Sejam ; escalares com As matrizes elementares do tipo são: P P, E (), E (), E () e E () Teorema Sejam E uma matriz elementar do tipo m m e A uma matriz qualquer do tipo m n Então, EA é a matriz obtida de A através da mesma operação elementar que originou E Isto é, aplicar uma operação elementar a uma matriz corresponde a multiplicar essa matriz à esquerda por uma matriz elementar Exemplo Considere-se a matriz aumentada A operação elementar: 9 j j! L $L j corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): 9 j j j A operação elementar: j j! 9 j L!L corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): j j 9 j A operação elementar: j 8 j 9! L 9 j +L!L 9 j j j j j 9 j, j j 9 j j 8 j 9 9 j, j 8 j 9 9 j j j 9 j,

21 corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): j 8 j 9 9 j Finalmente, a operação elementar: j j! L 9 j +L!L corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): j j 9 j Tem-se então: E () E ( ) E P j j 9 j j j j 9 j j j, j j j j j j Teorema Toda a matriz elementar é invertível e a respectiva inversa é também uma matriz elementar Tem-se: (i) (P ij ) P ij (ii) (E i ()) E i (), para (iii) (E ij ()) E ij ( ) Teorema Uma matriz A é invertível se e só se fôr igual ao produto de matrizes elementares Observação O teorema anterior indica um modo alternativo para calcular a matriz inversa de uma matriz invertível Teorema (Factorização triangular) Duas consequências do método de eliminação de Gauss: (i) Seja A uma matriz do tipo m n Então ou A admite a factorização A LU ou existe uma matriz de permutação P tal que P A admite a factorização P A LU, onde L é uma matriz triangular inferior com as entradas da diagonal principal todas iguais a e U é uma matriz em escada (ii) Seja A uma matriz não singular do tipo n n Então ou A admite a factorização única A LU ou existe uma matriz de permutação P tal que P A admite a factorização única P A LU, onde L é uma matriz triangular inferior com as entradas da diagonal principal todas iguais a e U é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal

22 principal são os pivots que resultam de aplicar o método de eliminação de Gauss à matriz A Logo, Exemplo 8 Seja A Isto é, com Logo Isto é, com Tem-se: E ()E ( )E ( )A A (E ( )) (E ( )) (E ()) A E ()E ()E ( ) L E ()E ()E ( ) Exemplo 9 Seja A 8 E ( ) P A, ou ainda, A LU, e U Tem-se P A P A (E ( )) P A E () P P, L E () , ou ainda, P A LU, e U e 8 :

23 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Veri que que: 9 (i) (ii) I (iv) + (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) a (xi) c T b d A a coluna de T p d b (se ad bc ) ad bc c a 9 é 9 cos sen (xiii) é ortogonal ( R) Isto é, sen cos (iii) I p 9 p + T T cos sen cos sen cos sen cos sen I sen cos sen cos sen cos sen cos p p p p p (xiv) é ortogonal (xv) i i é unitária Isto é, (xvi) p p i i i i p i i i i i i i i i i H é uma matriz normal Isto é, i i i H i i i i i i i i i H i i i H i i i (xvii) As constantes a; b e c que de nem a função y ax + bx + c cujo grá co passa pelos pontos (x ; y ) ; (x ; y ) e (x ; y ) (de abcissas distintas entre si), constituem a a x x j y solução b do sistema linear cuja matriz aumentada é dada por: x x j y c x x j y i I

24 Efectue, sempre que possível, as seguintes operações (i) (ii) + (iii) (iv) (v) p (vii) p T A (ix) (x) T T (xi) 8 9 p (vi) p C A T T Pretende-se arrumar livros em caixas Ao colocar livros em cada caixa, ca um livro de fora Ao colocar 8 livros por caixa, há uma caixa que só tem livro Quantos livros se pretende arrumar? Quantas caixas existem? C Celsius, F Fahrenheit A partir do ponto de congelação (C; F ) (; ) e do ponto de ebulição (C; F ) (; ), deduza a equação linear F 9 C + : Veri que que o único valor comum a ambas as escalas é Escreva a matriz A (a ij ) M (R) em cada um dos seguintes casos: 8 < se i > j a) a ij j ( ) i+j b) a ij : caso contrário, i+j 8 i se i j 8 >< < a ji para todo i; j c) j se j i + d) a ij : j se j > i >: i j caso contrário, Veri que se a matriz (a ij ) M (R) de nida por a ij i + j, para todo i; j ;, é simétrica Determine as características e as nulidades das seguintes matrizes reais, identi cando os respectivos pivots (i) (ii) (iii) (iv) 8 9

25 (v) (viii) (vi) (ix) (x) (vii) 8 Quais das seguintes equações são equações lineares em x; y e z? 8 8 (a) x + p y + z (b) x + z (c) x + y z (d) x yz 9 Diga qual dos seguintes pontos: (; ) ; (; ) ; (; ) ; ( ; ) é a solução do seguinte sistema de equações lineares nas variáveis x; y 8 < : x + y x y x y Diga quais dos seguintes pontos: (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; ; 9; ; são soluções do sistema de equações lineares nas variáveis x; y; z e w x y z x + y + z p (i) Determine os coe cientes a; b; c e d da função polinomial p(x) ax + bx + cx + d, cujo grá co passa pelos pontos P (; ); P (; ); P (; ) e P (; ) (ii) Determine os coe cientes a; b e c da equação da circunferência x + y + ax + by + c ; que passa pelos pontos P ( ; ); P ( ; ) e P (; ) Seja R Em função do parâmetro, calcule a característica e a nulidade das seguintes matrizes Em cada alínea, indique ainda (se existirem), justi cando, os valores de para os quais essas matrizes são invertíveis: (i) (iv) (ii) (v) (iii) (vi) + Determine valores para x; y; z e w de modo a que nas reacções químicas seguintes os elementos químicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equação (a) xc H 8 + yo! zco + wh O (b) xco +yh O! zc H O + wo

26 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares x + y x + y (a) (b) x + y x + y 8 8 < x + y z < (d) x y + z (e) : : x y z 8 < (f) : 8 < (h) : 8 >< (j) >: (a) x + y + z x + y + 8z x + y + z x + y z + w x + y + z + w 9 x + y z + 8w x + x x x + 9x x + x x + x x + x x 8 < (g) : 8 < (i) : (c) x + y z x y + z x y + z x + y x y x + y x y x + y x + y + z w x y + z + w x + y + z w 8 < x y + z w (k) x y + z + w : x + y 9z + w Discuta em função do parâmetro real os seguintes sistemas de equações lineares (nas variáveis x; y e z) Nos casos em que existirem soluções, determine-as 8 8 < < : 8 < (d) : x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z x + y + z (b) x + y + z x + y + 8z (c) : 8 < x + y + z (e) x + y z : x + y + z + x + y + z x + y + z x + y z Discuta os seguintes sistemas de equações lineares em termos dos parâmetros reais e Nos casos em que existirem soluções, determine-as 8 8 z + w 8 < x + y + z >< < x + y z + w x + y + z + w (a) x + y z (b) (c) x y + z + w : x + y + z + w : x + y + z >: x y + z + ( + ) w x + y + z + w Diga para que valores de a; b e c têm soluções os sistemas 8 8 < x + y z a < x y + z a (a) x y + z b (b) x + y z b : : x y + 8z c x + y + z c 8 Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja: (a) S f( + t; t) : t Rg (b) S f(t; t; ) : t Rg (c) S f(t; t; t) : t Rg (d) S f(t s; t + s ; s t + ) : s; t Rg (e) S f(t s; t + s ; s + ; t ) : s; t Rg (f) S f( s; s t; s; t ) : s; t Rg (g) S?

27 9 Determine todas as matrizes reais que comutam com a matriz Existem matrizes só com e nas respectivas entradas Quantas são invertíveis? Seja A M nn (R) tal que A + A + I :Veri que que A é invertível e determine a sua inversa Sejam A; B; X M nn (R) matrizes invertíveis tais que (AB) Em cada 9 um dos seguintes casos, determine a matriz X que satisfaz a equação (i) AXB + AB (ii) BXA A B Determine A M (R) tal que I (A ) T Determine (se existirem) as inversas das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) [] (iv) (v) (vi) (vii) 8 9 (viii) (xi) (xiii) k k k k 8 (ix) 8, com k (xii) 8 (i) Seja A M nn (R) tal que para algum k Nn fg Veri que que cos (x) sen A k k k k k (xiv) : sen cos, com k ; k ; k ; k (ii) Calcule (I A) I + A + ::: + A k :

28 Seja A (i) Veri que que A (ii) Calcule (I A) (I + A + A ) : Para cada parâmetro real, considere o sistema de equações lineares de variáveis reais cuja matriz aumentada é dada por: j j j a) Discuta em termos de a existência ou não de solução do sistema de equações lineares anterior b) Para, determine o conjunto solução do sistema de equações lineares correspondente 8 Seja A ; +, com ; R: + + (a) Determine a característica e a nulidade de A ; em função de e (b) Determine os valores dos parâmetros e para os quais A ; é invertível 9 Seja A 8, com R (a) Determine a característica e a nulidade de A em função do parâmetro e diga, justi cando, quais são os valores de para os quais A é invertível (b) Para ; determine a inversa da matriz A a Seja B a;b a a b, com a; b R: (a) Determine a característica e a nulidade de B a;b em função de a e b (b) Para a e b calcule a matriz inversa da matriz B ;, isto é, (B ; ) (c) Determine a solução geral do sistema linear B ; X C, C T (d) Para b, determine a solução geral do sistema linear B a; X D, em que D é o simétrico da a coluna de B a; 8

29 a Ficha de exercícios facultativos Sendo A; B; C matrizes de tipos apropriados, mostre que: (i) (AB) C A (BC) (ii) A (B + C) AB + AC (iii) (AB) T B T A T Sendo A uma matriz do tipo m n, mostre que se A T A então A Sendo A, determine todos os u tais que Au u Obtenha, por indução, uma fórmula para A n onde A é dada por: (i) (ii) (iii) (iv) (v) cos sen sen ( R) cos Mostre que se AB A e BA B então A A e B B Sendo A uma matriz ortogonal, isto é, tal que AA T A T A I, mostre que cos sen cos sen A ou A ; ( R): sen cos sen cos Diga de que tipos deverão ser as matrizes A e B de modo a poderem ser efectuados os seguintes produtos e desenvolva esses mesmos produtos (i) (A + B)(A B) (ii) (AB) (iii) (A + B) 8 (i) Veri que que as matrizes A e B não satisfazem a relação: AB ) A ou B O que pode concluir? E no caso de A ser invertível, o que concluiria acerca da veracidade da relação anterior? (ii) Veri que que as matrizes A, B e C não satisfazem a relação: AB AC ) B C O que pode concluir? E no caso de A ser invertível, o que concluiria acerca da veracidade da relação anterior? 9 Sejam A uma matriz do tipo n n e B uma matriz do tipo m n quaisquer (i) Prove que se A é simétrica (isto é A A T ) então BAB T tambem é simétrica (ii) Prove que se A é normal (isto é A H A AA H ) e B é unitária então BAB H é normal (iii) Prove que B T B e BB T são matrizes simétricas e que B H B e BB H são matrizes hermitianas 9

30 Uma matriz A do tipo n n diz-se anti-simétrica se A T A Mostre que: (i) Os elementos da diagonal principal de uma qualquer matriz anti-simétrica são todos nulos (ii) Para qualquer matriz A do tipo n n, a matriz A A T é anti-simétrica (iii) Escrevendo A (A + AT ) + (A AT ), toda a matriz quadrada pode ser decomposta de modo único pela soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica a b Veri que que todas as matrizes X que satisfazem a equação X c d I são: I; c b ; Observe assim que a equação matricial X I tem um número in nito de soluções em contraste com a equação escalar x que tem apenas duas soluções ( e ) Mostre que: ; a a b fx M (R) : XA AX; para todo o A M (R)g b a : R Isto é, as matrizes que comutam com todas as matrizes são múltiplos escalares da matriz I Sendo A uma matriz do tipo m n, seja N (A) fx : AX g Mostre que: (i) Sendo A e B matrizes de tipos apropriados, então N (B) N (AB) (ii) Sendo A M mn (R), tem-se N A T A N (A) : (iii) Sendo A e B matrizes do tipo m n com m < n tais que AB T é invertível, então B T A não é invertível Além disso, nenhuma linha de B pertence a N (A) (iv) Sendo A M mn (R) tal que para todo o B R m ; o sistema AX B é possível, então N A T fg Sejam A; B M nn (R) tais que que Au Bu para qualquer u M n (R) Prove que A B Sejam A; B matrizes não nulas do tipo n Determine a característica de AB T Justi que Sendo A uma matriz do tipo m n tal que car A m, mostre que existe B do tipo n m tal que AB I Duas matrizes A e B do tipo n n dizem-se semelhantes se existir S invertível tal que A SBS Mostre que: (i) Sendo A ou B invertíveis então AB e BA são semelhantes (ii) Sendo A e B semelhantes então X N (A) se e só se S X N (B)

31 8 Seja A uma matriz quadrada (do tipo n n) Mostre que: (i) Se A fôr invertível então A tambem é invertível e (A ) A (ii) Se A fôr invertível então A T tambem é invertível e (A T ) (A ) T (iii) Se A fôr invertível e simétrica então A tambem é simétrica 9 Sejam A e B matrizes do tipo n n Mostre que: (i) Se A; B forem invertíveis então A + B não é necessariamente invertível (ii) Se A; B e A + B forem invertíveis então A + B é invertível e (A + B ) A(A + B) B B(A + B) A Sugestão: comece por veri car que I + B A B (A + B) e I + A B A (A + B): Seja A do tipo n n tal que A A (A diz-se idempotente) Mostre que: (i) I A é idempotente (ii) A I é invertível e (A I) A I Além disso, se A fôr simétrica então A I é uma matriz ortogonal (iii) Se car A n, então A I Uma matriz B (do tipo n n) diz-se idempotente se B B Mostre que A I, (I + A) é idempotente Sendo A (a ij ) uma matriz invertível e B (b ij ) a inversa da A, mostre, para k, a matriz (k i j a ij ) é invertível e a sua inversa é (k i j b ij ) a b Seja A uma matriz do tipo Mostre que A é invertível se e só se c d ad bc No caso de A ser invertível, utilize o método de eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa de A Que condições devem ser veri cadas para que a seguinte matriz diagonal do tipo n n k k D k n seja invertível? Qual é a sua inversa?

32 Para matrizes quadradas A (a ij ) nn de ne-se o traço de A, tr(a), como sendo a soma de todas as entradas da diagonal principal de A, isto é, tr(a) nx a ii : i Sejam A (a ij ) nn e B (b ij ) nn duas matrizes do tipo n n e um escalar Mostre que (i) (ii) (iii) (iv) tr(a + B) tr(a) + tr(b); tr(a) tr(a); tr(a T ) tr(a); tr(ab) tr(ba): Esta última igualdade continua a ser verdadeira se A (a ij ) mn e B (b ij ) nm Para cada matriz A do tipo n n, veri que que não existe X do tipo n n tal que AX XA I Sejam A e B matrizes do tipo nn tais que A é simétrica e B é anti-simétrica Mostre que tr(ab) : 8 Seja A M mn (R) Mostre que tr(a T A) se e só se A 9 Sejam u; v M n (R) tais que u T v Seja Veri que que A é invertível e que A I + uv T Além disso veri que que A I + u T v uvt u T v tr uv T

33 Determinantes De nição Dados os números naturais ; ; :::; n chama-se permutação desses n números a qualquer lista em que os mesmos sejam apresentados por ordem arbitrária De nição Seja (i i :::i n ) uma permutação dos números naturais ; ; :::; n Diz- -se que um par (i j i k ) é uma inversão quando (j k) (i j i k ) < (isto é, quando i j e i k aparecerem na permutação por ordem decrescente) De nição Uma permutação (i i :::i n ) diz-se par (ímpar) quando o n o máximo de inversões incluídas fôr par (ímpar) Exemplo A permutação () é ímpar pois o n o máximo de inversões nela incluídas é ímpar: (); () e () De nição Seja A uma matriz do tipo n n Chama-se determinante de A, e escreve-se jaj ou det A, o número que se obtém do seguinte modo: (i) Formam-se todos os produtos possíveis de n factores em que intervenha um elemento de cada linha e, simultaneamente, um elemento de cada coluna de A (ii) Afecta-se cada produto do sinal + ou do sinal conforme as permutações (dos números naturais ; ; :::; n) que guram nos índices de linha e de coluna tenham a mesma paridade ou não (iii) Somam-se as parcelas obtidas Em resumo: xando, por exemplo, a permutação (i i :::i n ) de ; ; :::; n X jaj ( ) a i j a i j :::a injn, em que (j j :::j n) permutação de ;;:::;n 8 < se (i i :::i n ) e (j j :::j n ) têm a mesma paridade : se (i i :::i n ) e (j j :::j n ) têm paridade diferente Observação Pode ainda escrever-se jaj X (j j :::j n) permutação de ;;:::;n 8 < ( ) a j a j :::a njn, em que : se (j j :::j n ) é par se (j j :::j n ) é ímpar

34 ou jaj X (i i :::i n) permutação de ;;:::;n 8 < ( ) a i a i :::a inn, em que : se (i i :::i n ) é par se (i i :::i n ) é ímpar De nição Seja A (a ij ) nn O traço de A, tr(a), é a soma de todas as entradas da diagonal principal de A, isto é, nx tr(a) a ii : Teorema Sejam A (a ij ) nn e B (b ij ) nn duas matrizes do tipo n n e um escalar Tem-se i (i) (ii) (iii) (iv) tr(a + B) tr(a) + tr(b); tr(a) tr(a); tr(a T ) tr(a); tr(ab) tr(ba): Teorema (i) Se A é do tipo, então jaj a a a a a a a a (ii) Se A é do tipo, então jaj a a a a a a a a a Só no caso (tr A) tr A : a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a Observação (i) Se A é uma matriz do tipo n n então jaj tem n! parcelas (ii) O determinante de cada um dos três tipos de matrizes elementares é dado por det P ij ; det E i () ; det E ij () :

35 Exemplo (i) (ii) ( ) ( ) : ( )( ) ( ) ( ) : De nição Seja A (a ij ) uma matriz do tipo n n, com n > Seja A ij a matriz do tipo (n )(n ) que se obtem de A suprimindo a linha i e a coluna j de A Chama-se a A ij o menor-ij da matriz A Teorema 8 (Fórmula de Laplace) Seja A uma matriz do tipo n n, com n > Tem-se nx det A a ij ( ) i+j det A ij, com i f; :::; ng xo: j Observação Seja A uma matriz do tipo n n, com n > Tem-se det A nx a ij ( ) i+j det A ij, com j f; :::; ng xo: i Exemplo ( )( ) + + ( )( )+ ( )( ) + ( ) + ( ) ( ) ( )( ) ( ) + [( ) ( )] 8 Teorema 9 Sejam A e B matrizes do tipo n n Seja um escalar (i) det A T det A (ii) Se A fôr uma matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior então o determinante de A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de A (iii) Se A tiver uma linha (ou coluna) nula então det A (iv) Se B fôr obtida de A trocando duas linhas (ou colunas) de A então det B det A

36 (v) Se B fôr obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por um escalar então det B det A (vi) Se duas linhas (ou colunas) de A forem iguais então det A (vii) Se B fôr obtida de A somando a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo escalar de uma outra linha (ou coluna) de A então det B det A (viii) det A se e só se A é invertível (ix) det (A) n det A (x) det (EA) det E det A, em que E é uma matriz elementar (P ij ; E i () ou E ij ()) (xi) det (AB) det A det B (xii) det (A A :::A l ) det A det A ::: det A l, em que A ; A ; :::; A l são l (l N) matrizes do tipo n n (xiii) Se A fôr invertível det (A ) det A (xiv) det (AB) ) det A ou det B (xv) det (AB) det (BA) Exemplo Observação Sendo A e B matrizes do tipo n n, em geral: ja + Bj jaj + jbj e ja Bj jaj jbj Por exemplo, se n é par, A I e B I, tem-se ja + Bj n é par + ( ) n jaj + jbj :

37 De nição Seja A (a ij ) uma matriz do tipo n n, com n > Seja a ij ( ) i+j det A ij onde A ij é o menor-ij da matriz A Chama-se a a ij o cofactor-ij da matriz A e à matriz cof A (a ij) do tipo n n, com n >, a matriz dos cofactores de A Teorema Para qualquer matriz A do tipo n n, com n >, tem-se Se det A então A é invertível e A (cof A) T (cof A) T A (det A) I A det A (cof A)T det A ( )j+i det A ji C A {z } entrada (i;j) de A nn a Exemplo (i) Seja A c Note que ad bc det A b tal que det A Então A é invertível e d A d b ad bc c a (ii) Podemos usar o teorema anterior para calcular não só a inversa de uma matriz (não singular) mas também (e sobretudo) entradas concretas dessa inversa Seja A 8 9 A entrada (; ) da matriz A é dada por (A ) (cof A) T det A det A ( )+ det A det 8 9 Note que apesar da entrada (; ) de A ser nula, a entrada (; ) de A não é nula (iii) Para calcular A a partir do teorema anterior, é preciso calcular (cof A) T Assim, usando por exemplo A da alínea anterior, tem-se cof A

38 pelo que e assim (cof A) T A det A (cof A)T 8 8 De facto 8 9 Teorema (Regra de Cramer) Seja A uma matriz do tipo n n tal que A é não singular Então a única solução do sistema de equações lineares AX B é dada por X A B det A (cof A)T B Isto é, sendo X x ::: x n T e B b ::: b n T tem-se, para j ; :::; n, x j det A nx a jib i i det (B j ) T det A det B j det A, onde B j é a matriz obtida de A substituindo a coluna j de A pela matriz coluna B dos termos independentes Exemplo O sistema de equações lineares 8 < y + z 8 x + y z : x z pode ser resolvido usando a regra de Cramer: x 8, y 8 8 e z 8 8

39 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Classi que quanto à paridade as seguintes permutações de números de a : (i) () (ii) () (iii) () (iv) () (v) () (vi) () (vii) () (viii) () Na expressão do determinante de uma matriz do tipo diga qual o sinal que afecta cada uma das seguintes parcelas: (i) a a a a a a (ii) a a a a a a (iii) a a a a a a (iv) a a a a a a Veri que que a (i) a a a a a a a a (ii) (iii) det a n a n a n n a n a nn a a a a a a a a a a ( n )n a n :::a n a n a a a a Calcule os seguintes determinantes e diga quais são as matrizes singulares: (i) (ii) (iii) + p p + p p (iv) cos sen sen cos (v) (vi) 8 8 (vii) (viii) (ix) (x) (xi) (xii) (xiii) 8 a b (xiv) b a (xv) (xvi) b a b a b a 9

40 (xvii) (xx) 8 9 (xviii) (xxi) 9 8 n n n n (xix) 8 p 9 (i) Veri que que a matriz a e b f c g d h não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h R (ii) Diga, para que valores de a; b; c; d; e; f; g; h; i; j R, é invertível a seguinte matriz a f b g c h d i e j Determine todos os valores do escalar para os quais a matriz A I é não invertível, onde A é dada por: (i) (ii) (iii) (iv) Indique três matrizes A do tipo tais que tr A det A nn 8 Seja A ; com R a) Diga, justi cando, quais são os valores de para os quais A é invertível b) Seja n N Calcule det (A ) n + (A ) n+ c) Considerando os valores de para os quais A é invertível, calcule a entrada (; ) da matriz inversa de A

41 9 Use a fórmula de inversão de matrizes para inverter: (i) (ii) (iii) Sejam A 9 B (i) Sem calcular A e B, determine as entradas (; ) de A e (; ) de B (ii) Veri que que det (A + B) det A + det B e det (A B) det A det B Use a regra de Cramer para calcular as soluções dos sistemas: 8 < x + y x + y (i) (ii) x + z x + y : x + y + z Sejam C e D 9 8 Veri que que C e D são invertíveis e calcule: (i) det (C ) (ii) det C (C) (iii) det C T C (iv) det C T C (v) det (C + D) (vi) det C T D D T C Sugestão: Sejam m N, escalar, A; B e S matrizes n n com S invertível, tem-se (a) det (AB) (det A) (det B) (b) det (B) n det B (c) det A T det A (d) det (A ) det A (e) (B) T B T (f) S m (S ) m Sejam A e B matrizes tais que det A p e det B Calcule det(at B ) a b c Sejam a; b; c; d; e; f R Sabendo que d e f g h i ; calcule: x y z d e f a b c a + d b + e c + f (i) g h i (ii) d e f (iii) d e f a b c g h i g h i i h g a g d (iv) f c e b d a (v) b h e c b a c i f

42 a b c Sejam a; b; c R Sabendo que ; calcule: a b c a b c (i) (ii) a + b + c a + b + c + a b c (iii) (iv) a + b + c + Sejam ; R Sabendo que ; calcule Seja R Veri que que Seja R Calcule o determinante da seguinte matriz do tipo n n Sejam e A (a ij ) nn Mostre que det A det i j a ij Que condições devem os parâmetros reais a; b e c veri car para que a matriz seja invertível? a a b b c c Veri que que (i) det x y y (y x ) (y x ) x x y (x ) (x ) x (ii) det (x ) (x ) x (x ) (x ) x (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x ) (x ) x

43 Mostre que: b + c c + a b + a (i) a b c (ii) b + c b + c b + c c + a c + a c + a a + b a + b a + b a b c a b c a b c a + b a b c (iii) a + b a b c a + b a b c a b c a b c a b c a b a + b + c (iv) a b a + b + c a b a + b + c a b c a b c a b c Veri que que a + b c + d a + b c + d a c a c + a c b d + b d a c + b d b d : Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x e x se tem x x Sem calcular o determinante, diga qual o coe ciente de x na expressão x x x x 9 8 x Resolva as seguintes equações x (i) (ii) x x x x x x x x x x x x x (iii) x x x x Sabendo que ; e 8 são múltiplos de, justi que que 8 é também múltiplo de, sem calcular o determinante 8 8 Sem calcular o determinante, veri que que é múltiplo de 9 Seja A (a ij ) nn com n ímpar e tal que a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n: Mostre que A não é invertível Isto é, toda a matriz anti-simétrica de ordem ímpar não é invertível Mostre que se uma matriz fôr ortogonal então o seu determinante ou é ou é E se a matriz fôr unitária?

44 Espaços lineares (ou Espaços vectoriais) De nição 8 Um conjunto não vazio V é um espaço linear (real) se existirem duas operações associadas a V, uma soma de elementos de V e um produto de escalares (números reais) por elementos de V, com as seguintes propriedades: (a) (Fecho da soma) Para quaisquer u; v V u + v V: (b) (Fecho do produto por escalares) Para quaisquer R e u V u V: (c) (Comutatividade da soma) Para quaisquer u; v V, u + v v + u: (d) (Associatividade da soma) Para quaisquer u; v; w V, u + (v + w) (u + v) + w: (e) (Elemento neutro da soma) Existe um elemento de V designado por tal que, para qualquer u V, u + u: (f) (Simétrico) Para cada (qualquer) u V existe v V tal que u + v : A v chama-se o simétrico de u e denota-se por u (g) (Associatividade do produto por escalares) Para quaisquer ; R e u V, (u) () u: (h) (Distributividade em relação à soma de vectores) Para quaisquer R e u; v V, (u + v) u + v: (i) (Distributividade em relação à soma de escalares) Para quaisquer ; R e u V, ( + ) u u + u: (j) Para qualquer u V, u u:

45 Observação Aos elementos de V chamaremos vectores Exemplo Exemplos de espaços lineares Seja R (i) R n f(x ; :::; x n ) : x ; :::; x n Rg, com as operações usuais: (u ; :::; u n ) + (v ; :::; v n ) (u + v ; :::; u n + v n ), (u ; :::; u n ) (u ; :::; u n ) (ii) M mn (R) (conjunto de todas as matrizes reais do tipo m n), com as operações (usuais): A + B e A (iii) O conjunto de todas as funções reais de variável real de nidas num conjunto S R, com as operações usuais: (f + g)(x) f(x) + g(x), (f)(x) f(x) (iv) O conjunto P fa + a t + ::: + a s t s : a ; a ; :::; a s R e s N g de todos os polinómios reais de variável real, com as operações usuais (v) Seja n N xo O conjunto P n fa + a t + ::: + a n t n : a ; a ; :::; a n Rg de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais (a + a t + ::: + a n t n ) + (b + b t + ::: + b n t n ) a + b + (a + b ) t + ::: + (a n + b n ) t n (a + a t + ::: + a n t n ) a + (a ) t + ::: + (a n ) t n Observação Existem espaços lineares com operações não usuais: (i) O conjunto dos números reais R, com a soma de nida por u v u + v +, e o produto por escalares de nido por u u +, é um espaço linear (Neste caso o elemento neutro é ) (ii) O conjunto dos números reais maiores do que zero, com a soma de nida por u v uv, e o produto por escalares de nido por u u, é um espaço linear (Neste caso o elemento neutro é )

46 Observação Alterações nos conjuntos considerados anteriormente podem resultar em conjuntos que não são espaços lineares (i) O conjunto f(x; y) R : x e y g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, os simétricos não estão no conjunto (ii) O conjunto V fa + a t + ::: + a n t n : a ; a ; :::; a n R e a n g de todos os polinómios reais de grau igual a n, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, para n > : t n ; t n + t V, mas t n + ( t n + t) t V (iii) O conjunto U ff : R! R tais que f() g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, se f ; f U, Logo, f + f U (f + f ) () f () + f () + De nição 9 Seja V um espaço linear Diz-se que S é um subespaço de V se S é um subconjunto de V e se S, com as operações de V, fôr um espaço linear Observação 8 No entanto, para mostrar que um certo conjunto S V é um subespaço do espaço linear V, não será necessário veri car as propriedades da de nição de espaço linear, como se pode ver no seguinte teorema Teorema Um subconjunto não vazio S de um espaço linear V é um subespaço de V se e só se: (i) Para quaisquer u; v S tem-se u + v S (ii) Para quaisquer R e u S tem-se u S Exemplo Exemplos de subespaços: (i) Os únicos subespaços do espaço linear R, com as operações usuais, são fg e R (ii) Os subespaços do espaço linear R, com as operações usuais, são: f(; ; )g, R, todas as rectas que passam pela origem e todos os planos que passam pela origem (iii) O conjunto de todas as matrizes (reais) triangulares superiores (do tipo n n) é um subespaço do espaço linear M nn (R), com as operações usuais (iv) O conjunto de todas as funções reais de nidas e contínuas em I R (I é um intervalo) é um subespaço do espaço linear de todas as funções f : I! R, com as operações usuais

47 (v) Seja A uma matriz (real) do tipo m n O conjunto C(A) fb R m : Au b tem pelo menos uma solução ug é um subespaço do espaço linear R m, com as operações usuais, ao qual se dá o nome de espaço das colunas de A (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m n O conjunto N (A) fu R n : Au g é um subespaço do espaço linear R n, com as operações usuais, ao qual se dá o nome de espaço nulo ou núcleo de A Observação 9 (i) Se A é invertível então N (A) fg (ii) Se N (A) fg então A é invertível De nição Seja S um subconjunto não vazio de um espaço linear V Diz-se que um vector u é combinação linear nita dos elementos de S, se existir um n o nito de elementos de S, u ; :::; u k, e de escalares ; :::; k tais que u u + ::: + k u k kx i u i i Ao conjunto de todas as combinações lineares nitas de elementos de S chama-se expansão linear de S e designa-se por L(S) Isto é, L(S) f u + ::: + k u k : ; :::; k Rg, no caso do corpo dos escalares ser R Se S é o conjunto vazio?, escreve-se L(?) fg Teorema Seja S um subconjunto não vazio de um espaço linear V A expansão linear L(S) de S é o menor subespaço de V que contém S Deste modo, a L(S) também se chama o subespaço gerado por S, e diz-se que S gera L(S) ou ainda que S é um conjunto gerador de L(S) Observação (i) Seja S e T dois subconjuntos não vazios de um espaço linear V, com S T Se L(S) V então L(T ) V (ii) Todo o subespaço do espaço linear R n pode ser escrito como o núcleo de uma matriz Exemplo 8 (i) O espaço linear R é gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: f(; ); (; )g, f(; ); ( ; )g e f(; 8); (; )g

48 (ii) O subespaço f(x; y) R : y xg do espaço linear R é gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: f(; )g, f( ; )g e f(; )g (iii) O espaço linear P n de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, é gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: f; t; t ; :::; t n g, f; + t; ( + t) ; :::; ( + t) n g e f; t! ; t tn ; :::;! n! g (iv) O espaço linear P de todos os polinómios reais de variável real, é gerado pelo conjunto in nito de vectores: f; t; t ; :::g (v) Seja U o espaço linear de todas as funções reais com primeira derivada contínua em R (isto é, pertencentes a C (R)) e tais que f (x) af (x) (em R) com a R Então U é gerado pela função g (x) e ax, tendo-se U L (fgg) (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m n O espaço das colunas de A, C(A) fb R m : Au b tem pelo menos uma solução ug, é o subespaço (do espaço linear R m ) gerado pelas colunas de A, uma vez que: b a a n u a a n u + ::: + u n b m a m a mn u n a m a mn (vii) Seja A uma matriz (real) do tipo m n Ao subespaço linear de R n gerado pelas linhas de A dá-se o nome de espaço das linhas de A e designa-se por L(A) (viii) A, B, C, D C(A) f(; )g, N (A) R, L(A) f(; ; )g C(B) L (f(; ; ) ; (; ; )g), N (B) L (f(; ; )g) ; L(B) L (f(; ; ) ; (; ; )g) C(C) L (f( ; ; )g) ; N (C) L (f(; )g) ; L(C) L (f( ; )g) : C(D) L (f(; ) ; (; )g), N (D) f(; )g; L(D) L (f(; ) ; (; )g) (ix) Seja U fa M (R) : a a a e a + a g A U, a a a A a a a a + a a a a 8 Tem-se, para,

49 com a ; a R Logo, 8 < U : ; 9 A ; (x) Seja U fp(t) a + a t + a t P : p() p()g Tem-se, para p(t) U, p() p(), a + a + a a, a + a, a a Logo, p(t) a a t + a t a + a ( t + t ), com a ; a R Assim, U L ; t + t Teorema Se U e V são subespaços do espaço linear W, então: (i) O conjunto U \ V é um subespaço linear de W (ii) O conjunto U + V fu + v : u U e v V g é um subespaço de W É o menor subespaço de W que contém U [ V O conjunto U [ V em geral não é um subespaço Escreve-se U + V L(U [ V ) Exemplo 9 (i) Em R, considere os subespaços: U f(x; y; z) R : x + y z g e V L (f(; ; ); (; ; )g) Seja v V, então v (; ; ) + (; ; ) ( + ; + ; + ), com ; R Para que v esteja também em U é preciso que: ( + ) + ( + ) ( + ) A última equação é equivalente a +, Logo, U \ V f( ; ; ) : Rg f( ; ; ) : Rg L (f(; ; )g) (ii) Em R, considere os subespaços: U L (f(; ; ); (; ; )g) e V L (f(; ; ); ( ; ; )g) Seja v U, então v (; ; ) + (; ; ) ( + ; + ; + ), com ; R Para que v esteja também em V é preciso que: ( + ; + ; + ) (; ; ) + ( ; ; ) ( ; + ; + ), 9

50 com ; R Deste modo, 8 < : + + Considerando a matriz aumentada tem-se j j j +! j L j + +L!L L +L!L j +! L +L!L j j j + Logo, 8 < + : + Assim, 8 <, : (; ; ) + (; ; ) (; ; ) + (; ; ) (; ; ) (; ; ) Logo, U \ V f(; ; ) : Rg f(; ; ) : Rg L (f(; ; )g) Observação Neste exemplo (ii), os subespaços U e V poderiam ter sido apresentados inicialmente na forma: U f(x; y; z) R : x + y z g e V f(x; y; z) R : x y + z g, uma vez que x y! L z +L!L L +L!L e logo (x; y; z) U, z x x x + y z x! L +L!L x x + y z y, x + y z Por outro lado, U f(x; y; z) R : x + y z g L (f(; ; ); (; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) pois sendo y x + z, U f(x; x+z; z) : x; z Rg fx(; ; )+z(; ; ) : x; z Rg L (f(; ; ); (; ; )g) De facto, como (; ; )) (; ; ) (; ; ) e (; ; ) (; ; ) + (; ; ) ou seja (; ; ) (; ; ) + (; ; ) e (; ; ) (; ; ) + (; ; ),

51 em que, tem-se U L (f(; ; ); (; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) Analogamente se mostra que V f(x; y; z) R : x y+z g L (f(; ; ); ( ; ; )g) L (f(; ; ); ( ; ; )g) (iii) Seja U o subespaço de M nn (R) das matrizes triangulares superiores e seja V o subespaço de M nn (R) das matrizes triangulares inferiores Então U + V M nn (R) e U \ V subespaço das matrizes diagonais (iv) Sejam U L(f(; )g) e V L(f(; )g) subespaços de R O conjunto U [ V f(x; y) R : x _ y g não é um espaço linear pois (; ) + (; ) (; ) U [ V No entanto, tem-se U + V R {z } {z } U V Teorema Se U e V subespaços do espaço linear W, então U [ V é subespaço de W se e só se U V ou V U Teorema Sejam W e W subespaços de um espaço linear V tais que W \W fg: Se V W + W então todo o vector v V pode ser escrito de modo único na forma v w + w com w W e w W Neste caso escreve-se V W W e diz-se que V é a soma directa dos espaços W e W Teorema Seja A M mn (R) Tem-se C(A) L(A T ) e L(A) \ N (A) fg Observação Seja A M mn (R) Se A fôr a matriz em escada que se obtem de A por aplicação do método de eliminação de Gauss, tem-se C(A) C(A ) Teorema 8 Seja A M mn (R) O espaço das linhas L(A) e o núcleo N (A) mantêmse invariantes por aplicação do método de eliminação de Gauss Isto é, sendo A a matriz em escada que se obtem de A por aplicação desse método, tem-se L(A) L(A ) e N (A) N (A )

52 Independência linear De nição Seja V um espaço linear Seja S fv ; :::; v k g V: Diz-se que o conjunto S é linearmente dependente se e só se algum dos vectores de S se escrever como combinação linear dos restantes, isto é, se e só se existir algum i f; :::; kg e escalares ; :::; i ; i+ ; :::; k R tais que v i v + ::: + i v i + i+ v i+ + ::: + k v k De nição Seja V um espaço linear Seja S fv ; :::; v k g V: Diz-se que o conjunto S é linearmente independente se e só se nenhum dos vectores de S se puder escrever como combinação linear dos restantes, isto é, se e só a única solução do sistema homogéneo v + ::: + k v k fôr a solução trivial, ou seja, ::: k No caso em que V R n, sendo A a matriz cujas colunas são os vectores de S V, diz-se que S é linearmente independente se e só se N (A) fg Teorema 9 Seja A uma matriz em escada de linhas (i) As colunas de A que contêm pivots são linearmente independentes (ii) As linhas não nulas de A são linearmente independentes (iii) O n o de linhas independentes e o n o de colunas independentes (de A ) são ambos iguais à característica de A Observação (i) Assim, atendendo ao teorema anterior, a independência linear de S fv ; v ; :::; v k g V (espaço linear) pode ser decidida aplicando o método de eliminação à matriz A cujas colunas são os vectores de S, de modo a colocá-la em escada de linhas Sendo A essa matriz em escada, tem-se N (A) N (A ) (*) Uma vez que as colunas de A que contêm pivots são linearmente independentes então, devido a (*), as colunas de A nas posições correspondentes também serão linearmente independentes (ii) Em R, quaisquer dois vectores são linearmente dependentes (iii) Em R, dois vectores são linearmente independentes se não forem colineares

53 (iv) Em R, três vectores são linearmente independentes se não forem coplanares (v) Qualquer conjunto que contenha o vector nulo (elemento neutro) é linearmente dependente Em particular, o conjunto fg, formado apenas pelo vector nulo, é linearmente dependente (vi) O conjunto vazio? é linearmente independente Teorema Sejam S e S dois subconjuntos nitos de um espaço linear, tais que S S (i) Se S é linearmente dependente então S também é linearmente dependente (ii) Se S é linearmente independente então S também é linearmente independente Observação Sejam S e S dois subconjuntos nitos de um espaço linear, tais que S S (i) Se S fôr linearmente dependente então S tanto pode ser linearmente dependente como linearmente independente (ii) Se S fôr linearmente independente então S tanto pode ser linearmente dependente como linearmente independente Exemplo Seja S f(; ; ); (; ; ); (; ; )g Tem-se A!! L +L!L L +L!L A : Logo, como apenas existem dois pivots e portanto uma variável livre, as três colunas de A são linearmente dependentes, isto é, o conjunto S é linearmente dependente O subconjunto de S: f(; ; ); (; ; )g também é linearmente dependente No entanto, uma vez que a a e a colunas de A são independentes pois correspondem às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, o subconjunto de S: f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente

54 Bases e dimensão de um espaço linear De nição Chama-se base de um espaço linear V a qualquer subconjunto B de V que veri que as duas condições: (i) B gera V, isto é, L(B) V (ii) B é linearmente independente Teorema Qualquer espaço linear V fg tem pelo menos uma base Observação Qualquer espaço linear V fg tem um n o in nito de bases Por exemplo, se B fu ; :::; u k g fôr uma base de V então para cada o conjunto fu ; :::; u k g é também uma base de V Teorema (i) Seja V fg um espaço linear Sejam p; q N tais que fu ; :::; u p g é um conjunto gerador de V e fv ; :::; v q g é um subconjunto de V linearmente independente Então p q (ii) Todas as bases de um espaço linear V fg têm o mesmo n o de vectores De nição Chama-se dimensão de um espaço linear V fg ao n o de vectores de uma base qualquer de V, e escreve-se dim V Se V fg então dim V uma vez que o conjunto vazio? é base de fg Um espaço linear terá dimensão nita se uma sua base tiver um n o nito de vectores Observação A dimensão de um espaço linear, isto é, o n o de elementos de uma sua base é igual ao n o mínimo de vectores possam constituir um conjunto gerador desse espaço e é também igual ao n o máximo de vectores que possam constituir um conjunto linearmente independente nesse espaço Exemplo (i) O conjunto fg é uma base de R, chamada base canónica ou natural de R Logo, dim R (ii) O conjunto f(; ); (; )g é uma base de R, chamada base canónica ou natural de R Logo, dim R (iii) O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de R, chamada base canónica ou natural de R Logo, dim R (iv) O conjunto ; ; ; ; ;

55 é uma base de M (R), chamada base canónica ou natural de M (R) Logo, (v) Tem-se dim M (R) dim R n n e dim M mn (R) mn (vi) O conjunto f; t; t ; :::; t n g é uma base de P n (espaço linear de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n), chamada base canónica ou natural de P n Logo, dim P n n + (vii) O conjunto f; t; t ; :::g é uma base de P (espaço linear de todos os polinómios reais de variável real), chamada base canónica ou natural de P Logo, dim P Observação Seja A uma matriz do tipo m n Tem-se nul A dim N (A) e car A dim L(A) Teorema Seja A uma matriz do tipo m n Tem-se dim C(A) dim L(A) car A Dem Suponhamos que car A k Sendo A a matriz m n em escada (reduzida) de linhas, então A tem exactamente k linhas não nulas Sejam R ; :::; R k essas linhas Como L(A) L(A ), então as linhas L ; :::; L m de A podem ser expressas como combinações lineares das linhas R ; :::; R k, ou seja, existem escalares c ij ; com i ; :::; m e j ; :::; k tais que L c R + ::: + c k R k ::: L m c m R + ::: + c mk R k Para i ; :::; m, sejam a ij e r ij as componentes j das linhas L i e R i respectivamente Assim, tem-se a j c r j + ::: + c k r kj ::: a mj c m r j + ::: + c mk r kj ou seja, matricialmente, Como a j a mj a j a mj r j c c m + ::: + r kj c k c mk é a coluna j de A, a última igualdade mostra que os vectores c c m ; :::; c k c mk

56 geram C (A) Logo, tem-se dim C (A) k dim L (A) Deste modo, substituindo A por A T tem-se também dim C A T dim L A T : {z } {z } dim L(A) dim C(A) Isto é, Ou seja, tem-se dim C (A) dim L (A) e dim L (A) dim C (A) dim C (A) dim L (A) Teorema Sejam W e W dois subespaços de dimensão nita de um espaço linear V Então, dim (W + W ) dim W + dim W dim (W \ W ) Teorema Sejam V um espaço linear de dimensão nita e W um subespaço de V (i) Seja S fu ; :::; u k g V Se S é linearmente independente então S será um subconjunto de uma base de V e ter-se-á dim V k (ii) Se dim V n, então quaisquer m vectores de V, com m > n, são linearmente dependentes (iii) Se dim V n, então nenhum conjunto com m vectores de V, em que m < n, pode gerar V (iv) O subespaço W tem dimensão nita e dim W dim V (v) Se dim W dim V, então W V (vi) Se dim V n, então quaisquer n vectores de V linearmente independentes constituem uma base de V V (vii) Se dim V n, então quaisquer n vectores geradores de V constituem uma base de Exemplo Seja A M mn (R) Recorde que: car A + nul A n Como L(A) e N (A) são subespaços de R n então L(A) + N (A) L (L(A) [ N (A))

57 é também um subepaço de R n Por outro lado, atendendo a que L(A) \ N (A) fg tem-se Assim, dim (L(A) \ N (A)) dim (L(A) + N (A)) dim L(A) + dim N (A) dim (L(A) \ N (A)) car A + nul A n Logo R n L(A) N (A) Exemplo (i) Os seguintes conjuntos são todos os subespaços de R: fg e R (ii) Os seguintes conjuntos são todos os subespaços de R : f(; )g, todas as rectas que contêm a origem e R (iii) Os seguintes conjuntos são todos os subespaços de R : f(; ; )g, todas as rectas que contêm a origem, todos os planos que contêm a origem e R Observação 8 O método de eliminação de Gauss permite determinar a dimensão e uma base quer para o espaço das linhas L(A) quer para o espaço das colunas C(A) de uma matriz A Seja A a matriz em escada que se obtem de A por aplicação do método de eliminação de Gauss Então, (i) Uma base para L(A) será formada pelas linhas não nulas de A (ii) Uma base para C(A) será formada pelas colunas de A que correspondem às posições das colunas de A que contêm os pivots Exemplo Seja Tem-se A A! L +L!L L +L!L! L +L!L A

58 Logo, f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de L(A) e f(; ; ); (; ; )g é uma base de C(A) Assim, dim L(A) dim C(A) e Por outro lado, L(A) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g), C(A) L (f(; ; ); (; ; )g) N (A ) 8 >< (x; y; z; w) R : A >: x y z w 9 > >; f(x; x; w; w) : x; w Rg L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Como o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente e gera N (A ) então é uma base de N (A ) Finalmente, uma vez que N (A) N (A ), o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de N (A) e portanto dim N (A), com N (A) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Exemplo Seja S f; ; ); (; ; ); ( ; ; ); (; ; )g R Determinemos uma base para L(S) Considerando a matriz cujas colunas são os vectores de S, tem-se!! L +L!L L L +L!L +L!L Logo, S f; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de L(S) Como dim R, então tem-se mesmo: L(S) R e S é uma base de R Resolução alternativa: Considerando a matriz cujas linhas são os vectores de S, tem-se! L +L!L! L $L! L +L!L L +L!L Logo, S f; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de L(S) Como dim R, então tem-se mesmo: L(S) R e S é uma base de R Exemplo Seja S a;b f; ; ); (; ; a); (; ; b); (; ; )g R Determinemos os valores dos parâmetros a e b para os quais S a;b não gere R 8

59 Considerando a matriz cujas colunas são os vectores de S, tem-se!! L a b +L!L al a b +L!L b a a Logo, S a;b não gera R se e só se b a e a, isto é, se e só se a e b Teorema (i) Seja A M mn (R) As colunas de A geram R m se e só se car A m (ii) Seja A M mn (R) car A n As colunas de A são linearmente independentes se e só se (iii) Seja A M nn (R) A matriz A é invertível se e só se as colunas de A (ou as linhas de A) formarem uma base de R n No caso de A ser invertível tem-se C(A) L(A) R n Observação 9 Seja A M mn (R) e considere o sistema de equações lineares Au b (i) O sistema Au b é impossível (não tem solução) se e só se b C(A), isto é, se e só se car A < car [A j b] (ii) O sistema Au b é possível e indeterminado (tem um n o in nito de soluções) se e só se b C(A) e as colunas de A forem linearmente dependentes, isto é, se e só se car A car [A j b] < n, isto é, se e só se car A car [A j b] e nul A (iii) O sistema Au b é possível e determinado (tem uma única solução) se e só se b C(A) e as colunas de A forem linearmente independentes, isto é, se e só se car A car [A j b] n, isto é, se e só se car A car [A j b] e nul A Observação Seja A M mn (R) e considere o sistema de equações lineares Au b (i) Existência de solução: Se m n então o sistema Au b tem pelo menos uma solução u para cada b R m se e só se car A m: (ii) Unicidade de solução: Se m n então o sistema Au b tem no máximo uma solução u para cada b R m se e só se car A n, isto é, se e só se nul A : (iii) Existência e unicidade de solução: Se m n então o sistema Au b tem solução única u para cada b R m se e só se A fôr invertível 9

60 Teorema Seja A M nn (R) As seguintes a rmações são equivalentes (i) A é não singular (ii) A é igual ao produto de matrizes elementares (iii) A é invertível (iv) A T A é invertível (v) nul A (vi) car A n (vii) Au tem apenas a solução trivial u (viii) Au b tem solução única u para cada b R n (ix) det A (x) N (A) fg (xi) As colunas de A geram R n (xii) As colunas de A são independentes (xiii) As colunas de A formam uma base de R n (xiv) As linhas de A geram R n (xv) As linhas de A são independentes (xvi) As linhas de A formam uma base de R n (xvii) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é sobrejectiva (Num próximo capítulo) (xviii) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é injectiva (Num próximo capítulo) (xix) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é bijectiva (Num próximo capítulo) (xx) A transformação linear T : R n! R n de nida por T (u) Au, para u R n, é invertível (Num próximo capítulo) (xxi) não é valor próprio de A (Num próximo capítulo) (xxii) (N (A))? R n (Num próximo capítulo) (xxiii) (L (A))? fg (Num próximo capítulo)

61 Coordenadas de um vector numa base e matriz de mudança de base De nição Seja B fv ; :::; v k g uma base ordenada de um espaço linear V e seja u um vector de V Chamam-se coordenadas do vector u na base ordenada B aos escalares ; :::; k da combinação linear: u v + ::: + k v k Teorema 8 Seja V um espaço linear (i) Um conjunto B de vectores não nulos de V é uma base de V se e só se todo o vector de V puder ser escrito de modo único como combinação linear dos vectores de B (ii) Se dim V n, então dados u; w V e B fv ; :::; v n g uma base ordenada de V, tem-se u w se e só se as coordenadas de u e de w na base B forem iguais Teorema 9 Seja V um espaço linear de dimensão n Sejam B fv ; :::; v n g e B fw ; :::; w n g duas bases ordenadas de V Seja S B!B a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vectores de B em relação à base B Isto é, S B!B (s ij ) nn com v j nx s ij w i para todo o j ; :::; n i A matriz S B!B é não singular e chama-se matriz de mudança de base (da base B para B ) Assim, se tivermos nx u i v i, i isto é, se ( ; :::; n ) forem as coordenadas do vector u na base B então as coordenadas ( ; :::; n ) de u na base B são dadas por n S B!B n Dem Tem-se u nx i w i i nx j v j j nx j j nx s ij w i i nx i! nx s ij j w i j como as coordenadas de um vector u numa base são únicas, tem-se para todo o i ; :::; n,! nx i s ij j Isto é, S B!B j n n

62 Observação Tem-se S B!B (S B!B ) : Exemplo Consideremos a base canónica de R Seja B c f(; ); (; )g B f(; ); (; )g uma outra base ordenada de R Sejam (; ) as coordenadas de um vector u na base canónica B c e determinemos as coordenadas de u na base B usando a matriz de mudança de base S Bc!B Tem-se S Bc!B, uma vez que (; ) (; ) + (; ) e (; ) (; ) (; ) (*) Logo, as coordenadas de u na base B são dadas por S Bc!B Logo, e são as coordenadas de (; ) na base ordenada B, isto é (; ) (; ) + (; ) Observação Colocando os vectores em coluna, note que as duas igualdades em (*) podem ser escritas na forma: sendo esta última igualdade equivalente a {z } 8 < (; ) (; ) + (; ), : (; ) (; ) + (; ) querendo isto dizer que as coordenadas dos vectores (; ) e (; ) relativamente à base canónica (ordenada) f(; ); (; )g são respectivamente (; ) e (; )

63 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Veri que que os seguintes subconjuntos de R, com as operações usuais, não são subespaços de R (i) f(x; y) R : x g (ii) f(x; y) R : xy g (iii) f(x; y) R : y x g Veri que que os seguintes conjuntos, com as operações usuais, são (todos os) subespaços de R (i) f(; )g (ii) V k f(x; kx) : x Rg com k R (iii) U f(; a) : a Rg (iv) R No espaço linear R, considere o subconjunto U k f(x; y; k) : x; y Rg onde k é uma constante real Determine os valores de k para os quais U k é subespaço de R Considere o espaço linear V R Diga quais dos seguintes subconjuntos de V, com as operações usuais, são subespaços de V e indique os respectivos conjuntos geradores (i) f(x; y; z) R : z g (ii) f(x; y; z) R : x + y z g (iii) f(x; y; z) R : x > g (v) f(x; y; z) R : y x e z xg (iv) f(; ; z) : z Rg (vii) f(x; y; z) R : x + y + z e x y z g (viii) f(x; y; z) R : x y ou y zg (vi) f(x; y; z) R : x + y g (ix) f(x; y; z) R : x y e y + z g (x) f(x; y; z) R : xy g Seja P n o espaço linear de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais: Diga quais dos seguintes subconjuntos de P, com as operações usuais, são subespaços de P e indique os respectivos conjuntos geradores (i) fa + a t + a t P : a g (ii) fa + a t + a t P : a a e a g (iii) fa + a t + a t P : a g (iv) fa + a t + a t P : a a g (v) fa + a t + a t P : a a + a g Seja M mn (R) o espaço linear de todas as matrizes do tipo m n com entradas reais Diga quais dos seguintes subconjuntos de M (R), com as operações usuais, são subespaços de M (R) e indique os respectivos conjuntos geradores a b c a b c (i) M (R) : b a + c (ii) M (R) : b < (iii) d a b c d e f d f M (R) : a c e f e + d : Determine o espaço das colunas, o espaço das linhas e o núcleo das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii)

64 8 Veri que que, com as operações usuais, o seguinte conjunto de matrizes 8 9 < ; ; ; : ; 8 9 < a gera o subespaço b c M (R) : a; b; c; d R : ; do espaço linear M (R) d 9 Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ), v (; ; ) e v (; ; ) Mostre que os seguintes vectores são combinações lineares de v ; v e v (i) (; ; ) (ii) (; ; ) (iii) ( ; ; ) (iv) (; ; ) Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ; ), v (; ; ; ) e v (; ; ; ) Diga quais dos seguintes vectores pertencem ao subespaço L (fv ; v ; v g) (i) ( ; ; ; ) (ii) (; ; ; ) (iii) (; ; ; ) (iv) (; ; ; ) Determine o valor de k para o qual o vector u (; ; k) R é combinação linear dos vectores v (; ; ) e w (; ; ): Considere, no espaço linear P, os vectores p (t) + t + t, p (t) t + t, p (t) t + t e p (t) t t O vector q(t) + t + t pertence à expansão linear L (fp (t); p (t); p (t); p (t)g)? p (t), p (t) e p (t) gerar P? Podem os vectores p (t), Veri que que os seguintes conjuntos de vectores geram R (i) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (ii) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (iii) f(; ; ) ; ( ; ; ); (; ; ); ( ; ; )g Escreva a matriz como combinação linear das matrizes A ; B Encontre uma matriz que não pertença a L ; ;, C : Antes de a determinar, explique porque é que essa matriz existe Determine os vectores (a; b; c) de R que pertencem a L (fu; v; wg) onde u (; ; ); v (; ; ) e w (; ; ): :

65 Sejam A e B Veri que que o espaço das linhas de A é igual ao espaço das linhas de B: Conclua então que os espaços das colunas de A T e de B T são iguais Encontre um conjunto de geradores para cada um dos seguintes subespaços do espaço linear R (i) f(x; y; z; w) R : x e y + z g (ii) f(x; y; z; w) R : x + y + z + w g (iii) f(x; y; z; w) R : x + y z e x + y + w e y z + w g 8 De na por meio de sistemas de equações homogéneas os seguintes subespaços (i) Em P : L (f t ; + tg) (ii) L (f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) (iii) L (f(; ; ); ( ; ; )g) (iv) L (f(; ; ); (; ; )g) (v) L (f(; ; ; )g) (vi) L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) 9 Determine as condições que os parametros i ; i (i ; ) devem veri car para que os vectores ( ; ; ) e ( ; ; 9), no espaço linear R, sejam linearmente independentes Diga se os seguintes conjuntos de vectores em R são linearmente dependentes ou linearmente independentes? Nos casos em que sejam linearmente dependentes, indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com o maior n o possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores (i) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (ii) f(; ; ); (; ; )g (iii) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (iv) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (v) f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (x; y; z)g (com x; y; z R) Determine todos os valores de a para os quais f(a ; ; ); (; a; ); (; ; )g é uma base de R : Sejam U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) e V k L (f(; k; ; ); (; ; ; )g) subespaços de R : Determine os valores de k para os quais dim (U \ V k ) No espaço linear R, construa uma base que inclua os vectores: (i) (; ; ) e (; ; ) (ii) (; ; ) e ( ; ; ) (iii) ( ; ; ) e (; ; ) Veri que que os seguintes subconjuntos do espaço linear de todas as funções reais de variável real são linearmente dependentes Indique (para cada um) um subconjunto linearmente independente com o maior n o possível de elementos e escreva os restantes como combinação linear desses vectores (i) S fcos t; sen t; cos tg : (ii) S f; sen t; cos tg (iii) S fe t ; e t ; cosh tg (iv) S ; t; t ; (t + ) Determine uma base para cada subespaço L(S) e calcule a respectiva dimensão

66 Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real Sejam f; g; h V, com f (t) sen t, g (t) cos t e h (t) t Mostre que o conjunto ff; g; hg é linearmente independente Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R Caso não sejam bases, determine subconjuntos desses conjuntos que sejam bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses subconjuntos Em cada base de R encontrada, exprima o vector (; ) como combinação linear dos vectores dessa base ordenada Isto é, determine as coordenadas do vector (; ) em cada base ordenada encontrada Relativamente a cada base ordenada de R, determine ainda o vector cujas coordenadas são (; ) (i) f(; ); (; )g (ii) f(; ); (; )g (iii) f(; )g (iv) f( ; ); (; )g (v) f(; ); (; ); (; )g (vi) f(; ); (; )g Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R Caso não sejam bases, determine subconjuntos desses conjuntos que sejam bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses subconjuntos Em cada base de R encontrada, exprima o vector ( ; ; ) como combinação linear dos vectores dessa base ordenada Isto é, determine as coordenadas do vector ( ; ; ) em cada base ordenada encontrada Relativamente a cada base ordenada de R, determine ainda o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) (i) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (ii) f(; ; ); (; ; )g (iii) f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g (iv) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g (v) f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g (vi) f(; ; ); (; ; ); (; ; )g 8 Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de R Caso não sejam bases, determine subconjuntos desses conjuntos que sejam bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses subconjuntos Em cada alínea indique uma base de R que inclua pelo menos dois vectores do conjunto apresentado (i) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (ii) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (iii) S f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (iv) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (v) f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g (vi) S f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g : Nesta alínea, veri- que que (8; ; ; ) L (S) e determine uma base de L (S) que inclua o vector (8; ; ; ) 9 Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são bases de P (espaço linear dos polinómios reais de grau menor ou igual a ) Caso não sejam bases, determine subconjuntos desses conjuntos que sejam bases e as dimensões dos espaços gerados por cada um desses subconjuntos Determine as coordenadas do vector t em cada base ordenada de P encontrada Relativamente a cada base ordenada de P, determine ainda o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) (i) f + t t ; t + t ; t g (ii) ft t ; t ; + t; tg

67 (iii) f + t ; t t ; t + t ; + tg (iv) f + t + t ; tg (v) f + t t ; + t ; + t t ; + t t g (vi) f; t; t g Mostre que as matrizes ; ; e formam uma base para o espaço linear M (R): Seja S ; ;, ; Seja W um subespaço de M (R) gerado por S Determine uma base para W que inclua vectores de S Determine uma base para M (R) Qual é a dimensão do espaço linear M (R)? Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços de M (R) e calcule a respectiva dimensão: (i) O conjunto de todas as matrizes (reais) diagonais do tipo : (ii) O conjunto de todas as matrizes (reais) simétricas do tipo : Determine as dimensões e indique bases para: o núcleo, o espaço das linhas e o espaço das colunas das seguintes matrizes (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) : Determine tambem a característica e a nulidade de cada uma delas Sejam U e V subespaços de W tais que dim U ; dim V e dim W Diga quais as dimensões possíveis para U \ V Determine bases e calcule as dimensões de U + V e U \ V, dizendo em que casos U + V é a soma directa U V (determine-a) dos subespaços U e V (i) U L (f(; ; ); (; ; )g) ; V L (f(; ; ); ( ; ; )g) em R : (ii) U f(x; y; z) R : x + y z e x + y g ; V L (f(; ; )g) em R : (iii) U L (f(; ; ); ( ; ; )g) ; V f(x; y; z) R : x + y + z g em R : (iv) U f(x; y; z) R : x y zg ; V f(x; y; z) R : x g em R : (v) U L (f + t; t g), V fa + a t + a t P : a a + a g em P (vi) U L (f + t; t g), V L (f + t + t ; t t ; + t + t g) em P (vii) U L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; 8); ( ; ; ; )g) ; V L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; 8)g) em R : (viii) U f(x; y; z; w) R : x + y + z e y + z + w g,

68 V L (f(; ; ; ); (; 9; ; ); ( ; ; ; )g) em R : Neste alínea (viii) mostre que U V (ix) Seja U o subespaço de R gerado por f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g Seja V o subespaço de R gerado por f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g Comece por escrever U e V como soluções de sistemas de equações lineares homogéneas (x) Sejam U e V subespaços de R gerados respectivamente por F e por G, com Seja A F f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ) ; (; ; ; )g ; G f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g : (i) Calcule a nulidade e a característica de A: (ii) Determine bases para o espaço das colunas de A e para o núcleo de A: (iii) Usando a alínea anterior, determine a solução geral do sistema de equações lineares homogéneo Au (iv) Resolva o sistema de equações Au b, com b (; ; ; ; ): Note que b é igual à a coluna de A e use esse facto de modo a encontrar uma solução particular de Au b 8 Utilize a informação da seguinte tabela para, em cada caso, determinar a dimensão do espaço gerado pelas linhas de A, do espaço gerado pelas colunas de A, do núcleo de A e do núcleo de A T Diga tambem se o correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível, determinando para esses casos, o número de parâmetros que entram na solução geral de AX B A 9 9 car A car [A j B] 9 Construa uma matriz cujo núcleo seja gerado pelo vector (; ; ) Existe alguma matriz cujo espaço das linhas contém o vector (; ; ) e cujo núcleo contém (; ; )? Quais são as matrizes do tipo cujo núcleo tem dimensão? Seja A M mn (R) tal que C(A) N (A) Prove que A M nn (R) com n par Dê um exemplo para n 8

69 Seja A M nn (R) tal que car A n e A A Prove que A I Sejam B f(; ); (; )g e B f(; ); (; )g duas bases ordenadas de R Seja v (; ) (i) Determine as coordenadas de v em relação à base B (ii) Determine a matriz S B!B de mudança da base B para a base B (iii) Determine as coordenadas de v em relação à base B, usando as alíneas anteriores (iv) Determine, directamente, as coordenadas de v em relação à base B (v) Determine a matriz S B!B de mudança da base B para a base B (vi) Determine as coordenadas de v em relação à base B, usando a alínea anterior, e compare com o resultado obtido em (i) Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ), v (; ) Suponha que a matriz S B!B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B!B Determine B Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w + t, w + t Suponha que a matriz S B!B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B!B Determine B Sejam B f; t; t g e B f; + t; + t + t g duas bases ordenadas de P (i) Suponha que as coordenadas de um vector p(t) P em relação à base B são dadas por (; ; ) Determine as coordenadas do mesmo vector p(t) em relação à base B (ii) Determine a matriz S B!B de mudança da base B para a base B e utilize-a para determinar as coordenadas do vector t + t na base B 8 Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w t, w t Suponha que a matriz S B!B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B!B Determine B 9

70 9 Sejam B fv ; v ; v g e B fw ; w ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) Suponha que a matriz S B!B de mudança da base B para a base B, é dada por: S B!B Determine B Sejam B B ; ; ;, e ;, duas bases ordenadas de M (R) Determine a matriz S B!B de mudança dabase B para a base B e utilize-a para determinar as coordenadas do vector em relação à base B Seja B fv ; v g uma base ordenada de P Sejam (; ) e (; ) respectivamente as coordenadas de dois polinómios + t e t em relação à base B: Determine B Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P Suponha que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio p (t) em relação às bases B e B : Suponha ainda que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio q (t) em relação às bases B e B : Determine a matriz S B!B de mudança da base B para a base B

71 a Ficha de exercícios facultativos Seja V um espaço linear real e o seu vector nulo Mostre que: (i) Se u + v u + w, então v w: (ii) para todo o escalar R: (iii) u para todo o vector u V: (iv) ( u) u para todo o u V: (v) Mostre que o vector nulo V é único (vi) Mostre que o simétrico u de um qualquer vector u de V é único (vii) ( )u u para todo o u V: (viii) Se u, então ou u : (ix) Se u e u u, então : Veri que que o conjunto de todos os polinómios reais de grau igual a n: fa + a t + + a n t n P n : a n g, munido das operações usuais, não é um espaço linear (i) Mostre que P é um subespaço de P : (ii) Mostre que P n é um subespaço de P n+ : (iii) Seja P o espaço linear de todos os polinómios reais (de qualquer grau) Mostre que P n é um subespaço de P: Quais dos seguintes subconjuntos de M nn (R), com as operações usuais, são subespaços? (i) O conjunto de todas as matrizes simétricas do tipo n n: (ii) O conjunto de todas as matrizes invertíveis do tipo n n: (iii) O conjunto de todas as matrizes diagonais do tipo n n: (iv) O conjunto de todas as matrizes singulares do tipo n n: (v) O conjunto de todas as matrizes triangulares superiores do tipo n n: Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real Quais dos seguintes subconjuntos de V, com as operações usuais, são subespaços? (i) O conjunto de todas as funções limitadas (ii) O conjunto de todas as funções pares, isto é, tais que f(x) f( (iii) O conjunto de todas as funções racionais, isto é, as que são quocientes de funções polinomiais (iv) O conjunto de todas as funções crescentes (v) O conjunto de todas as funções f tais que f() f(): (vi) O conjunto de todas as funções f tais que f() + f(): Seja fv ; v ; v g uma base de um espaço linear V Prove que fv + v ; v + v ; v + v g é também uma base de V Seja A uma matriz (real) invertível do tipo n n Prove que, se fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de R n, então fav ; Av ; : : : ; Av n g é também uma base de R n x):

72 8 Sejam V um espaço linear e S fv ; v ; : : : ; v n g Prove que o conjunto S é uma base de V se e só se todo o vector de V se escrever de maneira única como combinação linear dos elementos de S 9 Seja fv ; v g uma base de um espaço linear U Considere os vectores w av + bv e w cv + dv, com a; b; c; d R Prove que fw ; w g é também uma base de U se e só se ad bc Sejam A uma matriz m n e B uma matriz n p Mostre que dim C (AB) dim C (B) dim (N (A) \ C (B)) Sugestão: Considere (no caso em que N (A) \ C (B) fg) uma base fx ; : : : ; x s g para N (A) \ C (B) e suponha (no caso em que AB ) que fx ; : : : ; x s ; y ; : : : ; y t g é uma base para C (B) Mostre que fay ; : : : ; Ay t g é uma base para C (AB) Considere os seguintes r vectores de R n : x (x ; x ; : : : ; x n ); x (x ; x ; : : : ; x n ); : : : ; x r (x r ; x r ; : : : ; x rn ): Mostre que se jx jj j > r P i(ij) jx ij j para todo o j ; : : : ; r então o conjunto x ; x ; : : : ; x r é linearmente independente Sugestão: Considere v (v ; : : : ; v n ) x + x + + r x r ; com ; ; : : : ; r R e mostre que se existir j (com j f; : : : ; rg) tal que para todo o i ; : : : ; r; então v j j j j > j i j; Sejam A; B M mn (R) Mostre que C (A + B) C (A) + C (B) : Seja A M mn (R) Mostre que N (A) \ L (A) fg Sejam B e C matrizes m n Mostre que jcar B car Cj car (B C) Seja A M nn (R) tal que A e A Seja v N (A ) Prove que o conjunto v; Av; A v; A v é linearmente independente

73 Transformações lineares De nição Sejam U e V espaços lineares Diz-se que T : U! V é uma transformação linear se e só se veri car as duas condições: (i) T (u + v) T (u) + T (v), para todos os u; v U (ii) T (u) T (u), para todos os u U e escalares Observação Sejam U e V espaços lineares Sejam o vector nulo de U e o vector nulo de V (i) Se T : U! V fôr uma transformação linear então T (U) é um subespaço de V e além disso tem-se T () (T () T ( + ) T () + T (), T () ) Logo, se T não veri car T () então T não será uma transformação linear (ii) T : U! V é uma transformação linear se e só se para todos os u; v U e escalares ; T (u + v) T (u) + T (v), (iii) Seja T : U! V uma transformação linear, com U L (fv ; :::; v n g) Seja u U Logo, existem escalares ; :::; n tais que u v + ::: + n v n Tem-se então T (u) T (v ) + ::: + n T (v n ) Exemplo 8 Consideremos a base canónica f(; ) ; (; )g de R Seja T : R! R uma transformação linear tal que T (; ) e T (; ) Para qualquer (x; y) R tem-se Então, (x; y) x(; ) + y(; ) T (x; y) T (x(; ) + y(; )) xt (; ) + yt (; ) x + y Logo, T : R! R é a transformação linear de nida explicitamente por T (x; y) x + y

74 Teorema Sejam U e V espaços lineares e seja fv ; :::; v n g uma base de U Sejam T ; T : U! V duas transformações lineares Se T (v i ) T (v i ) para todo o i ; :::; n, então T (u) T (u), para todo o u U, isto é, T T Exemplo 9 (i) Sejam U e V espaços lineares e seja o vector nulo de V Seja O : U! V de nida por O(u), para todo o u U O é uma transformação linear e chama-se transformação nula (ii) Seja A M mn (R) Seja de nida por T : R n! R m T (u) Au, para todo o u R n T é uma transformação linear (iii) Sejam V um espaço linear e k um escalar ( xo) Seja T k : V! V de nida por T k (v) kv; para todo o v V T k é uma transformação linear Diz-se que T k é uma homotetia Se < k < diz-se que T k é uma contracção Se k > diz-se que T k é uma dilatação Se k então chama-se a T a transformação identidade e denota-se por I Tem-se para todo o u U I(u) u; (iv) T : R! R de nida por T (x; y) ( y; x) não é uma transformação linear (v) T : R! R de nida por T (x; y) xy não é uma transformação linear (vi) Seja T : P! P de nida por T (p (t)) tp (t) : T é uma transformação linear (vii) Seja T : P! P de nida por T (p) p : T é uma transformação linear

75 (viii) Seja T : C (R)! C (R) de nida por T (f) f ; onde C (R) é o espaço linear de todas as funções reais com primeira derivada contínua em R e C (R) é o espaço linear de todas as funções reais contínuas em R T é uma transformação linear (ix) Seja a R ( xo) Seja T : C (R)! R de nida por T é uma transformação linear T (f) f (a) (x) Seja n N Seja T : C n (R)! C (R) de nida por T (f) f (n) ; onde f (n) é a derivada de ordem n de f, C n (R) é o espaço linear de todas as funções reais com derivada de ordem n contínua em R e C (R) é o espaço linear de todas as funções reais contínuas em R T é uma transformação linear (xi) Seja T : C (R)! C (R) de nida por T é uma transformação linear T (f) Z x f (t) dt: (xii) Seja T : C ([a; b])! R de nida por T é uma transformação linear T (f) Z b a f (t) dt: (xiii) Seja T : M nn (R)!M nn (R) de nida por T (X) X T : T é uma transformação linear (xiv) Seja T : M nn (R)!M nn (R) de nida por T (X) AX; com A M nn (R) xa T é uma transformação linear (xv) Seja de nida por tr : M nn (R)! R nx tr(a) a + ::: + a nn a ii, i

76 para todo o A (a ij ) nn M nn (R) tr (traço) é uma transformação linear De nição Sejam U e V espaços lineares e T : U! V uma transformação linear Seja o vector nulo de V (i) Chama-se contradomínio ou imagem de T ao conjunto T (U) ft (u) : u Ug, que também se denota por I(T ) Note-se que se existir fu ; :::; u k g U tal que U L (fu ; :::; u k g) então I(T ) L (ft (u ) ; :::; T (u k )g) : (ii) Chama-se núcleo ou espaço nulo de T ao conjunto N (T ) fu U : T (u) g Teorema Sejam U e V espaços lineares e T : U! V uma transformação linear Então, os conjuntos N (T ) e I(T ) são subespaços de U e V respectivamente Exemplo (i) Sejam U e V espaços lineares Sejam e os vectores nulos de U e V respectivamente Considere a transformação nula O : U! V de nida por O(u), para todo o u U Tem-se N (O) U e I(O) f g (ii) Considere a transformação identidade I : U! U de nida por para todo o u U Tem-se I(u) u, N (I) fg e I(I) U (iii) Seja A M mn (R) Seja de nida por para todo o u R n Tem-se T : R n! R m T (u) Au, N (T ) N (A) e I(T ) C(A)

77 (iv) Seja T : C (R)! C (R) de nida por T (f) f : Tem-se N (T ) ff : R! R tal que f é constante em Rg e I(T ) C (R) : (v) Seja T : C (R)! C (R) de nida por com! Rn fg Tem-se (pág de []) T (f (t)) f (t) +! f (t) ; N (T ) L (fcos (!t) ; sen (!t)g) ; onde fcos (!t) ; sen (!t)g é uma base de N (T ) Observe-se que N (T ) é precisamente a solução geral da equação diferencial linear homogénea f (t) +! f (t) : (vi) Seja T : C (R)! C (R) de nida por com! Rn fg Tem-se (pág de []) T (f (t)) f (t)! f (t) ; N (T ) L e!t ; e!t ; onde fe!t ; e!t g é uma base de N (T ) Note-se que N (T ) é precisamente a solução geral da equação diferencial linear homogénea f (t)! f (t) : Teorema Sejam U um espaço linear de dimensão nita e T uma transformação linear de nida em U Então, o subespaço I(T ) tem dimensão nita e dim N (T ) + dim I(T ) dim U De nição 8 Sejam U e V espaços lineares e S; T : U! V transformações lineares Seja um escalar Sejam S + T; T : U! V de nidas por para todo o u U (S + T ) (u) S(u) + T (u) e (T )(u) T (u),

78 De nição 9 Sejam U e V espaços lineares Chama-se a L(U; V ) o conjunto de todas as transformações lineares de U em V Teorema Sejam U e V espaços lineares e S; T : U! V transformações lineares Seja um escalar Então: (i) S + T e T são transformações lineares (ii) O conjunto L(U; V ), com as operações da de nição 8, é um espaço linear Exemplo Seja B ft ; T ; T ; T g com T ; T ; T ; T L(R ; R ) de nidas por T (x; y) (x; ), T (x; y) (y; ), T (x; y) (; x) e T (x; y) (; y), para todo o (x; y) R O conjunto B é uma base de L(R ; R ) Logo, dim L(R ; R ) : De nição Sejam U; V e W espaços lineares e, T : U! V e S : V! W transformações lineares Seja S T : U! W de nida por (S T ) (u) S (T (u)), para todo o u U S T é uma transformação linear Chama-se a S T a composição de S com T Observação Em geral, tem-se S T T S Teorema (i) Sejam T : U! V; S : V! W e R : W! X Então, tem-se R (S T ) (R S) T (ii) Sejam R; S : U! V e T : V! W Seja R Então, tem-se T (R + S) T R + T S e T (R) (T R) Se o contradomínio de Q estiver contido em U então (R + S) Q R Q + S Q e (R) Q (R Q) De nição De ne-se T I e T k T T k, para todo o k ; ; ::: Observação Tem-se T m+n T m T n para todos os m; n N 8

79 De nição T : U! V diz-se injectiva se e só se T (u) T (w) ) u w, para todos os u; w U, isto é, se e só se u w ) T (u) T (w), para todos os u; w U De nição T : U! V diz-se sobrejectiva se e só se T (U) V (iii) T : U! V diz-se bijectiva se e só se fôr injectiva e sobrejectiva De nição Sejam U e V espaços lineares Diz-se que U e V são isomorfos se e só se existir um isomor smo entre U e V, isto é, se e só se existir uma transformação linear bijectiva T : U! V Sendo U e V isomorfos escreve-se U V Teorema Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Então, U e V são isomorfos se e só se dim U dim V Observação (i) Qualquer espaço linear real de dimensão n é isomorfo a R n (ii) Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas A transformação linear T : U! V é sobrejectiva se e só se T transformar um qualquer conjunto gerador de U num conjunto gerador de V (iii) Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Se a transformação linear T : U! V fôr sobrejectiva então dim V dim U (iv) Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Se a transformação linear T : U! V fôr injectiva então dim U dim V Exemplo (i) A transformação linear T : R n! M n (R) de nida por é um isomor smo Logo R n Mn (R) T (a ; :::; a n ) a a n ; (ii) A transformação linear T : M mn (R)! R mn de nida por B a a m a n a mn C A (a ; :::; a m ; :::; a n ; :::; a mn ) ; 9

80 é um isomor smo Logo M mn (R) R mn (iii) A transformação linear T : R n+! P n de nida por é um isomor smo Logo R n+ Pn T (a ; a ; :::; a n ) a + a t + ::: + a n t n ; (iv) Seja A uma matriz mn Os espaços C (A) e L (A) são isomorfos pois têm a mesma dimensão (car A) C (A) L (A) Teorema Sejam U e V espaços lineares de dimensões nitas tais que dim U dim V: Seja T : U! V uma transformação linear Então, T é injectiva se e só se T é sobrejectiva De nição Diz-se que T : U! V é invertível se existir S : T (U)! U tal que S T I U e T S I T (U), onde I U e I T (U) são as funções identidade em U e T (U) respectivamente Chama-se a S a inversa de T e escreve-se S T Teorema Sejam U e V espaços lineares de dimensões nitas Seja T : U! V uma transformação linear Seja o vector nulo de U As seguintes a rmações são equivalentes (i) T é injectiva (ii) T é invertível e a inversa T : T (U)! U é linear (iii) N (T ) fg (iv) dim U dim T (U) (v) T transforma vectores linearmente independentes de U em vectores linearmente independentes de V (vi) T transforma bases de U em bases de T (U) Teorema 8 Sejam U e V espaços lineares Seja T : U! V uma transformação linear Seja b V Então: 8

81 (i) Existência de solução: a equação linear T (u) b tem sempre solução (para qualquer b) se e só se T fôr sobrejectiva (T (U) V ); (ii) Unicidade de solução: a equação linear T (u) b a ter solução, ela é única se e só se T fôr injectiva; (iii) Existência e unicidade de solução: a equação linear T (u) b tem solução única u se e só se T fôr bijectiva Teorema 9 Sejam U e V espaços lineares Seja T : U! V uma transformação linear Seja b V A solução geral da equação linear T (u) b obtém-se somando a uma solução particular dessa equação, a solução geral da equação linear homogénea T (u) (N (T )) Teorema (Representação matricial de uma transformação linear) Sejam U e V espaços lineares de dimensões nitas tais que dim U n e dim V m Sejam B fu ; :::; u n g e B fv ; :::; v m g duas bases ordenadas de U e V respectivamente Seja T : U! V uma transformação linear Considere-se a matriz A (a ij ) mn cuja coluna j, para cada j ; :::; n, é formada pelas coordenadas de T (u j ) na base B Isto é, T (u j ) mx a ij v i i Chama-se a esta matriz A a representação matricial de T em relação às bases B e B e escreve-se A M(T ; B ; B ) Além disso, sendo ; :::; n as coordenadas de um vector u U na base ordenada B então as coordenadas ; :::; m de T (u) V na base ordenada B são dadas por m M(T ; B ; B ) n Observação MUITO IMPORTANTE Nas condições do teorema anterior, temse u nx j u j N (T ), ( ; :::; n ) N (A) j uma vez que T (u) T v! nx j u j j mx i v i I(T ), ( ; :::; m ) C(A) i T é linear nx j T (u j ) j nx j j m X i a ij v i mx i! nx a ij j v i j 8

82 e sendo fv ; v ; :::; v m g uma base de V tem-se! nx u N (T ), T (u), a ij j ; para i ; :::; m, ( ; :::; n ) N (A): j Além disso: I(T ) L (ft (u ); :::; T (u n )g) L (fa v + ::: + a m v m ; :::; a n v + ::: + a mn v m g) Observação 8 Seja V um espaço linear de dimensão nita, com dim V n Sejam B fu ; :::; u n g e B fv ; :::; v n g duas bases ordenadas de V A representação matricial da transformação identidade I : V! V em relação às bases B e B é igual à matriz de mudança da base B para B Isto é, M(I; B ; B ) S B!B Teorema Sejam U e V espaços lineares tais que dim U n e dim V m Seja T : U! V uma transformação linear Sejam B e B bases (ordenadas) de U e V respectivamente Seja A M(T ; B ; B ) M mn (R) a matriz que representa T em relação às bases B e B Tem-se então: (i) dim N (T ) nul A; (ii) dim I(T ) car A; (iii) T é injectiva se e só se nul A, isto é, se e só se car A n; (iv) T é sobrejectiva se e só se car A m Teorema Sejam Bc n fe ; :::; e n g e Bc m fe ; :::; e mg as bases canónicas (ordenadas) de R n e R m respectivamente Seja T : R n! R m uma transformação linear Considere-se a matriz A (a ij ) mn M(T ; Bc n ; Bc m ) M mn (R) cuja coluna j, para cada j ; :::; n, é formada pelas coordenadas de T (e j ) na base Bc m Isto é, mx a j T (e j ) a ij e i a j + ::: + a mj i a mj Então, tem-se, para todo o u R n, T (u) Au 8

83 Dem Seja u R n Então, existem ; :::; n R tais que u e + ::: + n e n nx j e j j Uma vez que, para todo o j ; :::; n, T (e j ) P m i a ije i, tem-se! nx nx nx X m T (u) T j e j j T (e j ) a ij e i j nx a j j ; :::; j T é linear j! nx a mj j j j j i a a n a m a mn mx i n! nx a ij j e i j Au Observação 9 No caso em que U R n, V R m e B B n c, B B m c, tem-se: N (T ) N (A) e I(T ) C(A), uma vez que neste caso as coordenadas de um vector numa base coincidem com o próprio vector Exemplo (i) Seja T : R! R de nida por T (x; y; z; w) (x + y z; ; x + z): T é uma transformação linear e a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas (ordenadas) Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por A M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ; ) (; ; ), T (; ; ; ) (; ; ), T (; ; ; ) ( ; ; ) e T (; ; ; ) (; ; ) Tem-se então: Além disso, tem-se T (x; y; z; w) M(T ; Bc; Bc) x y z w (x + y z; ; x + z) N (T ) N (A) (x; y; z; w) R : y z e x z f( z; z; z; w) : z; w Rg L (f( ; ; ; ); (; ; ; )g) e I (T ) C (A) L (f(; ; ); (; ; )g) 8

84 Uma base de I (T ) : f(; ; ); (; ; )g Uma base de N (T ) : f( ; ; ; ); (; ; ; )g (ii) Sejam B f; t; t g e B f; t; t ; t g as bases canónicas (ordenadas) de P e P respectivamente Seja D : P! P tal que D(), D(t) e D(t ) t D é uma transformação linear e a matriz M(D; B ; B ) que representa D em relação às bases canónicas B e B, é dada por Além disso tem-se M(D; B ; B ) M(D; B ; B ) a a a isto é, D (a + a t + a t ) a + a t, com a ; a ; a R Além disso, como N (D) a + a t + a t : D a + a t + a t a + a t + a t : a a e a R ; tem-se a a a a a, N (D) fa : a Rg L (fg) e I (D) L (f; tg) Uma base de I (D) : f; tg Uma base de N (D) : fg (iii) Seja T : R! R a transformação linear cuja matriz que a representa em relação às bases ordenadas B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g e B f(; ); (; )g de R e R respectivamente, é dada por A M(T ; B ; B ) Seja u R e sejam ( ; ; ) as coordenadas de u em relação à base B Tem-se e como N (A) N u N (T ), ( ; ; ) N (A) f( y z; y; z) : y; z Rg L (f( ; ; ); ( ; ; )g), logo f( ; ; ); ( ; ; )g é uma base de N (A) (uma vez que gera N (A) e é linearmente independente) N (T ) f( ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ); ( ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; )g L (f( ; ; ); ( ; ; )g) 8

85 Logo f( ; ; ); ( ; ; )g é uma base para N (T ) (uma vez que gera N (T ) e é linearmente independente) Quanto ao contradomínio: C(A) L (f(; )g), logo f(; )g é uma base de C(A) (uma vez que gera C(A) e é linearmente independente) I(T ) L (f(; ) + (; )g) L (f(; )g) e Uma base de I (T ) : f(; )g (uma vez que gera I (T ) e é linearmente independente) Note-se que: dim N (T ) nul A dim I(T ) car A dim N (T ) + dim I(T ) dim U (espaço de partida) Teorema Sejam U; V e W espaços lineares de dimensões nitas Sejam B ; B e B bases ordenadas de U; V e W respectivamente Seja escalar Sejam T; T ; T L(U; V ) e S L(V; W ) Então, tem-se M(T + T ; B ; B ) M(T ; B ; B ) + M(T ; B ; B ) M(S T ; B ; B ) M(S; B ; B )M(T ; B ; B ) Teorema Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Seja T : U! V uma transformação linear Sejam B e B duas bases ordenadas de U e V respectivamente Seja A M(T ; B ; B ) a matriz que representa T em relação às bases B e B Se V T (U) então T é invertível se e só se A fôr uma matriz quadrada não singular Tem-se então A M(T ; B ; B ), isto é, A será a matriz que representa T em relação às bases B e B Teorema Sejam U e V espaços lineares de dimensões nitas respectivamente n e m Isto é, dim U n e dim V m: Então, os espaços lineares L(U; V ) e M mn (R) são isomorfos e escreve-se L(U; V ) M mn (R) Dem Fixando bases ordenadas B e B para U e V respectivamente, é uma transformação linear bijectiva L(U; V )! M mn (R) T! M(T ; B ; B ) 8

86 Observação No teorema anterior tem-se dim L(U; V ) mn Teorema Seja V um espaço linear de dimensão nita Seja T : V! V uma transformação linear Sejam B e B duas bases ordenadas de V Seja M(T ; B ; B ) a matriz que representa T em relação à base B Então, a matriz M(T ; B ; B ) que representa T em relação à base B, é dada por M(T ; B ; B ) S B!B M(T ; B ; B ) (S B!B ), onde S B!B é a matriz de mudança da base B para B Isto é, o diagrama seguinte é comutativo (V; B ) M(T ;B ;B )! T (V; B ) S B!B # I I # S B!B (V; B ) (V; B ) T! M(T ;B ;B ) Teorema Caso geral Sejam U e V dois espaços lineares de dimensões nitas Seja T : U! V uma transformação linear Sejam B e B duas bases ordenadas de U Sejam B e B duas bases ordenadas de V Seja M(T ; B ; B ) a matriz que representa T em relação às bases B e B Então, a matriz M(T ; B ; B ) que representa T em relação às bases B e B, é dada por M(T ; B ; B ) S B!B M(T ; B ; B ) S B!B, onde S B!B e S B!B são as matrizes de mudança das bases B para B e de B para B respectivamente Isto é, o diagrama seguinte é comutativo (U; B ) M(T ;B ;B )! T (V; B ) S B!B # I I # S B!B (U; B)! M(T ;B ;B ) (V; B) Exemplo Seja T : R! R de nida por T (x; y) (y; x; y x) T é uma transformação linear A matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação à base canónica (ordenada) Bc de R e à base canónica (ordenada) Bc de R, é dada por M(T ; Bc; Bc) Sejam B f(; ); ( ; )g uma base ordenada de R e B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g uma base ordenada de R 8

87 A matriz M(T ; B ; B ) que representa T em relação à base ordenada B de R e à base ordenada B de R, é dada por M(T ; B ; B ), uma vez que T (; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) T ( ; ) (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) : Vamos agora veri car que se tem M(T ; B ; B ) S B c!b M(T ; B c; B c) S B c!b Uma vez que (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) ; (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) ; (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) tem-se então S B c!b Logo, S B c!b M(T ; Bc; Bc) S B c!b Por exemplo, para (; ) R, tem-se: M(T ; B ; B ) S B!B c coordenadas de (; ) na base B c M(T ;B c ;B c )! T coordenadas de T (; ) na base B c S B c!b # I I # S B c!b coordenadas de (; ) na base B T! M(T ;B ;B ) coordenadas de T (; ) na base B ou seja M(T ;B c ;B c )! T S B c!b # I I # S B c!b T! M(T ;B ;B ) 8 8

88 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Sejam a; b R Considere a aplicação T a;b : R! R de nida por T a;b (x) ax + b Determine os valores de a e de b para os quais T a;b é linear Diga quais das seguintes transformações são lineares Determine para cada transformação linear a correspondente matriz que a representa em relação às respectivas bases canónicas (ordenadas) Determine também, se possível, para cada uma dessas transformações lineares, bases para o núcleo N (T ) e para o contradomínio I(T ), bem como as respectivas dimensões (de N (T ) e de I(T )) Diga ainda quais são injectivas, sobrejectivas e bijectivas (i) T : R! R com T (x; y) (x + y; x y) (ii) T : R! R com T (x; y) ( y; x) (iii) T : R! R com T (x; y; z) (x; x; x) (iv) T : R! R com T (x; y; z) (; ) (v) T : R! R com T (x; y) x (vi) T : R! R com T (x; y; z) (; ; ) (vii) T : R! R com T (x) (x; ; x) (viii) T : R! R com T (x; y; z) (x y; y) (ix) T : R! R com T (x; y; z; w) (x y; w) (x) T : R! R com T (x; y; z) ( z; y z; y; y + z) (xi) T : R! R com T (x) (; ) (xii) T : R! R com T (x; y; z) (x + y; z; x z) (xiii) T : R! R com T (x; y; z) (x; y; z) (xiv) T : R! R com T (x; y) (x cos y sen ; x sen +y cos ), R Aplicação que ao ponto de coordenadas (x; y) faz corresponder o ponto obtido por uma rotação de amplitude em torno da origem e no sentido contrário ao dos ponteiros de um relógio (xv) T : P! P com T (p (t)) p ( t) tp (t), onde P fa + a t + a t : a ; a ; a Rg e p é a derivada de a ordem de p (xvi) T : P! P com T (p (t)) p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t : (xvii) T : P! M (R) com T (p (t)) p () p () p () p ( ) Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base canónica (ordenada) Bc f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R é representada pela matriz M(T ; Bc; Bc) 88

89 Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R Determine, se possível, bases para o núcleo N (T ) e para o contradomínio I(T ), bem como as respectivas dimensões (de N (T ) e de I(T )) Considere a base ordenada B fv ; v g de R, em que v (; ) e v (; ) e seja T : R! R a transformação linear tal que (i) Calcule T (; ) T (v ) (; ), T (v ) ( ; ) (ii) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y) para qualquer (x; y) R (iii) Determine a matriz M(T ; B c; B c) que representa T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (iv) Determine as matrizes de mudança de base S B c!b e S B!B c Determine as coordenadas do vector (; ) na base B (v) Determine a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base ordenada B de R Determine as coordenadas do vector T (; ) na base B (vi) Determine a matriz M(T ; B c; B) que representa T em relação às bases ordenadas B c e B de R (vii) Determine a matriz M(T ; B; B c) que representa T em relação às bases ordenadas B e B c de R Considere as transformações lineares T e T cujas matrizes que as representam em relação às bases canónicas (ordenadas) de R e R são dadas respectivamente por M(T ; Bc; Bc) e M(T ; Bc; Bc) Determine as expressões gerais de (T T )(x; y) e (T T )(x; y; z) para quaisquer (x; y) R ; (x; y; z) R Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (y; y x; x) Determine a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base ordenada Seja B fv ; v ; v g de R com v (; ; ), v (; ; ), v ( ; ; ) Bc ; ; ; a base canónica (ordenada) de M (R) Considere a transformação linear S : M (R)! M (R) de nida por S(A) A T Determine a matriz M(S; Bc ; Bc ) que representa S em relação à base canónica (ordenada) B c 89

90 8 Considere a transformação linear T : R! R e a base canónica (ordenada) B c fv ; v ; v g de R, com v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) Suponha que se tem T (v ) v + v v, T (v + v ) v, T (v + v + v ) v + v (i) Calcule T (v v + v ) (ii) Determine a matriz M(T ; B c; B c) que representa T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (iii) Determine duas bases ordenadas B fu ; u ; u g e B fw ; w ; w g de R de modo a que a matriz M(T ; B ; B ) que represente T em relação a essas bases B e B seja a matriz identidade: 9 Considere a transformação linear T : R! R que em relação às bases ordenadas B fu ; u g de R e B fv ; v ; v g de R com u (; ), u (; ), v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ), é representada pela matriz M(T ; B ; B ) Considere ainda as bases ordenadas B u ; u de R e B v ; v ; v de R com u (; ), u (; ), v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) (i) Determine as coordenadas do vector T ( ; ) na base B (ii) Determine as coordenadas do vector ( ; ) na base B (iii) Determine as coordenadas do vector T ( ; ) na base B (iv) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (v) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (vi) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y) para qualquer (x; y) R (vii) Determine a matriz M(T ; B ; B ) que representa T em relação às bases ordenadas B e B 9

91 Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (x + y; x + y z) (i) Determine a matriz M(T ; B c; B c) que representa T em relação às bases canónicas (ordenadas) B c e B c de R e R respectivamente (ii) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (iii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (iv) Determine a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ) (v) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b) Veri que se existe algum vector (a; b) R para o qual essa equação seja impossível (vi) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b) Veri que se existe algum vector (a; b) R para o qual essa equação seja possível e determinada Considere a transformação linear T : R! R cuja matriz M(T ; Bc; Bc) que a representa em relação à base canónica (ordenada) Bc de R é dada por M(T ; Bc; Bc) (i) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R (ii) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (iii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (iv) Determine a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ; ) (v) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) Veri que se existe algum vector (a; b; c) R para o qual essa equação seja impossível (vi) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) Veri que se existe algum vector (a; b; c) R para o qual essa equação seja possível e indeterminada Considere a transformação linear T : R! R cuja matriz M(T ; B; B) que a representa em relação à base (ordenada) B fv ; v ; v g de R com v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ), é dada por M(T ; B; B) (i) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga, justi cando, se T é sobrejectiva e se T é injectiva 9

92 (ii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) (iii) Mostre que a equação linear T (x; y; z) (; ; ) não tem soluções (iv) Determine T (; ; ) e resolva a equação linear T (x; y; z) ( ; ; ) (v) Considere a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) Veri que se existe algum vector (a; b; c) R para o qual essa equação seja possível e indeterminada (vi) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (x + y + z; x + y z; z) (i) Determine a matriz M(T ; B c; B c) que representa T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (ii) Mostre que T é injectiva e determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R (iii) Justi que que T é um isomor smo (iv) Determine a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ; ) Seja Bc ; ; ; a base canónica (ordenada) de M (R) Considere a transformação T : M (R)! M (R) de nida por T (X) AX XA, com A (i) Veri que que T é linear (ii) Determine a expressão geral de T (iii) Determine a matriz M(T ; Bc ; Bc ) que representa T em relação à base canónica (ordenada) Bc de M (R) (iv) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (v) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva Considere as transformações lineares T ; T : R! R de nidas respectivamente por T (x; y) (x + y; x y) e T (x; y) (x + y; x y) (i) Determine as matrizes M(T ; B c; B c) e M(T ; B c; B c) que representam respectivamente T e T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (ii) Determine a matriz A M(T T ; B c; B c) que representa T T em relação à base canónica (ordenada) B c de R 9 :

93 (iii) Determine, usando a alínea anterior, a expressão geral de T T, isto é, (T T )(x; y) para qualquer (x; y) R (iv) Determine, directamente a partir das expressões de T e de T, a expressão geral de T T (v) Mostre que T e T são invertíveis (vi) Determine as expressões gerais de T (x; y); T (x; y) e T T (x; y) para qualquer (x; y) R (vii) Determine a matriz M((T T ) ; B c; B c) que representa (T T ) em relação à base canónica (ordenada) B c de R e veri que que é igual a A, onde A é a matriz determinada em (ii) (viii) Veri que que (T T ) T T Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base canónica ordenada (Bc f(; ) ; (; )g) de R é representada pela matriz: M T ; Bc; Bc : Justi que que T é injectiva e resolva a equação linear T (x; y) (; ) Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y) x Seja M T ; Bc; Bc a matriz que representa a aplicação linear T : R! R em relação às bases canónicas ordenadas B c fg e B c de R e R respectivamente Determine uma base para o núcleo: N (T T ) 8 Considere a transformação linear T : R! R cuja representação matricial em relação as bases ordenadas B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R e B f(; ); (; )g de R é dada pela matriz: M(T ; B ; B ) Determine uma base para o contradomínio I (T ) e diga, justi cando, se T é sobrejectiva 9 Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (x+y; y+z) Considere ainda a transformação linear T : R! R cuja representação matricial em relação à base (ordenada) B f(; ); (; )g de R e à base canónica Bc de R é dada pela matriz: M(T ; B; Bc) (i) Determine uma base para o núcleo N (T ) de T e diga, justi cando, se T é sobrejectiva 9

94 (ii) Determine uma base para o contradomínio I(T ) de T e diga, justi cando, se T é injectiva (iii) Diga, justi cando, se se tem N (T ) + I(T ) R e determine a dimensão de N (T ) \ I(T ) (iv) Determine a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente 8 (v) Determine a solução geral da equação (T T ) (x; y) ; 8 Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y) (x+y; ; x+y) Considere ainda a transformação linear T : R! R cuja representação matricial em relação à base (ordenada) B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R e à base canónica Bc de R é dada pela matriz: M(T ; B; Bc) (i) Determine T (; ; ) e T (; ; ) (ii) Determine uma base para o contradomínio I(T ) de T e diga, justi cando, se T é sobrejectiva (iii) Determine uma base para o núcleo N (T ) de T e diga, justi cando, se T é injectiva (iv) Determine a solução geral da equação (T T ) (x; y) ( ; ) Considere a transformação linear T : R! P de nida por T (; ; ) + t ; T (; ; ) t t e T ( ; ; ) + t + t + t (i) Determine a expressão geral de T, isto é, determine T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R (ii) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (iii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (iv) Resolva, em R ; a equação linear T (x; y; z) + t + t + t Seja R Considere a transformação linear T : R! P de nida por T (x; y; z) z y + (y x) t + xt (i) Determine, se possível, uma base para o núcleo N (T ) Determine a dimensão de N (T ) Diga se T é injectiva (ii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva (iii) Considere e resolva a equação linear T (x; y; z) + t 9

95 Considere o espaço linear P dos polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a Considere a transformação linear T : P! P de nida por T (p (t)) p (t) p (t), onde p (t) é a derivada de primeira ordem de p (t) (i) Determine a expressão geral de T (ii) Sendo B f; t; t g a base canónica (ordenada) de P, determine a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base B (iii) Justi que que T é um isomor smo e veri que que a expressão geral do isomor smo T é dada por T (p (t)) p (t) p (t) 8 p (t) para todo o p (t) P, onde p (t) é a derivada de segunda ordem de p (t) (iv) Resolva, em P ; a equação diferencial linear p (t) p (t) ( t) Considere o espaço linear P dos polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a Considere a transformação linear T : P! P de nida por T (p (t)) t p (t) p (t), onde p (t) é a derivada de segunda ordem de p (t) (i) Determine a expressão geral de T (ii) Sendo B f; t; t g a base canónica (ordenada) de P, determine a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base B (iii) Determine, se possível, uma base para N (T ) e uma base para I (T ) e diga, justi cando, se T é injectiva e/ou sobrejectiva (iv) Resolva, em P ; as equações diferenciais lineares: a) t p (t) p (t) t; b) tp (t) p () t Seja U o subespaço das matrizes simétricas de M (R), isto é, U A M (R) : A A T Considere a transformação linear T : U! U de nida por com B (i) Determine a expressão geral de T T (A) AB + BA (ii) Determine uma base para U e calcule a matriz que representa T em relação a essa base (iii) Determine, se possível, uma base para N (T ) e uma base para I (T ) e diga, justi cando, se T é injectiva e/ou sobrejectiva (iv) Resolva, em U; a equação linear T (A) B 9

96 Considere a transformação linear T : M (R)! P cuja matriz M(T ; B ; B ) que a representa em relação às bases ordenadas B ; ; ; de M (R) e B f + t; t + t ; t + t ; t g de P é dada por M(T ; B ; B ) (i) Determine a expressão geral de T (ii) Justi que que T é um isomor smo e determine a expressão geral do isomor smo T, isto é, determine T a + a t + a t + a t a b (iii) Resolva a equação linear T + t + t c d + t Seja U o espaço linear das funções reais de variável real duas vezes diferenciáveis Considere a transformação linear T : U! U de nida por T (f) f f + f Considere o subespaço S ff U : f f + f g de U (i) Mostre que o conjunto fe t ; te t g é uma base de S Sugestão: Mostre que se f S, então f (t) e t é um polinómio de grau menor ou igual a (ii) Mostre que dados a; b R, existe uma única função f S tal que f () a e f () b (iii) Determine a única solução f da equação diferencial linear T (f) que veri ca f () e f () 8 Seja V o subespaço linear de R gerado pelos vectores v (; ; ; ) e v (; ; ; ) Considere ainda a transformação linear T : V! V tal que T (v ) v ; T (v ) v : (i) Determine a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base ordenada B fv ; v g de V (ii) Encontre, em V, a solução geral da equação T (u) (; ; ; ) (iii) Sejam w (; ; ; ); w (; ; ; ) e considere a transformação linear R : R! R de nida por R(v ) v ; R(v ) v ; R(w ) R(w ) (; ; ; ): Encontre, em R, a solução geral da equação R(u) (; ; ; ) 9

97 9 Seja P n, com n N, o espaço linear real dos polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n Considere a transformação linear T : P! P cuja representação matricial em relação às bases ordenadas B f + t; t; t g de P e B f + t; + tg de P, é dada pela matriz: M(T ; B ; B ) Considere ainda a transformação linear T : P! P tal que T () t T (t) + 8t t : a) Determine a matriz M(T ; B; B ) que representa T em relação às bases ordenadas B f; tg de P e B f + t; t; t g de P b) Determine uma base para N (T ) (núcleo de T ) e diga, justi cando, se T é sobrejectiva c) Determine T (t) e encontre, em P, a solução geral da equação T (p (t)) t d) Veri que que T T I 9

98 Valores próprios e vectores próprios Diagonalização De nição Seja V espaço linear Seja T : V! V uma transformação linear Diz-se que um escalar é um valor próprio de T se existir um vector não nulo v V tal que T (v) v Aos vectores não nulos v que satisfaçam a equação anterior chamam-se vectores próprios associados ao valor próprio Dado um valor próprio de T, o conjunto E fv V : T (v) vg N (T I) é um subespaço linear de V Chama-se a E o subespaço próprio associado ao valor próprio À dimensão de E chama-se multiplicidade geométrica de e denota-se por m g (), isto é, dim N (T I) m g () Exemplo (a) Seja V um espaço linear e I : V! V a transformação identidade Então todos os vectores de V, exceptuando o vector nulo, são vectores próprios de T associados ao valor próprio (b) Seja V o espaço linear das funções reais inde nidamente diferenciáveis em R e T : V! V a (transfomação) função derivada Como, por exemplo T e x e x então e x é vector próprio de T associado ao valor próprio Observação (i) Sejam V um espaço linear e o vector nulo de V Seja T : V! V uma transformação linear Um escalar é um valor próprio de T se e só se N (T I) fg (ii) Se o espaço linear V tiver dimensão nita n e se A M (T ; B; B) fôr a matriz n n que representa T em relação a uma base ordenada B de V, então um escalar é um valor próprio de T se e só se esse escalar fôr solução da equação uma vez que se tem, para v V, det(a I), (T I) v, (A I) n onde ; :::; n são as coordenadas de v na base ordenada B, daí que é um valor próprio de T, N (T I) fg, N (A I) fg, det(a I) 98

99 isto é é um valor próprio de T, det(a I) Além disso, tem-se v é um vector próprio de T, v N (T I) n fg, ( ; :::; n ) N (A I) n fg isto é e v é um vector próprio de T, ( ; :::; n ) N (A I) n fg m g () dim N (T I) dim N (A I) (iii) No caso em que V R n e A M (T ; B n c ; B n c ), como (neste caso) v ( ; :::; n ), tem-se N (T I) N (A I) : De nição Seja A uma matriz n n Chama-se ao polinómio p() det(a I) o polinómio característico da matriz A Este polinómio tem grau n, o coe ciente do termo de grau n é ( ) n, o coe ciente do termo de grau n é ( ) n tr A e o termo constante é p() det A De nição 8 Seja A uma matriz n n Chama-se valor próprio de A a qualquer escalar tal que A I seja singular, isto é, tal que det(a I) Ao conjunto de todos os valores próprios de A chama-se espectro de A À multiplicidade de como raíz do polinómio det(a I) chama-se multiplicidade algébrica de e denota-se por m a () Chama-se vector próprio de A, associado ao valor próprio de A, a qualquer vector não nulo v que veri que (A I)v, isto é, a qualquer vector v N (A I)n fg Observação (i) Seja A uma matriz n n O escalar é valor próprio de A se e só se A fôr singular Isto é, a matriz A é invertível se e só se não fôr valor próprio de A (ii) Seja A uma matriz n n Então o polinómio característico de A pode ser escrito na forma: p() det(a I) ( ) m ( ) m ( k ) m k, onde ; ; : : : ; k são os valores próprios distintos de A e m ; m ; : : : ; m k são as multiplicidades algébricas desses valores próprios respectivamente, com m + m + + m k n (iii) Seja A uma matriz n n Tem-se m g () m a (), para qualquer valor próprio de A 99

100 (iv) Seja A uma matriz nn, com os valores próprios ; ; : : : ; n (repetidos de acordo com a respectiva multiplicidade algébrica) Então, atendendo à alínea anterior e à de nição anterior tem-se det A n e tr A n De nição 9 Sejam A e B matrizes n n As matrizes A e B dizem-se semelhantes se existir uma matriz S invertível tal que B SAS Teorema 8 Duas matrizes são semelhantes se e só se existirem bases ordenadas em relação às quais essas matrizes representem a mesma transformação linear Teorema 9 Sejam A e B matrizes n n Se A e B forem semelhantes então A e B têm o(a) mesmo(a): (i) determinante; (ii) característica; (iii) nulidade; (iv) traço; (v) polinómio característico, e portanto têm os mesmos valores próprios com as mesmas multiplicidades algébricas e geométricas Dem (Matrizes semelhantes têm o mesmo polinómio característico) det(b I) det(sas I) det(sas SS ) det(s(a I)S ) det S det(a I) det S det S det(a I) det S det(a I) Teorema (i) Seja V um espaço linear Seja T : V! V uma transformação linear Se T tiver valores próprios distintos ; :::; k e se v ; :::; v k forem os vectores próprios associados a cada um destes valores próprios, então os vectores v ; :::; v k são linearmente independentes (ii) Seja A uma matriz n n Se A tiver valores próprios distintos ; :::; k e se v ; :::; v k forem os vectores próprios associados a cada um destes valores próprios, então os vectores v ; :::; v k são linearmente independentes Dem (ii) Seja r dim L (fv ; :::; v k g) Suponhamos que r < k Suponhamos ainda, a menos de uma reordenação, que o conjunto fv ; :::; v r g é linearmente independente Como o conjunto fv ; :::; v r ; v r+ g é linearmente dependente, então existem escalares não todos nulos c ; :::; c r ; c r+ tais que c v + + c r v r + c r+ v r+ (*)

101 Note que tem que se ter c r+ caso contrário o conjunto fv ; :::; v r g é linearmente dependente Logo c r+ v r+ e assim c ; :::; c r não podem ser todos nulos Por outro lado, atendendo a (*) tem-se A (c v + + c r v r + c r+ v r+ ),c Av + + c r Av r + c r+ Av r+, Logo, multiplicando, c v + + c r r v r + c r+ r+ v r+ (**) r+ por (*) e somando a (**) tem-se: r+ (c v + + c r v r + c r+ v r+ ) + c v + + c r r v r + c r+ r+ v r+,, c ( r+ ) v + + c r ( r r+ ) v r Assim, sendo os escalares c ; :::; c r não todos nulos e sendo os escalares ; :::; k todos distintos, então o conjunto fv ; :::; v r g seria linearmente dependente, contrariando a hipótese de o mesmo ser linearmente independente Logo, tem que se ter r k De nição (i) Seja A uma matriz n n Se existir uma matriz P invertível tal que D P AP, com D matriz diagonal, então diz-se que A é uma matriz diagonalizável e que P é a matriz diagonalizante No caso de A ser uma matriz diagonal, a matriz diagonalizante é a matriz identidade (ii) Seja V um espaço linear tal que dim V n Seja T : V! V uma transformação linear Diz-se que T é diagonalizável se existir uma base ordenada B de V em relação à qual a matriz M (T ; B; B) que representa T nessa base seja uma matriz diagonal Teorema Seja A M nn (R) A matriz A é diagonalizável se e só se existir uma base B vp de R n apenas constituída por vectores próprios de A Neste caso, as entradas da diagonal principal da matriz diagonal D serão os valores próprios de A apresentados pela ordem dos vectores próprios correspondentes na base ordenada B vp Além disso, a matriz P será a matriz cujas colunas serão os vectores próprios de A, da base B vp de R n dispostos pela mesma ordem, tendo-se D P AP O mesmo se aplica a C n Teorema Seja A uma matriz n n Então as a rmações seguintes são equivalentes: (i) A é diagonalizável (ii) A tem n vectores próprios linearmente independentes (iii) A soma das multiplicidades geométricas dos valores próprios de A é n

102 (iv) A multiplicidade geométrica de cada valor próprio de A é igual à multiplicidade algébrica desse valor próprio Observação (i) Seja V um espaço linear tal que dim V n Seja A M (T; B; B) a matriz n n que representa a transformação linear T : V! V em relação à base ordenada B No caso de haver uma base B vp (ordenada) de V apenas constituída por vectores próprios de T, então tem-se M (T; B vp ; B vp ) P AP, onde P S Bvp!B, sendo deste modo M (T; B vp ; B vp ) a matriz diagonal cujas entradas da diagonal principal são os valores próprios de A apresentados pela ordem dos vectores próprios correspondentes na base B vp Assim, T é representada relativamente a uma base ordenada por uma matriz diagonal, isto é, T é diagonalizável No caso de se ter V R n e B B n c (base canónica ordenada) as colunas da matriz P S Bvp!B c n são os vectores próprios de A da base B vp dispostos pela mesma ordem (ii) No caso de se ter D P AP, com P invertível e D matriz diagonal, tem-se, para k N, D k P A k P, ou seja, A k P D k P Exemplo Nos exemplos que se seguem as matrizes A consideradas poderão ser vistas como matrizes que representam transformações lineares T relativamente à base canónica (ou outras) ordenada de R, tendo-se no caso da base canónica, para todo o v R, T (v) Av Deste modo, os valores próprios e vectores próprios de T serão respectivamente os valores próprios e vectores próprios de A (i) Uma matriz com valores próprios distintos A O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( ) ( ) + ( ) [( ) ( + ) ] ( ) + ( ) ( ) ( + ) Os valores próprios de A são os valores de para os quais det(a próprios de A são, e I) Logo, os valores

103 Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são os vectores não nulos v R para os quais (A I) v, isto é, são os vectores não nulos de N (A I) Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se N (A I) A L (f(; ; )g) Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são v (; s; s), com s Rn fg Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se N (A I) A L (f(; ; )g) Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são v (s; s; s), com s Rn fg Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio N (A I) A L (f(; ; )g) Tem-se Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são v (s; s; s), com s Rn fg Atendendo a que os valores próprios de A são distintos, os vectores próprios de A associados a esses valores próprios são linearmente independentes Como dim R, então vectores em R linearmente independentes formarão desde logo uma base de R Logo, o conjunto B f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g

104 é uma base de R Deste modo, temos uma base de R formada só por vectores próprios de A Logo, a matriz A é diagonalizável, isto é, existe uma matriz invertível P diagonalizante tal que a matriz P AP é diagonal, tendo-se D P AP, com P Note que cada coluna de P é formada pelo vector próprio associado ao valor próprio respectivo e na posição respectiva Além disso, tem-se com (R ; B c) M(T ;B c ;B c )! T (R ; B c) S B c!b # I I # S B c!b (R ; B) (R ; B) T! M(T ;B;B) S B c!b P, M(T ; B; B) D e M(T ; B c; B c) A (ii) Uma matriz com valores próprios repetidos mas diagonalizável A O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Os valores próprios de A são os valores de para os quais det(a próprios de A são e I) Logo, os valores Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são os vectores não nulos v R para os quais (A I) v, isto é, são os vectores não nulos de N (A I) Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se N (A I) A L (f( ; ; ) ; ( ; ; )g) Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f( ; ; ) ; ( ; ; )g)

105 Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são v ( s t; s; t), com s e t não simultâneamente nulos Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se N (A I) A L (f(; ; )g) Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são Atendendo a que v (s; s; s), com s Rn fg dim E + dim E, podemos ter a seguinte base de R formada só por vectores próprios de A B f( ; ; ) ; ( ; ; ) ; (; ; )g Logo, a matriz A é diagonalizável, isto é, existe uma matriz invertível P diagonalizante tal que a matriz P AP é diagonal, tendo-se D P AP, com P Note que cada coluna de P é formada pelo vector próprio associado ao valor próprio respectivo e na posição respectiva Além disso, tem-se (R ; B c) M(T ;B c ;B c )! T (R ; B c) S B c!b # I I # S B c!b (R ; B) (R ; B) T! M(T ;B;B) com S B c!b P, M(T ; B; B) D e M(T ; B c; B c) A (iii) Uma matriz com valores próprios repetidos e não diagonalizável A

106 O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) [( ) ( ) + ] ( ) + ( ) ( ) ( ) Os valores próprios de A são os valores de para os quais det(a próprios de A são e I) Logo, os valores Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são os vectores não nulos v R para os quais (A I) v, isto é, são os vectores não nulos de N (A I) Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se N (A I) A L (f(; ; )g) Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são v (; s; s), com s Rn fg Determinemos os vectores próprios de A associados ao valor próprio Tem-se N (A I) A L (f(; ; )g) Logo, o subespaço próprio E é dado por E N (A I) L (f(; ; )g) Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são Atendendo a que v (s; s; s), com s Rn fg dim E + dim E <, não é possível ter uma base de R formada só por vectores próprios de A Logo, a matriz A não é diagonalizável, isto é, não existe uma matriz invertível P diagonalizante tal que a matriz P AP seja diagonal

107 (iv) Uma matriz com apenas um valor próprio real A O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) + ( ) ( ) + Os valores próprios de A são os valores de para os quais det(a próprios de A são, i e i I) Logo, os valores Logo, a matriz A não é diagonalizável numa matriz de entradas reais, isto é, não existe uma matriz invertível P diagonalizante tal que a matriz P AP seja diagonal com entradas reais No entanto e atendendo a que os três valores próprios são distintos, a matriz A é diagonalizável numa matriz de entradas complexas: i i Exemplo A sucessão de Fibonacci (Leonardo de Pisa, ) Seja (v n ) nn tal que v ; v e v n+ v n + v n+, n N Considerando a igualdade v n+ v n+, podemos escrever o sistema vn+ v n+ isto é vn+ v n+ v n+ v n + v n+ vn v n+ para todo o n N Aplicando sucessivamente a igualdade anterior tem-se vn+ vn vn v n+ v n+ v n n n v v Calculemos agora os valores próprios de : det, ( ) ( ),,

108 , + p Valores próprios: +p e p Atendendo a que N + N N ou p p L ( + p!)! ; + p ; é um vector próprio associado ao valor próprio +p, sendo todos os vectores n próprios associados ao valor próprio +p + dados por L p o ; n f(; )g Atendendo a que ( N + + p!)! N N +p L ; + p ; é um vector próprio associado ao valor próprio p, sendo todos os vectores próprios associados ao valor próprio p n + dados por L p o ; n f(; )g Como existe uma base de R formada só por vectores próprios (os dois valores próprios são distintos logo os vectores próprios correspondentes são linearmente independentes) então a matriz é diagonalizável Assim, fazendo P + p + p tem-se e Logo vn+ P " v n+ D, + p p + p + p P " p p " + p # p " P n # n P P P " + p p P # + p p P, # + p p + p + p n p n P # n " p p P! n p n P + p p # 8

109 Isto é, p p v n+ p p n + + p n + p + p + p n + p p! n + + p para todo o n N, com v Veri que que (por exemplo) v, v ; v : n + p! n Exemplo 8 (Um processo de difusão) Considere duas células adjacentes separadas por uma membrana permeável e suponha que um uído passa da a célula para a a a uma taxa (em mililitros por minuto) numericamente igual a vezes o volume (em mililitros) do uído da a célula Em seguida, passa da a célula para a a a uma taxa (em mililitros por minuto) numericamente igual a vezes o volume (em mililitros) do uído da a célula Sejam v (t) e v (t) respectivamente o volume da a célula e o volume da a célula no instante t Suponha que inicialmente a primeira célula tem mililitros de uído e que a segunda tem 8 mililitros de uído, isto é v () e v () 8 Determinemos o volume de uído de cada célula no instante t Tem-se 8 < v (t) v (t) : v (t) v (t) v (t) isto é v (t) v (t) v (t) v (t) e são os valores próprios da matriz : (*), sendo os vectores próprios associados (; ) e (; ) respectivamente Como existe uma base de R formada só por vectores próprios (os dois valores próprios são distintos logo os vectores próprios correspondentes são linearmente independentes) então a matriz e é diagonalizável Assim, fazendo P, D, o sistema (*) é equivalente a v (t) v (t) tem-se P P P P P, P v (t) P v (t), 9

110 v, P (t) v (t) Assim, considerando a mudança de variável u (t) P u (t) v P (t) v (t) u, (t) u (t) 8 < u (t), : u (t) com c ; c R Logo v (t) P c e t v (t) c e t u (t) u (t), Se u e u v (t) P v (t) v (t) v (t) v (t) P v (t) >:, u (t), u (t) 8 u (t) >< u (t) u (t) u (t) 8 < log ju (t)j t + k,, : log ju (t)j t + k 8 < u (t) c e t, : u (t) c e t c e t c e t, c e t c e t + c e t Como 8 < então c e c : v () v () 8 e assim a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares 8 < v (t) v (t) : v (t) v (t) v (t) com os valores iniciais 8 < : v () v () 8 é dada por v (t) v (t) e t e t e t

111 Seja A a Ficha de exercícios para as aulas de problemas 9 8 vector próprio associado Veri que se é valor próprio de A e caso seja determine um Sem calcular o polinómio característico, indique um valor próprio e dois vectores próprios associados linearmente independentes para a matriz : Determine os valores próprios de uma matriz A cujo traço seja igual a e cujo determinante seja igual a Determine uma matriz A real simétrica (A T A) cujos valores próprios sejam e e tal que (; ) seja um vector próprio associado ao valor próprio Considere a transformação linear T : R! R que admite os vectores próprios v (; ; ); v ( ; ; ); v (; ; ); associados respectivamente aos valores próprios ; e Determine a expressão geral de T Considere a transformação linear T : R! R de nida por (i) Diga quais dos seguintes vectores: T (x; y; z) (; y + z; y + z): v (; ; ); v (; ; ); v (; ; ); v ( ; ; ); v (; ; ) são vectores próprios (ii) Determine os valores próprios de T (iii) Diga, justi cando, se T é invertível e se T é diagonalizável (iv) Determine os subespaços próprios de T Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (; ) (; ) T (; ) (i) Veri que que os vectores v (; ) e v (; ) são vectores próprios de T (ii) Diga, justi cando, se T é invertível e se T é diagonalizável (iii) Indique uma base ordenada de R relativamente à qual a matriz que representa T seja uma matriz diagonal (iv) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T

112 8 Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz: A (i) Veri que que os vectores v (; ; ); v (; ; ) e v (; ; ) são vectores próprios de T (ii) Diga, justi cando, se T é invertível e se T é diagonalizável (iii) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T (iv) Diagonalize T Isto é, determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D P AP : 9 Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base ordenada f(; ) ; (; )g de R é representada pela matriz: A (i) Determine os valores próprios de T e diga, justi cando, se T é invertível e se T é diagonalizável (ii) Determine bases para os subespaços próprios de T (iii) Diagonalize a transformação linear T, isto é, determine uma base ordenada de R relativamente à qual a matriz que represente T seja uma matriz diagonal Seja V um espaço linear de dimensão nita Seja T : V! V uma transformação linear tal que T T Uma tranformação linear nas condições anteriores chama-se projecção (i) Mostre que os valores próprios de T são e : (ii) Justi que que T é diagonalizável Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (x; y; x y) (i) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T (ii) A transformação linear T representa geometricamente uma projecção sobre um plano, paralelamente a um vector Determine esse plano e esse vector Considere a transformação linear T : R! R que representa geometricamente a projecção sobre o plano x + y + z, paralelamente ao vector (; ; ) (i) Explique o signi cado do plano e do vector referidos no enunciado (ii) Determine a expressão geral de T Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz: A

113 (i) Determine os valores próprios e os subespaços próprios de T (ii) Mostre que não existe nenhuma base de R constituída por vectores próprios de T T é diagonalizável? Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (x; y + z; z): (i) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (ii) Mostre que não existe nenhuma base de R em relação à qual T possa ser representada por uma matriz diagonal Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (y + z; y + z; y + z) (i) Determine o polinómio característico de T (ii) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (iii) Determine uma base de R constituída por vectores próprios de T Determine a matriz que representa T nesta base ordenada (iv) Seja A a matriz que representa T na base canónica de R, isto é, A M(T ; B c; B c) Diagonalize a matriz A Isto é, determine uma matriz de mudança de base P e uma matriz diagonal D tais que D P AP (v) Determine A n e T n (x; y; z) Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base ordenada f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g de R é representada pela matriz: A (i) Determine o polinómio característico de T (ii) Determine os valores próprios e bases dos subespaços próprios de T (iii) Diagonalize a transformação linear T, isto é, determine uma base ordenada de R relativamente à qual a matriz que represente T seja uma matriz diagonal (iv) Determine A n e T n (x; y; z) Sabendo que os vectores (; ; ); (; ; ) e (; ; ) são vectores próprios da matriz a b c, d e f determine a; b; c; d; e; f

114 8 Considere a transformação linear T : M (R)! M (R) de nida por T (A) A + A T : (i) Escolha uma base ordenada para M (R) e determine a matriz que representa T em relação a essa base ordenada (ii) Determine os valores próprios e os vectores próprios de T (iii) Diga se T pode ou não ser representada por uma matriz diagonal em relação a uma base ordenada apropriada de M (R) Em caso a rmativo, indique uma tal base ordenada e a correspondente matriz diagonal que representa T 9 Considere as matrizes A ; A ; A Veri que que A ; A e A são diagonalizáveis Isto é, determine matrizes de mudança de bases P ; P e P e matrizes diagonais D ; D e D tais que D P A P, D P A P e D P A P Ou seja, veri que que existe uma base de R formada por vectores próprios de A, uma base de R formada por vectores próprios de A e outra base de R formada por vectores próprios de A Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz a b, c com a; b; c R Determine os valores de a; b; c de modo a que exista uma base de R constituída só por vectores próprios de T Para cada parâmetro R, sejam A, u, u : (i) Prove que u e u são vectores próprios de A Determine os valores próprios associados (ii) Determine os valores próprios de A e indique os valores de para os quais A tem valores próprios todos distintos (iii) Determine, em função de, bases para os espaços próprios associados (iv) Identi que, justi cando, os valores de para os quais a matriz A é diagonalizável

115 a Ficha de exercícios facultativos Seja T : R n! R n uma transformação linear invertível Seja u um vector próprio de T associado a um valor próprio de T Veri que que u é também um vector próprio de T e determine o valor próprio de T que lhe está associado Seja V um espaço linear Seja T : V! V uma transformação linear Seja u um vector próprio de T associado a um valor próprio de T Veri que que u é também um vector próprio de T associado ao valor próprio de T Seja A uma matriz do tipo n n Mostre que se é um valor próprio de A então k é um valor próprio de A k, onde k é um inteiro positivo Uma matriz A do tipo n n diz-se nilpotente se A l para algum inteiro positivo l Mostre que se A é nilpotente então o único valor próprio de A é Seja A uma matriz n n Veri que que A e A T têm os mesmos valores próprios Seja A uma matriz n n cuja soma das suas colunas é constante e igual a r Mostre que r é um valor próprio de A: Seja A M nn (R) Seja P uma matriz diagonalizante para A Determine uma matriz diagonalizante para A T em termos de P 8 Seja Q uma matriz n n real ortogonal, isto é, tal que Q Q T Mostre que se n fôr ímpar então Q tem o valor próprio ou tem o valor próprio 9 Determine uma matriz A real tal que det A < Mostre que A é diagonalizável Seja A uma matriz n n e seja um valor próprio de A com multiplicidade algébrica igual a n Mostre que se A fôr diagonalizável então A é uma matriz diagonal Seja V um espaço linear e seja T : V! V uma transformação linear tal que todos os vectores não nulos de V são vectores próprios Mostre que T tem um único valor próprio Sejam A e B duas matrizes do tipo nn Mostre que AB e BA têm os mesmos valores próprios Sejam A e B duas matrizes tais que AB BA Mostre que A e B têm um vector próprio em comum Sugestão: Sendo um valor próprio de A, considere C a matriz cujas colunas formam uma base ordenada S de N (A I) e veri que que (A I) BC Finalmente considere a matriz P cujas colunas são respectivamente as coordenadas das colunas de BC em relação à base S e sendo v um vector próprio de P mostre que Cv é um vector próprio comum a A e B Seja A uma matriz n n e sejam ; escalares, com, tais que Mostre que A é diagonalizável (A I) (A I) :

116 Produtos internos e ortogonalização De nição Sejam V um espaço linear real e o vector nulo de V Chama-se produto interno em V a uma aplicação h; i : V V! R que veri que as três condições seguintes (u; v)! hu; vi (i) Simetria: para todos os u; v V hu; vi hv; ui (ii) Linearidade: para todo o v V ( xo) a aplicação V! R é linear u! hu; vi (iii) Positividade: para todo o u V tal que u, Tendo-se hu; ui se e só se u hu; ui > Observação (a) Um produto interno num espaço linear real é uma forma bilinear, simétrica e de nida positiva (b) Num espaço linear V sobre C (espaço linear complexo), um produto interno é uma aplicação que a cada par de vectores (u; v) V V associa o número complexo hu; vi e que veri ca as seguintes condições: (i) Para todos os u; v V hu; vi hv; ui (ii) Para todo o v V ( xo) tem-se hu + w; vi hu; vi + hw; vi para todos os u; w V e ; C, (onde por exemplo a para todo o u V ( xo) V! C v! hu; vi é linear bi se a+bi) e a aplicação,

117 (iii) Para todo o u V tal que u, hu; ui > Tendo-se hu; ui se e só se u (c) A um espaço linear real de dimensão nita com um produto interno chama-se espaço euclidiano A um espaço linear complexo de dimensão nita com um produto interno chama-se espaço unitário Observação (i) Seja V um espaço linear real Seja B fw ; w ; :::; w n g uma base ordenada de V Sejam u; v V Sejam ; ; :::; n e ; ; :::; n as coordenadas de u e de v na base ordenada B respectivamente, isto é, e Logo, u w + w + ::: + n w n v w + w + ::: + n w n * nx hu; vi i w i ; i : : : n + nx i w i i nx i nx i w i i nx i w i i nx i j hw i ; w j i j hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hw n ; w i hw n ; w i : : : hw n ; w n i Assim, a aplicação h; i : V V! R que a cada (u; v) V V faz corresponder hu; vi, é um produto interno em V se e só se a matriz hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i G hw n ; w i hw n ; w i : : : hw n ; w n i fôr simétrica (G G T ) e de nida positiva (u T Gu >, para todo o u ) Note-se que a linearidade é consequência das propriedades referentes às operações matriciais envolvidas (ii) À matriz G anterior dá-se o nome de matriz da métrica do produto interno (iii) Num próximo capítulo, como consequência da diagonalização ortogonal, sendo G simétrica (G G T ), será estabelecida a equivalência: (u T Gu >, para todo o u ), (todos os valores próprios de G são positivos) n

118 (iv) Observe-se ainda que no caso de se ter um espaço unitário pode-se encontrar uma matriz G cujos valores próprios sejam todos positivos e tal que G G T, (onde G é a matriz que se obtem de G passando todas as entradas desta ao complexo conjugado), tendo-se hu; vi : : : n G Uma matriz A que satisfaça a condição A A T diz-se hermitiana n Teorema Seja V um espaço linear real com dim V n Seja fw ; w ; :::; w n g uma base ordenada de V Então, uma aplicação é um produto interno (em V ) se e só se com h; i : V V! R hu; vi : : : n G n, u w + w + ::: + n w n v w + w + ::: + n w n e G é uma matriz simétrica cujos valores próprios são todos positivos Se a aplicação h; i fôr um produto interno tem-se hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i G hw n ; w i hw n ; w i : : : hw n ; w n i Exemplo 9 (i) Seja h; i : R R! R a aplicação de nida por: h( ; ) ; ( ; )i +, com ( ; ) ; ( ; ) R Esta aplicação é um produto interno em R a que se dá o nome de produto interno usual em R, uma vez que h( ; ) ; ( ; )i + G com G 8

119 A matriz G é simétrica e o único valor próprio de G é > (ii) Seja h; i : R R! R a aplicação de nida por: h( ; ) ; ( ; )i +, com ( ; ) ; ( ; ) R Esta aplicação não é um produto interno em R, uma vez que h( ; ) ; ( ; )i + G com G A matriz G é simétrica, no entanto, os valores próprios de G: (iii) O produto interno usual em R n é dado por: onde u T u u : : : u n e v h; i : R n R n! R v v v n (u; v)! hu; vi u T v, (iv) O produto interno usual em C n é dado por: h; i : C n C n! C (u; v)! hu; vi u H v, v onde u H u T v u u : : : u n e v v n (v) Um produto interno em M mn (R) h; i : M mn (R) M mn (R)! R e não são ambos positivos (A; B)! ha; Bi mx nx a ij b ij tr A T B i j (vi) Um produto interno em C ([a; b]) h; i : C ([a; b]) C ([a; b])! R (f; g)! hf; gi 9 Z b a f (x) g (x) dx

120 Exemplo R com um produto interno não usual Seja h; i : R R! R a aplicação de nida por: h( ; ) ; ( ; )i + + +, com ( ; ) ; ( ; ) R É fácil ver que esta aplicação é simétrica e linear em relação a ( ; ) ( xando ( ; )) Vejamos por exemplo que a condição é satisfeita Atendendo a que tem-se h( ; ) ; ( ; )i >, para todo o ( ; ) (; ), h( ; ) ; ( ; )i ( + ) +, Em alternativa, podemos escrever h( ; ) ; ( ; )i,, ( e + e ), ( e ), ( ; ) (; ) com h( ; ) ; ( ; )i G G A matriz G é simétrica e os valores próprios de G: +p e p são ambos positivos De nição Sejam V um espaço linear com um produto interno e o vector nulo de V Sejam u; v V (i) Chama-se norma de u a: kuk p hu; ui: (ii) Chama-se projecção ortogonal de v sobre u a: proj u v hv; ui kuk u: (iii) Diz-se que u e v são ortogonais se hu; vi (iv) Chama-se ângulo entre dois vectores não nulos u e v tais que hu; vi R a: arccos hu; vi kuk kvk

121 Note que este ângulo está bem de nido atendendo ao próximo teorema Observação (i) O ângulo entre dois vectores não nulos u e v é são ortogonais se e só se u e v (ii) Para cada u V ( xo) com u, a aplicação proj u : V! V que a cada v V faz corresponder proj u v, é uma transformação linear Teorema Desigualdade de Cauchy-Schwarz Seja V um espaço linear com um produto interno Então, para todos os u; v V, jhu; vij kuk kvk Observação (i) Teorema de Pitágoras Sejam u; v R Tem-se u e v ortogonais se e só se ku vk kuk + kvk Dem se e só se ku vk hu v; u vi isto é, se e só se u e v forem ortogonais hu; ui hv; ui hu; vi + hv; vi kuk hu; vi + kvk kuk + kvk hu; vi, (ii) Em R com o produto interno usual, a desigualdade de Cauchy-Schwarz é dada por q q j + j + +, uma vez que com ( ; ) ; ( ; ) R h( ; ) ; ( ; )i +, (iii) Em R n com o produto interno usual, a desigualdade de Cauchy-Schwarz é dada por v v nx ux i i t n ux t n i i, uma vez que i com ( ; :::; n ) ; ( ; :::; n ) R n i i h( ; :::; n ) ; ( ; :::; n )i + ::: + n n,

122 Teorema Sejam V um espaço linear com um produto interno e o vector nulo de V Sejam u; v V e escalar A norma é uma aplicação kk : V! R que satisfaz as seguintes propriedades (i) Positividade: kuk > se u (ii) Homogeneidade: kuk jj kuk (iii) Desigualdade triangular: ku + vk kuk + kvk Observação 8 Pode de nir-se norma num espaço linear V, sem estar associada a qualquer produto interno, como sendo uma aplicação de V em R que satisfaz as propriedades do teorema anterior A um espaço linear com uma norma chama-se espaço normado Observação 9 Seja V um espaço linear real com um produto interno Sejam u; v V Tem-se hu; vi ku + vk kuk kvk Observação Seja V um espaço normado Sejam u; v V Então, a norma pode dar origem a um produto interno se e só se ku vk + ku + vk kuk + kvk Esta última equação é conhecida por lei do paralelogramo Exemplo Uma norma que não dá origem a um produto interno Seja kk : R! R a aplicação de nida por k( ; )k j j + j j, com ( ; ) R É fácil veri car que esta aplicação satisfaz as três condições da norma Logo, é uma norma No entanto, é também fácil veri car que esta norma não satisfaz a lei do paralelogramo Logo, esta norma não poderá originar um produto interno De nição Sejam V um espaço euclidiano (ou unitário) e S V Diz-se que S é ortogonal se para todos os u; v S com u v, se tiver hu; vi Diz-se que S é ortonormado se fôr ortogonal e se, para todo o u S, se tiver kuk Teorema Sejam V um espaço linear com um produto interno e S V Seja o vector nulo de V Se S é ortogonal e S então S é linearmente independente Em

123 particular, se n dim V então qualquer conjunto S ortogonal de n vectores não nulos é uma base de V Teorema Seja V um espaço euclidiano (ou unitário) com dim V n Seja B fu ; :::; u n g uma base (ordenada) ortogonal de V Então, as coordenadas de um vector v V em relação à base (ordenada) B são dadas por: j hv; u ji hu j ; u j i, com j ; :::; n Se B fôr ortonormada então as coordenadas de um vector v V em relação à base (ordenada) B são dadas por: com j ; :::; n j hv; u j i, Teorema 8 Seja V um espaço euclidiano com dim V n Seja B fw ; :::; w n g uma base (ordenada) ortonormada de V Então, para todos os u; v V, tem-se e hu; vi nx hu; w i i hv; w i i (fórmula de Parseval) i v ux kuk t n hu; w i i : i Observação Seja V um espaço euclidiano com dim V n Seja B fw ; :::; w n g uma base (ordenada) ortonormada de V Sejam u; v V, com u w + w + ::: + n w n v w + w + ::: + n w n Então a fórmula de Parseval é dada por: e tem-se hu; vi nx i i + + ::: + n n i v ux kuk t n i i Notação Sejam V um espaço euclidiano (ou unitário) e o vector nulo de V Para v qualquer v V, com v, o vector v será denotado por kvk kvk

124 Teorema 9 Método de ortogonalização de Gram-Schmidt Seja V um espaço euclidiano (ou unitário) não nulo Então V tem bases ortonormadas Mais concretamente, considere o conjunto linearmente independente: e sejam então u v, fv ; v ; :::; v k g V u v proj u v, (i) L(fu ; u ; :::; u k g) L(fv ; v ; :::; v k g); ::: u k v k proj u v k ::: proj uk v k (ii) o conjunto fu ; u ; :::; u k g é uma base ortogonal de L(fv ; v ; :::; v k g) u (iii) o conjunto ku k ; u ku k ; :::; u k é uma base ortonormada de L(fv ; v ; :::; v k g) ku k k Exemplo Considere-se R com o produto interno usual Seja U L(f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; 9)g) Determinemos a dimensão de U e uma base ortonormada para U Tem-se! 8! 9 Logo, o conjunto fv ; v g, com v (; ; ; ) e v (; ; ; ), é uma base de U e como tal dim U Sejam u v e u v proj u v Logo, o conjunto fu ; u g, com u (; ; ; ) e + u (; ; ; ) (; ; ; ) (; ; ; ), é uma base ortogonal de U Uma base ortonormada para U: ( u ku k ; u ku k ; p ; ; ; ; p p ; ; p!) Teorema Seja B fu ; u ; :::; u n g uma base (ordenada) de um espaço euclidiano (ou unitário) A base B é ortonormada se e só se a matriz da métrica G em relação a essa base fôr a matriz identidade Em R n o produto interno usual é aquele em relação ao qual a base canónica é ortonormada

125 Teorema Seja fv ; v ; :::; v n g uma base (ordenada) de R n Então, existe um único produto interno em R n para o qual esta base é ortonormada Exemplo Considere em R a base (ordenada) B fv ; v g, com v (; ) e v (; ) Vejamos que existe um e um só produto interno para o qual a base B é ortonormada Seja Bc f(; ); (; )g a base canónica de R Sejam u; v R, com u ( ; ) e v ( ; ), onde ; e ; são as coordenadas na base Bc de u e v respectivamente Logo, a aplicação h; i : R R de nida por hu; vi h( ; ) ; ( ; )i T S B c!b T S B c!b + é um produto interno e é o único para o qual a base B é ortonormada, onde S B c!b S B!B c : NOTE QUE: sendo G (é simétrica e os valores próprios +p e p são ambos positivos) a matriz da métrica em relação a Bc e G (é simétrica e o único valor próprio é positivo) a matriz da métrica em relação a B, tem-se G S B c!b T G S B c!b É fácil veri car que para este produto interno a base B é ortonormada: h(; ) ; (; )i e h(; ) ; (; )i h(; ) ; (; )i De nição Sejam V um espaço euclidiano (ou unitário) e U um subespaço de V Diz-se que um elemento de V é ortogonal a U se fôr ortogonal a todos os elementos de U Ao conjunto de todos os elementos ortogonais a U chama-se complemento ortogonal de U e designa-se por U?, U? fv V : hv; ui para todo o u Ug Observação Seja V um espaço linear com produto interno (i) Qualquer que seja o subespaço U de V, também U? é um subespaço de V (ii) Sendo S um subconjunto de V, não necessariamente um subespaço de V, (também) pode de nir-se S? : S? fv V : hv; ui para todo o u Sg

126 Apesar de S não ser necessariamente um subespaço de V, S? é sempre um subespaço de V, tendo-se S? (L (S))? Teorema Seja V um espaço linear com produto interno (i) Seja U um subespaço de V Tem-se (ii) Seja S um subconjunto de V Então U \ U? fg : S S?? No próximo teorema ver-se-á que no caso de se ter dim V <, então L (S) S?? ou ainda, sendo U um subespaço de V (de dimensão nita) U U?? (iii) Sejam S ; S subconjuntos de V Então S S ) (S )? (S )? (iv) Seja U um subespaço de V Se fv ; v ; :::; v n g é uma base de U então U? fv V : hv; v i hv; v i ::: hv; v n i g (v) Sejam U ; U subespaços de V Tem-se (U + U )? (U )? \ (U )? e Se dim V < tem-se (U \ U )? (U )? + (U )? (U \ U )? (U )? + (U )? Exemplo (i) Se U R é um plano que passa pela origem, então U? é uma recta que passa pela origem e é perpendicular ao plano (ii) Se U R é uma recta que passa pela origem, então U? é um plano que passa pela origem e é perpendicular à recta (iii) Seja A M mn (R) Então, N (A) (L(A))? C(A T )? e N (A T ) L(A T )? (C(A))? : (iv) Seja A M nn (R) tal que A é invertível Então, (N (A))? R n e (L (A))? fg :

127 Teorema Se U é um subespaço de um espaço euclidiano (ou unitário) V, então V é a soma directa de U e U?, isto é, V U U? Logo, cada elemento v V pode ser escrito de modo único como soma de um elemento de U com um elemento de U? : v v U + v U?, com v U U e v U? U? À transformação linear P U : V! V de nida por P U (v) v U e tal que P U P U P U (P U ) chama-se projecção ortogonal de V sobre U e à transformação linear P U? : V! V de nida por P U?(v) v U? e tal que P U? P U? P U? (P U?) chama-se projecção ortogonal de V sobre U? Tem-se I P U + P U?, dim U + dim U? dim V; U?? U De facto, se fw ; w ; :::; w l g fôr uma base ortogonal de U, então P U (v) lx i hv; w i i kw i k w i lx proj wi v v U i I (P U ) P U (V ) U N (P U ) U? para todo o v V Se fu ; u ; :::; u k g é uma base ortogonal de U?, então, para todo o v V P U?(v) kx j hv; u j i ku j k u j kx proj uj v v U? j I (P U?) P U?(V ) U? N (P U?) U Neste caso, fw ; w ; :::; w l ; u ; u ; :::; u k g é uma base ortogonal de V Tem-se ainda: (i) hp U (u) ; vi hu; P U (v)i, hp U? (u) ; vi hu; P U? (v)i, para todos os u; v V ; (ii) kuk kp U (u)k + kp U? (u)k, para todo o u V (Teorema de Pitágoras); Teorema Seja U é um subespaço de dimensão nita de um espaço euclidiano (ou unitário) V Seja v V Então, existe um elemento de U mais próximo de v do que qualquer dos outros pontos de U Este elemento é a projecção ortogonal P U (v) de v sobre U e tem-se kv P U (v)k kv uk, para todo o u U, e a igualdade veri ca-se se e só se u P U (v) Além disso, tendo-se U, a distância d de um ponto v V a um subespaço U é dada por: d (v; U) kp U? (v )k kp U? (v)k kv P U (v)k

128 De nição Seja V um espaço euclidiano (ou unitário) Seja U é um subespaço de V com dim U k Seja q V Chama-se ao conjunto fqg + U um k-plano A distância d de um ponto p V a um k-plano P fqg + U é dada por: d (p; P) kp U? (p q)k Observação A distância entre dois k-planos paralelos é dada por: P fpg + U e P fqg + U d (P ; P ) kp U? (p q)k Exemplo Considere-se R com o produto interno usual (i) Seja P o plano (em R ) que passa pelos pontos: (; ; ), (; ; ) e (; ; ): Tem-se uma vez que P f(; ; )g + L (f(; ; ); (; ; )g) (; ; ) (; ; ) (; ; ) e (; ; ) (; ; ) (; ; ) Equação vectorial de P: com ; R (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ), Equações paramétricas de P: 8 < com ; R : x y z Equação cartesiana de P: x Podemos determinar uma equação cartesiana de P do seguinte modo Atendendo a que P f(; ; )g + L (f(; ; ); (; ; )g) 8

129 seja Logo, U L (f(; ; ); (; ; )g) U? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i e h(x; y; z); (; ; )i N L (f(; ; )g) e assim, a equação cartesiana do plano P que passa pelo ponto (; ; ) é dada por: (h(x ; y ; z ); (; ; )i ), ou seja por NOTE QUE:, ( (x ) + (y ) + (z ) ), x U U?? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i (x; y; z) R : x : (ii) Determinemos a equação cartesiana da recta que passa pelos pontos (; ; ) e (; ; ) Tem-se r f(; ; )g + L (f(; ; )g), uma vez que Seja Logo, (; ; ) (; ; ) (; ; ): U L (f(; ; )g) U? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i N L (f(; ; ); (; ; )g) e assim, a equação cartesiana da recta r é dada por: (h(x ; y ; z); (; ; )i e h(x ; y ; z); (; ; )i ), ou seja por NOTE QUE:, ( (x ) e (y ) z ), x y z U U?? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i e h(x; y; z); (; ; )i (x; y; z) R : x e y z : 9

130 a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Diga quais das seguintes aplicações h; i : R R! R de nem em R um produto interno (i) h(x ; x ); (y ; y )i x y + x y (ii) h(x ; x ); (y ; y )i x y x y x y + x y (iii) h(x ; x ); (y ; y )i x y + x y Diga quais das seguintes aplicações h; i : R R! R de nem em R um produto interno (i) h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y (ii) h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y x y (iii) h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y + x y + x y Determine um produto interno em R tal que h(; ); (; )i Considere os vectores u p ; p e v p ; p Veri que que o conjunto fu; vg é ortonormado relativamente ao produto interno de nido em R por: hu; vi u v + u v, onde u (u ; u ) e v (v ; v ) Veri que porém que o mesmo conjunto fu; vg não é ortonormado relativamente ao produto interno usual de nido em R Considere em R o produto interno usual Determine o subespaço de R ortogonal aos vectores (; ; ; ) e (; ; ; ) Considere em R o produto interno de nido por: h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y + x y + x y (i) Calcule kuk, para qualquer vector u (x ; x ; x ) R (ii) Considere os vectores u (; ; ), u ( ; ; ) e u (; ; ) Calcule os ângulos formados pelos vectores: u e u ; u e u ; u e u (iii) Justi que que o conjunto fu ; u ; u g é uma base ortonormada de R Calcule as coordenadas de um vector u R em relação a esta base Considere R com o produto interno usual Determine uma base ortonormada para o subespaço de R gerado pelos vectores: (; ; ; ); ( ; ; ; ) e (; ; ; ) 8 Considere R com o produto interno usual Considere também os seguintes subespaços de R : U L (f(; ; ); (; ; )g) e V (x; y; z) R : y z

131 (i) Determine uma base ortogonal para U e uma base ortonormada para V (ii) Determine duas bases ortonormadas para R : uma que inclua dois vectores de U e outra que inclua dois vectores de V (iii) Determine o elemento de U mais próximo de (; ; ) e a distância entre (; ; ) e V? 9 Seja A e considere o produto interno usual Sejam N (A), C (A) e L (A) respectivamente o núcleo, espaço das colunas e espaço das linhas de A (i) Determine uma base ortonormada para R que inclua dois vectores de C (A) (ii) Determine o elemento de L (A) mais próximo de (; ; ) e a distância entre (; ; ) e N (A) Seja A e considere o produto interno usual Sejam N (A), C (A) e L (A) respectivamente o núcleo, espaço das colunas e espaço das linhas de A (i) Determine uma base ortonormada para (N (A))? (o complemento ortogonal do núcleo de A) (ii) Determine uma base ortonormada para R que inclua dois vectores de C (A) (iii) Determine o elemento de L (A) mais próximo de (; ; ) e a distância entre (; ; ) e (L (A))? Considere em R o seguinte subespaço: U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Determine uma matriz A do tipo cujo núcleo seja igual a U, isto é, tal que U N (A) De na o produto interno em R em relação ao qual a base f(; ); (; )g é ortonormada Considere a aplicação h; i : R R! R de nida por h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y x y x y + x y + x y (i) Veri que que h; i de ne um produto interno em R (ii) Seja V L (f(; ; )g) R Diga qual é o ponto de V mais próximo de (; ; ) (iii) Determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal de V, em relação ao produto interno h; i (iv) Seja P V : R! R a projecção ortogonal de R sobre V Indique, em relação ao produto interno h; i, uma base ortonormada de R para a qual a representação matricial de P V seja dada por Seja U o subespaço de R gerado pelos vectores v (; ; ) e v ; ; Escreva u (; ; ) na forma u u + u, com u U e u U?

132 Considere R com o produto interno usual Em cada alínea seguinte, determine uma base ortogonal para o complemento ortogonal de U, isto é, para U? (i) U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) (ii) U L (f(; ; ; )g) (iii) U f(x; y; z; w) R : x + y + z + w g (iv) U f(x; y; z; w) R : x z e x y + z w g Considere R com o produto interno usual Considere também o seguinte subespaço de R : U L (f(; ; ); (; ; )g) (i) Determine uma base ortogonal para U (ii) Determine u U e v U? tais que (; ; ) u + v (iii) Determine a distância entre o ponto (; ; ) e o plano f(; ; )g + U (iv) Determine a distância entre o ponto (x; y; z) e o plano U Considere R com o produto interno usual Considere também o seguinte subespaço de R : U (x; y; z; w) R : x y + z e y z + w (i) Determine uma base ortonormada para U (ii) Determine uma base ortonormada para U? (iii) Determine as projecções ortogonais de (; ; ; ) sobre U e U? respectivamente (iv) Determine as representações matriciais de P U : R! R e de P U? : R! R em relação à base canónica de R (v) Determine a distância entre o ponto (; ; ; ) e o subespaço U (vi) Determine a distância entre o ponto (x; y; z; w) e o subespaço U 8 Considere P fa + a t + a t : a ; a ; a Rg a aplicação h; i : P P! R de nida por hp(t); q(t)i p( )q( ) + p()q() + p()q() Considere também o seguinte subespaço de P : U fp(t) P : p() g (i) Veri que que h; i de ne um produto interno em P (ii) Determine uma base ortonormada para U (iii) Determine uma base ortonormada para U? (iv) Determine as projecções ortogonais do polinómio + t sobre U e U? respectivamente (v) Determine as representações matriciais de P U : P! P e de P U? : P! P em relação à base canónica f; t; t g de P (vi) Determine a distância entre + t e U (vii) Determine a distância entre o polinómio a + a t + a t e o subespaço U

133 9 Considere a aplicação h; i : M (R) M (R)! R de nida por ha; Bi tr(ab T ) Considere também o subespaço U de M (R) constituído por todas as matrizes simétricas reais do tipo : a b U M c d (R) : b c (i) Veri que que h; i de ne um produto interno em M (R) (ii) Determine uma base ortonormada para U (iii) Determine uma base ortonormada para U? (iv) Determine as representações matriciais de P U : M (R)! M (R) e de P U? : M (R)! M (R) em relação à base canónica ; ; ; de M (R) (v) Determine as projecções ortogonais da matriz sobre U e U? respectivamente (vi) Qual é a matriz simétrica mais próxima da matriz (vii) Determine a distância entre e U a b (viii) Determine a distância entre e U c d?

134 a Ficha de exercícios facultativos Seja V um espaço euclidiano real Veri que que para todos os u; v; w V; R se tem: (i) hu; vi hv; ui (iii) hu; v + wi hu; vi + hu; wi (ii) hu; vi hu; vi hu; vi (iv) hu + v; wi hu; wi + hv; wi (v) hu + w; v + wi hu; vi + hu; wi + hw; vi + kwk (vi) hu; i h; ui (vii) hu; vi se e só se ku + vk ku vk (viii) hu; vi se e só se ku + vk kuk + kvk : (ix) hu; vi se e só se ku + cvk kuk para todo o real c (x) hu + v; u vi se e só se kuk kvk (xi) Lei do paralelogramo ku vk + ku + vk kuk + kvk Seja V um espaço euclidiano real (i) Seja u V Veri que que se hu; vi para qualquer v V então u (ii) Sejam u; v V Veri que que u v se e só se hu; wi hv; wi para qualquer w V Seja V um espaço euclidiano com dim V n Seja S fu ; :::; u n g uma base ortonormada de V Seja T : V! V uma transformação linear Veri que que a matriz A (a ij ) que representa T em relação à base S é dada por A (a ij ) (ht (u j ); u i i) Seja V um espaço euclidiano de dimensão n Seja fu ; :::; u k g um conjunto linearmente independente de k vectores de V Considere a transformação linear T : V! V de nida por kx T (v) hv; u i i u i, com v V Mostre que T é invertível se e só se k n i Seja V um espaço euclidiano real Seja T : V! V uma transformação linear tal que kt (w)k kwk para qualquer w V Mostre que para quaisquer u; v V ht (u); T (v)i hu; vi,

135 Produto externo e produto misto De nição Sejam u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R Então o produto externo (vectorial) de u por v, denotado por u v, é o vector de R de nido por u v (u v u v ; u v u v ; u v u v ), isto é, u v u u v v ; u u v v u u v v e u u v v ; u u v v e + u u v v e e e e u u u v v v, onde fe ; e ; e g é a base canónica de R Observação Sejam u; v; w R e R Então, tem-se: (i) e e e (ii) e e e (iii) e e e (iv) u v (v u) (v) u (v + w) u v + u w (vi) (u + v) w u w + v w (vii) (u v) (u) v u (v) (viii) u u (ix) u u (x) Se u e v forem linearmente dependentes então u v (xi) u (v w) hu; wi v (xii) (u v) w hw; ui v hu; vi w hw; vi u (xiii) ku vk + hu; vi kuk kvk (xiv) u (v w) + v (w u) + w (u v) Teorema Considere-se R com o produto interno usual Sejam u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) R n fg e seja [; ] o ângulo formado por u e v Então tem-se:

136 (i) ku vk kuk kvk sen (ii) A área do paralelogramo de lados adjacentes u e v é dada por: A ku vk Dem (i) Como [; ], tem-se sen p kuk kvk sen cos e deste modo, kuk kvk p s hu; vi q cos kuk kvk kuk kvk kuk kvk hu; vi q (u + u + u ) (v + v + v) (u v + u v + u v ) q (u v u v ) + (u v u v ) + (u v u v ) k(u v u v ; u v u v ; u v u v )k ku vk (ii) A (base) (altura) kuk kvk sen De nição Considere-se R com o produto interno usual Sejam u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) ; w (w ; w ; w ) R À expressão chama-se produto misto de u; v e w hu; v wi Observação Considere-se R com o produto interno usual Sejam u (u ; u ; u ) ; v (v ; v ; v ) ; w (w ; w ; w ) R Então, tem-se: (i) hu; v wi u u u v v v w w w (ii) Sendo o ângulo formado por u e v w, o volume do paralelepípedo com um vértice e arestas u; v; w com origem em (; ; ), é dado por V kv wk {z } área da face determinada por v e w kv wk kuk (iii) hu; u vi (iv) hv; u vi (v) hu; v wi hu v; wi jhu; v wij kuk kv wk kuk jcos j {z } altura jhu; v wij u u u v v v w w w A

137 Matrizes hermitianas, matrizes simétricas e matrizes normais Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal De nição 8 Seja A (a ij ) M nn (C) Denota-se por A H a matriz A T, isto é, a transposta da matriz conjugada A (a ij ), onde a ij é o complexo conjugado de a ij Ou seja, escreve-se A H A T A matriz A diz-se hermitiana se A H A Observação (a) Sejam ; C, A; C M mn (C) e B M nr (C) Tem-se: (i) A H H A (ii) (A + B) H A H + B H (iii) (AC) H C H A H (b) Seja A M nn (R) tal que A é simétrica (A T A) Então A é hermitiana uma vez que sendo A real tem-se A H A T Teorema Todos os valores próprios de uma matriz hermitiana são reais Além disso, os vectores próprios associados a valores próprios distintos, de uma matriz hermitiana, são ortogonais Dem Seja A M nn (C) tal que A é hermitiana Seja um valor próprio de A e seja u um vector próprio associado Seja u H Au Então, tem-se H u H Au H u H A H Ou seja, é real Por outro lado, como u H H A é hermitiana uh Au tem-se kuk R u H Au u H u kuk, Sejam agora u e u vectores próprios associados respectivamente a valores próprios distintos e Então, tem-se e Logo, tem-se (Au ) H u u H A H u A é hermitiana uh Au u H u (Au ) H u ( u ) H u u H u R u H u u H u u H u, ( ) u H u E assim, como, então u H u {z }, ou seja, u e u são ortogonais hu ;u i Observação Todos os valores próprios de uma matriz simétrica real são reais Além disso, os vectores próprios associados a valores próprios distintos, de uma matriz simétrica, são ortogonais

138 De nição 9 (i) Seja U M nn (C) A matriz U diz-se unitária se se tiver U H U I, isto é, se U H U, ou seja, se as colunas de U constituirem um conjunto ortonormado em C n (ii) Seja A M nn (R) A matriz A diz-se ortogonal se se tiver A T A I, isto é, se A T A, ou seja, se as colunas de A constituirem um conjunto ortonormado em R n Observação 8 (i) Seja U M nn (R) tal que U é unitária Como, sendo U real, se tem U H U T, então U é ortogonal Isto é, toda a matriz real unitária é ortogonal (ii) Seja A uma matriz hermitiana Se os valores próprios de A forem distintos, então existe uma matriz unitária que diagonaliza A, isto é, existe U unitária tal que UAU H é uma matriz diagonal, ou seja, A diz-se unitariamente diagonalizável (iii) A a rmação anterior (ii) continua válida mesmo se os valores próprios não forem distintos, como será provado no Teorema 8 Teorema Seja A uma matriz n n Então, existe uma matriz unitária U tal que UAU H é triangular superior Dem A demonstração será efectuada por indução em n O resultado é óbvio para n Suponhamos que a hipótese é válida para matrizes kk e seja A uma matriz (k + )(k + ) Sejam um valor próprio de A e w um vector próprio associado de norma Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, seja fw ; : : : ; w k+ g uma base ortonormada para C k+ Seja W H a matriz cuja coluna i é igual ao vector w i, para i ; : : : ; k + Então, por construção, a matriz W H é unitária Por outro lado, a primeira coluna de W AW H é igual a W Aw, tendo-se Logo, tem-se W Aw W w W w W AW H j j j j M j onde M é uma matriz k k Pela hipótese de indução, existe uma matriz k k unitária V tal que V M (V ) H T, onde T é uma matriz triangular Seja V j j j j V j 8,

139 Então V é unitária e tem-se (V W ) A (V W ) H V W AW H V H j j j j V M (V ) H j j j j j T j T, onde T é uma matriz triangular Como a matriz V W é unitária, pondo U V W, tem-se com T triangular e U unitária UAU H T, Teorema 8 Seja A uma matriz hermitiana Então existe uma matriz unitária U que diagonaliza A, isto é, A é diagonalizável unitariamente Ou seja, existe U unitária tal que tal que a matriz UAU H é diagonal Dem Pelo teorema anterior, existe uma matriz unitária U tal que a matriz UAU H é triangular Seja T UAU H Tem-se então T H UAU H H U H H A H U H A é hermitiana UAU H T Logo, como T T H e T é triangular então T é diagonal Observação 9 Atendendo ao resultado anterior tem-se então o seguinte Seja A M nn (R) tal que A é simétrica, isto é, tal que A A T Então existe uma matriz ortogonal P (matriz que veri ca: P T P ) tal que P AP T é diagonal, isto é, A é ortogonalmente diagonalizável relativamente a uma base ortonormada formada só por vectores próprios de A A matriz P T é a matriz cujas colunas são os vectores próprios de A que formam uma base ortonormada de R n, sendo P AP T a matriz diagonal onde se coloca na entrada i da diagonal principal o valor próprio correspondente ao vector próprio da coluna i da matriz P T Observação (i) Existem matrizes não hermitianas que são diagonalizáveis relativamente a bases ortonormadas formadas só por vectores próprios, como por exemplo as matrizes anti-hermitianas (A H A) e as matrizes anti-simétricas (A T A) (ii) Seja A M nn (R) Suponhamos que A é ortogonalmente diagonalizável relativamente a uma base ortonormada formada só por vectores próprios de A Sejam D diagonal e P ortogonal tais que A P T DP Então A T P T DP T P T D T P T T P T DP A Logo A é simétrica Tem-se então, atendendo tambem à observação 9, sendo A real: A é ortogonalmente diagonalizável, A é simétrica 9

140 (iii) Seja A M nn (C) Suponhamos que A é unitariamente diagonalizável relativamente a uma base ortonormada formada só por vectores próprios de A Sejam D diagonal e U unitária tais que A U H DU Como em geral se tem D H D, então A H U H DU H U H D H U U H DU A Logo A não tem que ser necessariamente hermitiana (iv) O próximo teorema diz quais são as matrizes unitariamente diagonalizáveis De nição Uma matriz A diz-se normal se AA H A H A: Teorema 9 Uma matriz A é normal se e só se fôr unitariamente diagonalizável relativamente a uma base ortonormada formada só por vectores próprios de A Dem ()) Suponhamos que A é normal Pelo teorema, existe uma matriz unitária U e uma matriz triangular superior T tais que T UAU H Vejamos que T é normal Tem-se T H T UAU H H UAU H UA H U H UAU H UA H AU H A é normal UAA H U H UAU H UA H U H T T H Logo T é normal Seja T (t ij ) do tipo n n Comparando as entradas das diagonais principais de T T H e T H T tem-se: jt j + jt j + jt j + + jt n j jt j jt j + jt j + + jt n j jt j + jt j jt nn j jt n j + jt n j + jt n j + + jt nn j e assim, t ij sempre que i j Logo T é diagonal e portanto A é unitariamente diagonalizável (() Suponhamos agora que A é unitariamente diagonalizável Queremos mostrar que A é normal Sejam D diagonal e U unitária tais que D UAU H, ou seja, A U H DU Tem-se AA H U H DU U H DU H U H DUU H D H U U H DD H U e A H A U H DU H U H DU U H D H UU H DU U H D H D U Como j j DD H D H j D j, j n j então tem-se AA H A H A e assim A é normal

141 Formas quadráticas De nição Uma equação quadrática em duas variáveis x e x é uma equação da forma ax + bx + cx x + dx + ex + f a qual pode ser escrita na forma Sejam a c x x c b x x x x x + d e x x a e A c + f (A é uma matriz real simétrica) À função real a duas variáveis reais Q : R! R de nida por Q (x) x T Ax, com x T Ax ax + bx + cx x chama-se forma quadrática real a variáveis reais associada à equação quadrática anterior Podem haver equações do o grau e formas quadráticas com um n o de variáveis superior a Uma equação quadrática em n variáveis x ; x ; : : : ; x n é uma equação da forma onde x x x x T Ax + Bx +,, A (a ij) é uma matriz real simétrica do tipo n n, B M n (R) e x n é um escalar À função real a n variáveis reais Q : R n! R de nida por c b : Q (x) x T Ax nx i! nx a ij x j x i j chama-se forma quadrática real a n variáveis reais associada à equação quadrática anterior Teorema 8 (Teorema dos eixos principais) Seja A M nn (R) tal que A é simétrica Então existe uma mudança de variáveis ortogonal que transforma a forma quadrática x T Ax na forma quadrática y T Dy sem termos cruzados Isto é, se P diagonalizar A ortogonalmente (D P AP T ), então a mudança de variáveis x P T y transforma a forma quadrática x T Ax na forma quadrática y T Dy: x T Ax y T P AP T y y T Dy y + y + + n yn y y y y y n, n y n

142 onde ; ; : : : ; n são os valores próprios de A associados respectivamente aos vectores próprios que constituem as colunas de P T e que formam uma base ortonormada de R n Observação (i) Chama-se cónica ou secção cónica à curva plana obtida por meio de um corte efectuado por um plano relativamente a uma superfície cónica As secções cónicas que se obtêm quando o plano que efectua o corte não passa pelo vértice da superfície cónica, são elipses (os valores próprios têm o mesmo sinal) (podendo ter-se circunferências: quando o corte é efectuado perpendicularmente ao eixo de simetria do cone), parábolas (um dos dois valores próprios é zero) e hipérboles (os dois valores próprios têm sinais contrários) e (ii) Em R tem-se x x x x ; A a d e d b f e f c e B ax + bx + cx + dx x + ex x + fx x + gx + hx + ix + À super cie resultante da equação anterior chama-se quádrica Existem quatro tipos de quádricas não degeneradas): elipsóides, hiperbolóides (de uma ou duas folhas), cones e parabolóides (elípticos ou hiperbólicos) g h i Exemplo Considere-se a forma quadrática Q : R! R de nida por Tem-se Q(x; y) x + xy + y Q(x; y) x y x A y com A forma quadrática diagonal (isto é, sem termos cruzados) com e Os valores próprios de A são e Tem-se então a seguinte P T Q (x ; y ) x y D x x y D P AP T, p p x y y x P y p p cos sen, x y, sen cos,

143 em que P T é a matriz diagonalizante obtida colocando na a coluna um vector próprio de norma associado ao valor próprio e na a coluna um vector próprio de norma associado ao valor próprio, de tal modo que ambos os vectores próprios constituam uma base ortonormada de R Observe-se que a matriz P é ortogonal, isto é, tem-se P T P Tem-se então Q(x; y) x y x A y x x y P T DP y T x x P DP y y x x y D Q (x ; y ) Por exemplo, relativamente à equação quadrática x + xy + y y y x tem-se a elipse: (x ) + (y ) x, + y p! : De nição Seja A uma matriz real simétrica do tipo n n Diz-se que A e a forma quadrática Q : R n! R dada por Q (x) x T Ax são: (i) de nidas positivas se x T Ax >, para todo o x ; (ii) de nidas negativas se x T Ax <, para todo o x ; (iii) semide nidas positivas se x T Ax, para todo o x; (iv) semide nidas negativas se x T Ax, para todo o x; (v) inde nidas se existirem pontos onde x T Ax seja positiva e pontos onde x T Ax seja negativa

144 Teorema 8 Seja A M nn (R) tal que A é simétrica Então, (i) A é de nida positiva se e só se todos os valores próprios de A forem positivos; (ii) A é de nida negativa se e só se todos os valores próprios de A forem negativos; (iii) A é semide nida positiva se e só se todos os valores próprios de A forem não negativos; (iv) A é semide nida negativa se e só se todos os valores próprios de A forem não positivos; (v) A é inde nida se e só se A tiver pelo menos um valor próprio positivo e outro negativo Dem (i) ()) Suponhamos que A é de nida positiva, isto é, x T Ax > ; para todo o x Seja um valor próprio de A Então, para qualquer vector próprio x associado a tem-se x T Ax x T x kxk, com x Logo xt Ax kxk > (() Suponhamos que todos os valores próprios de A são positivos Seja fx ; : : : ; x n g um conjunto ortonormado de vectores próprios de A Logo fx ; : : : ; x n g é uma base ortonormada de R n Se x, então tem-se com ; :::; n não todos nulos, pelo que x x + + n x n, x T Ax ( x + + n x n ) T A ( x + + n x n ) (x ) T + + n (x n ) T ( Ax + + n Ax n ) (x ) T + + n (x n ) T ( x + + n n x n ) Logo A é de nida positiva nx ( i ) i > i

145 Teorema 8 Seja A M nn (R) tal que A é simétrica Então, as seguintes a rmações são equivalentes (i) A é de nida positiva (ii) Existe uma matriz simétrica de nida positiva B tal que A B (iii) Existe uma matriz invertível S tal que A S T S Dem (i) ) (ii) Supondo que A é de nida positiva, vejamos que existe uma matriz simétrica de nida positiva B tal que A B Como A é simétrica, então A é ortogonalmente diagonalizável, isto é, existe uma matriz ortogonal P tal que P AP T D n onde ; :::; n são os valores próprios de A, os quais são todos positivos por A ser de nida positiva, tendo-se D (D ) com Assim com simétrica: D p p n A P T DP P T (D ) P P T D P P T D P B B P T D P B T P T D P T P T (D ) T P T T P T D P B e de nida positiva uma vez que os valores próprios de P T D P são os de D (ii) ) (iii) Supondo que existe uma matriz simétrica de nida positiva B tal que A B, vejamos que existe uma matriz invertível S tal que A S T S: Como B é simétrica e de nida positiva, basta fazer S B para ter-se A B BB S T S com S simétrica e invertível uma vez que sendo B de nida positiva, não é valor próprio de B

146 (iii) ) (i) Supondo que existe uma matriz invertível S tal que A S T S, vejamos que A é de nida positiva, isto é, vejamos que para todo o x Tem-se x T Ax > ; x T Ax x T S T Sx (Sx) T Sx ksxk > para todo o x, uma vez que S é invertível Observação (i) Relativamente à matriz da métrica G que de ne um produto interno, sendo B fw ; :::; w n g uma base ordenada e ortonormada de um espaço euclidiano V de dimensão n tem-se hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hu; vi : : : n G, G hw ; w i hw ; w i : : : hw ; w n i hw n ; w i hw n ; w i : : : hw n ; w n i com e n u w + w + ::: + n w n G S T S I v w + w + ::: + n w n onde a matriz invertível S é a matriz de mundança da base B para uma outra base ordenada B : S B!B No caso da base ordenada B não ser ortonormada, a base ordenada B será ortonormada Em particular, a matriz G é invertível (ii) Sendo A matriz simétrica e de nida positiva (ou semide nida positiva), às matrizes reais B tais que A B chamam-se "raízes quadradas" de A: (iii) Sendo V o volume do hiperparalelepípedo determinado por fw ; :::; w n g, tem-se V det w w n det w w n det w w n T det w w n det T w w n det w w n w w n (w ) T (w ) T w (w ) T w n w w n A B C A (w n ) T (w n ) T w (w n ) T w n hw ; w i hw ; w n i B C A det G hw n ; w i hw n ; w n i Logo V det G

147 Mínimos quadrados Existem aplicações relativamente às quais os erros cometidos nas medições das entradas de A ou de b podem levar a que o sistema de equações lineares Au b não tenha solução, quando teoricamente deveria ter Em tais casos é natural a procura da "melhor solução aproximada" para esse problema De nição Sejam A M mn (R) e b R n Então, a bu R n chama-se melhor solução aproximada ou solução de mínimos quadrados de Au b se kb Abuk kb Auk, para qualquer u R n Ao vector b Abu chama-se vector erro de mínimos quadrados e ao escalar kb Abuk chama-se erro de mínimos quadrados Observação Sejam A M mn (R) e b R n Procuremos então um método para determinar as soluções de mínimos quadrados de Au b Atendendo a que Au C (A) para todo o u R n, então a distância kb Auk é mínima se Au P C(A) (b), onde P C(A) é a projecção ortogonal de R n sobre C (A) Como P C(A) (b) C (A), a equação Au P C(A) (b) tem sempre solução e essas soluções são as soluções de mínimos quadrados de Au b Deste modo, qualquer sistema de equações lineares tem sempre pelo menos uma solução de mínimos quadrados Por outro lado, pode escrever-se a equação Au P C(A) (b) na forma b Au b P C(A) (b) P N (A T ) (b) tendo-se A T (b Au) A T b P C(A) (b) A T P N (A T ) (b) ; pois (C (A))? N A T Logo A T Au A T b A esta equação chama-se equação normal associada a Au b Teorema 8 Sejam A M mn (R) e b R n (i) As soluções de mínimos quadrados do sistema de equações lineares Au b são as soluções da equação normal A T Au A T b:

148 (ii) Se car A n então a equação normal A T Au A T b tem a solução única u A T A A T b e tem-se P C(A) (b) Au A A T A A T b, isto é, A A T A A T é a matriz que representa a projecção ortogonal P C(A) Observação Seja A M mn (R) Vejamos que se tem car A car A T A : Basta para isso, mostrar que N (A) N A T A : Seja u N (A) Como Au então A T Au A T e assim u N A T A Reciprocamente, seja u N A T A e vejamos que u N (A) Tem-se A T Au, logo Au N A T L A T? (C (A))? (usando o produto interno usual) e como tal hau; Aui, ou seja kauk e então Au, isto é, u N (A) Observação Vejamos agora o modo como se pode determinar uma curva (ou recta) especí ca que se possa "ajustar" a um conjunto de pontos determinados experimentalmente (i) A partir de dois ou mais pontos dados (x ; y ) ; (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ) ; pretende-se determinar uma recta y a + a x que seja a recta que "melhor aproxime" ou a recta de mínimos quadrados de melhor ajuste aos pontos dados (recta de regressão) Isto é, pretende-se determinar as soluções de mínimos quadrados de 8 y a + a x >< y a + a x >: y m a + a x m 8

149 ou seja de x x x m Sejam x x A ; u x m a a a a y y y m e b y y y m : Atendendo a que car A car A T A, se houver pelo menos dois pontos distintos, tem-se car A e nesse caso, a equação normal A T Au A T b tem como única solução de mínimos quadrados u A T A A T b: Assim, a recta de mínimos quadrados y a + bx é a recta que torna mínimos os quadrados cuja soma é dada por onde kb (y (a + a x )) + (y (a + a x )) + + (y m (a + a x m )) kb Auk, Auk é o erro de mínimos quadrados (ii) A partir de m pontos dados (x ; y ) ; (x ; y ) ; : : : ; (x m ; y m ), pretende-se determinar um polinómio cujo grá co esteja tão perto quanto possível desses m pontos dados Isto é, com m N previamente xo, pretende-se determinar as soluções de mínimos quadrados do sistema de m equações a n + incógnitas (a ; a ; a ; : : : ; a n ) 8 y a + a x + a x >< + + a n x n y a + a x + a x + + a n x n >: y m a + a x m + a x m + + a n x n m ou seja de x x x n x x x n x m x m x n m a a a n y y y m 9

150 Sejam x x x n x x x n A x m x m x n m ; u a a a n e b y y y m : Note-se que se n + m e se os pontos dados forem distintos, então existe um único polinómio de grau n (o chamado polinómio interpolador) que passa por todos esses m pontos Por outro lado, atendendo a que car A car A T A, se n < m e pelo menos n + pontos forem distintos, tem-se car A n + e então a equação normal A T Au A T b tem como única solução de mínimos quadrados Sejam u A T A A T b: Exemplo Determinemos a recta de mínimos quadrados relativa aos pontos A (; ) ; (; ) ; (; ) e (; ) : e b Tem-se car A e como tal a solução de mínimos quadrados é única e dada por: a u A T A A T b tendo-se O vector b dado por: a C A y + x: Au é o vector erro de mínimos quadrados, sendo o erro de mínimos quadrados kb Auk, q (y (a + a x )) + (y (a + a x )) + (y (a + a x )) + (y (a + a x )) s r p

151 Seja A Calcule as dimensões dos espaços próprios de A sem os determinar Seja A a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Encontre uma matriz ortogonal P T que diagonalize ortogonalmente A e indique a correspondente matriz diagonal semelhante a A Seja A Determine três raízes quadradas de A, isto é, determine três matrizes B simétricas e de nidas positivas B tais que A B Diagonalize a seguinte forma quadrática Q de nida por Seja (i) Mostre que A é normal Q : R! R : Q (x ; x ; x ) x x x + x x x + x A + i i (ii) Mostre que A é hermitiana e em particular é normal (iii) Encontre uma matriz unitária U H que diagonalize unitariamente A e indique a correspondente matriz diagonal semelhante a A Determine a solução de mínimos quadrados de Au b, com A e b calculando o correspondente vector erro de mínimos quadrados Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais determinando a respectiva solução geral 8 < u u u () u u + u + u com u () : u u + u u () :

152 Bibliogra a Luis T Magalhães, Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada, 9 a edição, Texto Editora, Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, rd edition, Thomson Learning, 988 Steven J Leon, Linear Algebra with Applications, 8th edition, Pearson, 9 Bernard Kolman, Introductory Linear Algebra with Applications, Prentice Hall, 99 Howard Anton and Robert C Busby, Contemporary Linear Algebra, John Wiley & Sons, Inc, António Monteiro e Gonçalo Pinto, Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw- Hill, 99 Seymour Lipschutz, Linear Algebra, Schaum s Outline Series, th edition, McGraw- Hill, 9 8 Luís Barreira e Clàudia Valls, Exercícios de Álgebra Linear, IST Press,

153 Resolução da a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (ii) (iv) +! I I + I! (xi) se ad bc, a b c d ad d b bc c a ad bc ad bc ad bc I (i) (iii) (iv) (vii) p (ix) [ ] (ii) Não é possível p p p 8 (v) Não é possível (vi) Não é possível p p p p T A (x) T T p p p C A T

154 (xi) T 8 Sendo x o n o de livros e y o n o de caixas, tem-se A solução geral do sistema é f(; 8)g x y x x 8y, y 8 9, F C 9, F 9 C + : F C, F 9 F +, F a) c) b) d) (a ii a ii, a ii ) Como Seja (a ij ) M (R) tal que então A não é simétrica (i) Seja A a ij i + j a a car A ; nul A Não existem pivots (ii)! L +L!L Assim, sendo A, tem-se car A e nul A Pivots: e

155 (iii)! L $L Assim, sendo A! L +L!L L +L!L! L $L, car A e nul A Pivots: e (iv) 8 9 Assim, sendo A! L +L!L 9L +L!L 8 8 8! L +L!L 8, car A e nul A Pivots: e (v)! L +L!L! L $L Assim, sendo A! L +L!L! L +L!L, tem-se car A e nul A Pivots: ; e (vi)! L +L!L L +L!L Assim, sendo A ; ; e 9 8! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L 9 8! L +L!L L +L!L, tem-se car A e nul A Pivots:

156 (vii) Assim, sendo A! L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L, tem-se car A e nul A Pivots: e (viii) Sendo A, tem-se car A e nul A Pivots: e (ix) 9! L $L Assim, sendo A 9 9! L +L!L L +L!L, tem-se car A e nul A Pivot: (x) 8 8 Assim, sendo A! L +L!L L +L!L As equações das alíneas (a) e (b) são lineares 8, car A e nul A Pivot: 9 O ponto (; ) é a solução desse sistema de equações lineares Os pontos: (; ; ; ) ; (; ; ; ) ; ; 9; ; equações lineares p são soluções desse sistema de (i) Para que o grá co da função polinomial p(x) ax + bx + cx + d passe pelos pontos P (; ); P (; ); P (; ) e P (; ), é necessário que 8 >< >: p() p() p() p()

157 O que é equivalente a existir solução para o seguinte sistema de equações lineares nas variáveis a; b; c e d: 8> d < a + b + c + d a + 9b + c + d >: a + b + c + d Ou seja: 8> < >: d a + b + c a + 9b + c a + b + c Atendendo a que: j 9 j! L j +L!L L +L!L j! j L!L j tem-se 8 >< >: j 8 j j! L +L!L a b c d! L!L j j j ; (ii) Para que os pontos P ( ; ); P ( ; ) e P (; ) pertençam à circunferência de equação x + y + ax + by + c ; é necessário que 8 < : ( ) + + a ( ) + b + c ( ) + + a ( ) + b + c + ( ) + a + b ( ) + c O que é equivalente a existir solução para o seguinte sistema de equações lineares nas variáveis a; b e c: 8 < a + b + c a + b + c : a b + c Atendendo a que: j j j! L +L!L L +L!L j 9 j j! 9 L +L!L

158 tem-se! 9 L +L!L j 9 j 9 j 9 8 < : a b c 9 ; (i) Seja A! L +L!L Se então car A e nul A +! L +L!L Se então car A e nul A + Assim, A é invertível se e só se, uma vez que é só neste caso que car A n o de colunas de A (ii)! L +L!L Seja A! L +L!L L +L!L + ( + ) Se ou então car A e nul A! L +L!L Se e então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se e, uma vez que é só neste caso que car A n o de colunas de A (iii) +! L +L!L + + 8! L +L!L

159 ! L +L!L Seja A ( ) ( + ) + ( + ) + Se então car A e nul A Se e então car A e nul A Se então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se car A n o de colunas de A e, uma vez que é só neste caso que (iv)! L +L!L Seja A! L +L!L L +L!L + + Se e então car A e nul A! L +L!L Se ou então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se e car A n o de colunas de A, uma vez que é só neste caso que (v) Seja A! L +L!L L +L!L Se então car A e nul A Se e então car A e nul A ( ) ( + ) ( ) Se então car A e nul A 9

160 Assim, A é invertível se e só se e car A n o de colunas de A, uma vez que é só neste caso que (vi)! L +L!L L +L!L L +L!L Seja A! L +L!L L +L!L L +L!L + ( ) ( + ) ( ) ( + ) Se então car A e nul A Se então car A e nul A Se então car A e nul A Se então car A e nul A Se e e então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se e car A n o de colunas de A, uma vez que é só neste caso que 8 < (a) Tem-se : x z y z w 8x w e assim, 8 8 x < x z >< w Logo, y z w, y : w 8 z w >: z w s s s s j j 8 j! 8 L +L!L A solução geral do sistema é: X x y z w j j 8 j, para qualquer s R, isto é, o conjunto solução é dado por: S s; s; s; s : s R

161 : Para s, tem-se a seguinte solução para a equação química: x ; y ; z ; w 8 < (b) Tem-se : j j j x z x + y z w y z 8 < x z Logo, y + z w : z + w! L +L!L 8 <, : e assim, j j j! L +L!L j j j x w y w A solução geral do sistema é S s; s; s; s : s R z w Para s, tem-se a seguinte solução para a equação química: x ; y ; z ; w : : (a) j j! L +L!L j j Logo, x + y y, x y A solução geral do sistema é S f(; )g (b) j j! L +L!L j j Logo, x + y, x y A solução geral do sistema é S f( s; s) : s Rg j (c) j impossível) S?! L +L!L j j Logo, o sistema não tem solução (é (d) j j j! L +L!L! L +L!L L +L!L j j j j j j! L +L!L

162 8 < Logo, : x + y z y + z z 8 < x, y : z A solução geral do sistema é S f(; ; )g (e)! L +L!L j j j! L +L!L L +L!L j j j 8 j j 8 j 9 Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S?! L +L!L (f) j 8 j j! L +L!L L +L!L j j 8 j 8! L +L!L j j j Logo, x + y + z y + z, x z y z + A solução geral do sistema é S f( s ; s + ; s) : s Rg (g)! L +L!L L +L!L j j j! L $L j j 8 j 8 j j j! 8 L +L!L! L +L!L L +L!L j j j Logo, x y y, x y A solução geral do sistema é S f(; )g (h)! L +L!L j j 9 8 j! L +L!L L +L!L j j j j j j! L +L!L

163 x + y z + w Logo, z w, x y w + z w + A solução geral do sistema é S s t + ; s; t + ; t : s; t R (i) j j j! L +L!L! L +L!L L +L!L j j j Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S? j j 8 j! L +L!L (j)! L +L!L! L +L!L j 9 j j j j j j j j j j j! L $L L!L 8 < x + x x + x Logo, x x + x : x + x! L +L!L >: j 9 j j j 8 x 9 9x ><, x x j j j j x x + A solução geral do sistema é dada por 9 S 9s; s ; s + ; s : s R :! L +L!L! L +L!L (k) j j 9 j! L +L!L L +L!L j 8 j j

164 Logo, o sistema não tem solução (é impossível) S? (a) Sejam A [A j B]! L +L!L L +L!L j j j! L $L e B j j j j j j! L +L!L! L +L!L L +L!L j j ( ) ( + ) j Se então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z A solução geral deste sistema é então dada por S f( s t; s; t) : s; t Rg : Se S? então car A {z } < car [A j B] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) {z } Se e então car A car [A j B] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z ( ) y + ( ) z ( ) ( + ) z, : A solução geral do sistema é então dada por S x ( + ) y ( + ) z ( + ) + ; + ; + (b) Sejam A [A j B] 8 j 8 j e B j! L +L!L 8 j

165 Se então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 >< x ( + ) z x + y + z ( ) y + (8 ) z, >: y + z A solução geral deste sistema é então dada por S ( + ) s; + s; s : s R : Se então car A {z } S? < car [A j B] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) {z } (c) Sejam A! L +L!L L +L!L e B j j j [A j B ]! L +L!L j j j j j + j! L +L!L L +L!L Se então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 < x z x + y + z, y z : y + z A solução geral deste sistema é então dada por S f(8 + ( ) s; + ( ) s; s) : s Rg : Se então car A car [A j B ] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z y + ( ) z ( + ) z, : x + y z

166 A solução geral do sistema é então dada por S f( + ; ; )g : (d) Sejam A! L $L! L +L!L j j j e B! L +L!L L +L!L [A j B ] j j j j j ( ) ( ) ( + ) j ( + ) ( ) j j j! L +L!L! L $L Se então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z A solução geral deste sistema é então dada por S f( s t; s; t) : s; t Rg Se S? então car A {z } < car [A j B ] O sistema não tem solução (é impossível) {z } Se e então car A car [A j B ] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z ( ) y + ( ) z ( ) ( ) ( + ) z ( + ) ( ), : A solução geral do sistema é então dada por (!) + S + ; ( + ) ; : + + x ( + ) ( + ) y ( + ) z ( + ) ( + ) 8 < x + y + z (e) x + y z : x + y + z + Sejam A e B +

167 [A j B] j j j +! L +L!L L +L!L j + j + ( ) ( + ) j + : Se então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z x z, y : y : A solução geral deste sistema é então dada por S f(s; ; s) : s Rg : Se então então car A car [A j B] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y z z :, x y z : A solução geral deste sistema é então dada por S f(s ; s; ) : s Rg : Se então car A {z } < car [A j B] Logo, o sistema não tem solução (é impossível) {z } S?: Se e e então car A car [A j B] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z ( + ) y + ( ) ( + ) z + A solução geral do sistema é então dada por S, : + ; ; + x ( + ) y z ( + ) : (a) Sejam A [A j B ] j j j e B! L +L!L L +L!L

168 ! L +L!L L +L!L j 8 j j! L +L!L j 8 j j Se e então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x + y + z y 8z x, + 9z y 8z A solução geral deste sistema é então dada por S ; f( + 9s; 8s; s) : s Rg Se e então car A {z } impossível) S ;? < car [A j B ] Logo, o sistema não tem solução (é {z } Se então car A car [A j B ] n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e determinado, tendo-se 8 8 < < : x + y + z y 8z ( ) z, : x ( 9 + ) ( ) y ( 8 + ) ( ) z ( ) ( ) A solução geral do sistema é então dada por 9 + S ; ; 8 + ; : (b) Sejam A! L $L! L +L!L L +L!L j j j j! L $L j j j j e B : [A j B ] j j j j! L +L!L L +L!L 8! L +L!L L +L!L j j j j j j j j! L $L! L $L

169 ! L $L j j j j! ( )L +L!L j j j j ( ) + Se ( ) então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 8 < < x y : x + y + z + w z w w, : z w A solução geral deste sistema é então dada por S ; f( s; s; ; ) : s Rg : Se ( ) então car A {z } impossível) S ;? < car [A j B ] Logo, o sistema não tem solução (é {z } (c) Sejam A [A j B ]! L $L! L +L!L L +L!L + j j + j + j j j! (+)L +L!L e B! L $L! L +L!L L +L!L + j j + j :! (+)L +L!L + j j ( ) j + Se e então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se 8 < : x y + z + ( + ) w y + z w ( ) w + + ( ) 9 8 >< x + +, + y z + >: w + + ( ) (+) ( )

170 A solução geral do sistema é então dada por S ; ( + + ( + ) ( ) ; s + + ; s;!) + ( ) + : Se e então car A car [A j B ] < n o de incógnitas do sistema Logo o sistema é possível e indeterminado, tendo-se x y + z + w y + z x, y z w A solução geral deste sistema é então dada por S ; f( s; t; t; s) : s; t Rg Se ( e ) ou solução (é impossível) S ;? então car A {z } < car [A j B ] Logo, o sistema não tem {z } (a) Sejam A [A j B a;b;c ]! L +L!L L +L!L 8 j a j b 8 j c j a j b a j c a e B a;b;c! L +L!L L +L!L! L +L!L a b c : j a j b a j c b + a Para que haja solução é necessário que car A car [A j B a;b;c ], isto é, é necessário que c b + a : (b) Sejam A [A j B a;b;c ] j a j b j c e B a;b;c a b c! L +L!L L +L!L :

171 ! L +L!L L +L!L j a 9 j b a j c a! L +L!L j a 9 j b a j c b a Como car A car [A j B a;b;c ], este sistema tem solução para quaisquer valores de a; b; c 8 (a) Sejam x + t e y t Logo x + y : (b) Sejam x t, y t e z Tem-se então o seguinte sistema: 8 < x + y : z (c) Sejam x t, y t e z t Tem-se então o seguinte sistema: 8 < x z : y z (d) Sejam x t s, y t + s e z s t + Logo s t x e assim y t + (t x) t x, t y + x + : Deste modo: s y + x + Com s y x + Tem-se então a seguinte equação linear: x y x + e t y + x + Isto é: z s t + y x + x y + z 8 y + x + +

172 (e) Sejam x t s, y t + s, z s + e w t Logo t w + e s z Assim: 8> < x (w + ) z >: y w + + z Deste modo, obtém-se o sistema de equações lineares: 8 < x + z w : y z w (f) Seja S f( s; s t; s; t ) : s; t Rg Sejam x s, y s t, z s, w t Uma vez que s x e t w +, tem-se então o seguinte sistema linear não homogéneo y x (w + ) z ( x), x + y + w x + z (g) Por exemplo: 8 < : x + y x + y a b 9 Pretende-se determinar tal que c d a b a c d c b d Tem-se então 8> a + c a + b < b + d a + b a + c c + d >: b + d c + d As matrizes reais que comutam com, c b d a + b são da forma: a b a + b, com a; b R Existem matrizes só com e nas respectivas entradas são invertíveis: ; ; ; ; ;

173 Como então A é invertível e A + A + I, A A I A I A I A A I Sejam A; B; X M nn (R) matrizes invertíveis tais que (AB) : 9 (i) AXB + AB, AXB AB, A (AXB) B A ( AB) B, (ii), A A X BB A A BB,, IXI II, X I BXA A B, B (BXA) A B A B A,, B B X AA B A B A,, IXI (AB), 9, X 9 A M (R), I A T, I A T, A, I A T,, A T, T! (i) j j j! L $L j Logo

174 (ii) (iii) [] [] (iv) j j j! L +L!L j Logo j! L +L!L j! L!L j j! L +L!L (v)! L +L!L Logo, j j 8 9 j 8 9! L +L!L L +L!L j j j j j j é singular e como tal não é invertível! L +L!L Nas alíneas (vi) e (vii) só se apresentam as soluções: (vi) A (viii)! L +L!L Logo j j j! L +L!L j j j! L!L L!L j j j! L +L!L j j j

175 (ix)! L +L!L! L +L!L L +L!L! L +L!L Logo j j 8 j! L +L!L L +L!L j 8 j j j j 8 j j 8 j 8! L!L j j j j 8 j 8 j 8 j j j 8 j 8 j j! 8 L!L! L +L!L j j j j 8! L +L!L L +L!L! L +L!L (x) Para k ; (k Z) cos sen j sen cos j! L +L!L cos! cos sen j cos (cos )L!L sen sen cos j sen (sen )L!L j cos sen sen sen cos j sen! ( sen )L +L!L j cos sen! ( sen )L +L!L sen cos j sen cos sen ( sen )! sen cos L!L (k Z) j cos sen j sen cos! sen cos L!L! L +L!L Note que sen cos para todo o k ; cos Logo sen sen cos cos sen sen cos, para todo o k ; (k Z)

176 Se + k; (k Z) ; cos sen sen cos cos sen sen cos Se k; (k Z), cos sen sen cos cos sen sen cos Se + k; (k Z) ; cos sen sen cos cos sen sen cos Se + k; (k Z), cos sen sen cos cos sen sen cos Logo, para todo o R cos sen sen cos cos sen sen cos (xi) Seja k k j k j k j k j! k L +L!L k L!L! k L +L!L k L!L! k L +L!L k L!L k L!L j k k j k j k k k j k k j k j k k j k k k j k k k k k j k j k j k k j k k! k L +L!L k L!L! k L +L!L k L!L

177 Logo k k k k k k k k k k k k k k (xii) Sejam k ; k ; k ; k k j k j k j k j! k L!L L k!l L k!l L k!l Logo! L $L L $L j k j k j k j k k k k k k k j k j k j k j k k k! k L!L k L!L L k!l L k!l (xiii) j j j j j j 8 j! L $L 8 8 : j j j j 8 j j 8 j! L +L!L L +L!L L +L!L

178 ! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L! L!L L!L L!L L!L! L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L j j j j 9 j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 8 9! L +L!L L +L!L! L!L L!L L!L L!L! L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L! L +L!L j j j j j j j Logo C A 8

179 (xiv) j j j j j j j! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L! L $L! L $L j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j! L +L!L L +L!L! L $L! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L L +L!L 9

180 ! L +L!L L +L!L L +L!L j j j j j j j! L!L L!L! L!L L!L j j j j j j j! L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L j j j j j j j! L +L!L! L +L!L j j j j j j j Logo B B B B B B B C C C C C C C C A 8

181 (i) Seja A M nn (R) tal que A k para algum k Nn fg (I A) I + A + ::: + A k I + A + ::: + A k A A ::: A k A k I A k I ou seja, I A é invertível e (I A) I + A + ::: + A k (ii) I + A (i) uma vez que A (i) A : (ii) Por (i): (I A) (I + A + A ) I a) Usando o método de eliminação de Gauss, tem-se j j j! L +L!L L +L!L j j j! L +L!L j j j : Se então o sistema é possível e determinado, existindo uma única solução Se então o sistema é possível e indeterminado, existindo um n o in nito de soluções 8

182 b) Para, tem-se o sistema de equações lineares x + y + z y z, x + z y z Colocando z s, a solução geral do sistema é dada por: S f( + s; s; s) : s Rg 8 A ;! L +L!L L +L!L! L +L!L ! L $L! L +L!L L +L!L Se e então car A e nul A Se ( e ) ou ( e ) então car A e nul A Se e então car A e nul A! L +L!L L +L!L! L +L!L Assim, A ; é invertível se e só se car A ; n o de colunas de A ; e, uma vez que é só neste caso que 9 (a) Tem-se A 8! L +L!L L +L!L L +L!L ( ) ( ) ( + ) ( ) : Logo, como car A + nul A, se então car A e nul A ; se então car A e nul A ; se então car A e nul A ; se e e então car A e nul A Assim, A é invertível se e só se Rn f ; ; g, uma vez que é só nestes casos que car A n o de colunas de A 8

183 (b) A j I j j 8 j j! L +L!L L +L!L L +L!L Logo! L +L!L L +L!L L +L!L j j j j (A )! L!L L!L j j j j j j j j :! L +L!L L +L!L L +L!L (a) B a;b! L $L a a b a a a a b!! L $L L +L!L L +L!L a a a b a a a b b! L $L Se a ou ( a e b ) então car B a;b e nul B a;b Se a e b então car B a;b e nul B a;b (b) [B ; j I]! L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L j j j j j j j j j j j j 8! L $L! L +L!L L +L!L! L!L L!L j j j j! L +L!L L +L!L

184 ! L!L L!L Logo (B ; ) j j j j! L +L!L j j j j (c) Como B ; é invertível, B ; X C, X (B ; ) C, X 9 9 : (d) Seja X (x ; x ; x ; x ) B a; X D, a a a A solução geral de B a; X D é dada por: x x x x a a (Solução particular de B a; X D) + (Solução geral de B a; X ) O vector (; ; ; ) é uma solução particular de B a; X D Determinemos a solução geral de B a; X a a Tem-se a a! a L +L!L! L $L L +L!L L $L! L $L L $L a a a! L $L 8 < x + x + ax Logo, x + x : ax ax + x a a a a 8 x x ><, x + a x >: x ax 8

185 Assim, a solução geral de B a; X é dada por: ( s; + a s; s; as) : s R f(; ; Logo, a solução geral do sistema linear B a; X D é dada por: ; )g+ s; + a s; s; as : s R s; + a s; s ; as : s R Resolução Alternativa [B a; j D]! L $L L $L a j a a j a j a j a j a j a a j j! L +L!L L +L!L! L $L 8 >< x + y + aw Tem-se então y + z >: aw az + w a a j a a j j j a j a j a j a j 8 >< x z a, y >: + (z + ) w a az! L $L L $L Logo, a solução geral do sistema linear B a; X D é dada por: a s ; + (s + ) ; s; a as : s R s; + a s; s ; as : s R : 8

186 Resolução da a Ficha de exercícios facultativos (i) Sejam A (a ij ) mn, B (b ij ) np e C (c ij ) pq P p (AB) C l n P k P p a ik b kl c lj l np k P n a ik b kl c lj k l pp a ik b kl c lj n P pp n P p P a ik b kl c lj a ik b kl c lj A (BC) k l k l (ii) Sejam A (a ij ) mn, B (b ij ) np e C (c ij ) np n P n P A (B + C) a ik (b kj + c kj ) a ik b kj + a ik c kj k k n P n P a ik b kj + a ik c kj AB + AC k k (iii) Sejam A (a ij ) mn e B (b ij ) np n (AB) T P T n P T n P a ik b kj b kj a ik b ki a jk B T A T k k k Seja A M mn (R) tal que A T A Então A T A, para todo o i ; :::; n (i;i) Como A T A! nx (a (i;i) ik ) tem-se a i ::: a in, para todo o i ; :::; n Logo A k Sendo A, tem-se (A I) u, u, u f(s; s) : s Rg Logo fu : Au ug f(s; s) : s Rn fgg : Para todo o n N, (prova-se por indução) 8

187 (i) 8 n >< ( ) k+, se n k, k ; ; ::: >: ( ) k I, se n k, k ; ; ::: (ii) n n (iii) n n + + n n n n(n ) n Note que + + (n ) + (n ) (n ) + + (n ) + {z } n parcelas (n ) n, + + (n ) n + {z + n } n parcelas n (n ) (iv) n,, para todo o natural n (v) cos sen sen cos n cos(n) sen(n) sen(n) cos(n) ; (com R) A (AB) (AB) A (BA) B ABB AB A: B (BA) (BA) B (AB) A BAA BA B: a b Seja A c d Tem-se a AA T I, c uma matriz ortogonal, isto é, tal que AA T A T A I b a d c T b a I, + b ac + bd d ac + bd c + d, 8

188 e a A T A I, c T b a d c 8 < a + b, ac + bd : c + d b a I, + c d 8 < a + c, ab + cd : b + d ab + cd ab + cd b + d Logo c b Se c b tem-se b (a + d), (b ou a d) Se c b tem-se b (a d), (b ou a d) Deste modo a b a b A ou A b a b a, Por outro lado, a + b, (a cos e b sen, para algum R) Logo cos sen cos sen A ou A ; ( R): sen cos sen cos (i) A e B do tipo n n; (A + B)(A B) A + BA AB B : (ii) A do tipo m n e B do tipo n m, (AB) ABAB: (iii) A e B do tipo n n; (A + B) A + BA + AB + B : 8 (i) Falsa: mas A e B No caso de A ser invertível, a seguinte condição é verdadeira: uma vez que AB, A é invertível B AB ) (A ou B ) (ii) Falsa: mas No caso de A ser invertível, a seguinte condição é verdadeira: AB AC ) B C 88

189 uma vez que AB AC, A é invertível A (AB) A (AC),, A A B A A C, IB IC, B C: 9 (i) B T AB é simétrica: pois A A T (A é simétrica) e (B T ) T B: (B T AB) T B T A T (B T ) T B T AB; (ii) Se A é normal (isto é A H A AA H ) e B é unitária (isto é B H B BB H I) então BAB H BAB H H BAB H B H H A H B H BA B H B A H B H BAA H B H BA H AB H BA H B H BAB H BAB H H BAB H ou seja, BAB H é normal (iii) Como B T B T B T B T T B T B e BB T T B T T B T BB T as matrizes B T B e BB T são simétricas Além disso, como B H B H B H B H H B H B e BB H H B H H B H BB H B H B e BB H são matrizes hermitianas (i) Seja A (a ij ) do tipo n n tal que A T A: Assim, em relação às respectivas diagonais principais tem-se: a ii e logo a ii ; para todo o i N: a ii (ii) Seja A (a ij ) do tipo n n A matriz A A T é anti-simétrica pois: (A A T ) T A T A (A A T ): (iii) Escrevendo A (A + AT ) + (A AT ), a matriz A pode ser decomposta pela soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica Esta decomposição é única: Sejam A simétrica e A anti-simétrica tais que A A + A : Logo, A T (A + A ) T A A : 89

190 Pelo que A + A T A e A A T A : Assim, A (A + AT ) e A (A AT ): a Seja X c b uma matriz do tipo tal que X d I a X c b a d c b a + bc ab + bd d ac + cd bc + d Logo, 8 a + bc >< ab + bd X I, ac + cd >: bc + d Se b, então a e d e (c ou a d) Logo, X I ou X I ou X c Se c então a e d e (b ou a d) Logo, b X I ou X I ou X Se b e c então a d e c a Logo, b a X a b b a Logo, todas as matrizes X que satisfazem X I são: b I; ; ; c a a b b a Observe assim que a equação matricial X I tem um número in nito de soluções em contraste com a equação escalar x que tem apenas duas soluções ( e ) x x Seja X x x tal que XA AX; 9

191 a b para todo o A M c d (R) Tem-se então: 8 x a + x c ax + bx 8 >< XA AX, >: x a + x c cx + dx x b + x d ax + bx x b + x d cx + dx ><, >: x c bx x (a d) c(x x ) (x x )b (d a)x Se a e b c d, então x x Se b e a c d, então x e x x Se c e a b d, então x e x x Se d e a b c, então x x Logo, a matriz X tal que XA AX; para todo o A M (R), é dada por: X, com R Sendo A uma matriz do tipo m n, seja N (A) fx : AX g (i) Sendo A e B matrizes de tipos apropriados, seja u N (B) Logo Bu, pelo que (AB) u A (Bu) A e assim u N (AB) Deste modo, tem-se N (B) N (AB) (ii) Atendendo à alínea anterior N (A) N A T A Vejamos que N A T A N (A) Seja u N A T A e Au A T Au A T A u v v n R n Logo e assim u T A T Au, (Au) T (Au), nx (v i ), Au i v v n pelo que u N (A) Logo N (A) N A T A 9

192 (iii) Sejam A e B matrizes do tipo m n com m < n tais que AB T é invertível Como fg m<n N (A) N B T A então B T A não é invertível Se alguma linha de B pertencesse a N (A) isso seria equivalente a alguma coluna de B T pertencer a N (A), ou seja, à matriz AB T ter alguma coluna nula, o que contradiria o facto de AB T ser invertível (iv) Seja A M mn (R) tal que para todo o B R m o sistema AX B é possível, então car A m Assim AA T (do tipo m m) é invertível e por (ii) N A T N AA T fg Como Seja A (a ij ) nn M nn (R) tal que Au para qualquer u M n (R) Para cada j f; :::; ng xo, seja e j ( ij ) n M n (R) em que ij Ae j para todo o j f; :::; ng e por outro lado a j Ae j a j para todo o j f; :::; ng, então a nj a nj se i j se i j para todo o j f; :::; ng pelo que A Sendo A; B M n (R) A a a a n B b b b n e assim AB T a a a n b b b n a b a b a b n a b a b a b n a n b a n b a n b n : 9

193 Como A e B são matrizes não nulas, existe i f; :::; ng tal que a i e existe j f; :::; ng tal que b j, tendo-se a b a b j a b n AB T a i b a i b j a i b n a n b a n b j a n b n Aplicando sucessivamente a operação elementar a k a i L i + L k! L k para todo o k ; :::; n com k i, tem-se com a i b j, isto é, a i b a i b j a i b n! L i $L a i b a i b j a i b n car(ab T ) : Seja A uma matriz do tipo m n tal que car A m Então existe uma matriz invertível R, mm, produto de matrizes elementares (por aplicação do método de eliminação de Gauss) tal que RA I B onde I é a matriz identidade r r e B é uma matriz do tipo r (n r) Aplicando o método de eliminação de Gauss agora às colunas de RA, existe uma matriz invertível Q do tipo n n; (produto de matrizes elementares), tal que RAQ I onde é a matriz nula Sendo Q a matriz do tipo n m que se obtém de Q considerando apenas as primeiras m colunas, tem-se Pelo que AQ é invertível tendo-se RAQ I AQ R I Logo existe B Q R do tipo n m tal que AB I 9

194 Sejam A e B matrizes do tipo n n (i) Se A fôr invertível então isto é, existe S A invertível tal que AB ABI AB AA A (BA) A AB S (BA) S ou seja, AB e BA são semelhantes Analogamente, se B fôr invertível então AB e BA são semelhantes (ii) Sendo A e B semelhantes existe S invertível tal que A SBS, ou seja Então S A BS X N (A), AX, S AX, BS X, S X N (B) : 8 Seja A do tipo n n (i) Se A fôr invertível tem-se A A AA I: Logo A é invertível e (A ) A: (ii) Se A fôr invertível tem-se A A AA I: Logo (A A) T (AA ) T I T : Pelo que A T (A ) T (A ) T A T I: Isto é, A T é invertível e (A T ) (A ) T (iii) Se A fôr invertível e simétrica tem-se A A AA I e A A T : Logo (A A) T (AA ) T I T ; e assim A T (A ) T (A ) T A T I: Pelo que, como A é simétrica, tem-se A(A ) T (A ) T A : Isto é, A é simétrica I: Logo, como A é invertível, tem-se 9 (i) Por exemplo I e I são invertíveis no entanto I + ( I) não é invertível (ii) Como A e B são invertíveis por hipótese, tem-se as seguintes igualdades B (A + B) I + B A e A (A + B) A B + I, 9

195 que são respectivamente equivalentes a B (A + B) (A + B )A e A (A + B) (A + B )B Como por hipótese A + B é invertível tem-se I (A + B )A(A + B) B e I (A + B ) B(A + B) A Analogamente e partindo de: (A + B)B I + AB e (A + B)A AB + I, obtém-se I B(A + B) A(A + B ) e I A(A + B) B(A + B ) Deste modo A + B é invertível e (A + B ) A(A + B) B B(A + B) A Seja A M nn (R) tal que A A (a matriz A diz-se neste caso idempotente) (i) Como (I A) (I A) (I A) I A + A I A + A I A então I A é idempotente (ii) Como (A I) (A I) A A + I A A + I I então A I é invertível e (A I) A I: (iii) Se car A n então A é invertível pelo que A A, A (A ) A A, A I (I + A) (I + A), I + A + A + A (I + A),, I + A + A + A I + A, A I Sendo A (a ij ) nn uma matriz invertível e B (b ij ) nn a inversa da A, tem-se, para k :!! nx nx k i j a ij k i j b ij k i l a il k l j b lj k i j a il b lj I l 9 l

196 Logo a matriz (k i j a ij ) é invertível e a sua inversa é a matriz (k i j b ij ) a b Seja A do tipo Suponhamos que a, c e ad c d tem-se: a b j ac bc j c A c d j ac ad j a! cl!l al!l ac bc j c! ad bc j c a ac j acd acb! ad bc ad bc! ad bc j c a ac L!L ad bc L!L! bc ad bc L +L!L! L +L!L j d ad bc c j ad bc bc Logo, b ad a bc ad bc Logo, A d b ad bc c a Se a e c, então A não é invertível Se a e c, então b, caso contrário A não seria invertível Neste caso, com a, c, b e ad bc tem-se: b j c d j A!! c d j L!L b j! j j d bc c j d c j c b b bc! d c L +L!L j d bc j j d ad bc c L!L b L!L c b b ad a bc ad bc c j bc ad bc Se a e c seria análogo Logo, A é invertível se e só se ad A d b ad bc c a bc e Nota: O ex o foi feito apenas com o recurso ao método de Gauss-Jordan Poderia ter sido efectuada outra resolução atendendo à fórmula de inversão de matrizes: A jaj (cof A)T a b Observe que ad bc jaj, com A do tipo c d A matriz k k k n 9

197 é invertível se só se k ; k ; : : : ; k n, e a sua inversa é dada por: k k k k k n k n Sejam A (a ij ); B (b ij ) M nn (R) e um escalar (i) tr(a + B) tr ((a ij ) + (b ij )) tr(a ij + b ij ) a + b + ::: + a nn + b nn a + ::: + a nn + b + ::: + b nn tr(a) + tr(b) (ii) tr(a) tr(a ij ) a + ::: + a nn (a + ::: + a nn ) tr(a): (iii) tr(a T B ) a a n C A a + ::: + a nn tr(a): a n a nn (iv) a a n b b n B tr(ab) C A a n a nn b n b nn a b + ::: + a n b n a b n + ::: + a n b nn B C A a n b + ::: + a nn b n a n b n + ::: + a nn b nn a b + ::: + a n b n + ::: + a n b n + ::: + a nn b nn b a + ::: + b n a n + ::: + b n a n + ::: + b nn a nn b a + ::: + b n a n + ::: + b n a n + ::: + b nn a nn b a + ::: + b n a n b a n + ::: + b n a nn B C A tr(ba) b n a + ::: + b nn a n b n a n + ::: + b nn a nn Seja A M nn (R) Não pode existir X M nn (R) tal que AX XA I 9

198 uma vez que tr (AX XA) tr (AX) tr (XA) tr (AX) tr (AX) tr I Sejam A e B matrizes do tipo n n tais que A é simétrica e B é anti-simétrica tr(ab) tr (AB) T tr B T A T tr ( BA) tr (BA) tr(ab): tr(ab) tr(ab), tr(ab) : 8 Seja A (a ij ) M mn (R) Tem-se a a m tr(a T B A) a n a mn a a n C A a m a mn a + ::: + a m a a n + ::: + a m a mn B C A a n a + ::: + a mn a m a n + ::: + a mn Logo a + ::: + a m + ::: + a n + ::: + a mn tr(a T A), A : 9 Sejam u; v M n (R) tais que u T v Seja A I + uv T Tem-se I + u T v uvt I + uv T I + uv T + u T v uvt + u T v uvt uv T I + + ut v + u T v uvt + u T v uvt + u T v u vt u v T I + + ut v + u T v uvt + u T v uvt v T u + u T v uvt v T uu T v I + + ut v + u T v uvt + u T v uvt u T v + u T v uvt I + + ut v u T v uv T I + u T v 98

199 Logo A é invertível e Sendo u; v M n (R) tem-se e Logo u A I u u u n u T v u u u n tr uv T tr u u u n + u T v uvt v v v n v v v v n [u v + u v + + u n ] v v v n C A u v u v u v n tr u v u v u v n [u v + u v + + u n ] u n v u n v u n v n u T v tr uv T 99

200 Resolução da a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (i) () é par pois tem inversões (ii) () é par pois tem inversões (iii) () é ímpar pois tem inversões (iv) () é par pois tem inversões (v) () é ímpar pois tem inversões (vi) () é par pois tem inversões (vii) () é ímpar pois tem 9 inversões (viii) () é ímpar pois tem inversão (i) () é par pois tem inversões e () é par pois tem inversões Logo, tem-se +a a a a a a uma vez que () e () têm a mesma paridade (ii) () é par pois tem inversões e () é ímpar pois tem inversões Logo, tem-se a a a a a a uma vez que () e () têm paridades diferentes (iii) () é ímpar pois tem inversões e () é par pois tem inversões Logo, tem-se a a a a a a uma vez que () e () têm paridades diferentes (iv) () é ímpar pois tem inversão e () é ímpar pois tem 9 inversões Logo, tem-se +a a a a a a uma vez que () e () têm a mesma paridade (i) () é par pois tem inversões e () é ímpar pois tem inversões Atendendo à de nição de determinante, tem-se a a a a a a a a a uma vez que () e () têm paridades diferentes

201 (ii) () é par pois tem inversões e () é par pois tem inversões Atendendo à de nição de determinante, tem-se a a a a a a a a a a a a a a uma vez que () e () têm a mesma paridade (iii) Ao efectuar n + n + ::: + + trocas de linhas: linha com cada uma das n linhas que lhe estão abaixo, nova linha com cada uma das n linhas que lhe estão abaixo (excluindo a nova linha n) e assim sucessivamente, tem-se det a n a n a n n a n a nn ( )n n det a n a nn a n a n n a n ( n )n a n :::a n a n atendendo a que n + n + ::: + + (n ) n + n n Uma matriz é não singular se e só se é invertível e como tal, será singular se e só se fôr não invertível (i), logo a matriz é invertível (ii) invertível , logo a matriz é (iii) + p + p p p ( ), logo a matriz é invertível (iv) cos sen sen cos cos ( sen ), logo a matriz é invertível (v) + ( ) 8, logo a matriz é invertível (vi) ( ), logo a matriz é invertível

202 (vii) (viii) 8 8 por (vi), logo a matriz é invertível, logo a matriz é invertível por (vi) (ix) (x) 8 9, logo a matriz não é invertível, logo a matriz é invertível (xi) 8, logo a matriz é invertível (xii) ( ) + +( )( )+ [ + + ( ) ( ) ( ) ] + [ + ] + 8 8, logo a matriz é invertível (xiii) invertível 8 8 por (xi), logo a matriz é (xiv) , logo a matriz não é invertível

203 (xv) ( ) + logo a matriz é invertível ( ) +, a b b a (xvi) b a a + b se e só se a b, logo a matriz é invertível se e b a b a só se a b (xvii) 8 ( ) ( ( 9 + 8)) ( ( 9 + 8)) 9, logo a matriz é invertível (xviii) invertível (xix) 8 p 9 ( ) ( ) p ( ) 8 9 ( ) ( 8), logo a matriz é p ( ), logo a matriz é invertível

204 (xx) ( ) 9 matriz é invertível 9 ( ) 9, logo a n n n n (xxi) n n n n n n, logo a matriz é n n invertível (i) Seja A a e b f c g d h det A, isto é, A não é invertível Se a e h então a e b det A f c g d h, com a; b; c; d; e; f; g; h R Se a ou h então a e b g d h, isto é, A não é invertível Logo, A não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h R Em alternativa, pelo teorema de Laplace a det A ( ) f e b g d + ( ) c e b g d h (ii) Diga, para que valores de a; b; c; d; e; f; g; h; i; j R, é invertível a seguinte matriz a f b f b det g c c h d a ( ) det h d i e i e j j

205 ac ( ) det f b h d e j ace ( ) det f b h d j pelo que a matriz será invertível se e só se a; c; e; f; h; j Rn fg acefhj, Determinemos todos os valores do escalar para os quais a matriz A I não é invertível, isto é, todos os valores próprios de A (i) det (A I) ( + ) + Logo, det (A I), ( ou ) (ii) det (A I) + ( + ) ( ) + 8 Logo, det (A I), ( ou ou ) (iii) det (A det I) det, ( ou ) det det ( ) ( ) Logo, det (A I) (iv) det (A I) det ( ) n ( n) n nn det n Logo, det (A I), ( ou n),,

206 8 a) A! L +L!L L +L!L 8 < se Logo car A se : se e A é Logo A é invertível se e só se car A Assim, A é invertível se e só se Rn f ; g b) det (A ) n + (A ) n+ det (A ) n I + (A ) (det A ) n det I + (A {z } ) det : c) (A ) (;) det A (cof A ) (;) ( ) ( + ) ( )+ ( ) ( + ) : 9 (i) A det A (cof A)T T (ii) A det A (cof A)T T (iii) A det A (cof A)T 8 T (i) Tem-se det A 9 ( ) ( ) + ( ) ( + 8 ( ) 9)

207 Logo, A (cof A) T (;) det A (;) det A (cof A) (;) ( )+ Logo, det B 8 ( )( ) + B (cof B) T (;) det B (;) det B (cof B) (;) ( )+ (ii) det B det (A det (A + B) det B) det 8 8 det A det A det B (i) x e y (ii) x ; y e z det C, logo D é invertível, logo C é invertível det D 9 8

208 (i) det (C ) det C 88 (ii) det C (C) (det C) det C (det C) 8 9 (iii) det C T C det C (C ) T det (C ) det (C ) det C (iv) det C T C det CT det (C ) det C (det C) det C 8 (v) det (C + D) A det 9 (vi) det C T D D T C ( ) det C T det D det (D T ) C 8 (det C) det D (det D) det C 8 (det D) 8 det(a T B ) det A T det(b ) 8 det A (det B) p a b c d e f g h i x y z, a b c d e f g h i (i) d e f g h i a b c (ii) a b c d e f g h i (iii) a + d b + e c + f d e f g h i 8

209 (iv) i h g f c e b d a c b a (v) a g d b h e c i f (i) a b c (ii) a b c a + b + c a + b + c + (iii) a b c (iv) a + b + c + a + b + c + a + b + c + a b c a b c : : : + : : : + + : : : + : : : : : : : : : n 9

210 9 Sejam e A (a ij ) nn det i j a ij ::: n n a a a : : : a n n a n n a a a : : : a n n a n n a a a a n n an n a n n a n n a n n a n : : : a n n a nn ::: n n n n ::: n a n a n a : : : a n a n n a n a n a : : : a n a n n n a n a n a an n a n n a n n n a n n a n n a n : : : a n n a nn a a a : : : a n a n a a a : : : a n a n a a a an n det A an n a n n a n a n a n : : : a n n a nn Seja A a a b b c c com a; b; c R A matriz A é invertível se e só se det A Tem-se a a det A b b c c a a b a b a c a c a se a b ou a c Se a b e a c então a a det A b b c c a a b a b a c a c a se b c a a b a b a (c a) [(c + a) (b + a)], a a b a b a c a (c a)(b + a) a a b a b a (c a) (c b)

211 Logo, a matriz A é invertível se e só se a b; a c e b c (i) x y y x x y x y x y x x y x (y x ) ( ) + det x y x (y x ) (y x ) (ii) det (x ) (x ) x (x ) (x ) x (x ) (x ) x (x ) (x ) x det det x (x ) (x ) x (x ) (x ) x (x ) (x ) x (x ) (x ) x (x ) (x ) (x ) x x (x ) (x ) (x ) (x ) x x (x ) (x ) (x ) (x ) x x (x ) (x ) (x ) (x ) (x x ) (x x ) (x x ) det x (x ) (x ) (x ) x + x x + x x + x x + x x + x x + x x + x x + x x + x (x x ) (x x ) (x x ) det (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) det (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) det x (x ) (x ) (x ) x + x x + x x + x x x x (x x ) + x x x x x (x x ) + x x x (x ) (x ) (x ) x + x x + x x + x x + x + x x + x + x x (x ) (x ) (x ) x + x x + x x + x x + x + x x x (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (x x ) (i) b + c c + a b + a a b c a + b + c a + b + c a + b + c a b c a b c

212 (ii) (iii) a + b a b c a + b a b c a + b a b c a b a + b + c a b a + b + c a b a + b + c a a b c a a b c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a + b c + d a + b c + d (a + b ) (c + d ) (a + b ) (c + d ) a c a c + a d b c + b c a d + b d b d a c a c + a c b d + b d a c + b d b d : e O coe ciente de x na expressão correspondentes ao produto x x x {z } x x x x x são () {z } x par é, uma vez que as permutações (a das linhas) e () {z } ímpar (a das colunas): (i) x, x, + x, x (ii) x x x x x x x x x x x x x, x x x x x x x, x ( x), (x ou x ) (iii) x x x x, x x x x x x,

213 ,,, x x x x x x x x x, x x x x x x x x x x x x x x x x x x,, x x x x,, (x ) ( x x ), (x ou x ) Como ; e 8 são múltiplos de então a a coluna é também múltipla de Logo é múltiplo de coluna é múltipla de, logo 8 + ( ) + ( ) + ( ) ( ) é múltiplo de Como a a 9 Seja A (a ij ) nn com n ímpar e tal que a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n: Mostre que A não é invertível Dem (a ij + a ji, para todos os i; j ; :::; n), A T det A det A T det ( A) ( ) n det A n é ímpar A Logo det A, det A : Pelo que A não é invertível Se A (real) fôr ortogonal então det A ou det A : Dem Sendo A ortogonal, tem-se A T A AA T I

214 pelo que (det A) det A det A det A T det A det A T A det I,, (det A ou det A ) Sendo A unitária, tem-se A H A AA H I pelo que jdet Aj det A det A det A H det A det A H A det I,, jdet Aj

215 Resolução da a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (i) Seja U f(x; y) R : x g Por exemplo: (; ) U, mas ( )(; ) ( ; ) U Logo, U não é subespaço de R (ii) Seja U f(x; y) R : xy g Por exemplo: (; ); (; ) U, mas (; ) + (; ) (; ) U Logo, U não é subespaço de R (iii) Seja U f(x; y) R : y x g Por exemplo: (; ) U, mas (; ) (; ) U Logo, U não é subespaço de R Atendendo às respectivas dimensões, os seguintes subespaços de R, com as operações usuais, são todos os subespaços de R (i) f(; )g é subespaço de R (ii) Seja V k f(x; kx) : x Rg com k R ( xo) V k? pois (; ) V k Sejam (x ; kx ); (x ; kx ) V k e R Tem-se e, com (x; kx) V k, (x ; kx ) + (x ; kx ) (x + x ; k (x + x )) V k (x; kx) (x; k (x)) V k Logo, para todo o k R, V k é subespaço de R Em alternativa, uma vez que V k L (f(; k)g), para todo o k R, conclui-se que V k é subespaço de R (para todo o k R) (iii) Seja U f(; a) : a Rg U? pois (; ) U Sejam (; a ) ; (; a ) U e R Tem-se (; a ) + (; a ) (; a + a ) U e, com (; a) U, Logo, U é subespaço de R Em alternativa, uma vez que conclui-se que U é subespaço de R (; a) (; a) U U L (f(; )g),

216 (iv) R é subespaço de R U k é subespaço de R se e só se k (i) Seja U f(x; y; z) R : z g Ora (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (ii) Seja U f(x; y; z) R : x + y z g Tem-se Uma vez que para quaisquer x; y R, tem-se: U f(x; y; x + y) : x; y Rg (x; y; x + y) (x; ; x) + (; y; y) x(; ; ) + y(; ; ), U L (f(; ; ); (; ; )g) Logo, U é subespaço de R Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A : (iii) Seja U f(x; y; z) R : x > g Ora (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (iv) Seja U f(; ; z) : z Rg Uma vez que (; ; z) z(; ; ), para qualquer z R, tem-se: U L (f(; ; )g) Logo, U é subespaço de R (v) Seja U f(x; y; z) R : y x e z xg Tem-se U f(x; x; x) : x Rg Uma vez que (x; x; x) x(; ; ), para qualquer x R, tem-se: U L (f(; ; )g) Logo, U é subespaço de R Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A : (vi) Seja U f(x; y; z) R : x + y g Ora (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (vii) Seja U f(x; y; z) R : x + y + z e x y z g Tem-se U f(; y; y) : y Rg Uma vez que para qualquer y R, tem-se: (; y; y) y(; ; ), U L (f(; ; )g)

217 Logo, U é subespaço de R Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A (viii) Seja U f(x; y; z) R : x y ou y zg Tem-se: : U (x; y; z) R : x y [ (x; y; z) R : y z Por exemplo: (; ; ); (; ; ) U, mas (; ; ) + (; ; ) (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R (ix) Seja U f(x; y; z) R : x y e y + z g Tem-se Uma vez que para qualquer x R, tem-se: Logo, U é subespaço de R U f(x; x; x) : x Rg (x; x; x) x(; ; ), U L (f(; ; )g) Alternativamente, note que U N (A) é subespaço de R, com A (x) Seja U f(x; y; z) R : xy g Por exemplo: (; ; ); (; ; ) U, mas (; ; ) + (; ; ) (; ; ) U Logo, U não é subespaço de R O conjunto de todos os polinómios reais de grau igual a n: U fa + a t + + a n t n P n : a ; a ; :::; a n R e a n g, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U : Seja P o espaço linear de todos os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a, com as operações usuais: (i) Seja U fa + a t + a t P : a g Tem-se Logo, U é subespaço de P U a t + a t : a ; a R L t; t (ii) Seja U fa + a t + a t P : a a e a g Tem-se U a + a t : a R

218 Uma vez que para qualquer a R, tem-se: Logo, U é subespaço de P a + a t a ( + t ), U L + t (iii) Seja U fa + a t + a t P : a g Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U Logo, U não é subespaço de P (iv) Seja U fa + a t + a t P : a a g Por exemplo: o polinómio nulo p(t) U Logo, U não é subespaço de P (v) Seja U fa + a t + a t P : a a + a g Tem-se U a + a t + (a a ) t : a ; a R Uma vez que a + a t + (a a ) t a ( t ) + a (t + t ), para quaisquer a ; a R, tem-se: U L t ; t + t Logo, U é subespaço de P Seja M (R) o espaço linear de todas as matrizes do tipo com entradas reais a b c (i) Seja U M d (R) : b a + c Tem-se Uma vez que a a + c c d U a a + c c d a para quaisquer a; c; d R, tem-se: U L : a; c; d R + c ; ; + d Logo, U é subespaço de M (R) a b c (ii) Seja U M d f (R) : b < Por exemplo: a matriz nula U, 8

219 Logo, U não é subespaço de M (R) a b c (iii) Seja U M d e f (R) : a c e f e + d Tem-se U c b c d e e + d : b; c; d; e R Uma vez que c b c d e e + d b + c + d + e, para quaisquer b; c; d; e R, tem-se: U L ; ; ; Logo, U é subespaço de M (R) : (i) Seja A Tem-se C(A) L (f(; )g) e L(A) L (f(; )g) Seja u (x; y) R Atendendo a que x, x y, y o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au (x; y) R : x y f(x; x) : x Rg fx(; ) : x Rg L (f(; )g) (ii) Seja A Tem-se C(A) L (f(; )g) e L(A) L (f(; ; )g) Seja u (x; y; z) R Atendendo a que x y, x + y + z, z o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au (x; y; z) R : x + y + z f( y z; y; z) : y; z Rg fy( ; ; ) + z( ; ; ) : y; z Rg L (f( ; ; ); ( ; ; )g) 9

220 (iii) Seja A O núcleo de A é dado por: N (A) R (iv) Seja A Tem-se Tem-se C(A) f(; )g e L(A) f(; ; )g C(A) L (f(; ; ); (; ; )g) e L(A) L (f(; ; ); (; ; )g) : Seja u (x; y; z) R Atendendo a que 8 x < y, : z o núcleo de A é dado por: x + y + z z N (A) u R : Au (x; y; z) R : x + y + z e z f(x; x; ) : x Rg fx(; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) (v) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; ); (; ; )g) e L(A) L (f(; ); (; )g), pois (; ) (; ) + (; ) Seja u (x; y) R Atendendo a que x y 8 ><, >: x x + y x + y o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au (x; y) R : x e x + y e x + y f(; )g (vi) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; )g) e L(A) L (f(; )g)

221 Seja u (x; y) R Atendendo a que 8 < x, y : o núcleo de A é dado por: x + y x + y N (A) u R : Au (x; y) R : x + y f( y; y) : y Rg fy( ; ) : y Rg L (f( ; )g) (vii) Seja A Tem-se C(A) f(; ; )g e L(A) f(; )g O núcleo de A é dado por: N (A) R (viii) Seja A Tem-se C(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) e L(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Seja u (x; y; z) R Atendendo a que x y z, x y z 8 ><, >: x + z y z z o núcleo de A é dado por: N (A) u R : Au f(; ; )g Observação: Como N (A) f(; ; )g e sendo A quadrada, tem-se L(A) C(A) R 8 Seja Uma vez que a b c d 8 9 < a U b c M : (R) : a; b; c; d R ; d a + b + c + d,

222 com a; b; c; d R, tem-se 8 < U : ; ; ; 9 A ; 9 Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ), v (; ; ) e v (; ; ) Tem-se (i) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (ii) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) (iii) ( ; ; ) (; ; ) + ( )(; ; ) + ( )(; ; ) (iv) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) Considere, no espaço linear R, os vectores v (; ; ; ), v (; ; ; ) e v (; ; ; ) Tem-se j j j j j j j j j j j j j j j j! j j j j L +L!L j j j j! L +L!L j j j j j j j j Logo, (; ; ; ); (; ;! L +L!L j j j j j j j j j j j j j j j j ; ) L (fv ; v ; v g), com (; ; ; ) (; ; ; ) + (; ; ; ) + (; ; ; ) : (*) (; ; ; ) (; ; ; ) + ( )(; ; ; ) + ( )(; ; ; ) Atendendo a (*), ( ; ; ; ); (; ; ; ) L (fv ; v ; v g) Tem-se j j j k! L +L!L j j j k +! L +L!L j j j k + 8 : Logo, 8 é o único valor de k para o qual o vector u (; ; k) R é combinação linear dos vectores v (; ; ) e w (; ; ):

223 Considere, no espaço linear P, os vectores p (t) + t + t, p (t) t + t, p (t) t + t e p (t) t t O vector q(t) + t + t pertence à expansão linear L (fp (t); p (t); p (t); p (t)g)? p (t) e p (t) gerar P? Tem-se j j j! j j L +L!L L +L!L j! j j j Podem os vectores p (t), p (t), (**) Atendendo a (**), q(t) + t + t L (fp (t); p (t); p (t); p (t)g) Logo, fp (t); p (t); p (t); p (t)g não pode gerar P :! L +L!L (i) Seja U f(; ; ); (; ; ); (; ; )g Seja (x; y; z) R Tem-se Logo, U gera R (x; y; z) x(; ; ) + y(; ; ) + z(; ; ) (ii) Seja U f(; ; ); (; ; ); (; ; )g Seja (x; y; z) R Tem-se Logo, U gera R (x; y; z) x(; ; ) + (y x) (; ; ) + (z y) (; ; ) (iii) Seja U f(; ; ) ; ( ; ; ); (; ; ); ( ; ; )g Seja (x; y; z) R Determinemos os valores dos escalares ; ; ; para os quais se tem x y z Ora a última igualdade é equivalente a x y z j x j y j z! L +L!L L +L!L j x j y x j z x

224 Logo 8>< e assim x y z x + y + s com s R Logo, U gera R >: x + y + s y z + s x z + s s, s R + y z + s + x z + s +s, A+ B+ C ><, >: <, : Logo Seja U L ; ; Existe D M (R) tal que D U uma vez que que Seja a c b d U M (R) a U Tem-se c b d a b c d e dim {z U} < dim M (R) {z } U se e só se existirem escalares ; ; R tais A + B + C a c b d a A + B + C, c j a j b j c j d b d! L +L!L L +L!L + + j a j b a j c a j d 8 ><, >:! L +L!L L +L!L a + b + c d

225 ! L +L!L L +L!L j a j b a j c a j b a j d + (b + a) c j d + (b + a) c Logo, para que o sistema linear anterior seja possível é necessário que se tenha! L $L j a j c a Deste modo podemos escrever a U c a e assim, sendo V c b d d + (b + a) c b M d (R) : d + (b + a) c M (R) : d + (b + a) c, tem-se M (R) U V Ou seja, qualquer vector de V que não seja o vector nulo, esse vector não pertence a U Por exemplo U L ; ; Sejam u (; ; ); v (; ; ) e w (; ; ): O vector (a; b; c) de R pertencerá a L (fu; v; wg) se existirem ; ; R tais que (a; b; c) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ), isto é, se o seguinte sistema (nas variáveis, e ) fôr possível e determinado: 8 < + a + b : c Considerando então a matriz aumentada deste sistema, tem-se: j a j a j b! j b a j c L +L!L j c! L +L!L j a a j b j c + b a Assim, o vector (a; b; c) de R pertencerá a L (fu; v; wg) se: c + b a! L +L!L

226 Observação: Deste modo, tem-se L (fu; v; wg) R De facto, uma vez que v u w tem-se L (fu; v; wg) L (fu; wg) e como tal fu; v; wg não pode gerar R Sejam Tem-se e B A A! L +L!L L +L!L e B! L +L!L Atendendo ao método de eliminação de Gauss: Além disso, uma vez que tem-se Finalmente, como se tem sempre conclui-se que C(A T ) C(B T )! L +L!L L(A) L(A ) e L(B) L(B ) (; ; ) (; ; ) (; ; ), L(A) L(A ) L(B ) L(B) C(A T ) L(A) e L(B) C(B T ), : A B (i) Seja U f(x; y; z; w) R : x e y zg Tem-se U f(; z; z; w) : z; w Rg Atendendo a que tem-se (; z; z; w) z(; ; ; ) + w(; ; ; ), U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) (ii) Seja U f(x; y; z; w) R : x + y + z + w g Tem-se U f( y z w; y; z; w) : y; z; w Rg

227 Atendendo a que ( y z w; y; z; w) y( ; ; ; ) + z( ; ; ; ) + w( ; ; ; ), tem-se U L (f( ; ; ; ); ( ; ; ; ); ( ; ; ; )g) (iii) Seja U f(x; y; z; w) R : x + y z e x + y + w e y z + w g Observe-se que U N (A), com A Tem-se A! L +L!L Logo, U N (A) N (A ) Assim,! L +L!L U (x; y; z; w) R : x + y z e y + z + w e w f( z; z; z; ) : z Rg fz( ; ; ; ) : z Rg L (f( ; ; ; )g) A 8 (i) Seja U L (f t ; + tg) um subespaço de P Seja p (t) U, com p (t) a + a t + a t Então, existirão ; R tais que p (t) a + a t + a t t + ( + t) Tem-se então a matriz aumentada j a j a j a! j a L j a +L!L j a + a! L +L!L j a j a j a + a a Logo, para que o sistema linear anterior seja possível é preciso que a + a a Assim, U p (t) a + a t + a t P : a + a a (ii) Seja U L (f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) Seja (x; y; z) U Então, existirão ; ; R tais que (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) + ( ; ; ) Tem-se então a matriz aumentada j x j y! L j z +L!L j x j y j z x

228 Assim, U (x; y; z) R : z x Observação extra: U L (f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g), uma vez que ( ; ; ) ( )(; ; ) + (; ; ) (iii) Seja V L (f(; ; ); ( ; ; )g) Seja (x; y; z) V Então, existirão ; R tais que (x; y; z) (; ; ) + ( ; ; ) Tem-se então a matriz aumentada j x j y j y! j x L j z!l j z! L +L!L j y j x j z x Assim, V (x; y; z) R : z x Observação extra: V L (f(; ; ); ( ; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g), uma vez que ( ; ; ) ( )(; ; ) + (; ; ) e (; ; ) ( ; ; ) + (; ; ) (iv) Seja W L (f(; ; ); (; ; )g) Seja (x; y; z) V Então, existirão ; R tais que (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) Tem-se então a matriz aumentada j x j x j y! j y x L j z +L!L L +L!L j z x! L +L!L j x j y x j z y + x Assim, W (x; y; z) R : x y + z Observação extra: W L (f(; ; ); ( ; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g), uma vez que (; ; ) (; ; ) + ( )(; ; ), ( ; ; ) (; ; ) + ( )(; ; ) e (; ; ) (; ; ) + ( ; ; ), (; ; ) (; ; ) + ( ; ; ) (v) Seja U L (f(; ; ; )g) Seja (x; y; z; w) U Então, existirá R tal que (x; y; z; w) (; ; ; ) 8

229 Tem-se então a matriz aumentada j x j y j z j w! L +L!L L +L!L j x j y j x + z j w x Assim, U (x; y; z; w) R : y e x + z e w x (vi) Seja U L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) Como (; ; ; ) (; ; ; )+(; ; ; ) e (; ; ; ) (; ; ; ) (; ; ; ) então U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Seja (x; y; z; w) U Então, existirão ; R tais que Tem-se então a matriz aumentada j x j y j z j w Assim,! L +L!L (x; y; z; w) (; ; ; ) + (; ; ; )! L +L!L L +L!L L +L!L j x j x + y j x + z j x + z + w j x j x + y j x + z 8 j x + w! L $L! L +L!L j x j x + z j x + y j x + z + w U (x; y; z; w) R : x + y e x + z + w : 9 Podemos colocar os vectores do conjunto f( ; ; ); ( ; ; 9)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss Se, tem-se A! + 9 L +L!L A L +L!L + 9 As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto 9

230 f( ; ; ); ( ; ; 9)g é linearmente independente se e Se, tem-se! L $L 9 9! L +L!L 9 + ou Logo, o conjunto f( ; ; ); ( ; ; 9)g é linearmente independente se e ( ou ) Assim, o conjunto f( ; ; ); ( ; ; 9)g é linearmente independente se e só se e ou ou ( e ( ou )) (i) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss:! A 8! L $L! 8 L!L L!L! L +L!L L +L!L! L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente dependente, mas o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente Procuremos então ; R tais que (; ; ) (; ; ) + (; ; ) Atendendo ao que já se fez e considerando a a coluna como o termo independente do sistema, tem-se 8>< Pelo que >: <, : (; ; ) (; ; ) (; ; ) 8 <, : (ii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; )g

231 como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss A!! A L +L!L L L +L!L 8 +L!L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente (iii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss A!! A L +L!L L L +L!L +L!L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente Observação extra: encontrámos três vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R, sem ser preciso veri car se gera R (iv) O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g contém o vector nulo, logo é linearmente dependente Facilmente se vê que f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente Facilmente também se vê que (; ; ) (; ; ) + (; ; ) (v) Como a dimensão de R é, então qualquer conjunto de vectores de R com mais do que três vectores é linearmente dependente O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (x; y; z)g é formado por quatro vectores de R, logo é linearmente dependente para quaisquer x; y; z R Resolução alternativa para veri car a dependência linear: Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (x; y; z)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss A x y z! L +L!L! L +L!L x y x z x y x A z (y x)! L +L!L

232 As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (x; y; z)g é linearmente dependente para quaisquer x; y; z R, mas o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente Observação extra: encontrámos três vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R, sem ser preciso veri car se gera R Procuremos então ; ; R tais que (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) Atendendo ao que já se fez e considerando a a coluna como o termo independente do sistema, tem-se x + x x >< >< >< z + y + + y, + y x, (y x) z >: >: + z z >: (y x) z y + x Pelo que (x; y; z) x z + y (; ; ) + (y x) z (; ; ) + z y + x (; ; ) Podemos colocar os vectores do conjunto f(a ; ; ); (; a; ); (; ; )g como colunas de uma A matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss a A a! a! L $L a a L +L!L! a L +L!L a a a! al +L!L a a A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto S a (a ; ; ); (; a; ); (; ; ) é linearmente independente se e só se a f ; ; g Logo, uma vez que dim R e S a tem vectores, S a será uma base de R se e só se a f ; ; g

233 Sejam U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) e V k L (f(; k; ; ); (; ; ; )g) subespaços de R : Determine os valores de k para os quais dim (U \ V k ) Coloquemos os vectores geradores de U e de V como colunas da matriz:! L +L!L k! L $L k Note que U + V k L (U [ V k ) Como k! L +L!L! L +L!L k dim (U \ V k ) dim U + dim V k dim (U + V k ) + dim (U + V k ) dim (U + V k ) e dim (U + V k ) então dim (U \ V k ) se e só se k se k se k (i) Seja (x; y; z) R Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (x; y; z)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss x x x A y! y! y A L z +L!L L z x +L!L z x y As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Qualquer conjunto f(; ; ); (; ; ); (x; y; z)g em que z x y constitui uma base de R (ii) Seja (x; y; z) R Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (x; y; z)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss x x x A y! y + x! x z A z L +L!L x L $L z y + x L +L!L

234 As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, qualquer conjunto em que y + x constitui uma base de R f(; ; ); ( ; ; ); (x; y; z)g (iii) Seja (x; y; z) R Podemos colocar os vectores do conjunto f( ; ; ); (; ; ); (x; y; z)g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss x x A y! y + x A L z +L!L L +L!L z + x As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, qualquer conjunto em que z + x constitui uma base de R f( ; ; ); (; ; ); (x; y; z)g (i) Seja S cos t; sen t; cos t O conjunto S é linearmente dependente, pois: Mas, o conjunto cos t cos t sen t S cos t; sen t é linearmente independente pois se tivermos ; R tais que cos t + sen t, para todo o t R, então se zermos t obtemos e a seguir se zermos t obtemos Logo, Pelo que, o conjunto S fcos t; sen tg é uma base de L(S), pois gera L(S) e é linearmente independente E então, dim L(S) (ii) Seja S ; sen t; cos t O conjunto S é linearmente dependente, pois: cos t + sen t

235 Mas, o conjunto S cos t; sen t é linearmente independente pois se tivermos ; R tais que cos t + sen t, para todo o t R, então se zermos t obtemos e a seguir se zermos t obtemos Logo, Pelo que, o conjunto S fcos t; sen tg é uma base de L(S), pois gera L(S) e é linearmente independente E então, dim L(S) (iii) Seja S e t ; e t ; cosh t O conjunto S é linearmente dependente, pois: Mas, o conjunto cosh t et + e t S e t ; e t é linearmente independente pois se tivermos ; R tais que e t + e t, para todo o t R, então se zermos t obtemos + e a seguir se zermos t obtemos e + e Logo, Pelo que, o conjunto S fe t ; e t g é uma base de L(S), pois gera L(S) e é linearmente independente E então, dim L(S) (iv) Seja S ; t; t ; (t + ) O conjunto S é linearmente dependente, pois: dim P e S tem vectores Mas, o conjunto S ; t; t é linearmente independente pois trata-se da base canónica de P Logo, L(S) P e dim L(S) dim P Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real Sejam f; g; h V, com f (t) sen t, g (t) cos t e h (t) t Vejamos que o conjunto ff; g; hg é linearmente independente Sejam ; ; R tais que f + g + h

236 Note que f + g + h, f (t) + g (t) + h (t), para todo o t R,, sen t + cos t + t, para todo o t R Para t, t, t tem-se respectivamente as seguintes equações 8 8 sen + cos + 8 >< >< < sen + cos +, +, : >: sen + cos + >: + Logo, e assim o conjunto ff; g; hg é linearmente independente Observação Como ff; gg ff; g; hg, as funções sen t e cos t são linearmente independentes (i) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ); (; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A A! L +L!L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto formado pelos vectores das colunas e da matriz A: f(; ); (; )g é linearmente independente Temos assim, dois vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto B f(; ); (; )g é desde logo uma base de R (Não foi preciso veri car se B gera R ) Isto é, B é base de L(B) R e dim L(B) dim R Determinemos agora as coordenadas do vector (; ) em relação à base B f(; ); (; )g de R Isto é, queremos encontrar ; R tais que (; ) (; ) + (; ) Formando a matriz aumentada do sistema, tem-se j j! L +L!L j j Logo, 8 < : + 8 <, :

237 e assim, (; ) (; ) + (; ) Finalmente e ainda em relação à base B de R, o vector cujas coordenadas são (; base, é dado por: (; ) + ( )(; ) ( ; ) ) nessa (ii) O conjunto S f(; ); (; )g contém o vector nulo, logo o conjunto é linearmente dependente, pelo que não pode ser base de R No entanto, S f(; )g é linearmente independente e S é base de L(S ) L(S) Logo, dim L(S) (iii) O conjunto S f(; )g não pode ser base de R uma vez que tem só um vector e qualquer base de R tem sempre dois vectores (pois dim R ) No entanto, S f(; )g é linearmente independente e S é base de L(S) Logo, dim L(S) (iv) Facilmente se vê que o conjunto B f( ; ); (; )g é linearmente independente Temos assim, dois vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto B f( ; ); (; )g é desde logo uma base de R (Não foi preciso veri car se B gera R ) Determinemos agora as coordenadas do vector (; ) em relação à base B f( ; ); (; )g de R Isto é, queremos encontrar ; R tais que Facilmente se vê que (; ) ( ; ) + (; ) e Isto é, (; ) ( ; ) + (; ) Finalmente e ainda em relação à base B de R, o vector cujas coordenadas são (; base, é dado por: ( ; ) + ( )(; ) (; ) ) nessa (v) Como a dimensão de R é, então qualquer conjunto de vectores de R com mais do que vectores é linearmente dependente O conjunto S f(; ); (; ); (; )g é formado por três vectores de R, logo é linearmente dependente e como tal não pode ser uma base de R No entanto, podemos colocar os vectores do conjunto S f(; ); (; ); (; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A A! L +L!L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto formado pelos vectores das colunas e da matriz A: B f(; ); (; )g

238 é linearmente independente Temos assim, dois vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto B f(; ); (; )g é desde logo uma base de R (Não foi preciso veri car se B gera R ) Determinemos agora as coordenadas do vector (; ) em relação à base B f(; ); (; )g de R Isto é, queremos encontrar ; R tais que (; ) f(; ) + (; )g Formando a matriz aumentada do sistema, tem-se j j Logo, 8 < e assim, : +! L +L!L j j 8 <, : (; ) (; ) + (; ) Finalmente e ainda em relação à base B de R, o vector cujas coordenadas são (; base, é dado por: (; ) + ( )(; ) ( ; ) ) nessa (vi) Bc f(; ); (; )g é a base canónica de R As coordenadas do vector (; ) em relação à base Bc são precisamente e Ainda em relação à base Bc, o vector cujas coordenadas nessa base são (; ) é precisamente o vector (; ) (i) O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g contém o vector nulo, logo o conjunto é linearmente dependente, pelo que não pode ser base Mas, L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g) e facilmente se vê que o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente Logo, dim L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) e o conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) (ii) Facilmente se vê que o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de L (f(; ; ); (; ; )g) e dim L (f(; ; ); (; ; )g) 8

239 (iii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A! 8! 8 A L +L!L 8 L +L!L L +L!L 8 As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g é linearmente independente Temos assim, três vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R Vamos agora escrever o vector ( ; ; ) como combinação linear dos vectores desta base Isto é, procuremos ; ; R tais que Temos então j j! j L +L!L L +L!L Logo, 8>< Pelo que ( ; ; ) (; ; ) + ( ; ; ) + (; ; ) ( ; ; ) >: j 8 j j (; ; ) + >: 8 ><, 9! 8 L +L!L ( ; ; ) + 9 (; ; ) j 8 j 8 j 98 Finalmente e ainda em relação à base f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g de R, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )(; ; ) + ( ; ; ) + ( )(; ; ) ( ; ; ) (iv) Facilmente se vê que o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente Temos então três vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R Vamos agora escrever o vector ( ; ; ) como combinação linear dos vectores desta base Isto é, procuremos ; ; R tais que ( ; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) Temos então: 8 < : <, : 9

240 Pelo que ( ; ; ) ( )(; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) Finalmente e ainda em relação à base B de R, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )(; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) ( ; ; ) (v) Como a dimensão de R é, então qualquer conjunto de vectores de R com mais do que três vectores é linearmente dependente O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g é formado por quatro vectores de R, logo é linearmente dependente Vamos procurar o número máximo de vectores linearmente independentes que, em conjunto, geram L (f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g como linhas de uma A matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A! L +L!L! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L! L!L L!L! L +L!L A As linhas não nulas da matriz em escada A são linearmente independentes Logo, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é formado por três vectores de R, linearmente independentes Atendendo a que a dimensão de R é, o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é desde logo uma base de R Uma vez que L(A) L(A ) temos então: Logo, L (f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) R dim L (f(; ; ); (; ; ); (; ; ); (; ; )g) Vamos agora escrever o vector ( ; ; ) como combinação linear dos vectores da base Isto é, procuremos ; ; R tais que f(; ; ); (; ; ); (; ; )g : ( ; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; )

241 Temos então: 8 < Pelo que : + + +, 8 <, : ( ; ; ) ( )(; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) Finalmente e ainda em relação à base f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )(; ; ) + (; ; ) + ( )(; ; ) ( ; ; ) (vi) B c f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é a base canónica de R As coordenadas do vector ( ; ; ) em relação à base B c são precisamente ; e Ainda em relação à base B c, o vector cujas coordenadas nessa base são ( ; ; ) é precisamente o vector ( ; ; ) 8 (i) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss:! L +L!L Logo, o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente Temos assim, quatro vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é desde logo uma base de R e dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) dim R (ii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss:! L +L!L! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L! L +L!L Logo, o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente e é assim uma base do subespaço de R : L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) tendo-se dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g)

242 Atendendo ainda ao método de eliminação de Gauss, uma base de R que inclui pelo menos dois vectores do conjunto apresentado: f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g uma vez que! ::: {z } car (iii) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A! L +L!L! L +L!L! L +L!L! L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, os vectores das colunas ; ; e da matriz A: f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g são uma base de R, por serem quatro vectores linearmente independentes de um espaço linear de dimensão E dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) dim R (iv) Facilmente se vê que o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente Temos então quatro vectores de R linearmente independentes Como a dimensão de R é, então o conjunto é desde logo uma base de R e f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) dim R (v) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g

243 como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A! L $L! L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L L +L!L 8 8! L +L!L 8 8 L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, os vectores das colunas ; e da matriz A formam um conjunto linearmente independente: f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g Assim, o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de tendo-se L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g), dim L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) Atendendo ainda ao método de eliminação de Gauss, uma base de R que inclui pelo menos dois vectores do conjunto inicial: f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g uma vez que! ::: {z } car (vi) Podemos colocar os vectores do conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g como colunas de uma matriz e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A! L $L! L +L!L L $L L +L!L! L +L!L L +L!L L +L!L 8 9! L +L!L 8 9 L +L!L A

244 As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, os vectores das colunas ; e da matriz A formam um conjunto linearmente independente: f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g Assim, o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de tendo-se L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g), dim L (S) dim L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g) Uma base de R que inclui pelo menos dois vectores do conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g : f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g Vejamos que (8; ; ; ) L (S) e determinemos uma base de L (S) que inclua o vector (8; ; ; ) Isto é, procuremos ; ; R tais que Temos então:! L +L!L L +L!L L +L!L (8; ; ; ) (; ; ; ) + ( ; ; ; ) + (; ; ; ) j 8 j j j! L $L L $L j 8 j j j! L +L!L L +L!L L +L!L j j 8 j j! L +L!L L +L!L L +L!L j 8 j j j (*) Logo, 8>< Pelo que >: (8; ; ; ) (; ; ; ) + ( ; ; ; ) + (; ; ; ) Atendendo a (*), o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (8; ; ; )g é uma base de L (S) que inclui o vector (8; ; ; ):

245 Atendendo ainda ao método de eliminação de Gauss, uma base de R que inclui pelo menos dois vectores do conjunto inicial: f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (8; ; ; )g uma vez que 8! ::: 8 {z } car 9 (i) Podemos colocar os coe cientes dos vectores do conjunto + t t ; t + t ; t como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A!! L $L L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz em escada A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto + t t ; t + t ; t, formado por três vectores de P, é linearmente independente Como a dimensão de P é, então o conjunto + t t ; t + t ; t é desde logo uma base de P tendo-se L + t t ; t + t ; t P e dim L + t t ; t + t ; t dim P Vamos agora escrever o vector t como combinação linear dos vectores da base + t t ; t + t ; t : Isto é, procuremos ; ; R tais que t ( + t t ) + (t + t ) + ( t )

246 Temos então: 8>< + >: +, 8 ><, >: Pelo que t ( + t t ) (t + t ) ( t ) Finalmente e ainda em relação à base f + t t ; t + t ; t g de P, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )( + t t ) + (t + t ) + ( t ) + t + t (ii) Podemos colocar os coe cientes dos vectores do conjunto t t ; t ; + t; t como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A!! L $L L +L!L! L +L!L! L +L!L 9 A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto dos vectores correspondentes às colunas ; e da matriz A: t t ; t ; + t é uma base de L t t ; t ; + t; t Como a dimensão de P é, então o conjunto t t ; t ; + t é desde logo uma base de P tendo-se e L t t ; t ; + t; t L t t ; t ; + t P dim L t t ; t ; + t; t dim P Vamos agora escrever o vector t como combinação linear dos vectores da base ft t ; t ; + tg Isto é, procuremos ; ; R tais que t (t t ) + ( t ) + ( + t)

247 Temos então: + 8>< + Pelo que >:, 8 ><, + >: 8 ><, >: t (t t ) + ( t ) + ( + t) Finalmente e ainda em relação à base ft t ; t ; + tg de P, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )(t t ) + ( t ) + ( + t) t (iii) Podemos colocar os coe cientes dos vectores do conjunto + t ; t t ; t + t ; + t como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A!! A L +L!L L +L!L As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto dos vectores correspondentes às colunas ; da matriz A: + t ; t t é uma base de tendo-se e L + t ; t t ; t + t ; + t, L + t ; t t ; t + t ; + t L + t ; t t dim L + t ; t t ; t + t ; + t dim L + t ; t t (iv) Facilmente se vê que o conjunto f + t + t ; tg é linearmente independente Logo, ele próprio é uma base de L + t + t ; t, e tem-se dim L + t + t ; t

248 (v) Podemos colocar os coe cientes dos vectores do conjunto + t t ; + t ; + t t ; + t t como colunas de uma matriz A e de seguida aplicar a essa matriz o método de eliminação de Gauss: A!! L +L!L L +L!L L!L! L!L! L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto dos vectores correspondentes às colunas ; e da matriz A: + t t ; + t ; + t t é uma base de L + t t ; + t ; + t t ; + t t Como a dimensão de P é, então o conjunto + t t ; + t ; + t t é desde logo uma base de P tendo-se L + t t ; + t ; + t t ; + t t L + t t ; + t ; + t t P e dim L + t t ; + t ; + t t ; + t t dim P Vamos agora escrever o vector t como combinação linear dos vectores da base + t t ; + t ; + t t : Isto é, procuremos ; ; R tais que Temos então: t ( + t t ) + ( + t ) + ( + t t ) Aplicando então o método de eliminação de Gauss à matriz aumentada do sistema anterior, temos: j j j! j! L j +L!L L +L!L j L!L 8

249 ! L!L j j j! L +L!L j j j Logo, 8>< Pelo que t ( + t t ) + >: ( + t ) + ( ) ( + t t ) Finalmente e ainda em relação à base f + t t ; + t ; + t t g de P, o vector cujas coordenadas são ( ; ; ) nessa base, é dado por: ( )( + t t ) + ( + t ) + ( + t t ) + t + t (vi) O conjunto f; t; t g é a base canónica de P As coordenadas do vector +t+t em relação a essa base são precisamente ; e Ainda em relação à base f; t; t g, o vector cujas coordenadas nessa base são ( ; ; ) é precisamente o vector + t + t Como o espaço linear M (R) tem dimensão, então para veri car que as matrizes ; ; ; formam uma base de M (R) basta ver que são linearmente independentes Sejam ; ; ; R tais que + + +, onde é a matriz nula Queremos provar que Temos então: isto é, 8> < ou ainda >: , 9

250 Aplicando então o método de eliminação de Gauss à matriz dos coe cientes do sistema homogéneo anterior, temos:! L +L!L! L $L! L $L! L +L!L! L +L!L Logo, a única solução do sistema é: (; ; ; ) (; ; ; ) Assim, o conjunto ; ; ; é uma base de M (R) Seja S ; ;, ; Seja W um subespaço de M (R) gerado por S Determinemos uma base para W que inclua vectores de S Sejam ; ; ; ; R tais que Temos então: +! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L + + +! L +L!L L +L!L pelo que sendo as primeiras colunas da matriz em escada anterior independentes, o conjunto de matrizes ; é uma base de W, atendendo também a que ; ; L ;

251 A dimensão do espaço linear M (R) é Assim, para encontrar uma base de M (R), basta encontrar matrizes do tipo que sejam linearmente independentes O seguinte conjunto de matrizes do tipo : 8 < : ; ; ; ; ; é linearmente independente Logo, é uma base de M (R) (Chama-se a esta base, a base canónica de M (R)) 9 ; (i) Uma matriz diagonal do tipo tem a seguinte forma: a b com a; b; c R c E tem-se a b c a + b + c Isto é, o subespaço formado por todas as matrizes diagonais do tipo, é gerado pelo conjunto 8 9 < D ; ; : ; Além disso, este conjunto é linearmente independente Temos então que o conjunto D é uma base do subespaço formado por todas as matrizes diagonais do tipo Logo, o subespaço tem dimensão (ii) Uma matriz simétrica do tipo tem a seguinte forma: a b c b d e com a; b; c; d; e; f R c e f E tem-se a b c b d e c e f +d a + e + b + f + c Isto é, o subespaço formado por todas as matrizes simétricas do tipo, é gerado pelo conjunto 8 9 < S ; ; ; ; ; : ; +

252 Além disso, este conjunto é linearmente independente Temos então que o conjunto S é uma base do subespaço formado por todas as matrizes simétricas do tipo Logo, o subespaço tem dimensão (i) A! L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, que contêm os pivots, C(A) L (f(; )g) e o conjunto f(; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; )g), e o conjunto f(; )g é uma base de L(A) Desta forma: Por de nição: cara dim C(A) dim L(A) N (A) u R : Au Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, A equação é equivalente à equação Logo, Au, A u u u u + u N (A) f(u ; u ) : u Rg L (f(; )g) O conjunto S f(; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: nula dim N (A) (ii) A! L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; )g)

253 e o conjunto f(; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ; )g), e o conjunto f(; ; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: Por de nição: cara dim C(A) dim L(A) N (A) u R : Au Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, A equação é equivalente à equação ou seja a Logo, Como tem-se: Au, A u u u u u u u, u u N (A) f(u ; u ; u ; u ) : u ; u ; u Rg (u ; u ; u ; u ) u (; ; ; ) + u (; ; ; ) + u (; ; ; ), N (A) L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) O conjunto S f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: nula dim N (A) (iii) A As colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) e o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g),

254 e o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: A equação N (A) u R : Au u u u u é equivalente ao sistema 8 < Logo, : u u u N (A) f(u ; ; ; ) : u Rg L (f(; ; ; )g) O conjunto S f(; ; ; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: nula dim N (A) (iv) A! L +L!L! L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) e o conjunto f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g) L (; ; ); (; ; ); (; ; ), e quer o conjunto f(; ; ); ( ; ; ); (; ; )g ; quer o conjunto (; ; ); (; ; ); (; ; ), são bases para L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: N (A) u R : Au

255 Como se tem sempre: então e n o de colunas de A cara + nula, N (A) fg nula dim N (A) Alternativamente poderíamos veri car que se tem mesmo Pelo método de eliminação de Gauss, temos A equação é equivalente ao sistema 8 < ou seja a Logo, e como tal (v) N (A) fg Au, A u : u u u u + u u u u u u u u N (A) f(; ; )g nula dim N (A) A As colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g) e o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) R, e o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A)

256 Por de nição: N (A) u R : Au A equação é equivalente ao sistema 8 < Logo, (vi) A : u u u u u u N (A) f(; ; )g e nula dim N (A)! L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f( ; ; ); (; ; )g) e o conjunto f( ; ; ); (; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L(A ) L (f( ; ; ; ); (; ; ; )g), e o conjunto f( ; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: N (A) u R : Au Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, Au, A u A equação u u u u é equivalente ao sistema u + u + u u + u

257 ou seja a u u + u u u Logo, Como N (A) f(u + u ; u ; u ; u ) : u ; u Rg (u + u ; u ; u ; u ) (u ; u ; u ; ) + (u ; ; ; u ) u (; ; ; ) + u (; ; ; ), tem-se: N (A) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) O conjunto S f(; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: nula dim N (A) A (vii)! L +L!L L +L!L L +L!L 8! L +L!L L +L!L A As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, que contêm os pivots, C(A) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) e o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de C(A) Por outro lado, L(A) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g), e o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de L(A) Desta forma: cara dim C(A) dim L(A) Por de nição: N (A) u R : Au Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, Au, A u A equação u u u u

258 ou seja a u u u + u é equivalente ao sistema u + u + u u u u + u u u + u e ainda a u u u u u + u Logo, Como tem-se: N (A) f(u u ; u + u ; u ; u ) : u ; u Rg (u u ; u + u ; u ; u ) (u ; u ; u ; ) + ( u ; u ; ; u ) u (; ; ; ) + u ( ; ; ; ), N (A) L (f(; ; ; ); ( ; ; ; )g) O conjunto S f(; ; ; ); ( ; ; ; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) e: nula dim N (A) Sejam U e V subespaços de W tais que dim U ; dim V e dim W Tem-se dim (U \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) 9 dim (U + V ) : Como U + V é subespaço de W, tem-se dim V dim (U + V ) dim W e assim dim (U + V ) f; ; g Logo, dim (U \ V ) f; ; g : Determine bases e calcule as dimensões de U + V e U \ V, dizendo em que casos U + V é a soma directa U V (determine-a) dos subespaços U e V (i) Em R, considere os subespaços: U L (f(; ; ); (; ; )g) e V L (f(; ; ); ( ; ; )g) Logo, U + V L (U [ V ) L (f(; ; ); (; ; ); (; ; ); ( ; ; )g) Facilmente se veri ca que f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g é uma base de U + V, ou melhor de R Logo, dim (U + V ) e dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + 8

259 Seja (x; y; z) U Tem-se j x j y! L j z +L!L L +L!L Logo Seja (x; y; z) V Tem-se j x j y! L j z +L!L L +L!L Logo Deste modo j x j x + y j z x! L +L!L U (x; y; z) R : z x y j x j y x j z x! L +L!L V (x; y; z) R : z y x j x j x + y j z x y j x j y x j z y x U \ V (x; y; z) R : z x y e z y x L (f(; ; )g) e como tal, f(; ; )g é uma base de U \ V, tendo-se dim (U \ V ) Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V (ii) Sejam U f(x; y; z) R : x + y z e x + y g ; V L (f(; ; )g) Tem-se (; ; ) U pois + Logo tem-se Por outro lado, como U \ V fg e dim (U \ V ) U ( y; y; ) R : y R L (f( ; ; )g), U + V L (f( ; ; ); (; ; )g) e sendo f( ; ; ); (; ; )g uma base de U + V, dim (U + V ) Além disso, como U \ V fg, U + V U V L (f( ; ; ); (; ; )g) (iii) Em R, considere os subespaços: U L (f(; ; ); ( ; ; )g) e V f(x; y; z) : x + y + z g Seja v U, então v (; ; ) + ( ; ; ) ( ; ; + ), com ; R Para que v esteja também em V é preciso que: + + ( + ) 9

260 isto é, +, Assim, Logo, v (; ; ) + ( ; ; ) U \ V ; ; ; ; ; ; : R L ; ; e como tal, ; ; é uma base de U \ V, tendo-se dim (U \ V ) Tem-se V L (f( ; ; ); ( ; ; )g) Logo, U + V L (U [ V ) L (f(; ; ); ( ; ; ); ( ; ; ); ( ; ; )g) : Facilmente se veri ca que f(; ; ); ( ; ; ); ( ; ; )g é uma base de U + V, ou melhor de R Logo, dim (U + V ) : Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V (iv) Em R, considere os subespaços: U (x; y; z) R : x y z e V (x; y; z) R : x Tem-se U L (f(; ; )g) e V L (f(; ; ); (; ; )g) Como f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de U + V L (U [ V ) então dim (U + V ) e U + V U V R Como U \ V fg então dim (U \ V ) (v) Em P, considere os subespaços: U L + t; t e V a + a t + a t P : a a + a Seja p (t) U Então existem ; R tais que Atendendo a j a j a! L j a +L!L p (t) a + a t + a t ( + t) + t j a j a a j a! L +L!L j a j a a j a a + a Logo, tem-se pelo que U V U + V U V e U \ V U V

261 Assim, f + t; t g é uma base de U; de V, de U + V e de U \ V, tendo-se dim (U + V ) dim (U \ V ) Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V Logo (vi) Em P, considere os subespaços: U L + t; t e V L + t + t ; t t ; + t + t U + V L (U [ V ) L + t; t ; + t + t ; t t ; + t + t : Vejamos quais dos vectores do conjunto + t; t ; + t + t ; t t ; + t + t são linearmente independentes Coloquemos então os coe cientes desses vectores como colunas de uma matriz: A! L +L!L! L +L!L A (*) As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto + t; t ; + t + t ; t t é uma base de U + V, tendo-se dim (U + V ) e deste modo U + V P Por outro lado, também se conclui de (*) que o conjunto + t; t é base de U, tendo-se dim U, e como! L +L!L L +L!L! L +L!L! L +L!L o conjunto + t + t ; t t ; + t + t é base de V, tendo-se dim V Logo, dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V Determinemos U \ V Seja p (t) a + a t + a t + a t U Tem-se j a j a j a j a! j a a L +L!L j a! L +L!L j a j a j a j a a j a j a + a a

262 Logo U a + a t + a t + a t P : a e a + a a Seja q (t) a + a t + a t + a t V Tem-se j a j a j a! L +L!L L j a +L!L! L +L!L Logo Deste modo j a j a a j a a j a a + a j a j a a j a a j a! L +L!L! L +L!L j a j a a j a a j a + a a + a V a + a t + a t + a t P : a + a a + a U\V a + a t + a t + a t P : a e a a + a e a + a + a + a a + a t + a t + a t P : (a ; a ; a ; a ) A Atendendo a que! L +L!L tem-se! L $L! L $L U\V a + a t + a t + a t P : a a + a e a + a + a e a a + a t + a t + a t P : a a e a a e a a + a t + a t P : a R a + t + t P : a R L + t + t e como tal, f + t + t g é uma base de U \ V, tendo-se dim (U \ V ) e A (vii) Em R, considere os subespaços: Atendendo a que U L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; 8); ( ; ; ; )g) 8 8 V L (f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; 8)g)! L +L!L L +L!L L +L!L 9 8 8! L $L

263 ! L $L 8 8 9! L +L!L 8 8 As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; 8)g é uma base de U + V, tendo-se dim (U + V ) e deste modo U + V R Por outro lado, também se conclui de (*) que o conjunto é base de U, tendo-se dim U, e como 8! L $L o conjunto! L +L!L f(; ; ; ); ( ; ; ; )g 8 8 8! L $L L!L! 8L +L!L f(; ; ; ); (; ; ; )g 8 8! L +L!L 8 é base de V, tendo-se dim V Logo, dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + Neste caso, como U \ V fg então U + V U V R : A (*) (viii) Em R, considere os subespaços: U (x; y; z; w) R : x + y + z e y + z + w e V L (f(; ; ; ); (; 9; ; ); ( ; ; ; )g) Seja (x; y; z; w) V Então existem ; ; R tais que (x; y; z; w) (; ; ; ) + (; 9; ; ) + ( ; ; ; ) Atendendo a j x 9 j y j z j w! L $L j w 9 j y j z j x! L +L!L L +L!L L +L!L

264 ! L +L!L L +L!L L +L!L Logo, tem-se V j w j y w j z + w j x w! L +L!L L +L!L j w j y w j 9 j x w + y (x; y; z; w) R : w + y + z e x 9 w + y (*) pelo que (x; y; z; w) R : y + z + w e x + y + z U U + V U V e U \ V U V Atendendo ainda a (*), o conjunto f(; ; ; ); (; 9; ; ); ( ; ; ; )g é linearmente dependente, sendo linearmente independente o seguinte seu subconjunto f(; ; ; ); (; 9; ; )g Assim, f(; ; ; ); (; 9; ; )g é uma base de U; de V, de U + V e de U \ V, tendo-se dim (U + V ) dim (U \ V ) Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V (ix) Seja U o subespaço de R gerado por f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g Seja V o subespaço de R gerado por f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g Atendendo a que A! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L A (*)! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L

265 As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g é uma base de U + V, tendo-se dim (U + V ) Por outro lado, também se conclui de (*) que o conjunto f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g é base de U, tendo-se dim U, e como! L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L o conjunto f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g é base de V, tendo-se dim V Logo, dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + Neste caso, como U \ V fg então U + V não é a soma directa dos subespaços U e V Determinemos uma base para U \ V Atendendo a! L +L!L L +L!L L +L!L tem-se j x j x j x j x j x! L +L!L L +L!L L +L!L j x j x + x j x + x j x + x + x j x x + x j x j x + x j x + x j x + x j x! L +L!L! L +L!L L +L!L L +L!L j x j x + x j x + x j x + x + x j x x + x + x U (x ; x ; x ; x ; x ) R : x + x + x e x x + x + x Por outro lado, atendendo a j x j x j x j x j x! L +L!L L +L!L L +L!L j x j x + x j x + x j x j x + x! L +L!L L +L!L

266 ! L +L!L L +L!L tem-se j x j x + x j x + x j x x + x j x + x + x! L +L!L j x j x + x j x + x j x x + x j 9x + x + x + x V (x ; x ; x ; x ; x ) R : x x + x e 9x + x + x + x Logo U \ V (x ; x ; x ; x ; x ) R : x + x + x e x x + x + x e x x + x e 9x + x + x + x Como 9 tem-se 8 < pelo que! L +L!L :! L +L!L L +L!L x + x + x x + x + x + x x! L!L L +L!L! L +L!L 8 < x x x, x : x + x x x U \ V x x ; x + x ; x ; ; x R : x ; x R L ; ; ; ; ; ; ; ; ; Como o conjunto ; ; ; ; ; ; ; ; ; gera U \V e é linearmente independente, então é uma base de U \V, tendo-se dim (U \ V )! L +L!L A (x) Atendendo a que! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L

267 ! L +L!L L +L!L! L +L!L A (*) As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ) ; (; ; ; )g é uma base de U + V, tendo-se dim (U + V ) e assim U + V R Por outro lado, também se conclui de (*) que o conjunto é base de U, tendo-se dim U, e como! L +L!L L +L!L L +L!L o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g! L +L!L L +L!L f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g! L +L!L é base de V, tendo-se dim V Logo, dim(u \ V ) dim U + dim V dim (U + V ) + Uma base para U \ V Atendendo a! L +L!L L +L!L tem-se j x j x j x j x! L +L!L j x j x j x + x x j x x Por outro lado, atendendo a j x j x j x j x j x j x j x + x j x! L +L!L U (x ; x ; x ; x ) R : x x + x + x! L +L!L L +L!L L +L!L! L +L!L L +L!L j x j x j x + x x j x x + x + x j x j x x j x x j x x! L +L!L L +L!L

268 ! L +L!L L +L!L tem-se Logo j x j x x j x x + x j x x + x! L +L!L j x j x x j x x + x j x x x + x V (x ; x ; x ; x ) R : x + x x + x U \ V (x ; x ; x ; x ) R : x x + x + x e x + x x + x (x ; x ; x ; x ) R : x x e x x + x f( x + x ; x ; x ; x ) : x ; x ) Rg L (f( ; ; ; ) ; (; ; ; )g) Como o conjunto f( ; ; ; ) ; (; ; ; )g gera U \V e é linearmente independente, então é uma base de U \V, tendo-se dim (U \ V ) (i) A! L +L!L L +L!L Como A tem colunas e! L +L!L L +L!L! L +L!L cara dim C(A) dim L(A) n o de colunas de A cara + nula,! L +L!L L +L!L A então nula, isto é, dim N (A) (ii) As colunas da matriz A correspondentes às colunas da matriz A que contêm os pivots, formam um conjunto de vectores linearmente independente Logo, C(A) L (f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g) 8

269 e o conjunto f(; ; ; ; ); (; ; ; ; ); (; ; ; ; )g é uma base de C(A) Por de nição: N (A) u R : Au Temos então, pelo método de eliminação de Gauss, A equação matricial é equivalente ao sistema 8 < Au, A u : ou seja a 8 < Logo, Como tem-se: u u u u u u u + u + u u + u u : u u u u u u N (A) f(u u ; u ; u ; u ; ) : u ; u Rg (u u ; u ; u ; u ; ) (u ; u ; ; ; ) + ( u ; ; u ; u ; ) u (; ; ; ; ) + u ( ; ; ; ; ), N (A) L (f(; ; ; ; ); ( ; ; ; ; )g) Facilmente se veri ca que o conjunto S f(; ; ; ; ); ( ; ; ; ; )g é linearmente independente Como S é linearmente independente e gera N (A), temos então que S é uma base de N (A) (iii) A solução geral do sistema de equações lineares homogéneo Au é dada por com ; R (; ; ; ; ) + ( ; ; ; ; ), (iv) Uma solução particular de Au b, com b (; ; ; ; ), é por exemplo u (; ; ; ; ) Logo, a solução geral de Au b é dada por: (; ; ; ; ) + (; ; ; ; ) + ( ; ; ; ; ) Observação Note que se tem sempre: n o de colunas de A cara + nula 9

270 Logo, 8 (i) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então car A dim L(A) dim C(A) nul A dim N (A) Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então nul A T dim N (A T ) O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e determinado Neste caso, na solução geral de AX B, não existe nenhum parâmetro Logo, (ii) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é impossível Logo, (iii) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e indeterminado Neste caso, na solução geral de AX B, existem dois parâmetros Logo, (iv) Se A M 9 (R) é tal que car A e car[a j B] então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e indeterminado Neste caso, na solução geral de AX B, existem parâmetros

271 Logo, (v) Se A M 9 (R) é tal que car A e car[a j B] então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é impossível Logo, (vi) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e indeterminado Neste caso, na solução geral de AX B, existem parâmetros Logo, (vii) Se A M (R) é tal que car A e car[a j B] então car A dim L(A) dim C(A) : nul A dim N (A) : Como cara T dim L(A T ) dim C(A T ) então nul A T dim N (A T ) : O correspondente sistema de equações lineares não homogéneo AX B é possível e determinado Neste caso, na solução geral de AX B, não existe nenhum parâmetro 9 Queremos encontrar A tal que N (A) L (f(; ; )g) Por de nição N (A) fu R : Au g Por outro lado, temos L (f(; ; )g) f(; ; ) : Rg (u ; u ; u ) R : u e u u Por exemplo: veri ca A N (A) L (f(; ; )g),

272 pois Au, u u u 8 < u + u, : u Não é possível encontrar A tal que (; ; ) L(A) e (; ; ) N (A), pois se (; ; ) N (A) então a primeira entrada de todas as linhas de A é Pelo que, nesse caso, não se pode ter (; ; ) L(A) Seja A M (R) tal que nul A Uma vez que n o de colunas de A cara + nula, então car A Isto é, A Seja A M mn (R) tal que C(A) N (A): Logo, o n o de linhas de A é igual ao n o de colunas de A Isto é, m n Além disso, como tem-se n cara + nula, n dim N (A) Pelo que, A M nn (R) com n par Exemplo: A : Seja A M nn (R) tal que car A n Logo, A é invertível Isto é, existe A tal que AA A A I Além disso, se A fôr tal que A A, então Logo, A I A AI A(AA ) (AA)A A A AA I

273 Sejam B f(; ); (; )g e B f(; ); (; )g duas bases ordenadas de R Seja v (; ) (i) Tem-se v (; ) + (; ) Logo, e são as coordenadas de v em relação à base B (ii) Tem-se S B!B uma vez que (; ) (; ) + (; ) e (; ) (; ) + (; ) (iii) As coordenadas de v (; ) em relação à base B, são dadas por: S B!B, uma vez que e são as coordenadas de v em relação à base B (iv) Tem-se v (; ) (; ) + (; ) (v) Tem-se S B!B uma vez que (; ) (; ) (; ) e (; ) (; ) (; ) Observação:,, S B!B (S B!B ) e S B!B (S B!B ) (vi) As coordenadas de v (; ) em relação à base B, são dadas por: S B!B, uma vez que e são as coordenadas de v em relação à base B Seja Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ), v (; ) S B!B a matriz de mudança da base B para a base B Determinemos B Uma vez que S B!B, então w v + v (; ) + (; ) (; ) e w v + v (; ) + (; ) (; ) Logo, B f(; ); (; )g,

274 Seja Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w + t, w + t S B!B a matriz de mudança da base B para a base B Determinemos B Uma vez que S B!B, então v ( + t) ( + t) + t e v ( + t) + ( + t) + t Logo,, B f + t; + tg Sejam B f; t; t g e B f; + t; + t + t g duas bases ordenadas de P (i) Sejam ; e as coordenadas de um vector p(t) P em relação à base B Determinemos as coordenadas do mesmo vector p(t) em relação à base B Tem-se p(t) + ( + t) + + t + t + t + t + ( t) + t É fácil ver que, e Resolução alternativa: Tem-se S B!B uma vez que + ( t) + t, + t ( t) + t e + t + t ( t) + t Logo, as coordenadas de p(t) em relação à base B são dadas por: S B!B, onde ; e são as coordenadas de p(t) em relação à base B (ii) Determinemos a matriz S B!B de mudança da base B para a base B Como + ( + t) + ( + t + t ), t ( + t) + ( + t + t ) t ( + t) + ( + t + t )

275 então Além disso, bastaria ver que S B!B S B!B (S B!B ) Logo, como t + t + ( t) + t as coordenadas do vector t + t na base B são dadas por S B!B, ou seja t + t ( + t) + + t + t Seja 8 Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P, onde w t, w t S B!B a matriz de mudança da base B para a base B Determinemos B Uma vez que S B!B, então w v v e w v + v Isto é, tem-se o sistema 8 < v v t cuja matriz aumentada é dada por : v + v t, j t j t, Pelo método de eliminação de Gauss: j t j t! L +L!L j t j t

276 Logo, v t Logo, t e v (v + t) + B + t; t Seja 9 Sejam B fv ; v ; v g e B fw ; w ; w g duas bases ordenadas de R, onde v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) S B!B a matriz de mudança da base B para a base B Determinemos B fw ; w ; w g Uma vez que S B!B, então v w + w w ; v w + w w e v w + w + w Isto é, tem-se o sistema 8 < w + w w (; ; ) w + w w (; ; ) : w + w + w (; ; ), cuja matriz aumentada é dada por j j j, Pelo método de eliminação de Gauss: j (; ; ) j (; ; )! L j (; ; ) +L!L L +L!L! L +L!L j (; ; ) j (; ; ) j ( ; ; ) j (; ; ) j (; ; ) j ( ; ; )! L +L!L Tem-se então o sistema 8>< w + w w (; ; ) w (; ; ) >: w ( ; ; ) Logo, w ; ; ; w (; ; ) e w (; ; ) (; ; ) + ; ; ; ; Logo, B ; ; ; (; ; ); ; ;

277 Note que em que, S B!B B S B!B,, B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, ; ; ; (; ; ); ; ; ; e Sejam B B ; ; ; ;,, duas bases ordenadas de M (R) Determinemos a matriz S B!B de mudança da base B para a base B Queremos encontrar a ; a ; a ; a ; b ; b ; b ; b ; c ; c ; c ; c ; d ; d ; d ; d R tais que Atendendo a a b c d j j j j + a + b + c + d! L +L!L L +L!L L +L!L + a + b + c + d + a + b + c + d j j j j! L $L

278 ! L $L j j j j Logo, tem-se! L +L!L a b c d Isto é, tem-se os seguintes sistemas: 8 a + a + a + a >< a + a a + a >: a 8 >< >: c + c + c + c c + c c + c c! L +L!L j j j j + a j j j! L +L!L j + a + a + b + b + b + c + c + c + d + d + d 8 >< >: 8 >< >: b + b + b + b b + b b + b b d + d + d + d d + d d + d d que são equivalentes a 8>< a a 8 >< b b a >: a 8 c >: 8 b b d >< c >< d c d >: c >: d 8

279 Logo, a matriz S B!B de mudança da base B para a base B é dada por: S B!B Assim, as coordenadas do vector em relação à base B são dadas por Isto é, Seja B fv ; v g uma base ordenada de P Sejam (; ) e (; ) respectivamente as coordenadas de dois polinómios + t e t em relação à base B: Determine B Tem-se + t v v + t v,, t v + v t v v + t, + t t Logo B + t; v t t Sejam B fv ; v g e B fw ; w g duas bases ordenadas de P Suponha que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio p (t) em relação às bases B e B : Suponha ainda que (; ) e (; ) são respectivamente as coordenadas de um polinómio q (t) em relação às bases B e B : Determine a matriz S B!B de mudança da base B para a base B Seja a b S B!B c d Tem-se a c b d e a c b d 9

280 Logo 8> <, a b c d >: a b c d a + b c + d, a b c d, e assim S B!B 8

281 Resolução da a Ficha de exercícios facultativos Seja V um espaço linear real e o seu vector nulo (i) Suponhamos que u + v u + w Queremos ver que v w Ora, Logo, v w: v + v (( u) + u) + v ( u) + (u + v) u+vu+w ( u) + (u + w) (( u) + u) + w + w w (ii) Queremos ver que para todo o escalar R Ora, + ( + ) + ) por (i) (iii) Queremos ver que u para todo o vector u V Ora, u + u ( + ) u u + u ) por (i) u (iv) Queremos ver que ( u) u para todo o u V Ora, u + ( u) ) ( u) u (v) Queremos ver que o vector nulo V é único Ora, seja w V tal que u + w u, para todo o u V Então, u + w u u + ) por (i) w (vi) Queremos ver que o simétrico u de um qualquer vector u de V é único Ora, seja w V tal que u + w Então, u + w u + ( u) ) por (i) w u (vii) Queremos ver que ( )u u para todo o u V Ora, u + ( ) u u + ( ) u ( + ( )) u u Logo, como o simétrico é único, ( )u u (viii) Queremos ver que: se u, então ou u : Suponhamos que u Se, então u u u (u) por (iv) Como ) u, então u ) Logo, u ) _ u (ix) Queremos ver que: se u e u u, então Suponhamos que u e u u Ora, como u e ( ) u, então, atendendo a (viii) Isto é, 8

282 O conjunto de todos os polinómios reais de grau igual a n: U fa + a t + + a n t n P n : a ; a ; :::; a n R e a n g, com as operações usuais, não é um espaço linear p(t) U Por exemplo: o polinómio nulo (i)? P P e: Logo, P é subespaço de P (ii)? P n P n+ e: Logo, P n é subespaço de P n+ (iii)? P n P e: Logo, P n é subespaço de P P L ; t; t P n L (f; t; :::; t n g) P n L (f; t; :::; t n g) (i) Seja U A M nn (R) : A A T : Sejam A ; A U e R Tem-se A + A A T + A T (A + A ) T U e, com A U, A A T (A) T U Logo, U é subespaço de M nn (R) (ii) Seja U fa M nn (R) : A é invertívelg : Por exemplo: a matriz nula não pertence a U Logo, U não é subespaço de M nn (R) (iii) Seja U f(a ij ) M nn (R) : a ij se i j, com i; j ; :::; ng : Sejam (b ij ); (c ij ) U e R: Tem-se (b ij ) + (c ij ) (b ij + c ij ) U, pois b ij + c ij se i j, com i; j ; :::; n E, com (a ij ) U, (a ij ) (a ij ) U, pois a ij se i j, com i; j ; :::; n Logo, U é subespaço de M nn (R) (iv) Seja U fa M nn (R) : A é singularg : 8

283 Por exemplo, para n : ; U, mas Logo, U não é subespaço de M nn (R) (v) Seja + U U f(a ij ) M nn (R) : a ij se i > j, com i; j ; :::; ng : Sejam (b ij ); (c ij ) U e R: Tem-se (b ij ) + (c ij ) (b ij + c ij ) U, pois b ij + c ij se i > j, com i; j ; :::; n E, com (a ij ) U, (a ij ) (a ij ) U, pois a ij se i > j, com i; j ; :::; n Logo, U é subespaço de M nn (R) Seja V o espaço linear de todas as funções reais de variável real (i) Seja U ff : Dom f R! R tais que 9k > : jf(x)j k; 8x Dom fg o conjunto de todas as funções limitadas Sejam f ; f U e R Tem-se pois f + f U, j(f + f ) (x)j jf (x) + f (x)j jf (x)j + jf (x)j para todo o x Dom f \ Dom f E, com f U, pois f U, j(f) (x)j jj jf(x)j jj k, fu para todo o x Dom f Logo, U é subespaço de V (ii) Seja k + k, f ;f U U ff : Dom f R! R tais que f(x) f( x); 8x Dom fg o conjunto de todas as funções pares Sejam f ; f U e R Tem-se pois f + f U, (f + f ) (x) f (x) + f (x) f ;f U f ( x) + f ( x) (f + f ) ( x), 8

284 para todo o x Dom f \ Dom f E, com f U, pois f U, (f) (x) f(x) fu f( x) (f) ( x), para todo o x Dom f Logo, U é subespaço de V (iii) O conjunto de todas as funções racionais, isto é, as que são quocientes de funções polinomiais, é um subespaço de V (iv) Seja U ff : Domf R! R tais que f é crescenteg: Se f fôr crescente então f é decrescente, isto é, f U ) f U Logo, U não é subespaço de V (v) Seja U ff : Dom f R! R tais que f() f(); 8x Dom fg Sejam f ; f U e R Tem-se pois f + f U, (f + f ) () f () + f () f ;f U f () + f () (f + f ) (), para todo o x Dom f \ Dom f E, com f U, pois f U, (f) () f() fu f() (f) (), para todo o x Dom f Logo, U é subespaço de V (vi) Seja Sejam f ; f U Tem-se U ff : Domf R! R tais que f() + f()g: (f + f ) () f () + f () f ;f U + f () + f () + (f + f ) (), isto é, f + f U Logo, U não é subespaço de V Dem Seja fv ; v ; v g uma base de um espaço linear V Observe-se que fv + v ; v + v ; v + v g L (fv ; v ; v g), pelo que L(fv + v ; v + v ; v + v g) L (fv ; v ; v g) 8

285 Mas, como 8>< tem-se Logo, >: v (v + v ) (v + v ) + (v + v ) v (v + v ) (v + v ) + (v + v ) v (v + v ) (v + v ) + (v + v ) L (fv ; v ; v g) L(fv + v ; v + v ; v + v g) L(fv + v ; v + v ; v + v g) L (fv ; v ; v g) V Vejamos agora que o conjunto fv + v ; v + v ; v + v g é linearmente independente: Sejam ; ; R tais que (v + v ) + (v + v ) + (v + v ) Isto é, ( + )v + ( + )v + ( + )v Como fv ; v ; v g é uma base de V, em particular é linearmente independente Logo, 8 < + + : + o que é equivalente ao sistema homogéneo: A : com A Como det A, então A é invertível e tem-se Logo, fv + v ; v + v ; v + v g é uma base de V pois trata-se de um conjunto de vectores linearmente independente que gera V Seja A uma matriz (real) invertível do tipo n n Suponhamos que fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de R n Queremos provar que fav ; Av ; : : : ; Av n g é também uma base de R n Dem Vejamos primeiro que o conjunto fav ; Av ; : : : ; Av n g é linearmente independente Sejam ; ; : : : ; n R tais que (Av ) + (Av ) + + n (Av n ) Queremos ver que : : : n Observe-se que Logo, (Av ) + (Av ) + + n (Av n ) A( v ) + A( v ) + + A( n v n ) A( v + v + + n v n ) (Av ) + (Av ) + + n (Av n ) () A( v + v + + n v n ) 8

286 Como A é invertível, tem-se A A( v + v + + n v n ) A, I( v + v + + n v n ), v + v + + n v n Como fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de R n, então : : : n : Logo, fav ; Av ; : : : ; Av n g é um subconjunto de R n formado por n vectores linearmente independentes Como a dimensão de R n é n, então é uma base de R n fav ; Av ; : : : ; Av n g 8 Sejam V um espaço linear e S fv ; v ; : : : ; v n g Dem ()) Suponhamos que S é uma base de V Queremos provar que todo o vector de V se escreve de maneira única como combinação linear dos elementos de S Assim, seja v um vector qualquer de V Como S é uma base de V, então em particular gera V Pelo que, existem ; ; : : : ; n R tais que v v + v + + n v n Suponhamos que também existiam ; ; : : : ; n R tais que Logo, v v + v + + n v n ( )v + ( )v + + ( n n )v n Como fv ; v ; : : : ; v n g é um conjunto linearmente independente (por ser base), então temos ; ; : : : ; n n Logo, conclui-se que todo o vector de V se escreve de maneira única como combinação linear dos elementos de S (() Suponhamos agora que todo o vector de V se escreve de maneira única como combinação linear dos elementos de S Queremos provar que S fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de V Como todo o vector de V se escreve como combinação linear dos elementos de S, então S gera V Falta ver que S é linearmente independente Assim, sejam ; ; : : : ; n R tais que Como v + v + + n v n v + v + + v n, e uma vez que por hipótese todo o vector de V se escreve de maneira única como combinação linear dos elementos de S, conclui-se que : : : n Logo, S fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de V Fica assim provada a equivalência referida na questão 8

287 9 Seja fv ; v g uma base de um espaço linear U Considere os vectores w av + bv e w cv + dv ; com a; b; c; d R Queremos provar que fw ; w g é também uma base de U se e só se ad bc Dem (() Suponhamos que ad bc Vejamos que fw ; w g é uma base de U Vamos começar por veri car que o conjunto fw ; w g é linearmente independente: Sejam ; R tais que w + w Queremos ver que Observe-se que Logo, w + w (av + bv ) + (cv + dv ) ( a + c)v + ( b + d)v w + w, ( a + c)v + ( b + d)v Como o conjunto fv ; v g é uma base de U, em particular é linearmente independente Logo, a + c b + d R Isto é, a c b d Ou seja, A, a c onde A, e Como ad bc e det A ad bc, então b d det A, isto é, A é invertível e como tal: A A A, I, Logo, e deste modo o conjunto fw ; w g é linearmente independente Como dim U e como w ; w são dois vectores de U, linearmente independentes, então conclui-se que fw ; w g é uma base de U (não sendo necessário veri car se o conjunto fw ; w g gera U) ()) Reciprocamente, se fw ; w g é uma base de U, em particular é linearmente independente, e como tal tem-se ( w + w ) ) ( ) Isto é, a equação A, a c onde A, e, tem como solução única O que é b d equivalente a ter-se det A, isto é, ad bc 8

288 Demonstração alternativa Como o conjunto fv ; v g é uma base do espaço linear U então dim U Logo, se o conjunto fw ; w g fôr linearmente independente então será uma base do espaço linear U Assim, bastará provar que o conjunto fw ; w g é a b linearmente independente se e só se a matriz fôr invertível Seja o vector c d nulo do espaço linear U Sejam ; R tais que w + w : a Queremos ver que se e só se a matriz c que b d fôr invertível Observe-se Logo, w + w (av + bv ) + (cv + dv ) ( a + c)v + ( b + d)v w + w, ( a + c)v + ( b + d)v Como o conjunto fv ; v g é uma base do espaço linear U, em particular é linearmente independente Logo, a + c b + d R Isto é, a c b d a c Ou seja, A, onde A, e b d Como a equação A apenas admite a solução trivial se e sóse a matriz A fôr invertível e a b como a matriz A é invertível se e só se a matriz A T fôr invertível, tem-se c d então o resultado pretendido Sejam A uma matriz m n e B uma matriz n p Mostre que dim C (AB) dim C (B) dim (N (A) \ C (B)) Sugestão: Considere (no caso em que N (A) \ C (B) fg) uma base fx ; : : : ; x s g para N (A) \ C (B) e suponha (no caso em que AB ) que fx ; : : : ; x s ; y ; : : : ; y t g é uma base para C (B) Mostre que fay ; : : : ; Ay t g é uma base para C (AB) Dem Se N (A) \ C (B) fg, então dim (N (A) \ C (B)) e dim C (AB) dim C (B) : Suponhamos então que N (A)\C (B) fg Seja fx ; : : : ; x s g uma base para N (A)\ C (B) e suponhamos que AB (no caso em que AB tem-se dim C (AB) e dim C (B) dim (N (A) \ C (B)) uma vez que C (B) N (A)): Seja fx ; : : : ; x s ; y ; : : : ; y t g é uma base para C (B) Nesse caso dim C (AB) s + t Vejamos que fay ; : : : ; Ay t g é uma base para C (AB) 88

289 Seja b C (AB) Tem-se ABz b para algum z Mas, como Bz C (B), então existem escalares ; : : : ; s ; ; : : : ; t tais que Bz sx tx i x i + j y j i j Logo, b ABz A sx i x i + i! tx j y j i sx i Ax i + i tx j j Ay j fx ;:::;x sgn (A) tx j Ay j, j isto é, fay ; : : : ; Ay t g gera C (AB) Vejamos que fay ; : : : ; Ay t g é linearmente independente Suponhamos que existiam escalares ; : : : ; t tais que tx j Ay j Tem-se! tx tx j Ay j A j y j j j j tx e então j y j N (A) \ C (B) E assim, existem escalares ; : : : ; s tais que j tx sx j y j i x i : j i tx sx tx Como j y j i x i, j y j j i j i! sx i x i e atendendo a que fx ; : : : ; x s ; y ; : : : ; y t g é uma base para C (B), tem-se : : : t : : : s e assim o conjunto fay ; : : : ; Ay t g é linearmente independente Logo, o conjunto fay ; : : : ; Ay t g é uma base para C (AB) e assim dim C (B) s + t dim (N (A) \ C (B)) + dim C (AB),, dim C (AB) dim C (B) dim (N (A) \ C (B)) Considere os seguintes r vectores de R n : x (x ; x ; : : : ; x n ); x (x ; x ; : : : ; x n ); : : : ; x r (x r ; x r ; : : : ; x rn ): Mostre que se jx jj j > r P i(ij) jx ij j para todo o j ; : : : ; r então o conjunto x ; x ; : : : ; x r 89

290 é linearmente independente Sugestão: Considere v (v ; : : : ; v n ) x + x + + r x r ; com ; ; : : : ; r R e mostre que se existir j (com j f; : : : ; rg) tal que j j j > j i j; para todo o i ; : : : ; r; então v j Dem Seja v (v ; : : : ; v n ) x + x + + r x r ; com ; ; : : : ; r R Suponhamos que existe j (com j f; : : : ; rg) tal que j j j > j i j; para todo o i ; : : : ; r Queremos mostrar que v j Suponhamos então (com vista a uma contradição) que v j Nesse caso, teríamos rx i x ij i {z } v j, j x jj rx i x ij i ij Como j j j jx jj j j j x jj j rx i x ij i ij rx j i x ij j i ij rx j i j jx ij j i ij j i jj j j i;:::;r B j j rx C jx ij ja i ij e j (com j f; : : : ; rg) então teríamos B rx C jx jj jx ij ja o que contradiz a hipótese de se ter jx jj j > i ij rx i(ij) para todo o j ; : : : ; r Logo mostrámos que a existir j (com j f; : : : ; rg) tal que j j j > j i j; para todo o i ; : : : ; r; então v j, o que equivale a dizer que o conjunto x ; x ; : : : ; x r é linearmente independente jx ij j 9

291 Seja y C (A + B) Então existe x tal que Logo Seja A M mn (R) Vejamos que Seja y N Logo e Isto é ou seja y (A + B) x Ax + Bx C (A) + C (B) : C (A + B) C (A) + C (B) : N A T \ C (A) fg : A T \ C (A) Então existe x tal que Logo, sem perda de generalidade, A T y e y Ax: y T x T A T x T A T y x T A T y y T y: y T y nx i y i y (y ; :::; y n ) (; :::; ) N (A) \ L (A) fg : Como B C + B C e C (B) C (C + B C) C (C) + C (B C) então car B dim C (B) dim C (C) + dim C (B C) car C + car (B C) : Pelo que car B car C car (B C) De um modo análogo, como e então Logo Sejam ; ; ; R tais que C B + [ (B C)] C (C) C (B + [ (B C)]) C (B) + C (B C) car C car B car (B C) : jcar B car Cj car (B C) : v + Av + A v + A v : Multiplicando a igualdade anterior por A e atendendo a que A e assim A A A, então A v e deste modo uma vez que A v (v N (A )) Analogamente: multiplicando a igualdade Av+A v+a v por A tem-se, multiplicando a igualdade A v+a v por A tem-se e nalmente de A v obtém-se Logo, o conjunto fv; Av; A v; A vg é linearmente independente 9

292 Resolução da a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Sejam a; b R A aplicação T a;b : R! R de nida por T a;b (x) ax + b é linear se e só se b e a R (i) Seja T : R! R com T (x; y) (x + y; x y) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ) (; ) e T (; ) (; ) Tem-se N (T ) (x; y) R : T (x; y) (; ) (x; y) R : (x + y; x y) (; ) (x; y) R : x y e x y f(; )g Logo T é injectiva e dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x + y; x y) : x; y Rg fx(; ) + y(; ) : x; y Rg L (f(; ); (; )g) Como o conjunto f(; ); (; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ); (; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Sendo T sobrejectiva e tendo-se dim (espaço de partida) dim (espaço de chegada) então T também é injectiva, como se constatou no facto de se ter N (T ) f(; )g Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva Observação: T é injectiva se e só se N (T ) fg, onde é o vector nulo do espaço de partida Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ) Sendo M(T ; B c; B c) a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y, Logo, N (T ) N M(T ; B c; B c) N N f(; )g 9

293 e I(T ) C M(T ; B c; B c) C O conjunto f(; ); (; )g é uma base de I(T ) L (f(; ); (; )g) (ii) Seja T : R! R com T (x; y) ( y; x) T não é linear pois T (; ) (; ) (; ) (iii) Seja T : R! R com T (x; y; z) (x; x; x) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) (x; y; z) R : (x; x; x) (; ; ) (; y; z) R : y; z R y(; ; ) + z(; ; ) R : y; z R L (f(; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera N (T ) então f(; ; ); (; ; )g é uma base de N (T ) Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x; x; x) : x Rg fx(; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) Como o conjunto f(; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) f(; ; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar bases para N (T ) e I(T ) Sendo M(T ; Bc; Bc) a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z, 9

294 Logo, N (T ) N e M(T ; Bc; Bc) I(T ) C M(T ; Bc; Bc) A A L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de N (T ) e o conjunto f(; ; I(T ) A L (f(; ; ); (; ; )g) )g é uma base de (iv) Seja T : R! R com T (x; y; z) (; ) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) T (; ; ) T (; ; ) (; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ) (x; y; z) R : x; y; z R R Uma base para N (T ) poderá ser a base canónica B c Logo, dim N (T ) Uma vez que então dim I(T ) De facto dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida I(T ) f(; )g Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) f(; ; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ) Sendo M(T ; B c; B c) a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas Bc e Bc nos espaços de partida e de chegada respectivamente, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z, Logo, e N (T ) N M(T ; B c; B c) N I(T ) C M(T ; B c; B c) C R L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) f(; )g 9

295 Uma base para N (T ) poderá ser a base canónica B c (v) Seja T : R! R com T (x; y) x T é linear e tem-se M(T ; B c; B c ), uma vez que T (; ) e T (; ) Note que B c fg é a base canónica de R Tem-se N (T ) (x; y) R : T (x; y) (x; y) R : x (; y) R : y R y(; ) R : y R L (f(; )g) Como o conjunto f(; )g é linearmente independente e como gera N (T ) então f(; )g é uma base de N (T ) Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f x : x Rg L (fg) Como o conjunto fg é linearmente independente e como gera I(T ) então fg é uma base de I(T ), a base canónica de R Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Como N (T ) f(; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar bases para N (T ) e I(T ) Sendo M(T ; B c; B c ), a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas Bc no espaço de partida e B c no espaço de chegada, tem-se x T (x; y) M(T ; Bc; B c ) y Logo, e N (T ) N M(T ; B c; B c ) N L (f(; )g) I(T ) C M(T ; B c; B c ) C L (f g) L (fg) O conjunto f(; )g é uma base de N (T ) e o conjunto fg é uma base de I(T ) (vi) T : R! R com T (x; y; z) (; ; ) T não é linear pois T (; ; ) (; ; ) (; ; ) (vii) T : R! R com T (x) (x; ; x) T é linear e tem-se M(T ; B c ; Bc), 9

296 uma vez que T () (; ; ) Tem-se N (T ) fx R : T (x) (; ; )g fx R : (x; ; x) (; ; )g fg Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x; ; x) : x Rg fx(; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) Como o conjunto f(; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) fg então T é injectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ) Sendo M(T ; B c ; Bc) a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas B c no espaço de partida e B c no espaço de chegada, tem-se Logo, e N (T ) N M(T ; B c ; Bc) T (x) M(T ; B c; B c) [x] I(T ) C M(T ; B c ; Bc) O conjunto f(; ; )g é uma base de I(T ) A A L (fg) fg A L (f(; ; )g) (viii) T : R! R com T (x; y; z) (x y; y) T não é linear, pois por exemplo: T ((; ; ) + (; ; )) T (; ; ) (; ) (; ) T (; ; ) + T (; ; ) (ix) Seja T : R! R com T (x; y; z; w) (x y; w) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), 9

297 uma vez que T (; ; ; ) (; ); T (; ; ; ) ( ; ); T (; ; ; ) (; ) e T (; ; ; ) (; ) Tem-se N (T ) (x; y; z; w) R : T (x; y; z; w) (; ) (x; y; z; w) R : (x y; w) (; ) (x; y; z; w) R : x y e w (y; y; z; ) R : y; z R y(; ; ; ) + z(; ; ; ) R : y; z R L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Como o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é linearmente independente e como gera N (T ) então f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de N (T ) Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x y; w) : x; y; w Rg fx(; ) + y( ; ) + w(; ) : x; y; w Rg L (f(; ); ( ; ); (; )g) Como o conjunto f(; ); (; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ); (; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Como N (T ) f(; ; ; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar bases para N (T ) e I(T ) Sendo M(T ; B c; B c) a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas Bc no espaço de partida e Bc no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z; w) M(T ; Bc; Bc) y z w Logo, e N (T ) N M(T ; B c; B c) N I(T ) C M(T ; B c; B c) C, L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) L (f(; ); (; )g) O conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base de N (T ) e o conjunto f(; ); (; )g é uma base de I(T ) (x) Seja T : R! R com T (x; y; z) ( z; y z; y; y + z) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), 9

298 uma vez que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ; ) e T (; ; ) ( ; ; ; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ; ) (x; y; z) R : ( z; y z; y; y + z) (; ; ; ) (x; ; ) R : x R L (f(; ; )g) Como o conjunto f(; ; )g é linearmente independente e como gera N (T ) então f(; ; )g é uma base de N (T ) Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f( z; y z; y; y + z) : y; z Rg L (f(; ; ; ); ( ; ; ; )g) Como o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ; ); ( ; ; ; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) f(; ; )g então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar bases para N (T ) e I(T ) Sendo M(T ; B c; B c) a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z Logo, e N (T ) N M(T ; Bc; Bc) N N I(T ) C M(T ; Bc; Bc) C C A N 98, C A C A L (f(; ; )g) C A L (f(; ; ; ); ( ; ; ; )g)

299 O conjunto f(; ; )g é uma base de N (T ) e o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; )g é uma base de I(T ) (xi) Seja T : R! R com T (x) (; ) T é linear e tem-se M(T ; B c ; Bc), uma vez que T () (; ) Tem-se N (T ) fx R : T (x) (; )g fx : x Rg R Uma base para N (T ) poderá ser a base canónica B c fg Logo, dim N (T ) Uma vez que dim {z} R espaço de partida dim N (T ) + dim I(T ), então dim I(T ) De facto I(T ) f(; )g Por outro lado, como I(T ) R então T não é sobrejectiva Como N (T ) fg então T não é injectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ) Sendo M(T ; B c ; B c) a matriz que representa a transformação linear T em relação às bases canónicas B c e B c nos espaços de partida e de chegada respectivamente, tem-se Logo, e N (T ) N, T (x) M(T ; B c ; B c) x M(T ; B c ; B c) N I(T ) C M(T ; B c ; B c) C Uma base para N (T ) poderá ser a base canónica B c fg R L (fg) f(; )g (xii) Seja T : R! R com T (x; y; z) (x + y; z; x z) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) (x; y; z) R : (x + y; z; x z) (; ; ) f(; ; )g 99

300 Logo, dim N (T ) e T é injectiva Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x + y; z; x z) : x; y; z Rg fx(; ; ) + y(; ; ) + z(; ; ) : x; y; z Rg L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ) Sendo M(T ; Bc; Bc) a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z Logo, e N (T ) N M(T ; Bc; Bc) I(T ) C M(T ; Bc; Bc) A A O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) A f(; ; )g A L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) (xiii) Seja T : R! R com T (x; y; z) (x; y; z) T é linear e tem-se M(T ; Bc; Bc),

301 uma vez que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) f(; ; )g Logo, dim N (T ) e T é injectiva Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x; y; z) : x; y; z Rg R, isto é, T é sobrejectiva Como o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva (xiv) Seja T : R! R com T (x; y) (x cos y sen ; x sen + y cos ), R T é linear e cos sen cos sen M(T ; Bc; Bc)!, sen cos sen cos uma vez que T (; ) (cos ; sen ) e T (; ) ( sen ; cos ) Atendendo ao ex o (viii) da cha, tem-se, para todo o R, M(T ; Bc; Bc) cos sen sen cos Logo N (T ) (x; y) R : T (x; y) (; ) f(; )g e dim N (T ), isto é, T é injectiva Sendo T injectiva e tendo-se dim (espaço de partida) dim (espaço de chegada) então T também é sobrejectiva Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva Como o conjunto f(; ); (; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ); (; )g é uma base de I(T ) (xv) Seja T : P! P com T (p (t)) p ( t) tp (t) : T é linear uma vez que, para todos os p (t) ; p (t) ; p (t) P, para todo o R, T (p (t) + p (t)) T ((p + p ) (t)) (p + p ) ( t) t (p + p ) (t) p ( t) + p ( t) tp (t) tp (t) p ( t) tp (t) + p ( t) tp (t) T (p (t)) + T (p (t)), T (p (t)) T ((p) (t)) (p) ( t) t (p) (t) p ( t) tp (t) (p ( t) tp (t)) T (p (t))

302 Sendo B f; t; t g a base canónica de P, tem-se M(T ; B; B), uma vez que T () t ; T (t) ( t) t t e então Uma base para N (T ): Como T (t ) ( t) tt t + t t t: N (M(T ; B; B)) A L (f(; ; )g), N (T ) a + a t + a t P : (a ; a ; a ) L (f(; ; )g) L t + t Como f t + t g é uma base de N (T ), dim N (T ) Logo, T não é injectiva, uma vez que dim N (T ) Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ): N (T ) a + a t + a t P : T a + a t + a t a + a t + a t P : a + a ( t) + a ( t) t (a + a t) a + a t + a t P : a + a a t + a a t + a t a t a t a + a t + a t P : a + a + a + ( a a ) t a + a t + a t P : a a e a a a a t + a t P : a R L t + t L t + t Como f t + t g é uma base de N (T ), dim N (T ) Uma base para I(T ): Como f; t; t g gera P, tem-se I (T ) L T () ; T (t) ; T t L (f; t; tg) L (f; tg) : Uma vez que o conjunto f; tg é linearmente independente e gera I (T ), então f; tg é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim P, tem-se I (T ) P, pelo que T não é sobrejectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ): Sendo p (t) a + a t + a t, com a ; a ; a R, tem-se T (p (t)) a + a ( t) + a ( t) t (a + a t) a + a a t + a a t + a t a t a t a + a ( t) + a ( t)

303 Logo, I(T ) L (f; t; tg) L (f; tg) Uma vez que o conjunto f; tg é linearmente independente e gera I (T ), então f; tg é uma base de I (T ) (xvi) Seja T : P! P com T (p (t)) p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t : T é linear uma vez que, para todos os p (t) ; p (t) ; p (t) P, para todo o R, T (p (t) + p (t)) T ((p + p ) (t)) (p + p ) () (p + p ) ( ) + ((p + p ) ( ) + (p + p ) ()) t + + ((p + p ) ( ) (p + p ) () (p + p ) ()) t p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t + +p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t T (p (t)) + T (p (t)), T (p (t)) T ((p) (t)) p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t T (p (t)) Sendo B f; t; t g a base canónica de P, tem-se M(T ; B; B), uma vez que T () + ( + ) t + ( ) t t t ; e T (t) ( ) + (( ) + ) t + (( ) ) t t Uma base para N (T ): Como N (M(T ; B; B)) então T (t ) + ( + ) t + ( ) t + t: L (f( ; ; )g), A A N (T ) a + a t + a t P : (a ; a ; a ) L (f( ; ; )g) L + t + t Como f + t + t g é uma base de N (T ), dim N (T ) Logo, T não é injectiva, uma vez que dim N (T ) A

304 Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ): N (T ) a + a t + a t P : T a + a t + a t a + a t + a t P : p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t+ + (p ( ) p () p ()) t a + a t + a t P : p () p ( ) e p ( ) + p () e p ( ) p () p () 8 9 < a + a t + a t P : a (a a + a ) e (a a + a ) + (a + a + a ) e : ; (a a + a ) (a + a + a ) a a + a t + a t P : a a e a a a + a t + a t P : a R a + t + t P : a R L + t + t Como f + t + t g é uma base de N (T ), dim N (T ) Uma base para I(T ): Como f; t; t g gera P, tem-se I (T ) L T () ; T (t) ; T t L t t ; t ; + t L t ; + t : Uma vez que o conjunto f t ; + tg é linearmente independente e gera I (T ), então t ; + t é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim P, tem-se I (T ) P, pelo que T não é sobrejectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ): Sendo p (t) a + a t + a t, com a ; a ; a R, tem-se T (p (t)) p () p ( ) + (p ( ) + p ()) t + (p ( ) p () p ()) t a a + a ( ) + a ( ) + a + a ( ) + a ( ) + a + a + a t+ + a + a ( ) + a ( ) (a + a + a ) a t a a + (a + a ) t + ( a a ) t a t t + a t + a ( + t) Logo, I(T ) L (ft t ; t ; + tg) L (ft t ; t g) Como o conjunto t t ; t é linearmente independente e gera I (T ), então ft t ; t g é uma base de I (T ) p () p () (xvii) Seja T : P! M (R) com T (p (t)) p () p ( ) T é linear uma vez que, para todos os p (t) ; p (t) ; p (t) P, para todo o R, (p + p T (p (t) + p (t)) T ((p + p ) (t)) ) () (p + p ) () (p + p ) () (p + p ) ( )

305 p () + p () p () + p () p () + p () p ( ) + p ( ) p () p () p () p ( ) T (p (t)) + T (p (t)), (p) () (p) () T (p (t)) T ((p) (t)) (p) () (p) ( ) p () p () T (p (t)) p () p ( ) Sendo B f; t; t g a base canónica de P e B ; ; a base canónica de M (R) tem-se uma vez que então T () Cálculo de N (T ): Como M(T ; B ; B ) N (M(T ; B ; B )) N ; T (t) N + ;, p () p () p () p ( ) p () p () p () p ( ) ; T (t ) C A N C A f(; ; )g ; N (T ) a + a t + a t P : (a ; a ; a ) (; ; ) fg Logo, T é injectiva uma vez que dim N (T ) Resolução alternativa para calcular N (T ): N (T ) C A p (t) a + a t + a t P : T (p (t)) p () p () p (t) a + a t + a t P : p () p ( ) a + a t + a t a + a P : + a a a a a + a a + a t + a t P : a e a a fg

306 Uma base para I(T ): Como f; t; t g gera P, tem-se I (T ) L T () ; T (t) ; T Uma vez que o conjunto gera I (T ), então t L ; ; ; ; ; ; : é linearmente independente e é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim M (R), tem-se I (T ) M (R), pelo que T não é sobrejectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ): Sendo p (t) a + a t + a t, com a ; a ; a R, tem-se p () p () a + a T (p (t)) + a a p () p ( ) a a a + a a a a a + + Logo, I(T ) L a a a a a + a + a ; ; ; Como o conjunto ; é linearmente independente e gera I (T ), então é uma base de I (T ) Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base canónica (ordenada) Bc f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R é representada pela matriz M(T ; Bc; Bc) Tem-se T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) Tem-se x y z N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) x y z (x + y + z; x + y; x y) (x; y; z) R : (x + y + z; x + y; x y) (; ; ) f(; ; )g

307 Logo, dim N (T ) e T é injectiva Uma vez que dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida então dim I(T ) Vejamos como encontrar uma base para I(T ) Tem-se I(T ) f(x + y + z; x + y; x y) : x; y; z Rg L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva Como T é injectiva e sobrejectiva, então T é bijectiva Resolução alternativa para encontrar uma base para I(T ) Sendo M(T ; Bc; Bc) a matriz que representa a transformação linear T em relação à base canónica Bc no espaço de partida e no espaço de chegada, tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z Logo, e N (T ) N M(T ; Bc; Bc) I(T ) C M(T ; Bc; Bc) A A O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) A f(; ; )g A L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Considere a base ordenada B fv ; v g de R, em que v (; ) e v (; ) e seja T : R! R a transformação linear tal que T (v ) (; ), T (v ) ( ; ) (i) Tem-se T (; ) T ((; ) + (; )) {z} T (; ) + T (; ) (; ) + ( ; ) T é linear ( ; )

308 Logo, (ii) Seja (x; y) R Tem-se (x; y) y(; ) + (x y)(; ) T (x; y) T (y(; ) + (x y)(; )) {z} yt (; ) + (x y)t (; ) T é linear y(; ) + (x y)( ; ) ( x + y; x y) (iii) Tem-se M(T ; Bc; Bc) uma vez que, pela alínea (ii), T (; ) ( ; ) e T (; ) (; ) Observação: Poderíamos ter calculado T (; ) e T (; ) sem recorrer à alinea (ii), uma vez que (; ) (; ) + (; ) e (; ) (; ) (; ) Logo, sendo T linear, tem-se (usando só o enunciado) T (; ) ( ; ) e T (; ) T (; ) T (; ) (; ) ( ; ) (; ), (iv) Tem-se uma vez que Tem-se uma vez que S B c!b (; ) (; ) + (; ) e (; ) (; ) (; ) S B!B c (; ) (; ) + (; ) e (; ) (; ) + (; ) As coordenadas do vector (; ) na base B são dadas por: S B c!b Observação : Na verdade poderíamos ter determinado as coordenadas do vector (; ) na base B usando a de nição de coordenadas de um vector numa base: (; ) (; ) + (; ) Logo, as coordenadas do vector (; ) na base B são precisamente e Observação : Tem-se S B!B c S B c!b e S B c!b S B!B c 8

309 (v) Determinemos a matriz M(T ; B; B) usando só a de nição de matriz que representa uma transformação linear em relação a uma base ordenada B no espaço de partida e no espaço de chegada Tem-se uma vez que M(T ; B; B) T (; ) (; ) (; ) + (; ) e T (; ) ( ; ) (; ) (; ) Determinemos agora as coordenadas do vector T (; ) na base B sem usar as alíneas anteriores Tem-se T (; ) T ((; ) + (; )) {z} T (; ) + T (; ) T é linear (; ) + ( ; ) ( ; ) (; ) (; ) Logo, as coordenadas do vector T (; ) na base B são e Resolução alternativa: Determinemos a matriz M(T ; B; B) e as coordenadas do vector T (; ) na base B usando as alíneas anteriores Tem-se, Logo, (R ; B c) M(T ;B c ;B c )! T (R ; B c) S B c!b # I I # S B c!b (R ; B) (R ; B) T! M(T ;B;B) M(T ; B; B) S B c!bm(t ; Bc; Bc) S B c!b SB c!bm(t ; Bc; Bc)S B!B c Além disso tem-se coordenadas de (; ) na base B c M(T ;B c ;B c )! T coordenadas de T (; ) na base B c S B c!b # I I # S B c!b coordenadas de (; ) na base B T! M(T ;B;B) coordenadas de T (; ) na base B Logo, sendo e as coordenadas do vector (; ) na base Bc então as coordenadas do vector T (; ) na base B são dadas por M(T ; B; B)S B c!b (vi) Determinemos a matriz M(T ; Bc; B) usando só a de nição de matriz que representa uma transformação linear em relação às bases ordenadas no espaço de partida e no espaço de chegada Tem-se M(T ; B c; B) 9,

310 uma vez que e T (; ) ( ; ) (; ) (; ) T (; ) T ((; ) (; )) T (; ) T (; ) (; ) ( ; ) (; ) (; ) + (; ) Resolução alternativa: Tendo em conta o diagrama (R ; B c) M(T ;B c ;B c )! T (R ; B c) S B c!b # I I # S B c!b (R ; B) (R ; B) T! M(T ;B;B) tem-se M(T ; Bc; B) M(T ; B; B)S B c!b (vii) Determinemos a matriz M(T ; B; Bc) usando só a de nição de matriz que representa uma transformação linear em relação às bases ordenadas no espaço de partida e no espaço de chegada Tem-se uma vez que e M(T ; B; B c), T (; ) (; ) (; ) (; ) T (; ) ( ; ) (; ) + (; ) Resolução alternativa: Tendo em conta o diagrama (R ; B) M(T ;B;B)! T (R ; B) S B!B c # I I # S B!B c (R ; Bc) T! (R ; Bc) M(T ;Bc ;B c ) tem-se M(T ; B; Bc) M(T ; Bc; Bc)S B!B c Considere as transformações lineares T e T cujas matrizes que as representam em relação às bases canónicas (ordenadas) de R e R são dadas respectivamente por M(T ; Bc; Bc) e M(T ; Bc; Bc)

311 Tem-se T : R! R com T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) Tem-se T : R! R com x y z x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y x y Logo, tem-se T T : R! R linear com x (T T ) (x; y) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) y x y x y z (x + z; x + y) (y; y; x + y) x y (x + y; y) e T T : R! R linear com (T T ) (x; y; z) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) x y z x y z (x + y; x + y; x + y + z) Resolução alternativa: Tendo-se T : R! R com T (x; y; z) (x + z; x + y) T : R! R com T (x; y) (y; y; x + y), então T T : R! R é linear com x y z e (T T ) (x; y) T (T (x; y)) T (y; y; x + y) (x + y; y) e T T : R! R é linear com (T T ) (x; y; z) T (T (x; y; z)) T (x + z; x + y) (x + y; x + y; x + y + z) Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (y; y x; x) Considere a base ordenada B fv ; v ; v g de R com v (; ; ), v (; ; ), v ( ; ; ) Tem-se M(T ; B; B),

312 uma vez que T (; ; ) (; ; ) (; ; ) (; ; ) + ( ; ; ), T (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) ( ; ; ) e T ( ; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) ( ; ; ): Seja Bc ; ; ; a base canónica (ordenada) de M (R) Considere a transformação linear S : M (R)! M (R) de nida por S(A) A T Tem-se uma vez que S S M(S; Bc ; Bc ) S S, ; : 8 Considere a transformação linear T : R! R e a base canónica (ordenada) B c fv ; v ; v g de R, com v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) Suponha que se tem Logo, e Assim: (i) T (v ) v + v v, T (v + v ) v e T (v + v + v ) v + v T (; ; ) T (v ) (; ; ), T (; ; ) T (v ) T (v + v ) T (v ) v v + v ( ; ; ) T (; ; ) T (v ) T (v + v + v ) T (v + v ) v + v + v ( ; ; ) T (v v + v ) T (v ) T (v ) + T (v )

313 ( ; ; ) ( ; ; ) + (; ; ) (9; ; ); (ii) M(T ; Bc; Bc) (iii) Seja B Bc a base canónica ordenada de R Determinemos uma base ordenada B fw ; w ; w g de R de modo a que a matriz M(T ; B ; B ) que represente T em relação a essas bases B e B seja a matriz identidade: Tem-se T (; ; ) w ; T (; ; ) w e T (; ; ) w Logo, B f( ; ; ); ( ; ; ); (; ; )g 9 Considere a transformação linear T : R! R que em relação às bases ordenadas B fu ; u g de R e B fv ; v ; v g de R com u (; ), u (; ), v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ), é representada pela matriz M(T ; B ; B ) Considere ainda as bases ordenadas B u ; u de R e B v ; v ; v de R com (i) Tem-se u (; ), u (; ), v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) ( ; ) (; ) (; ) Logo, as coordenadas do vector ( ; ) na base B são e Deste modo, as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são dadas por M(T ; B ; B ) (ii) Tem-se ( ; ) (; ) + (; ) Logo, as coordenadas do vector ( ; ) na base B são e

314 Resolução alternativa: Tem-se S B!B uma vez que u u + u e u u u Tendo em conta (por (i)) que as coordenadas do vector ( ; ) na base B são e, então as coordenadas do vector ( ; ) na base B são dadas por S B!B, (iii) Uma vez que (por (i)) as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são ; e, então T ( ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) ( ; ; 8) Por outro lado, tem-se ( ; ; 8) (; ; ) + 9(; ; ) 8(; ; ) Logo, as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são ; 9 e 8 Resolução alternativa: Determinemos a matriz de mudança de base S B!B Tem-se S B!B uma vez que v v v + v; v v v + v e v v + v v Tendo em conta que (por (i)) as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são ; e, então as coordenadas do vector T ( ; ) na base B são dadas por S B!B 9 8, (iv) Determinemos uma base para N (T ) Seja u R e sejam ( ; ) as coordenadas de u em relação à base B f(; ); (; )g : Tem-se e como N (M(T ; B ; B )) u N (T ), ( ; ) N (M(T ; B ; B )) Assim, dim N (T ) e T é injectiva A A N (T ) f(; ) + (; )g f(; )g A f(; )g,

315 (v) Determinemos uma base para I (T ) Como f(; ); (; )g gera R, tem-se I(T ) L (ft (; ); T (; )g) L (f(; ; ) + ( ) (; ; ) + (; ; ); (; ; ) + (; ; ) + (; ; )g) Uma vez que o conjunto f(; ; L (f(; ; ); (; ; )g) ); (; ; )g é linearmente independente e gera I (T ), então f(; ; ); (; ; )g é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim R, tem-se I (T ) R, pelo que T não é sobrejectiva (vi) Determinemos a expressão geral de T, isto é, T (x; y), para todo o (x; y) R Considerando as bases canónicas de R e de R respectivamente: tem-se Logo, para todo o (x; y) R, x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y B c f(; ); (; )g ; B c f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, M(T ; Bc; Bc) S B!Bc M(T ; B ; B ) S B!Bc x y x y x + y y (x y; x + y; y) Resolução alternativa à alínea (v) para encontrar uma base para I(T ): Tem-se I(T ) T (x; y) : (x; y) R (x y; x + y; y) : (x; y) R (x; x; ) + ( y; y; y) : (x; y) R x (; ; ) + y ( ; ; ) : (x; y) R L (f(; ; ) ; ( ; ; )g) Como o conjunto f(; ; ) ; ( ; ; )g é linearmente independente e gera I (T ), então é uma base de I (T ) Note que: f(; ; ) ; ( ; ; )g L (f(; ; ) ; ( ; ; )g) L (f(; ; ); (; ; )g)

316 (vii) Tem-se (R ; B ) M(T ;B ;B )! T S B!B # I I # S B!B (R ; B ) Logo, (R ; B ) T! M(T ;B ;B ) (R ; B ) M(T ; B; B) S B!B M(T ; B ; B ) S B!B SB!B M(T ; B ; B )S B!B Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (x + y; x + y z) (i) Tem-se M(T ; B c; B c) uma vez que T (; ; ) (; ); T (; ; ) (; ) e T (; ; ) (; ) (ii) Tem-se, N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ) (x; y; z) R : (x + y; x + y z) (; ) (x; x; ) R : x R L (f(; ; )g) Logo, o conjunto f(; ; )g é uma base de N (T ) e dim N (T ) T não é injectiva, uma vez que N (T ) f(; )g (iii) Tem-se I(T ) f(x + y; x + y z) : x; y; z Rg C L (f(; ); (; )g) Como o conjunto f(; ); (; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ); (; )g é uma base de I(T ) e tem-se dim I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva (iv) O vector (; ; ) é uma solução particular da equação linear T (x; y; z) (; ) Logo, a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ) é dada por: f(; ; )g + N (T ) ( + t; t; ) R : t R

317 (v) Não existe nenhum vector (a; b) R para o qual a equação linear T (x; y; z) (a; b) seja impossível, uma vez que T é sobrejectiva (vi) Não existe nenhum vector (a; b) R para o qual a equação linear T (x; y; z) (a; b) seja possível e determinada, uma vez que T não é injectiva Considere a transformação linear T : R! R cuja matriz M(T ; Bc; Bc) que a representa em relação à base canónica (ordenada) Bc de R é dada por M(T ; Bc; Bc) (i) Seja (x; y; z) R Tem-se x T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) y z x y z (x + y + z; x + y + z; z) (ii) Tem-se N (T ) Logo, T é injectiva e dim N (T ) (iii) Tem-se A A f(; ; )g I(T ) f(x + y + z; x + y + z; z) : x; y; z Rg fx(; ; ) + y(; ; ) + z(; ; ) : x; y; z Rg L (f(; ; ); (; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base de I(T ) e tem-se dim I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de R e dim I(T ) dim R então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva (iv) Como T (; ; ) T (; ; ) + T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) (; ; ), então o vector (; ; ) é uma solução particular da equação linear T (x; y; z) (; ; ) Logo, a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ; ) é dada por: f(; ; )g + N (T ) f(; ; )g (v) Não existe nenhum vector (a; b; c) R para o qual a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) seja impossível, uma vez que T é sobrejectiva

318 (vi) Não existe nenhum vector (a; b; c) R para o qual a equação linear T (x; y; z) (a; b; c) seja possível e indeterminada, uma vez que T é injectiva Considere a transformação linear T : R! R cuja matriz M(T ; B; B) que a representa em relação à base (ordenada) B fv ; v ; v g de R com é dada por v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ), M(T ; B; B) (i) Seja A M(T ; B; B) Seja u R e sejam ( ; ; ) as coordenadas de u em relação à base B Tem-se u N (T ), ( ; ; ) N (A) e como N (A) A A f( y; y; ) : y Rg L (f( ; ; )g), N (T ) L (f( ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; )g) L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de N (T ) pois gera N (T ) e é linearmente independente Assim, dim N (T ) T não é injectiva, uma vez que N (T ) f(; ; )g Como dim {z} R espaço de partida dim N (T ) + dim I(T ), então dim I(T ) e assim I(T ) R (pois dim R ), isto é, T não é sobrejectiva Expressão geral de T : x T (x; y; z) y z Cálculo alternativo de N (T ): Tem-se (8x y z; x z; x z) N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) (x; y; z) R : (8x y z; x z; x z) (; ; ) (x; y; z) R : z x e x y (x; x; x) R : x R L (f(; ; )g) (ii) Quanto ao contradomínio: I(T ) L (ft (; ; ); T (; ; ); T (; ; )g) 8

319 L(f(; ; ) + (; ; ) + (; ; ); (; ; )+ +(; ; ) + (; ; ); (; ; ) + (; ; ) + (; ; )g) L (f(; ; ); (; ; ); (8; ; )g) L (f(; ; ); (8; ; )g) L (f(8; ; ); ( ; ; )g) Como o conjunto f(8; ; ); ( é uma base de I(T ) e tem-se dim I(T ) Cálculo alternativo de I(T ): Tem-se ; ; )g é linearmente independente e como gera I(T ) então f(8; ; ); ( ; ; )g I(T ) f(8x y z; x z; x z) : x; y; z Rg L (f(8; ; ); ( ; ; ); ( ; ; )g) L (f(8; ; ); ( ; ; )g) C M(T ; B c; B c) (iii) É fácil ver que (; ; ) I(T ) Logo, a equação linear T (x; y; z) (; ; ) não tem soluções (iv) Tem-se T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) e assim T ; ; ; ; Logo, a solução geral de é dada por: (x; y; z) R : T (x; y; z) T (x; y; z) ; ; ; ; ; ; ; ; ) + s (; ; ) : s R + N (T ) (v) Por exemplo o vector (; ; ) ou qualquer vector (a; b; c) I(T ), uma vez que sendo T não injectiva, sempre que a equação linear fôr possível, ela será indeterminada e Logo, (vi) Tem-se T (v ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ); T (v ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) T (v ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (8; ; ) T (; ; ) T (v ) (8; ; ); T (; ; ) T (v ) T (v ) ( ; ; ) 9

320 e Assim, e deste modo, para (x; y; z) R, T (; ; ) T (v ) T (v ) ( ; ; ) M(T ; Bc; Bc) T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) x y z 8 8 (8x y z; x z; x z) x y z Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (x + y + z; x + y z; z) (i) Tendo em conta que T (; ; ) (; ; ); T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ), tem-se M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação à base canónica (ordenada) B c de R (ii) A matriz M(T ; Bc; Bc) é invertível pois M(T ; Bc; Bc)! Logo, T é injectiva e como tal invertível, tendo-se M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c) Determinemos (M(T ; Bc; Bc)) M(T ; B c ; Bc) j I j j j! j! j j j j! j! j j j Logo, M(T ; Bc; Bc)

321 e como tal, para (x; y; z) R, T (x; y; z) M(T ; Bc; Bc) x y z x y z (x y z; x + y + z; z) Observação: T T T T I Isto é, para qualquer (x; y; z) R ; T T (x; y; z) T T (x; y; z) (x; y; z), como se pode ver: T T (x; y; z) T (T (x; y; z)) T (x + y + z; x + y z; z) (x + y + z x y + z z; x y z + x + y z + z; z) (x; y; z); T T (x; y; z) T T (x; y; z) T (x y z; x + y + z; z) (x y z x + y + z + z; x y z x + y + z z; z) (x; y; z) Demonstração alternativa da injectividade de T : Tem-se Logo, T é injectiva N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ; ) (x; y; z) R : (x + y + z; x + y z; z) (; ; ) f(; ; )g (iii) Sendo T injectiva, como os espaços de partida e de chegada têm a mesma dimensão, então T é sobrejectiva Logo, T é linear e bijectiva, isto é, T é um isomor smo (iv) Tem-se T (x; y; z) (; ; ), (x; y; z) T (; ; ) ( ; ; ) Logo, a solução geral da equação linear T (x; y; z) (; ; ) é: f( ; ; )g Seja Bc ; ; ; a base canónica (ordenada) de M (R) Considere a transformação T : M (R)! M (R) de nida por T (X) AX XA, com A :

322 (i) Sejam X; X ; X M (R) e R Tem-se T (X + X ) A(X + X ) (X + X )A AX + AX X A X A AX X A + AX X A T (X ) + T (X ) e T (X) A(X) (X)A (AX XA) T (X) a (ii) Seja c a T c b M d (R) Tem-se b d a c Logo, a expressão geral de T é dada por: a b T c d b d a b c d b + c d a d a b c b + c d a d a b c (iii) Tem-se uma vez que T M(T ; Bc ; Bc ), T T T (iv) Tem-se N (T ) a b b a a X c Logo, dim N (T ) Como N (T ) b M d (R) : T (X) M (R) : a; b R L ; então T não é injectiva,,, :

323 (v) Atendendo a que dim N (T ) e dim M (R), então dim I(T ) T não é sobrejectiva uma vez que I(T ) M (R) Determinemos uma base para I(T ) Tem-se a b I(T ) T (X) : X M c d (R) b + c d a M a + d b c (R) : a; b; c; d R L ; ; L ; Como o conjunto ; gera I(T ) e é linearmente independente, então é uma base de I(T ) e Considere as transformações lineares T ; T : R! R de nidas respectivamente por (i) Tem-se T (x; y) (x + y; x y) e T (x; y) (x + y; x y) M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c) uma vez que T (; ) (; ); T (; ) (; ); T (; ) (; ) e T (; ) (; ) (ii) A matriz M(T T ; B c; B c) que representa T T em relação à base canónica (ordenada) B c de R, é dada por M(T T ; Bc; Bc) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) (iii) Tem-se, para qualquer (x; y) R, x (T T )(x; y) M(T T ; Bc; Bc) y x (x + y; x + y) y (iv) Tem-se, para qualquer (x; y) R, x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y x (x + y; x y) y

324 e Logo, x T (x; y) M(T ; Bc; Bc) y x y (x + y; x y) (T T )(x; y) T (T (x; y)) T (x + y; x y) (x + y + x y; x + y x + y) (x + y; x + y): (v) Tem-se N (T ) (x; y) R : T (x; y) (; ) (x; y) R : (x + y; x y) (; ) f(; )g e N (T ) (x; y) R : T (x; y) (; ) (x; y) R : (x + y; x y) (; ) f(; )g Logo, T e T são injectivas e como tal são invertíveis (vi) Tem-se então M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c) e M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c) Determinemos (M(T ; Bc; Bc)) e (M(T ; Bc; Bc)) M(T ; Bc; Bc) j I j j!! j j j j!! j j ; M(T ; B c; B c) j I! j j!! j j j j! j j Logo, M(T ; B c; B c) e M(T ; B c; B c) e como tal, para (x; y) R, T (x; y) M(T ; B c; B c) x y T (x; y) M(T ; Bc; Bc) x y x y x y x + y; x y x + y; x y,,

325 e nalmente T T (x; y) T T (x; y) x + y; x x y; x + y T y (vii) Tem-se M((T T ) ; Bc; Bc) M(T T ; Bc; Bc) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) M(T ; B c; B c) M(T ; B c; B c) De facto, M((T T ) ; B c; B c) M(T T ; B c; B c) : (viii) Tendo em conta (vii) tem-se (T T ) (x; y) x y x y; x + y Logo, como seria de esperar, (T T ) (x; y) T T (x; y) Seja A M (T ; Bc; Bc) Como A é invertível, pois det A, T é injectiva Logo, se a equação linear T (x; y) (; ) tiver solução, ela é única Como C (A) I (T ) e uma vez que C (A) pois: +, então (; ) é a solução única da equação linear T (x; y) (; ) Resolução alternativa da equação linear T (x; y) (; ): Como A é invertível, T é invertível e T (x; y) (; ), (x; y) T (; ) A Tem-se M (T ; B c; B c), pois T (; ) e T (; ) Logo M T T ; Bc; Bc M T ; Bc; Bc M T ; Bc; Bc

326 e assim N (T T ) N (M (T T ; Bc; Bc)) N L (f(; )g) Pelo que f(; )g é base de N (T T ), uma vez que f(; )g é linearmente independente e gera N (T T ) 8 Como M(T ; B ; B ), tem-se T (; ; ) (; ) (; ) (; ), T (; ; ) (; ) + (; ) (; ) e T (; ; ) (; ) (; ) (; ) Por outro lado, como B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g gera o "espaço de partida" R, tem-se I (T ) L (ft (; ; ); T (; ; ); T (; ; )g) L (f(; )g) Pelo que f(; )g é base de I (T ), pois (; ) é linearmente independente e gera I (T ) Tem-se dim I (T ) car (M(T ; B ; B )) car Como I (T ) R, pois dim I (T ) dim R, então T não é sobrejectiva 9 Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (x+y; y + z) Considere ainda a transformação linear T : R! R cuja representação matricial em relação à base (ordenada) B f(; ); (; )g de R e à base canónica Bc de R é dada pela matriz M(T ; B; Bc) (i) N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (; ) (x; y; z) R : (x + y; y + z) (; ) n (x; y; z) R : x z y o n y ; y; y o : y R L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g gera N (T ) e é linearmente independente, logo é uma base de N (T ) Tem-se dim N (T ) e dim N (T ) + dim I(T ) dim R, e assim dim I(T ) Logo, como I(T ) é um subespaço de R e dim I(T ) dim R, então I(T ) R e assim, T é sobrejectiva (ii) Como B f(; ); (; )g gera o "espaço de partida" R, tem-se I (T ) L (ft (; ); T (; )g) L (f(; ; ) ; (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ) ; (; ; )g gera I (T ) e é linearmente independente, então é uma base de I (T ) Tem-se dim I (T ) e dim N (T ) + dim I (T ) dim R, e assim dim N (T ) Logo, T é injectiva (iii) Tem-se! L +L!L L +L!L! L +L!L 8

327 logo o conjunto f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g gera N (T ) + I(T ) e é linearmente independente, então é uma base de N (T ) + I(T ) Logo, como N (T ) + I(T ) é um subespaço de R e dim (N (T ) + I(T )) dim R, então N (T ) + I(T ) R Tem-se dim (N (T ) \ I(T )) dim N (T ) + dim I(T ) dim (N (T ) + I(T )) + e (iv) Como (; ) (; ) (; ) e (; ) (; ) + (; ), tem-se T (; ) T (; ) (; ) T é linear T (; ) T (; ) (; ; ) (; ; ) ; ; + ; ; ; ; T (; ) T (; ) + (; ) (; ; ) + (; ; ) ; ; T é linear T (; ) + T (; ) + ; ; ; ; Logo, a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por M(T ; Bc; Bc) (v) A matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por M(T ; Bc; Bc), uma vez que T (; ; ) (; ); T (; ; ) (; ) e T (; ; ) (; ) Logo, a matriz que representa T T em relação à base canónica Bc de R é dada por M(T T ; Bc; Bc) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) Logo, tem-se (T T ) (x; y) x y

328 Assim, como a matriz 8 8, é dada x y é invertível, a solução geral da equação (T T ) (x; y) Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y) (x+y; ; x+ y) Considere ainda a transformação linear T : R! R cuja representação matricial em relação à base (ordenada) B f(; ; ); (; ; ); (; ; )g de R e à base canónica Bc de R é dada pela matriz: M(T ; B; Bc) (i) T (; ; ) T (; ; ) T (; ; ) ( ; ) (; ) ( ; ) T (; ; ) T (; ; ) T (; ; ) (; ) ( ; ) (; ) (ii) Tem-se I (T ) T (x; y) : (x; y) R (x + y; ; x + y) : (x; y) R fx(; ; ) + y(; ; ) : x; y Rg L (f(; ; ); (; ; )g) Como o conjunto f(; ; ); (; ; )g gera I (T ) e é linearmente independente, então é uma base de I (T ) Como dim I(T ) < dim R então I(T ) R e assim, T não é sobrejectiva (iii) N M(T ; B; B c) N N f(y z; y; z) : y; z Rg L (f(; ; ); ( ; ; )g) : Como os vectores (; ; ) e ( ; ; ) são as coordenadas na base B de vectores que geram o núcleo de T, tem-se (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) e (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) Como o conjunto f(; ; ); (; ; )g gera N (T ) e é linearmente independente, então é uma base de N (T ) Como N (T ) fg então T não é injectiva (iv) Pela de nição de M(T ; B; Bc) tem-se T (; ; ) (; ) Atendendo à alínea a), tem-se T (; ; ) ( ; ) e T (; ; ) (; ) Logo, a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por M(T ; B c; B c) 8

329 Por outro lado, como T (; ) (; ; ) e T (; ) (; ; ) Logo, a matriz M(T ; Bc; Bc) que representa T em relação às bases canónicas Bc e Bc de R e R respectivamente, é dada por M(T ; Bc; Bc) Logo, a matriz que representa T T em relação à base canónica Bc de R é dada por M(T T ; Bc; Bc) M(T ; Bc; Bc)M(T ; Bc; Bc) Logo, tem-se e assim, (T T ) (x; y) (T T ) (x; y) ( ; ), x y x y A solução geral de (T T ) (x; y) ( ; ) é dada por: x Solução particular de + Solução geral de y x Como o vector ; é uma solução particular de e y N N L ; então, a solução geral de (T T ) (x; y) ( ; ) é dada por: ; + N ; + s ; : s R x y Considere a transformação linear T : R! P de nida por T (; ; ) + t ; T (; ; ) t t e T ( ; ; ) + t + t + t (i) Determinemos a expressão geral de T, isto é, determinemos T (x; y; z) para qualquer (x; y; z) R Seja (x; y; z) R Como f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g gera R, existem escalares ; ; R tais que Atendendo a j x j y! j z (x; y; z) (; ; ) + (; ; ) + ( ; ; ) j x j y x j z + x 9! j x j y x j y + z,

330 tem-se 8 < : + x + y y + z x 8 ><, >: (x + y) (x + z) (y + z) Logo (x; y; z) (x + y) (; ; ) + (x + z) (; ; ) + (y + z) ( ; ; ), e assim, como T é linear, T (x; y; z) (x + y) T (; ; ) + (x + z) T (; ; ) + (y + z) T ( ; ; ) (x + y) + t + (x + z) t t + (y + z) + t + t + t x + y + z + (y x) t + (x + y + z) t + (y x) t (ii) Tem-se N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (x; y; z) R : x + y + z + (y x) t + (x + y + z) t + (y x) t + t + t + t (x; y; z) R : x + y + z e (y x) (x; y; z) R : x y e z y y(; ; ) R : y R L (f(; ; )g) Logo, o conjunto f(; ; )g é uma base de N (T ) e dim N (T ) T não é injectiva, uma vez que N (T ) f(; ; )g (iii) Determine, se possível, uma base para o contradomínio I(T ) Determine a dimensão de I(T ) Diga se T é sobrejectiva Como f(; ; ); (; ; ); ( ; ; )g gera R ; tem-se I (T ) L (ft (; ; ); T (; ; ); T ( ; ; )g) L + t ; t t ; + t + t + t : Como:! então o conjunto f + t ; t t g é linearmente independente e gera I(T ); sendo assim uma base de I(T ) Logo, tem-se dim I(T ) Por outro lado, como I(T ) é subespaço de P e dim P então I(T ) P, isto é, T não é sobrejectiva

331 (iv) Atendendo a ter-se T (; ; ) + t ; T (; ; ) t t e T ( ; ; ) + t + t + t + t + t + t + t + {z t + t } T ( ;;) T ( ; ; ) + t {z } T (;; ) (; ; ) T ( ; ; ) T ; ;, T (; ; ) T é linear ; ; é uma solução particular da equação linear T (x; y; z) + t + t + t Como, a solução geral de T (x; y; z) + t + t + t é dada por: Solução particular de T (x; y; z) + t + t + t + (Solução geral de T (x; y; z) ) e como a solução geral de T (x; y; z) é dada por N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) L (f(; ; )g) então, a solução geral de T (x; y; z) + t + t + t é dada por: ; ; + L (f(; ; )g) ; ; + s(; ; ) : s R Seja R Considere a transformação linear T : R! P de nida por (i) Tem-se 8 < : T (x; y; z) z y + (y x) t + xt N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) (x; y; z) R : z y + (y x) t + xt + t + t + t (x; y; z) R : z y e (y x ou ) e x (; y; z) R : z y e (y ou ) 8 f(; ; )g se < f(; ; )g se fy(; ; ) R : : y Rg se L (f(; ; )g) se Logo, se então f(; ; )g é uma base de N (T ) e assim T não é injectiva 8 < se dim N (T ) : se : Logo, como N (T ) f(; ; )g, para todo o Rn fg, então T é injectiva, para todo o Rn fg (ii) Seja (x; y; z) R, tem-se T (x; y; z) z y + (y x) t + xt z + x t + t + y ( + t)

332 Logo, I(T ) T (x; y; z) : (x; y; z) R z + x t + t + y ( + t) : x; y; z R 8 L ; t + t ; + t < L (f; t + t ; + tg) se : L (f; t g) se Se então o conjunto f; t + t ; + tg é linearmente independente e gera I (T ), sendo assim uma base de I (T ) Se então o conjunto f; t g é linearmente independente e gera I (T ), sendo assim uma base de I (T ) Logo 8 < se dim I(T ) : se : Como I (T ) é um subespaço de P e neste caso ( ) dim I (T ) dim P, então I (T ) P, isto é, T é sobrejectiva se Se, como I (T ) P, T não é sobrejectiva Note que: para todo o R, dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ), espaço de partida (iii) Considere e resolva a equação linear T (x; y; z) + t Atendendo a ter-se T (; ; ) + t então (; ; ) é uma solução particular da equação linear T (x; y; z) + t Como, a solução geral de T (x; y; z) + t é dada por: Solução particular de T (x; y; z) + t + (Solução geral de T (x; y; z) ) e como a solução geral de T (x; y; z) é dada por N (T ) (x; y; z) R : T (x; y; z) L (f(; ; )g) então, a solução geral de T (x; y; z) + t é dada por: (; ; ) + L (f(; ; )g) f(; ; ) + s(; ; ) : s Rg Considere o espaço linear P dos polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a Considere a transformação linear T : P! P de nida por T (p (t)) p (t) p (t), onde p (t) é a derivada de primeira ordem de p (t)

333 (i) Seja p (t) P p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Tem-se T a + a t + a t a + a t + a t a + a t + a t a + a t a a t a t a + a + (a a ) t a t Logo, a expressão geral de T : P! P é dada por: T a + a t + a t a + a + (a a ) t a t (ii) Seja B f; t; t g a base canónica (ordenada) de P Determinemos a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base B Como T (), T (t) t; T t t t tem-se M(T ; B; B) (iii) Como a transformação linear T : P! P é invertível, pois M(T ; B; B) é invertível então T é linear e bijectiva, isto é, T é um isomor smo Sendo T um isomor smo, T também é um isomor smo Seja p (t) P p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Tem-se e Logo p (t) p (t) a 8 p (t) a + a t + a t a (M(T ; B; B)) a + a a a a T (p (t)) a a a a a a t a + a (a + a t) a t (*) a a a a a t a a a a a a t (**) 8 a Atendendo a (*) e a (**) conclui-se que a expressão geral do isomor smo T é dada por para todo o p (t) P T (p (t)) p (t) p (t) 8 p (t)

334 (iv) Tem-se p (t) p (t) ( t), T (p (t)) ( t), T é um isomor smo p (t) T ( t) (ii) (ii) ( t) ( ( t) ( )) 8 ( ( ) ( )) + t 9 t Logo, p (t) + t 9 t é a única solução da equação diferencial linear p (t) p (t) ( t) Considere o espaço linear P dos polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a Considere a transformação linear T : P! P de nida por T (p (t)) t p (t) p (t), onde p (t) é a derivada de segunda ordem de p (t) (i) Seja p (t) P p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Tem-se T a + a t + a t t a + a t + a t a + a t + a t t a a a t a t a a t Logo, a expressão geral de T : P! P é dada por: T a + a t + a t a a t (ii) Seja B f; t; t g a base canónica (ordenada) de P Determinemos a matriz M(T ; B; B) que representa T em relação à base B Como T (), T (t) t; T t t t tem-se M(T ; B; B) então (iii) Uma base para N (T ): Como N (M(T ; B; B)) A L (f(; ; )g), N (T ) a + a t + a t P : (a ; a ; a ) L (f(; ; )g) L t Como ft g é uma base de N (T ), dim N (T ) Logo, T não é injectiva, uma vez que dim N (T )

335 Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ): N (T ) a + a t + a t P : T a + a t + a t a + a t + a t P : t a a + a t + a t a + a t + a t P : a a t a + a t + a t P : a e a L t Como ft g é uma base de N (T ), dim N (T ) Uma base para I(T ): Como f; t; t g gera P, tem-se I (T ) L T () ; T (t) ; T t L (f ; t; g) L (f ; tg) : Uma vez que o conjunto f ; tg é linearmente independente e gera I (T ), então f ; tg é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim P, tem-se I (T ) P, pelo que T não é sobrejectiva (iv) (a) Resolva, em P ; a equação diferencial linear t p (t) p (t) t Como C (M(T ; B; B)) A ; uma vez que, então + t é uma solução particular da equação diferencial linear t p (t) p (t) t: Como a solução geral de t p (t) p (t) t é dada por: Solução particular de t p (t) p (t) t + Solução geral de t p (t) p (t) e como a solução geral de t p (t) p (t) é dada por N (T ) L t, então a solução geral de t p (t) p (t) t é dada por: + t + L t + t + at : a R (b) Resolva, em P ; a equação diferencial linear tp (t) p () t

336 Como Seja T (p (t)) tp (t) p (), em que p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Logo T (p (t)) tp (t) p () t (a + a t) a a + a t + a t uma vez que T () (ordenada) de P Logo M(T ; B; B) ; T (t) t; T (t ) t, onde B f; t; t g é a base canónica tp (t) p () t, T (p (t)) t, M(T ; B; B), a a a, M(T ;B;B) é invertível Isto é, a solução geral de a a a é: Veri cação: T t t Nota importante: Como então T é injectiva e tendo-se ; (M(T ; B; B)) tp (t) p () t t t dim N (T ) dim N (M(T ; B; B)) a a a, t + t dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ) dim I(T ), espaço de partida então I(T ) R, isto é, T é sobrejectiva e uma base para I(T ) é por exemplo a base canónica (ordenada) de P B ; t; t Cálculo alternativo de uma base de I(T ):

337 Seja p (t) a + a t + a t ; com a ; a ; a R Como T (p (t)) T a + a t + a t tp (t) p () a + a t + a t então I(T ) ft (p (t)) : p (t) P g L ; t; t Como f; t; t g gera P, tem-se I (T ) L T () ; T (t) ; T t L ; t; t e sendo o conjunto f ; t; t g linearmente independente então ; t; t é uma base de I (T ), tendo-se dim {z} R dim N (T ) + dim I(T ) dim N (T ) +, dim N (T ), espaço de partida isto é, T é injectiva Seja U o subespaço das matrizes simétricas de M (R), isto é, U A M (R) : A A T Considere a transformação linear T : U! U de nida por com B a (i) Seja b a T b T (A) AB + BA b U, com a; b; c R Tem-se c b a c b b c + a b b c b a + c a + c b Logo, a expressão geral de T : U! U é dada por: a b b a + c T b c a + c b (ii) Determinemos uma base para U e a matriz que representa T em relação a essa base Seja A U Tem-se a b A a + b + c b c

338 com a; b; c R Como o conjunto B ; ; gera U e é linearmente independente, então B é uma base de U Por outro lado, como T T T então a matriz que representa T em relação à base B é dada por: M (T ; B; B) então (iii) Uma base para N (T ): Como N (M(T ; B; B)) A N (T ) a A b b c A L (f(; ; )g), U : (a; b; c) L (f(; ; )g) L Como é uma base de N (T ), dim N (T ) Logo, T não é injectiva, uma vez que dim N (T ) Resolução alternativa para encontrar uma base para N (T ): 8

339 N (T ) Como a A b a A b a A b a A b A b U : T (A) c b U : A + A c b b a + c U : c a + c b b U : b e a + c c : c R L c c Uma base para I(T ): Como ; é uma base de N (T ), dim N (T ) ; gera U, tem-se I (T ) L T ; T ; T L ; ; L ; : Uma vez que o conjunto ; então ; L é linearmente independente e gera I (T ), é uma base de I (T ), tendo-se dim I (T ) Como dim U, tem-se I (T ) U, pelo que T não é sobrejectiva (iv) Resolva, em U; a equação linear T (A) B Como + T então é uma solução particular da equação linear T (A) B Como a solução geral de T (A) B é dada por: (Solução particular de T (A) B) + (Solução geral de T (A) ) 9

340 e como a solução geral de T (A) é dada por N (T ) L então a solução geral de T (A) B é dada por: + L, + a a : a R Considere a transformação linear T : M (R)! P cuja matriz M(T ; B ; B ) que a representa em relação às bases ordenadas B ; ; ; de M (R) e B f + t; t + t ; t + t ; t g de P é dada por M(T ; B ; B ) (*) como a (i) Seja c b M d (R), com a; b; c; d R De (*), tem-se T T T T + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t + t

341 então a T c b d at T é linear +bt +ct +dt a +b +c ( + t) +d a + t t + t + t + t + + t + t + t ( + t) + + t + t + ( + t) + + t + t + + t + t + t + t + t + t + + t + t + + t + t + t + + t + t + t + ( + t) + + t + t + + t + t + t + + t + t + t +b + t t t +c + t + t + t +d + t + t + t a+ b+ c+ d+ a + b + c + d t+ a b + c + d Logo, a expressão geral de T : M (R)! P é dada por: t +( b + c + d) t a T b b c a+ b+ c+ d+ a + b + c + d t+ a b + c + d t +( b + c + d) t (ii) Como a transformação linear T : M (R)! P é invertível, pois M(T ; B ; B ) é invertível então T é linear e bijectiva, isto é, T é um isomor smo Sendo T um isomor smo, T também é um isomor smo Determinemos a expressão geral do isomor smo T, isto é, determinemos e T a + a t + a t + a t Primeiro determinemos M(T ; B; c B), c onde B c ; ; B c ; t; t ; t ; são respectivamente as bases canónicas de M (R) e de P A matriz de mudança da base B para a base B c é dada por: S B!B c

342 A matriz de mudança da base B para a base B c é dada por: S B!B c Logo, a matriz que representa T em relação às bases B c e B c é dada por: M(T ; B c ; B c ) S B!B c M(T ; B ; B ) S B!B c Note que a expressão geral de T obtida na alínea (i) pode ser obtida através da matriz M(T ; B c ; B c ) anterior: as coordenadas de T a b b c na base B c são dadas por M(T ; B c ; B c ) a b c d a b c d a + b + c + d a + b + c + d c b a + d c b + d Logo T a b b c a+ b+ c+ d+ a + b + c + d t+ a b + c + d t +( b + c + d) t Seja p (t) P, isto é, p (t) a + a t + a t + a t, com a ; a ; a ; a R

343 Atendendo a que as coordenadas de T (a + a t + a t + a t ) em relação à base B c são dadas por: a a a a a + a M(T ; B; c B) c a a a a a a + a a a a + a, a a a a tem-se T a + a t + a t + a t (a a a + a ) + (a a + a a ) + (a a + a ) + (a a ) a a a + a a a + a a a a + a a a + Ou seja, a expressão geral do isomor smo T : P! M (R) é dada por: T a + a t + a t + a t a a a + a a a + a a a a + a a a Tem-se de facto: T T I M (R) e T T I P (iii) Atendendo à alínea anterior, a solução geral da equação linear a b T + t + t + t c d é dada por: a b T + t + t + t c d Seja U o espaço linear das funções reais de variável real duas vezes diferenciável Considere a transformação linear T : U! U de nida por T (f) f f + f Considere o subespaço S ff U : f f + f g de U (i) Mostre que o conjunto fe t ; te t g é uma base de S Sugestão: Mostre que se f S, então f (t) e t é um polinómio de grau menor ou igual a Seja f S Como f (t) e t f (t) e t f (t) e t f (t) e t f (t) e t f (t) e t + f (t) e t (f (t) f (t) + f (t)) e t fs

344 então existe c R tal que para todo o t R Assim, existe d R tal que para todo o t R Logo Tem-se assim: f (t) e t c f (t) e t ct + d P L (f; tg) f (t) L e t ; te t S L e t ; te t ; onde o conjunto fe t ; te t g é linearmente independente uma vez que o conjunto f; tg é linearmente independente Logo o conjunto fe t ; te t g é uma base de S (ii) Mostre que dados a; b R, existe uma única função f S tal que f () a e f () b Sejam a; b R Sejam f; g S tais que f () g () a e f () g () b: Como S L (fe t ; te t g), existem ; ; ; R tais que Como f () g () a tem-se f (t) e t + te t e g (t) e t + te t a f () e a g () Logo Por outro lado, como f () g () b, : e Assim, b f () e t + te t t e t + e t + te t t + b g () e t + te t t e t + e t + te t t + e uma vez que, então Deste modo, para todo o t R + + f (t) e t + te t e t + te t g (t) ; isto é, f g

345 Pelo que dados a; b R, existe uma única função f S tal que f () a e f () b (iii) Determine a única solução f da equação diferencial linear T (f) que veri ca f () e f () A função identicamente igual a : f (f (t) ;para todo o t R) é uma solução particular de ff U : T (f) e f () e f () g : Atendendo à alínea anterior, existe uma única função f S tal que f () e f () Como f (t) e t + te t e então f () e f () f (t), para todo o t R, é a solução geral de ff U : T (f) e f () e f () g Como a solução geral de ff U : T (f) e f () e f () g : é dada por: (Solução particular de ff U : T (f) e f () e f () g) + + (Solução geral de ff U : T (f) e f () e f () g), então a solução geral de ff U : T (f) e f () e f () g é dada por: f (t), para todo o t R 8) (i) M(T ; B; B) : (ii) Como det M(T ; B; B) então T é invertível e T (u) (; ; ; ), u T (; ; ; ) Como M(T ; B; B) ;

346 então atendendo a que as coordenadas de (; ; ; ) em B são e pois (; ; ; ) v v, tem-se que são as coordenadas de u na base B Logo T (u) (; ; ; ), u v v ( ; ; ; ); ou seja u ( ; ; ; ) é a única solução da equação linear T (u) (; ; ; ): (iii) Como R(; ; ; ) R (v ) + R (w ) v (; ; ; ); e R(; ; ; ) R (v ) + R (w ) R (w ) v (; ; ; ); então, sendo B c a base canónica de R, pelo que R(; ; ; ) R (w ) R (w ) (; ; ; ) R(; ; ; ) R (w ) (; ; ; ) M(R; B c ; B c ) R(u) (; ; ; ), M(R; B c ; B c )u,, u f(a; b; c; d) R : b ; a ; c; d Rg f( ; ; c; d) : c; d Rg: Isto é, a solução geral de R é: (u) (; ; ; ) f( ; ; c; d) : c; d Rg: 9) a) T () t ( + t) + ( t) + t ; logo T (t) + 8t t ( + t) ( t) t ; M(T ; B; B ) :

347 b) Logo N (M(T ; B ; B )) N Base para T é sobrejectiva: f( y; y; y) : y Rg L (f( ; ; )g) : N (T ) L ( ) ( + t) + ( t) + t L t + t : N (T ) : t + t : dim I(T ) dim P dim N (T ) dim P : c) T (t) [T ( + t) T ( t)] [ ( + t) + ( + t) ( + t) + ( + t)] t, T (t) t (uma vez que T é linear), logo a solução geral da equação T (p (t)) t é: ftg + N (T ) t + c t + t : c R : d) f; tg é uma base de P Como (T T ) () T (T ()) T ( t) ( + t) ( + t) e (T T ) (t) T (T (t)) T + 8t t T ( + t) T ( t) T t [ ( + t) + ( + t)] [ ( + t) ( + t)] [ ( + t) + ( + t)] t; então T T I

348 Resolução da a Ficha de exercícios para as aulas de problemas Como Seja det (A I) det det 9 8 A 9 8 det det 9 8 det {z } 8 9 então é valor próprio de A e atendendo a (*) (; ; ) N (A) L f(; ; )g, logo tem-se A isto é, (; ; ) é um vector próprio de A associado ao valor próprio Tem-se Logo, é um valor próprio de e (associados ao valor próprio ) linearmente independentes e (; ; ) e (; ; ) são dois vectores próprios Determinemos os valores próprios de uma matriz A cujo traço seja igual a e cujo determinante seja igual a a b Seja A M c d (R) Tem-se tr A, a + d e det A, ad bc Sejam e dois valores próprios de A Como tr A + e det A 8

349 então + e Logo [ e ( ) ], ( ou ), isto é, os valores próprios de A são e Determinemos uma matriz A real simétrica (A T A) cujos valores próprios sejam e e tal que (; ) seja um vector próprio associado ao valor próprio a b Seja A M c d (R) tal que A A T Logo b c Além disso, sendo e dois valores próprios de A tem-se a + b det (A + I) det b + a + d + ad + b d + e a b det (A I) det b d b a d + ad + sendo (; ) um vector próprio associado ao valor próprio tem-se a b, (a + b e b + d ) b d Logo e assim 8 >< >: b + a + d + ad + b a d + ad + a + b b + d a A b b d 8 8 a ><, b 8 8 >: d Considere a transformação linear T : R! R que admite os vectores próprios v (; ; ); v ( ; ; ); v (; ; ); associados respectivamente aos valores próprios ; e Determinemos a expressão geral de T Seja (x; y; z) R Existem ; ; R tais que (x; y; z) (; ; ) + ( ; ; ) + (; ; ) 9

350 Logo j x j y j z! j x j y x j z x! e assim x + y z, ( x + z), (x + z) Pelo que j x j y x j z y + x T (x; y; z) (x + z) T (; ; ) + ( x + z) T ( ; ; ) + ( x + y z) T (; ; ) (x + z) (; ; ) + ( x + z) ( ; ; ) + ( x + y z) (; ; ) x z; y x z; z x ou seja, a expressão geral de T é dada por: T (x; y; z) x z; y x z; z x Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (; y + z; y + z) (i) T (v ) (; ; ) Como não existe R tal que T (v ) v, então v não é vector próprio de T T (v ) (; ; ) ( )(; ; ) ( )v Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio T (v ) (; ; ) (; ; ) v Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio T (v ) (; ; ) Como não existe R tal que T (v ) v, então v não é vector próprio de T T (v ) (; ; ) (; ; ) v Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio (ii) Determinemos os valores próprios de T Seja A M(T ; Bc; Bc) Tem-se A, uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) 9 (( ) ) (( ) + ) ( ) ( )

351 Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são, e (iii) Como é valor próprio de T então T não é invertível Como T tem valores próprios distintos, os vectores próprios correspondentes a cada um deles irão ser linearmente independentes e como tal irá existir uma base de R formada só com vectores próprios de T, ou seja, T é diagonalizável (iv) O subespaço próprio E é dado por E N (T I) base canónica A f(x; y; z) : y z g I) N (A) 8 f(x; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são O subespaço próprio E u (s; ; ), com s Rn fg é dado por A E N (T I) N (A I) N (A + I) base canónica A A f(x; y; z) : x e y + z g f(x; y; z) : x e y + z g f(; z; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio O subespaço próprio E u (; s; s), com s Rn fg é dado por são E N (T I) I) N (A I) base canónica A A f(x; y; z) : x e y + z g f(x; y; z) : x e y zg f(; z; z) : z Rg L (f(; ; )g)

352 O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (; s; s), com s Rn fg Considere a transformação linear T : R! R de nida por (i) Como Tem-se Como Tem-se T (; ) (; ) T (; ) (; ) (; ) + (; ) T (v ) T (; ) T [ (; ) + (; )] T é linear T (v ) T (; ) T (; ) + (; ) (; ) (; ) v : (; ) (; ) + (; ) (; ) + (; ) T é linear [(; ) + (; )] (; ) v : Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio T (; ) + T (; ) T (; ) + T (; ) (ii) Como é valor próprio de T então T não é invertível Como os vectores v (; ) e v (; ) formam uma base de R pois são dois vectores linearmente independentes em R e dim R e além disso, v e v são vectores próprios de T, então existe uma base de R formada só com vectores próprios de T, ou seja, T é diagonalizável (iii) Seja B vp fv ; v g f(; ); (; )g Tem-se M(T ; B vp ; B vp ), uma vez que T (v ) v v +v e T (v ) v v + v e deste modo as coordenadas (; ) e (; ) constituem respectivamente a a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ) Logo, B vp é uma base de R em relação à qual T pode ser representada por uma matriz diagonal, por ser uma base formada só com vectores próprios de T (iv) Seja A M(T ; B vp ; B vp ), com B vp f(; ); (; )g O polinómio característico é dado por det(a I)

353 Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são O subespaço próprio E é dado por e E N (T I) f(; ) + (; ) : (; ) N (A I)g f(; ) + (; ) : (; ) L (f(; )g)g f(; ) : Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (T I) f(; ) + (; ) : (; ) N (A I)g f(; ) + (; ) : (; ) L (f(; )g)g f(; ) : Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg 8 Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz: A (i) Sejam v (; ; ), v (; ; ), v (; ; ) Atendendo à matriz, tem-se T (v ) T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) (; ; ) v ; T (v ) T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) (; ; ) v ; T (v ) T (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) (; ; ) (; ; ) v : Logo, v é um vector próprio de T associado ao valor próprio ; v é um vector próprio de T associado ao valor próprio ; v é um vector próprio de T associado ao valor próprio

354 (ii) Como é valor próprio de T então T não é invertível Como os vectores v (; ; ); v (; ; ) e v (; ; ) formam uma base de R pois são três vectores linearmente independentes em R e dim R e além disso, v ; v e v são vectores próprios de T, então existe uma base de R formada só com vectores próprios de T, ou seja, T é diagonalizável (iii) Seja A M(T ; B c; B c) Tem-se A uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A Determinemos os valores próprios de T Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) O polinómio característico é dado por det(a I) Logo, os valores próprios de T são, e ( ) O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) A A A (x; y; z) R : y f(x; ; z) : x; z Rg L (f(; ; ); (; ; )g) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; ; t), com s; t Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) A f(x; y; z) : x + y e y z g f(x; x; x) : x Rg L (f(; ; )g) A

355 O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s; s), com s Rn fg (iv) É possível ter então uma base de R constituída só por vectores próprios de T : uma vez que Note ainda que e com M(T ; B vp ; B vp ) B vp f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, dim E + dim E M(T ; B vp ; B vp ) S B c!b vp SBvp!B c S B c!b vp A S B c!b vp e A M(T ; B c; B c) Isto é, a matriz A é diagonalizável e a matriz M(T ; B vp ; B vp ) é diagonal tendo-se (R ; B c) S B c!b vp # I (R ; B vp ) A! T (R ; B c) T! M(T ;B vp;b vp) I # S B c!b vp (R ; B vp ) Em resumo, existe P S Bvp!B c tal que com D M(T ; B vp ; B vp ) D P AP 9 Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base ordenada B f(; ) ; (; )g de R é representada pela matriz: A (i) Tem-se det (A I) det A

356 Logo, como não é valor próprio de T então T é invertível Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) 9 [( ) ] [( ) + ] Logo, os valores próprios de T são ( ) ( ) e Como T tem valores próprios distintos, os vectores próprios correspondentes a cada um deles irão ser linearmente independentes e como tal irá existir uma base de R formada só com vectores próprios de T, ou seja, T é diagonalizável (ii) O subespaço próprio E é dado por E N (T I) f(; ) + (; ) : (; ) N (A ( ) I)g (; ) + (; ) : (; ) N (; ) + (; ) : (; ) N f(; ) + (; ) : (; ) L (f( ; )g)g f( ; ) : Rg L (f( ; )g) O conjunto f( ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u ( s; s), com s Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (T I) f(; ) + (; ) : (; ) N (A I)g (; ) + (; ) : (; ) N (; ) + (; ) : (; ) N f(; ) + (; ) : (; ) L (f(; )g)g f(; ) : Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg

357 (iii) É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de T : uma vez que Logo, uma vez que e B vp f( ; ); (; )g, dim E + dim E dim R M(T ; B vp ; B vp ) T ( ; ) ( ; ) ( ; ) + (; ) T (; ) (; ) ( ; ) + (; ) Deste modo, ( ; ) e (; ) constituem respectivamente a a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ) Além disso, sendo B f(; ) ; (; )g, tem-se M(T ; B vp ; B vp ) S B!B vp A S B!B vp com uma vez que S B!B vp SBvp!B e A M(T ; B ; B ) ( ; ) (; ) (; ) e (; ) (; ) + (; ) Logo, a matriz A é diagonalizável e tem-se D P AP com Observação: P S Bvp!B (R ; B ) P " I (R ; B vp ) e D M(T ; B vp ; B vp ) A! T (R ; B ) T! D I # P (R ; B vp ) Seja V um espaço linear de dimensão nita Seja T : V! V uma transformação linear tal que T T Uma tranformação linear nas condições anteriores chama-se projecção (i) Mostre que os valores próprios de T são e : Dem Seja um valor próprio de T Logo existe v tal que Por outro lado, como T (v) v v T (v) T (v) (T T ) (v) T (T (v)) T (v) T é linear T (v) v v

358 tem-se v v, ( ) v, v ( ou ) Logo, os valores próprios de T são e (ii) Tem-se logo, para todo o u V T T, (T I) T pelo que (T I) (T (u)) (u),t (u) N (T I) I (T ) N (T I) Seja agora u N (T I) Logo (T I) (u), isto é, T (u) u, ou seja u I (T ) Deste modo N (T I) I (T ) e assim I (T ) N (T I) Por outro lado, sendo n dim V, atendendo a que isto é, n dim {z} V dim N (T ) + dim I (T ) espaço de partida dim N (T I) + dim N (T I) m g () + m g () n m g () + m g () então T é diagonalizável, uma vez que existirá assim uma base de V formada só com vectores próprios de T Considere a transformação linear T : R! R de nida por T (x; y; z) (x; y; x y) (i) Determinemos os valores próprios e os subespaços próprios de T Seja Bc f(; ; ); (; ; ); (; ; )g a base canónica de R Seja A M(T ; Bc; Bc) Tem-se A, uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A Determinemos os valores próprios de T Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) 8

359 O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) Logo, os valores próprios de T são e O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) A f(; ; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são O subespaço próprio E u (; ; s), com s Rn fg é dado por E N (T I) N (A I) (x; y; z) R : x + y + z (x; y; z) R : x y z A A f( y z; y; z) : y; z Rg L (f( ; ; ); ( ; ; )g) O conjunto f( ; ; ); ( ; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u ( s t; s; t), com s; t Rn fg (ii) Tem-se T T, razão pela qual a transformação linear T é uma projecção Como f( ; ; ); ( ; ; ); (; ; )g é uma base de R formada só por vectores próprios de T, cujos valores próprios associados são respectivamente e, tendo-se T ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) T ( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; ) T (; ; ) (; ; ) (; ; ) Assim, T projecta os elementos de R sobre um plano, paralelamente a um vector, sendo o plano dado por: L (f( ; ; ); ( ; ; )g) 9

360 isto é, por: e o vector dado por: x + y + z (; ; ) Considere a transformação linear T : R! R que representa geometricamente a projecção sobre o plano x + y + z, paralelamente ao vector (; ; ) (i) O plano (x; y; z) R : x + y + z L (f( ; ; ); ( ; ; )g) é tal que e o vector (; ; ) é tal que T ( ; ; ) ( ; ; ) e T ( ; ; ) ( ; ; ) T (; ; ) (; ; ) Ou seja, os vectores que de nem o plano são vectores (de I (T )) (linearmente independentes) próprios de T associados ao valor próprio e o vector (; ; ) é um vector (de N (T )) próprio de T associado ao valor próprio : (ii) Seja (x; y; z) R Como f( ; ; ); ( ; ; ); (; ; )g é uma base de R, as coordenadas de (x; y; z) em relação à base ordenada anterior irão ser ; ; tais que (x; y; z) ( ; ; ) + ( ; ; ) + (; ; ) Atendendo a j x j y! j z j x j x + y j z e assim x + y + z, x y; y Pelo que! j x j x + y j x + y + z T (x; y; z) yt ( ; ; ) + ( x y) T ( ; ; ) + (x + y + z) T (; ; ) y( ; ; ) + ( x y) ( ; ; ) + (x + y + z) (; ; ) isto é, a expressão geral de T é dada por: (x; y; x y), T (x; y; z) (x; y; x y) Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz: A

361 (i) O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) + Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, o valor próprio de T é O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) N (x; y) R : y f(x; ) : x Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; ), com s Rn fg (ii) Não existe nenhuma base de R constituída só por vectores próprios de T uma vez que dim E < dim R Logo, T não é diagonalizável Considere a transformação linear T : R! R de nida por Seja A M(T ; B c; B c) Tem-se T (x; y; z) (x; y + z; z) A uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A (i) O polinómio característico é dado por det(a I), ( ) ( ) + + Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são e

362 O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) A f(x; y; z) : y z g f(x; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; ; ), com s Rn fg A O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) A f(x; y; z) : x z g f(; y; ) : y Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (; s; ), com s Rn fg (ii) Não existe nenhuma base de R constituída só por vectores próprios de T uma vez que dim E + dim E < dim R : Logo, a matriz A não é diagonalizável, isto é, não existe nenhuma base de R em relação à qual T possa ser representada por uma matriz diagonal Considere a transformação linear T : R! R de nida por Seja A M(T ; B c; B c) Tem-se T (x; y; z) (y + z; y + z; y + z) A uma vez que T (; ; ) (; ; ), T (; ; ) (; ; ) e T (; ; ) (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de A,

363 (i) O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) + ( ) [(( ) ) (( ) + )] ( ) ( ) + (ii) Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são, e O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) A f(x; y; z) : y z g f(x; ; ) : x Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; ; ), com s Rn fg A O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) A f(x; y; z) : x + y + z e y + z g f(x; y; z) : x e y + z g f(; z; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (; s; s), com s Rn fg A

364 O subespaço próprio E é dado por E N (T I) N (A I) A f(x; y; z) : x + y + z e y + z g (x; y; z) : x z e y z z; z; z : z R L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (s; s; s), com s Rn fg A (iii) É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de T : uma vez que B vp f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, dim E + dim E + dim E dim R Logo, a matriz que representa T na base B vp é dada por M(T ; B vp ; B vp ) uma vez que e T (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ), T (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) T (; ; ) (; 9; 9) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) Deste modo, ( ; ; ), (; ; ) e (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ), (iv) Seja A a matriz que representa T na base canónica de R, isto é, A M(T ; Bc; Bc) Tem-se, por (iii), M(T ; B vp ; B vp )

365 Logo, atendendo ao diagrama (R ; B c) S B c!b vp " I (R ; B vp ) A! T (R ; B c) T! M(T ;B vp;b vp) I # SB c!b vp (R ; B vp ) tem-se com com D M(T ; B vp ; B vp ) P S B c!b vp SBvp!B c D P AP,, e A M(T ; B c; B c) Isto é, a matriz A é diagonalizável e a matriz M(T ; B vp ; B vp ) é diagonal tem-se Logo, e (v) Atendendo a que A n P D n P n n D P AP, A P DP + n + n + n + n T n (x; y; z) A n para todo o (x; y; z) R x y z n n n n y + n z + n y + + n z, + n y + + n z Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base B f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g (ordenada) de R é representada pela matriz: A

366 Logo, a matriz que representa T em relação à base canónica B c de R é dada por: B M (T ; B c ; B c ) S B!Bc (S B!Bc ) 9 8 Note que deste modo, para todo o (x; y; z) R tem-se x T (x; y; z) B y (9x; x + y z; x y + 8z) z (i) O polinómio característico é dado por 9 det(a I) det(b I) (9 ) [( ) (8 ) ] 8 (9 ) + (9 ) ( 9) ( ) ( 9) ( ) (ii) Os valores próprios de T são os valores próprios de B, isto é, são os valores de para os quais det(b I) Logo, os valores próprios de T são O subespaço próprio E é dado por 9 e E N (T I) N (B I) A (x; y; z) R : x y z A f(x; y; x y) : x; y Rg L (f(; ; ); (; ; )g) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio 9 são O subespaço próprio E u (s; t; s t), com s; t Rn fg é dado por E N (T I) N (B I) A f(x; y; z) : x e y z g f(; z; z) : z Rg L (f(; ; )g) A

367 O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são u (; s; s), com s Rn fg (iii) É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de T : uma vez que B vp f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, dim E + dim E dim R Logo, a matriz que representa T na base B vp é dada por 9 M(T ; B vp ; B vp ) 9 uma vez que e T (; ; ) (9; ; ) 9(; ; ) + (; ; ) + (; ; ), T (; ; ) (; 9; 8) (; ; ) + 9(; ; ) + (; ; ) T (; ; ) (; ; ) (; ; ) + (; ; ) + (; ; ) Deste modo, ( ; ; ), (; ; ) e (; ; ) constituem respectivamente a a, a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ) Logo, atendendo ao diagrama, (R ; B c) S B c!b vp " I (R ; B vp ) B! T (R ; B c) T! M(T ;B vp;b vp) I # SB c!b vp (R ; B vp ) tem-se com com D M(T ; B vp ; B vp ) P S B c!b vp SBvp!B c D P BP, 9 9, e B M(T ; B c; B c) Isto é, a matriz B é diagonalizável e a matriz M(T ; B vp ; B vp ) é diagonal (iv) Atendendo a que D P BP,

368 tem-se Logo, e B n P D n P Por outro lado, 9 n 9 n n 9 n 9 n ( ) n B P DP 9 n 9 n n 9 n 9 n n 9 n 9 n n 9 n n 9n + n 9n + n 9n + n 9n + n T n (x; y; z) B n para todo o (x; y; z) R x y z A n (S B!Bc ) B n S B!Bc 9 n 9 n n 9 n n 9n + n 9n + n 9n + n 9n + n n + 9n 9n n 9n n 9n n n + 9n n 9n n 9n 9n n 9n n 9 n x (9 n n ) x + 9n + n y + 9n + n z, (9 n n ) x + 9n + n y + 9n + n z Sabendo que os vectores (; ; ); (; ; ) e (; ; ) são vectores próprios da matriz A a b c, d e f existem ; e R tais que (; ; ) N (A I), (; ; ) N (A I) e (; ; ) N (A I), isto é, a b c d e f, 8

369 e a b c d e f a b c d e f Logo, tem-se respectivamente 8 >< a + b + c >: d + e + f 8 >< >: e 8>< >: a c d f + a b + d e >: 8 ><, a + b + c >: d + e + f, 8 ><, a c >: d f 8 ><, a b d e Assim, 8>< >: a b c d e f 8 Considere a transformação linear T : M (R)! M (R) de nida por (i) Seja Bc a base canónica (ordenada) de M (R) T (A) A + A T ; ; ; 9

370 A matriz M(T ; Bc ; Bc é dada por uma vez que T e T T T ) que representa T em relação à base canónica (ordenada) B M(T ; Bc ; Bc ) +, ,,, c (ii) Seja A M(T ; Bc ; Bc ) O polinómio característico é dado por det(a I) ( ) ( ) ( ) [(( ) ) (( ) + )] ( ) Os valores próprios de T são os valores próprios de A, isto é, são os valores de para os quais det(a I) Logo, os valores próprios de T são e

371 O subespaço próprio E é dado por a b a b E N (T I) M c d (R) : (T I) c d a b a b a b M c d (R) : T c d I c d a b a b + c a M c d (R) : b c + b d c d a b a b + c M c d (R) : c + b d a b a b + c M c d (R) : c + b d a b M c d (R) : a e b + c e d c M c (R) : c R L O conjunto é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são s U, com s Rn fg s O subespaço próprio E é dado por a b a b E N (T I) M c d (R) : (T I) c d a b a b a b M c d (R) : T c d I c d a b a b + c a M c d (R) : b c + b d c d a b a b + c a b M c d (R) : c + b d c d a b b + c M c d (R) : c + b a b M c d (R) : b c a c M c d (R) : a; c; d R L ; ;

372 O conjunto ; ; é uma base de E Os vectores próprios de T associados ao valor próprio são r s U, com r; s; t Rn fg s t (iii) É possível ter uma base de M (R) constituída só por vectores próprios de T : B vp ; ; ;, uma vez que dim E + dim E dim M (R) Logo, a matriz que representa T na base B vp é dada por M(T ; B vp ; B vp ) uma vez que T e T T T , Deste modo, ( ; ; ; ), (; ; ; ), (; ; ; ) e (; ; ; ) constituem respectivamente a a, a, a e a colunas de M(T ; B vp ; B vp ) Logo, atendendo ao diagrama (M (R); Bc ) S B A! T (M (R); B c ) c!b vp " I I # SB c (M (R); B vp ) T! M(T ;B vp;b vp)!b vp (M (R); B vp ),,, tem-se D P AP,

373 com com D M(T ; B vp ; B vp ) P S B c!b vp SBvp!B e A M(T ; B c c Isto é, a matriz A é diagonalizável e a matriz M(T ; B vp ; B vp ) é diagonal 9 (i) Seja A Tem-se, ; B c ) det(a I) ( ) ( ) + + ( ) ( ) Os valores próprios de A são e O subespaço próprio E é dado por E N (A I) N N N (x; y) R : x + y f(y; y) : y Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (A I) N N N (x; y) R : x + y f(x; x) : x Rg L (f(; )g) O conjunto f(; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s), com s Rn fg

374 É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de A : uma vez que Logo, a matriz A é diagonalizável e tem-se B vp f(; ); (; )g, dim E + dim E D P A P, com e P S Bvp!B c D (ii) Seja A det(a I) Tem-se Os valores próprios de A são ( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) + ] ( ) ( ) e O subespaço próprio E é dado por E N (A I) A A A (x; y; z) R : y + z f(x; z; z) : x; z Rg L (f(; ; ); (; ; )g) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; t; t), com s; t Rn fg

375 O subespaço próprio E é dado por E N (A I) A A A (x; y) R : x + y + z e y + z f(z; z; z) : z Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s; s), com s Rn fg É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de A : uma vez que Logo, a matriz A é diagonalizável e tem-se B vp f(; ; ); (; ; ); (; ; )g, dim E + dim E D P A P, com e P S Bvp!B c D (iii) Seja A det(a I) Tem-se Os valores próprios de A são ( ) ( ) ( ) [( ) ] [( ) + ] ( ) e

376 O subespaço próprio E é dado por E N (A I) A A A (x; y; z) R : x + y f( y; y; z) : y; z Rg L (f( ; ; ); (; ; )g) O conjunto f( ; ; ); (; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u ( s; s; t), com s; t Rn fg O subespaço próprio E é dado por E N (A I) A A A (x; y) R : x + y e z f(y; y; ) : y Rg L (f(; ; )g) O conjunto f(; ; )g é uma base de E Os vectores próprios de A associados ao valor próprio são u (s; s; ), com s Rn fg É possível ter uma base de R constituída só por vectores próprios de A : uma vez que Logo, a matriz A é diagonalizável e tem-se B vp f( ; ; ); (; ; ); (; ; )g, dim E + dim E D P A P, com P S Bvp!B c e D

377 Considere a transformação linear T : R! R que em relação à base canónica de R é representada pela matriz a b, c com a; b; c R Determinemos os valores próprios de T Tem-se a b ( ) c O valor próprio de T é O subespaço próprio E é dado por E N B a b A N c a b c (x; y; z; w) R : ax e by e cz C A Assim, para que exista uma base de R constituída só por vectores próprios de T é necessário que se tenha a b c Caso contrário, teríamos dim E < (i) Como Au ( + )u e Au ( )u então u ; u são vectores próprios de A, associados respectivamente aos valores próprios + e (ii) p() det(a I) ( ) ( ) ( )( )( + ): Para ( + e ), f; g os valores próprios de A: ; + e são todos distintos (iii) Para f; g, fu g; fu g e f( ; + 8; )g são bases de E +, E e E, respectivamente Para, E E + Além disso, fu g é uma base de E e fu g é uma base de E Para, E E Além disso, fu g é uma base de E e fu g é uma base de E + (iv) Para f; g a matriz A é diagonalizável, pois os seus valores próprios são todos distintos Se ou então é valor próprio de A e m g () < m a (), pelo que A não é diagonalizável Logo A é diagonalizável, f; g

378 Resolução da a Ficha de exercícios facultativos Seja T : R n! R n uma transformação linear invertível Seja u um vector próprio de T associado a um valor próprio de T Veri que que u é também um vector próprio de T e determine o valor próprio de T que lhe está associado Dem Tem-se T (u) u, com u Como T é invertível e T é linear, u T (u) T (u) Por outro lado, tem-se uma vez que u e T é invertível Logo, T (u) u Isto é, u é um vector próprio de T associado ao valor próprio de T Seja V um espaço linear Seja T : V! V uma transformação linear Seja u um vector próprio de T associado a um valor próprio de T Veri que que u é também um vector próprio de T associado ao valor próprio de T Dem Tem-se com u Logo, como T é linear, T (u) u, T (u) (T T ) (u) T (T (u)) T (u) T (u) u u, isto é, u é um vector próprio de T associado ao valor próprio de T Seja A uma matriz do tipo n n Mostre que se é um valor próprio de A então k é um valor próprio de A k, onde k é um inteiro positivo Dem Sendo k um inteiro positivo, tem-se A k k I (A I)(A k + A k + + A k + k I) Logo, se é um valor próprio de A então k é um valor próprio de A k, onde k é um inteiro positivo Uma matriz A do tipo n n diz-se nilpotente se A l para algum inteiro positivo l Mostre que se A é nilpotente então o único valor próprio de A é Dem Suponhamos que A l para algum inteiro positivo l Seja um valor próprio de A Pelo ex o anterior, l é um valor próprio de A l Como A l, então: det(a l l I) det( l I) ( ) n l 8

379 Logo e como tal, é o único valor próprio de A Seja A uma matriz n n Veri que que A e A T têm os mesmos valores próprios Dem Tem-se det(a I) det (A I) T det(a T I) Isto é, as matrizes A e A T têm os mesmos valores próprios Seja A uma matriz n n cuja soma das suas colunas é constante e igual a r Mostre que r é um valor próprio de A: Dem Tem-se a a a n A a a a n a n a n a nn a a a n r a + a + + a n ṛ r r a n a n Logo r é um valor próprio de A, associado ao vector próprio (; ; : : : ; ) a nn Seja A M nn (R) Seja P uma matriz diagonalizante para A Determine uma matriz diagonalizante para A T em termos de P e Dem Tem-se D P AP D D T P AP T P T A T P T Logo, a matriz (P ) T é uma matriz diagonalizante para A T 8 Seja Q uma matriz n n real ortogonal, isto é, tal que Q Q T Mostre que se n fôr ímpar então Q tem o valor próprio ou tem o valor próprio Dem Atendendo a que QQ T I tem-se (det Q) det Q det Q det Q det Q T det QQ T det I, (det Q ou det Q ) Logo: Se det Q det (Q I) det Q I Q T det Q det I Q T 9

380 ( ) n det Q det Q T I n é ímpar isto é, é valor próprio de Q; Se det Q h i det Q det (Q I) T det (Q I),, det (Q I), det (Q I) det (Q + I) det Q I + Q T det Q det I + Q T det Q det Q T + I h i det (Q + I) T det (Q + I),, det (Q + I), det (Q + I), det (Q ( ) I) isto é, é valor próprio de Q 9 Determine uma matriz A real tal que det A < Mostre que A é diagonalizável a b Dem Seja A M c d (R) Sejam e dois valores próprios de A Como det A < então e são dois valores próprios distintos de A, pelo que os vectores próprios correspondentes são linearmente independentes, constituindo assim uma base de R, razão pela qual A é diagonalizável Seja A uma matriz nn e seja um valor próprio de A com multiplicidade algébrica igual a n Mostre que se A fôr diagonalizável então A é uma matriz diagonal Dem Seja um valor próprio de A com multiplicidade algébrica igual a n Como A é do tipo n n, então é o único valor próprio de A Assim, A fôr diagonalizável se e só se dim N (A I) m g () m a () n o que é equivalente a ter-se A I (matriz nula) isto é, A I ou seja, A é uma matriz diagonal Seja V um espaço linear e seja T : V! V uma transformação linear tal que todos os vectores não nulos de V são vectores próprios Mostre que T tem um único valor próprio 8

381 Dem Suponhamos, com vista a uma contradição, que e eram dois valores próprios distintos de T Sejam v e v vectores próprios de T associados respectivamente aos valores próprios e Logo, o conjunto fv ; v g é linearmente independente Por outro lado T (v + v ) T (v ) + T (v ) v + v e como cada vector não nulo de V é um vector próprio de T, então v + v é um vector próprio de T e assim, existe um escalar tal que Deste modo, tem-se ou seja T (v + v ) (v + v ) v + v v + v v + v ( ) v + ( ) v Como o conjunto fv ; v g é linearmente independente, então ter-se-ia isto é, e contrariando o facto de se ter assumido que e eram dois valores próprios distintos de T Logo, T tem um único valor próprio Sejam A e B duas matrizes do tipo n n Mostre que AB e BA têm os mesmos valores próprios Dem Sejam A; B M nn (R) Atendendo a que det (AB I) det (AB) det (BA) det (BA I) ; é valor próprio de AB se e só se é valor próprio de BA Seja um valor próprio de AB, com Então existe u tal que ABu u Seja w Bu: Como u e B é invertível então w Logo, (BA) w (BA) Bu B (AB) u Bu (Bu) w Isto é, é valor próprio de BA com w como vector próprio associado Seja um valor próprio de BA, com Então existe u tal que BAu u Seja w Au: Como u e A é invertível então w Logo, (AB) w (AB) Au A (BA) u Au (Au) w Isto é, é valor próprio de AB com w como vector próprio associado Sejam A e B duas matrizes tais que AB BA Mostre que A e B têm um vector próprio em comum 8

382 Sugestão: Sendo um valor próprio de A, considere C a matriz cujas colunas formam uma base ordenada S de N (A I) e veri que que (A I) BC Finalmente considere a matriz P cujas colunas são respectivamente as coordenadas das colunas de BC em relação à base S e sendo v um vector próprio de P mostre que Cv é um vector próprio comum a A e B Dem Suponhamos que as matrizes quadradas A e B são do tipo n n Seja um valor próprio de A Tem-se N (A I) fg Seja r dim N (A I) Seja C a matriz n r cujas colunas formam uma base ordenada S de N (A I) Tem se (A I) BC ABC BC BAC BC B (A I) C B ABBA Seja P (p ij ) a matriz r r cujas colunas são respectivamente as coordenadas das colunas de BC em relação à base S Tem-se, para k ; :::; r Logo, tem-se [BC] {z k } coluna k de BC rx i p ik [C] i {z} coluna i de C BC CP rx [C] i p ik Seja v um vector próprio de P associado a um valor próprio Tem-se v e Cv pois C tem característica máxima ( n o de colunas) Além disso, B (Cv) (BC) v (CP ) v C (P v) C (vi) (Cv), isto é, Cv é um vector próprio de B associado ao valor próprio Por outro lado, tem-se i A (Cv) (AC) v (IC) v (Cv), isto é, Cv é um vector próprio de A associado ao valor próprio Logo, Cv é um vector próprio comum a A e B Seja A uma matriz n n e sejam ; escalares, com, tais que Atendendo a que (A I) (A I) : det (A I) det (A I), (det (A I) ou det (A I) ) então é valor próprio de A ou é valor próprio de A Suponhamos sem perda de generalidade (uma vez que (A I) (A I) (A I) (A I)) que é um valor próprio de A Atendendo a que então C (A I) N (A I) fg n nul (A I) car (A I) dim C (A I) dim N (A I) nul (A I) isto é, n nul (A I) + nul (A I) Logo, atendendo a que nul (A I) + nul (A I) n, tem-se ou seja, A é diagonalizável nul (A I) + nul (A I) n 8

383 Resolução da a Ficha de exercícios para as aulas de problemas (i) Consideremos a aplicação h; i : R R! R, de nida por com (x ; x ); (y ; y ) R Por exemplo h(x ; x ); (y ; y )i x y + x y, h(; ); (; ) + (; )i h(; ); (; )i h(; ); (; )i + h(; ); (; )i Logo, esta aplicação h; i não é um produto interno, uma vez que a condição de linearidade não é veri cada (ii) Consideremos a aplicação h; i : R R! R, de nida por h(x ; x ); (y ; y )i x y x y x y + x y, com (x ; x ); (y ; y ) R Tem-se h(x ; x ); (y ; y )i x x y y e como é simétrica e os seus valores próprios ( p + e p ) são todos positivos, logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em R Resolução alternativa: Para todos os (x ; x ); (x ; x ); (y ; y ) R e R tem-se: h(x ; x ); (y ; y )i x y x y x y + x y D (x ; x ) + (x ; x ); (y ; y ) y x y x y x + y x y x y x y x + y x h(y ; y ); (x ; x )i E D (x + x ; x + x ); (y ; y ) E (x + x )y (x + x )y (x + x )y + (x + x )y x y + x y x y x y x y x y + x y + x y x y x y x y + x y + x y x y x y + x y D E h(x ; x ); (y ; y )i + (x ; x ); (y ; y ) h(x ; x ); (y ; y )i hx ; x ); (y ; y )i x y x y x y + x y (x y x y x y + x y ) h(x ; x ); (y ; y )i 8

384 e h(x ; x ); (x ; x )i x x x + x (x x ) + ( p x ) Logo: h(x ; x ); (x ; x )i, (x x e p x ),, (x x e x ), (x e x ): h(x ; x ); (x ; x )i >, para todo o (x ; x ) (; ) Assim, a aplicação h; i : R R! R, de nida por é um produto interno h(x ; x ); (y ; y )i x y x y x y + x y (iii) Consideremos a aplicação h; i : R R! R, de nida por h(x ; x ); (y ; y )i x y + x y, com (x ; x ); (y ; y ) R Tem-se h(x ; x ); (y ; y )i x x y : y Como os valores próprios de não são todos positivos ( e ), logo, a aplicação h; i não de ne um produto interno em R, uma vez que a condição de positividade não é satisfeita Resolução alternativa: Vejamos que a condição de positividade não é satisfeita r h(x ; x ); (x ; x )i, x + x, x jx j Logo, por exemplo tem-se: * r! ; ; r!+ ; e r! ; (; ) Assim, a condição: h(x ; x ); (x ; x )i >, 8(x ; x ) (; ) não é satisfeita Logo, a aplicação h; i : R R! R, de nida por h(x ; x ); (y ; y )i x y + x y não é um produto interno 8

385 (i) Consideremos a aplicação h; i : R R! R, de nida por com (x ; x ; x ); (y ; y ; y ) R Tem-se h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y, h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x x x e como é simétrica e os seus valores próprios () são todos positivos, logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em R Resolução alternativa: Para todos os (x ; x ; x ); (x ; x ; x )(y ; y ; y ) R e R tem-se: y y y h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y y x + y x + y x h(y ; y ; y ); (x ; x ; x )i D E (x ; x ; x ) + (x ; x ; x ); (y ; y ; y ) D E (x + x ; x + x ; x + x ); (y ; y ; y ) (x + x )y + (x + x )y + (x + x )y x y + x y + x y + x y + x y + x y x y + x y + x y + x y + x y + x y D E h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i + (x ; x ; x ); (y ; y ; y ) h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i hx ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y (x y + x y + x y ) h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i e Logo: h(x ; x ; x ); (x ; x ; x )i x + x + x h(x ; x ; x ); (x ; x ; x )i, (x e x e x ): h(x ; x ; x ); (x ; x ; x )i >, 8(x ; x ; x ) (; ; ) 8

386 Assim, a aplicação h; i : R R! R, de nida por h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y é um produto interno, o chamado produto interno usual de R (ii) Consideremos a aplicação h; i : R R! R, de nida por Tem-se e como em R h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y x y h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x x x não é simétrica, logo, a aplicação h; i não de ne um produto interno Resolução alternativa: Por exemplo h(; ; ); (; ; )i h(; ; ); (; ; )i Logo, esta aplicação h; i não é um produto interno, uma vez que a condição de simetria não é veri cada y y y (iii) Consideremos a aplicação h; i : R R! R, de nida por h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y + x y + x y, com (x ; x ; x ); (y ; y ; y ) R Tem-se e como h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x x x det é simétrica e os seus valores próprios ( ) det y y y ( ) [( ) ( ) ] ( ) + p! p! ( ) + 8

387 ( + p R ; p ; ) são todos positivos, logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em Resolução alternativa: Para todos os (x ; x ; x ); (x ; x ; x )(y ; y ; y ) R e R tem-se: h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y + x y + x y D (x ; x ; x ) + (x ; x ; x ); (y ; y ; y ) y x + y x + y x + y x + y x h(y ; y ; y ); (x ; x ; x )i E D (x + x ; x + x ; x + x ); (y ; y ; y ) E (x + x )y + (x + x )y + (x + x )y + (x + x )y + (x + x )y x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y + x y D E h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i + (x ; x ; x ); (y ; y ; y ) h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i hx ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y + x y + x y (x y + x y + x y + x y + x y ) h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i h(x ; x ; x ); (x ; x ; x )i x + x x + x + x p x + (x + x ) + x e h(x ; x ; x ); (x ; x ; x )i, (x e x + x e p x ),, (x e x e x ): Logo: h(x ; x ; x ); (x ; x ; x )i >, 8(x ; x ; x ) (; ; ) Assim, a aplicação h; i : R R! R, de nida por h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y + x y + x y é um produto interno Sejam (x ; x ); (y ; y ) R Consideremos a aplicação h; i : R R! R, de nida por h(x ; x ); (y ; y )i y x x x y + x y + x y + x y 8 y

388 Atendendo a que a matriz é simétrica e tem os seus valores próprios ( e ) todos positivos, então esta aplicação de ne em R um produto interno Além disso, veri ca-se h(; ); (; )i, uma vez que h(; ); (; )i h(; ); (; )i h(; ); (; )i h(; ); (; )i Considere os vectores u de nido em R por Tem-se e hu; vi p ; p ; p e v p ; h(x ; x ); (y ; y )i x y + x y p Considere o produto interno p ; p ; p p p + p p hu; ui p + p e hv; vi p + p Logo, o conjunto fu; vg é ortonormado relativamente ao produto interno anterior No entanto, relativamente ao produto interno usual h; i de nido em R : tem-se hu; vi h(x ; x ); (y ; y )i x y + x y, p, hu; ui e hv; vi Logo, o conjunto fu; vg não é ortonormado relativamente ao produto interno usual de nido em R Considere em R o produto interno usual Seja U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Logo, o subespaço de R ortogonal a U é dado por: (x; y; z; w) R U? : h(x; y; z; w); (; ; ; )i e h(x; y; z; w); (; ; ; )i N N (x; y; z; w) R : x e w (; y; z; ) R : y; z R L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Como o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é independente e gera U? então é uma base de U? e tem-se R U U? 88

389 L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Considere em R o produto interno de nido por: h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y + x y + x y + x y + x y, isto é, por h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x x x y y y (i) Seja u (x ; x ; x ) R Tem-se kuk p h(x ; x ; x ); (x ; x ; x )i q x + x x + x + x (ii) Considere os vectores u (; ; ), u ( ; ; ) e u (; ; ) Tem-se e (iii) Atendendo a que arccos hu ; u i ku k ku k arccos :, arccos hu ; u i ku k ku k arccos : arccos hu ; u i ku k ku k arccos : hu ; u i hu ; u i hu ; u i e ku k ku k ku k então o conjunto fu ; u ; u g é uma base ortonormada de R Seja u (x ; x ; x ) R Tem-se u hu; u i u + hu; u i u + hu; u i u (x + x ) u + x u + x u Logo, as coordenadas de um vector u (x ; x ; x ) R em relação à base ortonormada fu ; u ; u g são dadas por: x + x, x e x Considere R com o produto interno usual Seja U L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); (; ; ; )g) 89

390 Determinemos a dimensão de U e uma base ortonormada para U Tem-se!!! Logo, o conjunto fv ; v ; v g, com v (; ; ; ); v ( ; ; ; ) e v (; ; ; ), é uma base de U e como tal dim U Sejam u v, u v proj u v e u v proj u v proj u v Logo, o conjunto fu ; u ; u g, com u (; ; ; ), e u ( ; ; ; ) (; ; ; ) ; ; ; u (; ; ; ) (; ; ; ) ; ; ; (; ; ; ) + ( ; ; ; ) ; ; ; é uma base ortogonal de U Uma base ortonormada para U: u ku k ; u ku k ; u ku k ( p p! p ; ; ; ; ; p p p! ; ; ; p ; p ; p ; p ) : 8 (i) O conjunto f(; ; ); (; ; )g gera U e é linearmente independente logo é uma base de U Atendendo ao método de ortogonalização de Gram-Schmidt, uma base ortogonal para U é: fu ; u g em que u (; ; ) e u (; ; ) Proj(; ; ) (; ; ) (;;) (; ; ) (; ; ) ; Assim uma base ortogonal para U é: (; ; ); ; ; Tem-se h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) ; V (x; y; z) R : y z f(x; y; y) : x; y Rg L (f(; ; ); (; ; )g) : Atendendo a que h(; ; ); (; ; )i, uma base ortonormada para V é: 9

391 ( p (; ; ) k(; ; )k ; (; ; ) (; ; ); ; k(; ; )k ; p!) : (ii) Como U? L (; ; ); ; ;? L (f(; ; )g) ; uma base ortonormada para R que inclui dois vectores geradores de U é: ( p p! p p!) (; ; ); ; ; ; ; ; : Como V? (x; y; z) R : y z? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i? (L (f(; ; )g))?? L (f(; ; )g) ; e atendendo à alínea anterior, uma base ortonormada para R que inclui dois vectores geradores de V é: ( p p! p p!) (; ; ); ; ; ; ; ; : (iii) O elemento de U mais próximo de (; ; ) é: P U (; ; ) (; ; ) P U?(; ; ) A distância entre (; ; ) e V? é: (; ; ) h(; ; ); (; ; )i (; ; ) (; ; ): d (; ; ); V? kp V (; ; )k (;;)V k(; ; )k p 9 Seja A e considere o produto interno usual Sejam N (A), C (A) e L (A) respectivamente o núcleo, espaço das colunas e espaço das linhas de A (i) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base para C (A) pois gera C (A) e é linearmente independente 9

392 O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base para R Como (; ; ) e (; ; ) são ortogonais, basta aplicar Gram-Schmidt a (; ; ): (; ; ) P (;;) (; ; ) P (;;) (; ; ) (; ; ) h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) (; ; ) (; ; ) Logo, o conjunto ( (; ; ) k(; ; )k ; (; ; ) k(; ; )k ; ; ; ) ( ; ; é uma base ortonormada para R p ; ; p h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) ; ; p ; ; p! ; (; ; ); que inclui dois vectores de C (A): p ; ; p!) p ; ; p e (ii) O elemento de L (A) mais próximo de (; ; ) é: P L(A) (; ; ) (; ; ) P N (A) (; ; ) N (A)L(f(;;)g) (; ; ) h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) (; ; ) (; ; ) (; ; ) A distância entre (; ; ) e N (A) é: d ((; ; ); N (A)) P (N (A))?(; ; ) P L(A) (; ; ) k(; ; )k p : Seja A e considere o produto interno usual Sejam N (A), C (A) e L (A) respectivamente o núcleo, espaço das colunas e espaço das linhas de A (i) Tem-se (N (A))? L (A) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base para N (A) pois gera N (A) e é linearmente independente Como h(; ; ); (; ; )i, os vectores (; ; ) e (; ; ) são ortogonais Logo, o conjunto (; ; ) k(; ; )k ; (; ; ) k(; ; )k é uma base ortonormada para (N (A))? ( p ; ; p! ) ; (; ; ) 9

393 (ii) O conjunto f(; ; ); (; ; )g é uma base para C (A) pois gera C (A) e é linearmente independente O conjunto f(; ; ); (; ; ); (; ; )g é uma base para R Como (; ; ) e (; ; ) são ortogonais, basta aplicar Gram-Schmidt a (; ; ): (; ; ) (; ; ) P (;;) (; ; ) P (;;) (; ; ) h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) (; ; ) Logo, o conjunto ( (; ; ) k(; ; )k ; (; ; ) k(; ; )k ; ; ; ) ; ; (; ; ) ( p ; ; h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) ; ; p! ; (; ; ); é uma base ortonormada para R que inclui dois vectores de C (A): p p ; ; ; ; p p!) e (; ; ) (iii) O elemento de L (A) mais próximo de (; ; ) é: P L(A) (; ; ) (; ; ) P N (A) (; ; ) N (A)L(f( ;;)g) (; ; ) h(; ; ); ( ; ; )i k( ; ; )k ( ; ; ) (; ; ) ( ; ; ) (; ; ) A distância entre (; ; ) e L (A)? é: d (; ; ); (L (A))? PL(A) (; ; ) p k(; ; )k : Seja U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Seja (x; y; z; w) U Então existem x; y R tais que (x; y; z; w) x(; ; ; ) + y(; ; ; ): Deste modo, o seguinte sistema (nas variáveis x e y) tem que ser possível e determinado: 8 x x >< x + y y x + y z >: y w Considerando então a matriz aumentada deste sistema, tem-se: j x j x j x j y j z! j y x L +L!L j z x! j y x L +L!L j z y L j w +L!L L j w +L!L j x y + w 9

394 Logo, para que o sistema anterior seja possível e determinado, é preciso que se tenha z y e x y + w Assim, U f(x; y; z; w) R : x y + w e z y g, isto é, U N (A), com A Seja B f(; ); (; )g uma base de R Vamos de nir um produto interno em R em relação ao qual a base B é ortonormada Seja Bc f(; ); (; )g a base canónica de R A matriz de mudança de base de Bc para B é dada por Sejam u; v R Tem-se S B c!b S B!B c u (x ; x ) e v (y ; y ), onde x ; x e y ; y são as coordenadas na base Bc de u e v respectivamente Seja S S B c!b Logo, tem-se a aplicação h; i : R R de nida por hu; vi (Su) T hv ; v G (Sv), com G i hv ; v i, hv ; v i hv ; v i ou seja, h(x ; x ) ; (y ; y )i x T x x y + x y + x y + x y y y Como h(x ; x ) ; (y ; y )i x y + x y + x y + x y y x x y e a matriz é simétrica, sendo os seus valores próprios ( p + e p ) positivos, então a expressão h(x ; x ) ; (y ; y )i x y + x y + x y + x y de ne um produto interno em R Além disso, é fácil veri car que para este produto interno a base B f(; ); (; )g é ortonormada: h(; ) ; (; )i e h(; ) ; (; )i h(; ) ; (; )i Considere a aplicação h; i : R R! R de nida por h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x y x y x y + x y + x y 9

395 (i) Tem-se h(x ; x ; x ); (y ; y ; y )i x x x Como é simétrica e os seus valores próprios ( +p e p ) são todos positivos, logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em R y y y (ii) Seja V L (f(; ; )g) R Uma base ortonormada para V : (; ; ) (; ; ) k(; ; )k ; ; O ponto de V mais próximo de (; ; ) é P V (; ; ) (; ; ); ; ; ; ; Nota Em alternativa, como dim V, P V (; ; ) proj (;;) (; ; ) ; 9 ; 9 ; 9 ; h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) (; ; ) ; 9 ; (iii) Tem-se V? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i (x; y; z) R : x x y + y (x; y; z) R : x + y (y; y; z) R : y; z R L (f(; ; ); (; ; )g) Como o conjunto fv ; v g, com v (; ; ) e v (; ; ), é independente e gera V? então é uma base de V? Sejam u v e u v proj u v Logo, o conjunto fu ; u g, com u (; ; ) e u (; ; ) base ortogonal de V? (; ; ) (; ; ), é uma (iv) Seja B ; ; ; p ; p ; ; (; ; ) : 9

396 Como p ; p ; ; (; ; ) é uma base ortonormada para V?, então B é uma base ortonormada de R Atendendo a que P V ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; + p ; p ; + (; ; ), e P V p ; p ; p ; p ; ; ; (; ; ) ; ; + p ; ; ; ; ; ; p ; + (; ; ) P V (; ; ) (; ; ); ; ; ; ; ; ; (; ; ) ; ; + p ; p ; + (; ; ), a matriz que representa P V em relação à base B é dada por: Consideremos em R o produto interno usual Seja U L (; ; ); ; ; Tem-se U? N N L (f(; ; )g) Logo, P U?(; ; ) h(; ; ); (; ; )i 9 k(; ; )k (; ; ) ; ; 9

397 e assim P U (; ; ) (; ; ) P U?(; ; ) (; ; ) 9 ; ; ; ; Deste modo, (; ; ) com ; ; U e 9 ; ; U? ; ; 9 + ; ;, Considere R com o produto interno usual (i) Seja U L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) Logo, U? (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i e h(x; y; z; w); (; ; ; )i Tem-se então: 8 < Logo, Como : x x + y + w 8 < x, : y w U? (; w; z; w) R : z; w R L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) h(; ; ; ); (; ; ; )i então o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base ortogonal de U? (ii) Seja U L (f(; ; ; )g) Logo, U? (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i Tem-se então: Logo, x + z + w, x z w U? ( z w; y; z; w) R : y; z; w R L (f(; ; ; ); ( ; ; ; ); ( ; ; ; )g), pois ( z w; y; z; w) y(; ; ; ) + z( ; ; ; ) + w( ; ; ; ) Como o conjunto f(; ; ; ); ( ; ; ; ); ( ; ; ; )g é independente (basta colocar esses três vectores como linhas ou como colunas de uma matriz e aplicar de seguida o método de eliminação de Gauss obtendo-se uma matriz em escada de linhas) e gera U? então é uma base de U? Como (; ; ; ) e ( ; ; ; ) são ortogonais, basta aplicar Gram-Schmidt a ( ; ; ; ): ( ; ; ; ) P (;;;) ( ; ; ; ) P ( ;;;) ( ; ; ; ) 9

398 ( ; ; ; ) Logo, o conjunto h( ; ; ; ); (; ; ; )i k(; ; ; )k (; ; ; ) ( ; ; ; ) é uma base ortogonal de U? ( ; ; ; ) (; ; ; ); ( ; ; ; ); ; ; ; h( ; ; ; ); ( ; ; ; )i k( ; ; ; )k ( ; ; ; ) ; ; ; (iii) Seja U f(x; y; z; w) R : x + y + z + w g Logo, atendendo a que o produto interno é o usual (de R ), Tem-se: Assim, U (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i (L (f(; ; ; )g))? U? (L (f(; ; ; )g))?? L (f(; ; ; )g) Logo, o conjunto f(; ; ; )g é uma base ortogonal de U? (iv) Seja U f(x; y; z; w) R : x z e x y + z w g Logo, atendendo a que o produto interno é o usual (de R ), Tem-se: U (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i e h(x; y; z; w); (; ; ; )i Assim, Como (L (f(; ; ; ); (; ; ; )g))? U? (L (f(; ; ; ); (; ; ; )g))?? L (f(; ; ; ); (; ; ; )g) h(; ; ; ); (; ; ; )i então o conjunto f(; ; ; ); (; ; ; )g é uma base ortogonal de U? Considere R com o produto interno usual Considere também o seguinte subespaço de R : U L (f(; ; ); (; ; )g) (i) Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, sejam v (; ; ) e v (; ; ) proj (;;) (; ; ) 98

399 Tem-se então: v (; ; ) proj (;;) (; ; ) (; ; ) (; ; ) ; ; h(; ; ); (; ; )i k(; ; )k (; ; ) (; ; ) Logo, o conjunto é uma base ortogonal de U (; ; ); ; ; (ii) Como o conjunto (; ; ); ; ; é uma base ortogonal de U, então k(; ; )k p p e ; ;, então o conjunto ( (; ; ) k(; ; )k ; ; ; ; ; ) ( p p ; ; p! ; p ; p ; p!) é uma base ortonormada de U Por outro lado, tem-se: U? (x; y; z) R : h(x; y; z); (; ; )i e h(x; y; z); (; ; )i N Logo, 8 < Assim, Como então o conjunto : y + z x N 8 < y z, : x U? (; z; z) R : z R L (f(; ; )g) ; é uma base ortonormada de U? k(; ; )k p, ( p ; p ; p ; p!) 99

400 Deste modo, uma vez que se tem R U U?, então Isto é, (; ; ) P U (; ; ) + P U?(; ; ) * p p p!+ p p p! (; ; ); ; ; ; ; + * p p p!+ p p p! + (; ; ); ; ; ; ; + * p p!+ p p! + (; ; ); ; ; ; ; ; ; + ; ; {z } {z } U U? (; ; ) ; ; {z } U + ; ; {z } U? (iii) A distância entre o ponto (; ; ) e o plano f(; ; )g + U é dada por: d((; ; ); f(; ; )g+u) kp U?((; ; ) (; ; ))k kp U?(; ; )k k(; ; )k p (; ;) U? (iv) A distância entre o ponto (x; y; z) e o subespaço U é dada por: d((x; y; z); U) kp U?((x; y; z) (; ; ))k kp U?(x; y; z)k * p p!+ p p! (x; y; z); ; ; ; ; p j y + zj Considere R com o produto interno usual Considere também o seguinte subespaço de R : U (x; y; z; w) R : x y + z e y z + w (i) Tem-se então U (y z; y; z; z y) R : y; z R L(f(; ; ; ); ( ; ; ; )g)

401 Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, sejam Tem-se então: v (; ; ; ) e v ( ; ; ; ) proj (;;; ) ( ; ; ; ) v ( ; ; ; ) proj (;;; ) ( ; ; ; ) ( ; ; ; ) ( ; ; ; ) + (; ; ; ) ; ; ; h( ; ; ; ); (; ; ; )i k(; ; ; )k (; ; ; ) Logo, o conjunto é uma base ortogonal de U Como k(; ; ; (; ; ; ); ; ; ; )k p e ; ; ; p, então o conjunto ( p p ; ; ; p! ; p ; p ; p p!) ; é uma base ortonormada de U (ii) Como U (x; y; z; w) R : x y + z e y z + w e atendendo ao produto interno usual de R, Tem-se: U (x; y; z; w) R : h(x; y; z; w); (; ; ; )i e h(x; y; z; w); (; ; ; )i (L (f(; ; ; ) ; (; ; ; )g))? Logo, U? (L (f(; ; ; ) ; (; ; ; )g))?? L (f(; ; ; ) ; (; ; ; )g) Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, sejam v (; ; ; ) e v (; ; ; ) proj (; ;;) (; ; ; )

402 Tem-se então: Logo, o conjunto v (; ; ; ) proj (; ;;) (; ; ; ) (; ; ; ) (; ; ; ) + (; ; ; ) ; ; ; é uma base ortogonal de U? Como então o conjunto k(; ( p ; é uma base ortonormada de U? h(; ; ; ) ; (; ; ; )i k(; ; ; )k (; ; ; ) (; ; ; ) ; ; ; ; ; ; )k p e p p! ; ; ; ; ; ; p p ; ; p ; p, p!) (iii) A projecção ortogonal P U de R sobre U é de nida por: P U : R! R * (x; y; z; w)! + (x; y; z; w); * (x; y; z; w); p p p!+ p p p! ; ; ; ; ; ; + p ; p ; p p!+ p ; ; p ; p ; p!, uma vez que o conjunto ( p p ; ; ; p! ; p ; p ; p p!) ; é uma base ortonormada de U Logo, a projecção ortogonal de (; ; ; ) sobre U é dada por: * p p p!+ p p p! P U (; ; ; ) (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p + (; ; ; ); ; p ; p p!+ p ; ; p ; p p! ; ; ; ; :

403 A projecção ortogonal P U? de R sobre U? é de nida por: P U? : R! R * (x; y; z; w)! + (x; y; z; w); * (x; y; z; w); uma vez que o conjunto ( p ; p ; p ; p p! ; ; ; p p ; ; p ;!+ p p p ; ; p!+ ; p p ; ; p ; p! ; + p ; p!) p ; p ; p!, é uma base ortonormada de U? Logo, a projecção ortogonal de (; ; ; ) sobre U? é dada por: * p p p!+ p p p! P U?(; ; ; ) (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p p p p!+ + (; ; ; ); ; ; ; p p p p! ; ; ; ; ; ; + ; ; ; ; ; ; : Nota muito importante: Uma vez que se tem então para todo o (x; y; z; w) R, R U U?, (x; y; z; w) P U (x; y; z; w) + P U?(x; y; z; w) Logo, uma vez calculado P U (; ; ; ) pela de nição, como se fêz atrás, obtendo-se P U (; ; ; ) ; ; ;, então não precisamos de efectuar o cálculo de PU?(; ; ; ) pela de nição Basta efectuar: P U?(; ; ; ) (; ; ; ) P U (; ; ; ) (; ; ; ) ; ; ; ; ; ; (iv) Seja Bc f(; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; ); (; ; ; )g a base canónica de R Temse: * p p p!+ p p p! P U (; ; ; ) (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p (; ; ; ); ; p ; p p!+ p ; ; p ; p p! ; ; ; ; + ; ; ; ; ; ;

404 P U (; ; ; ) P U (; ; ; ) P U (; ; ; ) * p p p!+ p p p! (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p (; ; ; ); ; p ; p p!+ p ; ; p ; p p! ; ; ; ; + ; ; ; ; ; ; * p p p!+ p p p! (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p (; ; ; ); ; p ; p p!+ p ; ; p ; p p! ; ; ; ; * p p p!+ p p p! (; ; ; ); ; ; ; ; ; ; + * p (; ; ; ); ; p ; p p!+ p ; ; p ; p p! ; ; ; ; + ; ; ; ; ; ; Logo, a representação matricial de P U : R! R em relação à base canónica de R, é dada por: M(P U ; Bc; Bc) Tem-se: P U?(; ; ; ) P U?(; ; ; ) * * (; ; ; ); (; ; ; ); ; * * ; ; (; ; ; ); (; ; ; ); ; ; ; p ; p ; + p ; p ; ; ; p p ; ; p p ; ; + p!+ p ; ; p ; ; p!+ p!+ p ; ; p ; ; ; ; p p! ; ; + p ; ; ; ; p!+ p ; p p! ; ; p ; + p ; ; ; ; p ; p ; p! p!

405 P U?(; ; ; ) P U?(; ; ; ) * * (; ; ; ); (; ; ; ); p ; ; ; ; + p ; p ; p ; * p p (; ; ; ); ; ; * p p (; ; ; ); ; ; ; ; ; p!+ p ; ; p ; ; ; ; p!+ p!+ p ; ; p ; p!+ p p! ; ; + p ; p ; ; ; ; p p! ; ; + p ; p ; p ; p ; p! p! Logo, a representação matricial de P U? : R! R em relação à base canónica de R, é dada por: M(P U?; Bc; Bc) (v) Escolhendo um ponto de U, por exemplo (; ; ; ), a distância entre (; ; ; ) e U é dada por: d((; ; ; ); U) kp U?((; ; ; ) (; ; ; ))k kp U?(; ; ; )k * (; ; ; ); * + (; ; ; ); p ; ; ; ; + p ; p ; p!+ p ; ; p ; p ; ; ; ; p ; p!+ p! ; + p ; p ; ; ; ; p ; p! p (vi) A distância entre (x; y; z; w) e U é dada por: d((x; y; z; w); U) kp U?((x; y; z; w) (; ; ; ))k kp U?(x; y; z; w)k * (x; y; z; w); * + (x; y; z; w); p ; p ; p ; p!+ p ; ; p ; p ; p ; p!+ p! ; + p ; p ; p ; p!

406 p x + x p y p p + z p + y! p ; p z + w p p! ; ; + p! p p ; ; p ; p! w + x y + z; w x + y z; x w y + z; w + x + y z q (w + x y + z) + (w x + y z) + (x w y + z) + (w + x + y z) 8 Em P : hp(t); q(t)i p( )q( ) + p()q() + p()q() Considere também o seguinte subespaço de P : U fp(t) P : p() g (i) Em P, para p(t) a + a t + a t e q(t) b + b t + b t tem-se hp(t); q(t)i p( )q( ) + p()q() + p()q() (a a + a ) (b b + b ) + a b + (a + a + a ) (b + b + b ) a b + a b + a b + a b + a b b a a a b b Assim, relativamente à base canónica ordenada f; t; t g de P : hp(t); q(t)i a a a b b b onde Como h; i h; ti h; t i ht; i ht; ti ht; t i ht ; i ht ; ti ht ; t i é simétrica e os seus valores próprios ( p + ; positivos, logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em P p e ) são todos (ii) Tem-se: U a t + a t : a ; a R L(ft; t g)

407 Aplicando o método de ortogonalização de Gram-Schmidt, sejam Logo, p (t) t e p (t) t ht ; ti ktk t p (t) t ( ) ( ) + + ( ):( ) + : + : t t Logo, o conjunto ft; t g é uma base ortogonal de U Assim, o conjunto (p p ) t ktk ; t t t p ; p kt k t; t é uma base ortonormada de U (iii) Tem-se: U? p(t) P : hp(t); ti e p(t); t Logo, 8 < Logo, : (a a + a )( ) + a + a + a + a (a a + a )( ) + a + a + a + a U? a + a t : a R L(f + t g) 8 < a a, : a Como k + t k então f + t g é uma base ortonormada de U? Observação Note que P U U?, tendo-se, neste caso, dim U e dim U? (iv) A projecção ortogonal P U de P sobre U é de nida por: P U : P! P * p + p * p(t)! p(t); t t + p(t); uma vez que o conjunto (p p ) t; t p + p t t, é uma base ortonormada de U Logo, a projecção ortogonal de + t sobre U é dada por: * p + p * p + p P U ( + t) + t; t t + + t; t t t + t A projecção ortogonal P U? de R sobre U? é de nida por: P U? : P! P p(t)! p(t); + t ( + t ),

408 uma vez que o conjunto f + t g é uma base ortonormada de U? Logo, a projecção ortogonal de + t sobre U? é dada por: P U?( + t) + t; + t ( + t ) t Nota muito importante: Uma vez que se tem então para todo o p(t) P, P U U?, p(t) P U (p(t)) + P U?(p(t)) Logo, uma vez calculado P U?(+t) pela de nição, como se fêz atrás, obtendo-se P U?(+t) t, então não precisamos de efectuar o cálculo de P U (+t) pela de nição Basta efectuar: P U ( + t) + t P U?( + t) t + t (v) Seja B f; t; t g a base canónica de P Atendendo à alínea (iii), tem-se * p + p * p + p P U () ; t t + ; t t t * p + p * P U (t) t; t t + t; * p + p * P U (t ) t ; t t + t ; p + p t p t t t + p t t e assim e Note que P U?() ; + t + t t P U?(t) t; + t + t P U?(t ) t ; + t + t M(P U ; B; B) M(P U?; B; B) I P U + P U? (vi) Escolhendo um ponto de U, por exemplo t, a distância entre + t e U é dada por: d( + t; U) kp U?( + t t)k kp U?()k ; + t ( + t ) 8

409 (vii) Escolhendo um ponto de U, por exemplo o polinómio nulo, a distância entre a + a t + a t e U, com a ; a ; a R, é dada por: d(a + a t + a t ; U) PU?(a + a t + a t ) a + a t + a t ; + t ( + t ) ja j t ja j 9 Considere no espaço linear M (R) o produto interno de nido da seguinte forma: ha; Bi tr(ab T ) Considere também o subespaço U de M (R) constituído por todas as matrizes simétricas reais do tipo : a b U M c d (R) : b c (i) Sejam x; y R e A; A ; B M (R) Tem-se hxa + ya ; Bi tr((xa + ya ) B T ) tr(xab T + ya B T ) tr é linear xtr(ab T ) + ytr(a B T ) x ha; Bi + y ha ; Bi ha; Bi tr(ab T ) tr( A T T B T ) tr( BA T T ) tr(ba T ) hb; Ai! T a b a b ha; Ai tr(aa T ) tr a + b + c + d c d c d a b para todo o M c d (R) e a b a b a b ;, a b c d, c d c d c d Logo, a aplicação h; i de ne um produto interno em M (R) (ii) Tem-se: a U b L b d ; : a; b; d R ; pois a b a + b + d b d O conjunto ; ; é uma base de U, uma vez que gera U, e é linearmente independente pois se tivermos: + + 9

410 então : Logo, e como tal, o conjunto ; ; é linearmente independente Vamos aplicar agora a este conjunto o método de ortogonalização de Gram- Schmidt Sejam A, A proj A, A proj A proj A Logo, A proj A ; A A ka k tr A T A ka k tr A ka k A ka k e A proj A tr tr ; A A ka k ka k ka k A T A A ka k A ka k proj A A tr tr ; A A ka k A T A ka k A ka k

411 Logo, o conjunto ; ka k p ha ; A i ka k p ha ; A i ka k p ha ; A i ; é uma base ortogonal de U Como: s q tr (A A T ) tr, s q tr (A A T ) tr s q tr (A A T ) tr p,, então o conjunto ; p é uma base ortonormada de U ; ( " ; p p # ; ) (iii) Tem-se a b a U? M c d (R) : c a b a ; e c d c b d b d ; ; e Logo, 8>< a b + c Ou seja, Como U? b b >: d : b R L s v u t tr s tr s tr ; T! p,

412 então o conjunto (" é uma base ortonormada de U? p p #) (iv) Seja B ; ; ; a base canónica de M (R) Atendendo à alínea (iii), tem-se P U ; + * " p #+ " p # + ; p p + + ; P U ; + * " p #+ " p # + ; p p + + ; P U ; + * " p #+ " p # + ; p p + + ; P U ; + * " p #+ " p # + ; p p + + ; * " p #+ " p # P U? ; p p * " p #+ " p # P U? ; p p

413 e assim e Note que P U? P U? * * " ; " ; M(P U ; B; B) M(P U?; B; B) p p p p #+ " #+ " p p p p I P U + P U? # # (v) A projecção ortogonal da matriz P U? proj p p sobre U? é dada por: * " ; " tr tr p " p p p p " p #! " " p p p p p # p #+ " # T " A #! " p p p p # p p p p # # # Como se tem: a então para todo c M (R) U U?, b M d (R), a b a b a P c d U + P c d U? c b d

414 Logo, P U P U? (vi) A matriz simétrica mais próxima da matriz P U é a matriz (vii) A distância entre d ; U e U é dada por: P U? s ; s tr s tr p

415 a (viii) A distância entre c a d c b d ; U b e U é dada por: d a b P U? c d proj p a b p c d * " p #+ " p a b ; p p c d * " p #+ a b ; p c d " p #! a b tr p c d p p tr b p p a p d jb cj c #

416 Resolução da a Ficha de exercícios facultativos Seja V um espaço euclidiano real As alíneas (i), (ii), (iii) e (iv) são consequência da de nição de produto interno Sejam u; v; w V; R (v) Atendendo à condição de linearidade do produto interno: hu + w; v + wi hu; vi + hu; wi + hw; vi + hw; wi hu; vi + hu; wi + hw; vi + kwk (vi) Atendendo à condição de linearidade do produto interno: hu; i hu; vi hu; vi e h; ui hv; ui hv; ui (vii) Se hu; vi então isto é, ku + vk ku ku + vk hu + v; u + vi kuk + hu; vi + kvk vk kuk + kvk kuk hu; vi + kvk hu v; u vi ku vk, Se ku + vk ku vk então ku + vk ku vk e esta última equação é equivalente à equação kuk + hu; vi + kvk kuk hu; vi + kvk, isto é, hu; vi (viii) Atendendo a que ku + vk hu + v; u + vi kuk + hu; vi + kvk, então tem-se ku + vk kuk + kvk se e só se hu; vi (ix) Seja c R Se hu; vi então ku + cvk hu + cv; u + cvi kuk + c hu; vi + c kvk kuk + c kvk kuk, para todo o real c, isto é, ku + cvk kuk para todo o real c Se ku + cvk kuk para todo o real c, então kvk c + hu; vi c, para todo o real c, se e só se hu; vi (fórmula resolvente)

417 (x) Se hu + v; u vi então hu + v; u vi kuk kvk Logo, kuk kvk Se kuk kvk então Logo, hu + v; u vi (xi) kuk kvk hu + v; u vi ku vk + ku + vk hu v; u vi + hu + v; u + vi Seja V um espaço euclidiano real kuk hu; vi + kvk + kuk + hu; vi + kvk kuk + kvk (i) Seja u V Se hu; vi para qualquer v V então, em particular para v u, tem-se hu; ui Logo, u (ii) Sejam u; v V Se u v então para qualquer w V hu; wi hv; wi, Se hu; wi hv; wi para qualquer w V, então hu v; wi, para qualquer w V Logo, atendendo à alínea anterior, tem-se u v Seja V um espaço euclidiano com dim V n Seja S fu ; :::; u n g uma base ortonormada de V Seja T : V! V uma transformação linear A matriz A (a ij ) que representa T em relação à base S é dada por uma vez que, para j ; :::; n, A (a ij ) (ht (u j ); u i i), T (u j ) ht (u j ); u i u + ::: + ht (u j ); u n i u n Seja V um espaço euclidiano de dimensão n Seja fu ; :::; u k g um conjunto linearmente independente de k vectores de V Considere a transformação linear T : V! V de nida por kx T (v) hv; u i i u i, com v V i

418 Mostre que T é invertível se e só se k n Dem Atendendo a que T é invertível se e só se N (T ) fg, bastará ver que N (T ) fg se e só se k n Se N (T ) fg então teremos k n, caso contrário, isto é, caso k < n ter-se-ia (L (fu ; :::; u k g))? fg : Assim, para v (L (fu ; :::; u k g))?, com v, teríamos T (v), ou seja N (T ) fg O que não pode ser pois suposemos N (T ) fg Logo, se N (T ) fg então tem-se k n Suponhamos agora que se tem k n Nesse caso, o conjunto fu ; :::; u n g é uma base de V Queremos ver que se tem N (T ) fg Seja v V tal que T (v) Logo, nx hv; u i i u i i Assim, atendendo a que o conjunto fu ; :::; u n g é linearmente independente, tem-se hv; u i i, para todo o i ; :::; n Finalmente, como o conjunto fu ; :::; u n g gera V, tem-se hv; ui, para qualquer u V Logo v e assim N (T ) fg Seja V um espaço euclidiano real Seja T : V! V uma transformação linear tal que kt (w)k kwk para qualquer w V Mostre que para quaisquer u; v V Dem Sejam u; v V Tem-se ht (u); T (v)i hu; vi, hu; vi ku + vk kuk kvk kt (u + v)k kt (u)k kt (v)k kt (u) + T (v)k kt (u)k kt (v)k ht (u); T (v)i Seja U uma matriz unitária Isto é: U H U Seja um valor próprio de U e v um vector próprio associado: Uv v Logo v H U H (Uv) H (v) H v H e assim v H U H Uv v H Uv, v H U H U v v H (Uv),, v H Iv v H v, v H v v H v jj, jj kvk, jj v 8

419 Resolução da a Ficha de exercícios para as aulas de problemas A det(a I) A ( ) ( ) : Tem-se dim N (A I) m g () A é simétrica m a () dim N (A I) m g () A é simétrica m a () A Como A é simétrica então é ortogonalmente diagonalizável, isto é, existem uma matriz ortogonal P T (P T P P P T I; isto é, P T P ) e uma matriz diagonal D tais que D P AP T Como det(a I) os valores próprios de A são e N (A e tem-se I) L ( ) ( + ), ; ; N (A + I) L (f(; ; ) ; (; ; )g) Note-se que os vectores de N (A I) são ortogonais aos vectores de N (A + I) Para determinar uma base ortonormada de R formada só com vectores próprios de A basta aplicar o método de Gram-Schmidt ao conjunto ; ; ; (; ; ) ; (; ; ) Como, relativamente ao produto interno usual em R, ; ; ; (; ; ) basta substituir (; ; ) pelo vector: (; ; ) proj ( ; ;) (; ; ) proj (;;) (; ; ) (; ; ) (; ; ) ; ; ; ; ; ; ; ; ; h(; ; ) ; (; ; )i ; (; ; ) h(; ; ) ; (; ; )i 9

420 (; ; ) ; ; (; ; ) ; ; Base ortonormada de R formada só com vectores próprios de A: ( ; ; ; ) ; ; k(; ; )k (; ; ) ; ; ; ; ; ( p p p! ; ; p p! p p p!) ; ; ; ; ; ; Logo e D P T S Bvp!B c p p p p p p p p p p p p p {z } P p p p p p p p p p p p {z } P T A det(a I) Como ( ) ( ) ( ), os valores próprios de A são ; e Como A é simétrica (A A T ) e de nida positiva uma vez que os valores próprios de A são todos positivos, então existe B simétrica e de nidas positiva tal que A B De facto, como A é ortogonalmente diagonalizável (por ser simétrica) tem-se com A P T DP P T (D ) P P T D P P T D P BB B D Note-se que sendo os valores próprios distintos, os correspondentes espaços próprios são ortogonais entre si Base ordenada ortonormada de R formada só com vectores próprios de A: k(; ; )k (; ; ) ; k( ; ; )k ( ; ; ) ; (; ; ) k(; ; )k ( p p p! p p! p p p!) ; ; ; ; ; ; ; ;

421 Logo P T S Bvp!B c Assim pode ter-se por exemplo D p ou D p p p p p p p p p ou D p e nesse caso tem-se as raízes quadradas seguintes: p p p B p p ou B ou B De facto: p + p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p + p + p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p + T T T p + p p + p p + p p + p + p p p p + p + p p + p p p p Q : R! R Q (x ; x ; x ) x x x + x x x + x x x x x x x p p p p p p p x x x p ) p p p p p T x x x

422 p p p p p p p p fazendo a mudança de variável T x x x C A T y y y p p p p p p p p Tem-se então a forma quadrática diagonal: T x x x p p p p p y y y Q (y ; y ; y ) y + y + y y y y p p p T x x x A + i i (i) Logo A é normal AA H A H A + i i + i i H + i i H + i i + i i + i i (ii) A + i i logo A é hermitiana e em particular é normal: + i i H A H AA H AA A H A (iii) Como A é hermitiana então é unitariamente diagonalizável (embora o recíproco não seja verdadeiro), isto é, existem uma matriz unitária U H (U H U UU H I; isto é, U H U ) e uma matriz diagonal D tais que D UAU H Note-se que: A normal, A unitariamente diagonalizável Como det(a I) + i i ( ) ( ),

423 os valores próprios de A são e e tem-se N (A I) L (f( i; )g) N (A I) L + i; Note-se que os vectores de N (A I) são ortogonais aos vectores de N (A I) Logo, uma base ortonormada de C formada só com vectores próprios de A pode ser: ( k( i; )k ( i; ) ; + i; + ) i; Logo e D " p p ( p p i; U H S Bvp!B c p i p + p i p p! ; " p p # H {z } U p p + i; p!) p i p + p i p + i i # " p p p i p + p i p # {z } U H Determine a solução de mínimos quadrados de Au b, com A e b calculando o correspondente vector erro de mínimos quadrados Tem-se car A T A car A e como tal a solução de mínimos quadrados é única e dada por: u A T A A T A O vector erro de mínimos quadrados b b Au Au é dado por: sendo o erro de mínimos quadrados dado por: kb Auk 8 ; ; p 8

424 Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais determinando a respectiva solução geral 8 < u u u () u u + u + u com u () : u u + u u () 8 < : u u u u + u + u u u + u, u (t) u (t) u (t) e são os valores próprios da matriz A dados por: N (A I) L (f( ; ; )g) N (A I) L (f(; ; ) ; ( ; ; )g) u (t) u (t) u (t) : (), sendo os espaços próprios Como existeuma base der formada só por vectores próprios: f(; ; ) ; ( ; ; ) ; ( ; ; )g então a matriz é diagonalizável Assim, fazendo e P, D, o sistema (*) é equivalente a u (t) u (t) u (t), P u (t) u (t) u (t) tem-se P P Assim, considerando a mudança de variável v (t) v (t) P v (t) P u (t) u (t) u (t) P, P u (t) u (t) u (t) u (t) u (t) u (t), A

425 tem-se v (t) v (t) v (t) 8 < v (t) v (t), v (t) v (t) : v (t) v (t) 8 <, : com c ; c ; c R Logo u (t) u (t) P u Se v ; v e v log jv (t)j t + k log jv (t)j t + k log jv (t)j t + k, c e t c e t c e t 8 >< >: 8 < : v (t) v (t) v (t) A, v (t) v (t) v (t) v (t) v (t) v (t) v (t) c e t v (t) c e t v (t) c e t c e t c e t c e t, c e t c e t c e t + c e t c e t + c e t Como 8 < tem-se c c c : u () u () u () e então a solução geral do sistema de equações diferenciais lineares é dada por u (t) e t + e t u (t) e t + e t u (t) e t e t