Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R. Pinto ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011

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1 Álgebra Linear Resumo das aulas teóricas e práticas Paulo R Pinto ppinto/ Lisboa, Novembro de 2011 Conteúdo 1 Matrizes e sistemas lineares 1 11 Álgebra das Matrizes 1 12 Operações elementares Característica 4 13 Sistemas de Equações Lineares 8 14 Cálculo da matriz inversa Exercícios 14 2 Determinantes Exercícios 24 3 Espaços Lineares (ou Vectoriais) Subespaços lineares p ex: núcleo, espaço colunas e linhas de uma matriz Independência linear Bases e dimensão de Espaços Lineares Coordenadas de um vector numa base Matriz mudança de base Exercícios 44 4 Valores Próprios, Vectores Próprios e diagonalização de Matrizes Exercícios 56 5 Transformações Lineares Representação matricial de uma transformação linear Transformações injectivas, sobrejectiva e bijectivas equações lineares Valores e vectores próprios de transformações lineares Exercícios 69 6 Produtos Internos Bases ortogonais Complementos e projecções ortogonais Diagonalização de matrizes simétricas Exercícios 91 7 Algumas Aplicações Formas quadráticas Mínimos quadrados Equações diferenciais ordinárias Um processo de difusão Genes ligados ao sexo Redes e grafos Exercícios 102

2 1 Matrizes e sistemas lineares 11 Álgebra das Matrizes As matrizes 1 são uma ferramenta fundamental no estudo de álgebra linear Definição 11 Uma matriz A, do tipo m n (m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn A matriz linha i de A é: [ ai1 a i2 a in, para cada i = 1,, m A matriz coluna j de A é: a 1j a 2j a mj para cada j = 1,, n Usa-se também a notação A = [a ij m n na qual a ij é a entrada (i, j) da matriz A Se m = n, diz-se que A é uma matriz quadrada do tipo n n e as entradas a 11, a 22,, a nn formam a chamada diagonal principal de A Seja M m n (R) o conjunto de todas as matrizes do tipo m n com entradas em R Mais geralmente, sendo K um conjunto, M m n (K) designa o conjunto de todas as matrizes do tipo m n com entradas em K Exemplo 12 As matrizes A = [ [ , B = , C = [ e D = são dos seguintes tipos: A é 2 2, B é 2 4, C é 1 3, A é 4 1 Tem-se, por exemplo, a 21 = 2, b 13 = 3, c 12 = 0 e d 41 = 1 Dizemos que as matriz A = [a ij do tipo m n e a matriz B = [b ij do tipo p q são iguais se m = p, n = q e a ij = b ij para todos i, j Definição 13 1 A soma matricial de uma matriz A = [a ij do tipo m n com outra matriz B = [b ij do tipo m n é a matriz A + B do mesmo tipo cuja entrada (i, j) é a ij + b ij 2 O produto de uma matriz A = [a ij do tipo m n por escalar λ é a matriz λa = [λa ij 1 O termo Matriz foi utilizado pela primeira vez por James Sylvester ( ) em

3 3 O produto matricial A = [a ij do tipo m p com outra matriz B = [b ij do tipo p n é uma matriz C = c ij do tipo m n, designada por AB, cuja entrada (i, j) é dada por c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a ip b pm = p a ik b kj k=1 4 A transposta da matriz A = [a ij de tipo m n é a matriz A T = [a ji de tipo n m Exemplo 14 Sejam A = Tem-se A+B = e [ [ A T = [ 0 3 2, B = 4 1 5, C = 1 1/2 2 e D = [ 2 3 e não é possível somar C com D Temos 2A = [ e C T = [ Não é possível efectuar, por exemplo, AB Os produtos AC e CD são possíveis e tem-se: [ AC = e CD = 1 3/ Observação 15 O produto de matrizes não é comutativo Por exemplo, para [ [ [ [ A = e B = tem-se AB = e BA = Logo AB BA Teorema 16 Sejam A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, α e β escalares válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais São 1 (Comutatividade da soma) A + B = B + A 2 (Associatividade da soma) A + (B + C) = (A + B) + C 3 (Elemento neutro da soma) Existe uma única matriz 0 do tipo m n tal que A+0 = A, para toda a matriz A do tipo m n À matriz 0, cujas entradas são todas iguais a zero, chama-se matriz nula 4 (Simétrico) Para cada matriz A existe uma única matriz B tal que A + B = 0 Esta matriz B denota-se por A 5 (Associatividade do produto por escalares) α (βa) = (αβ) A 6 (Distributividade) (α + β) A = αa + βa 7 (Distributividade) α (A + B) = αa + αb 2

4 8 (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) = (AB) C 9 (Distributividade) A (B + C) = AB + AC e (B + C) D = BD + CD 10 α (AB) = (αa) B = A (αb) 11 ( A T ) T = A 12 (A + B) T = A T + B T 13 (αa) T = αa T 14 (AB) T = B T A T 15 (A 1 A 2 A n ) T = A T na T 2 A T 1, com A 1, A 2,, A n matrizes de tipos apropriados 16 À matriz, do tipo n n, I = chama-se matriz identidade (de ordem n) e é tal que AI = A e IB = B, para todas as matrizes A = [a ij m n e B = [b ij n m Definição 17 Seja A uma matriz quadrada n n A matriz A é invertível se existir uma matriz B tal que AB = BA = I Teorema 18 Caso exista, a inversa de uma matriz quadrada é única, que designamos por A 1 A matriz nula não é invertível e a matriz identidade é invertível, tendo-se I 1 = I Teorema 19 Sejam A e B matrizes invertíveis e α escalar não nulo Então AB, A T e αa também são invertíveis e (AB) 1 = B 1 A 1, (αa) 1 = 1 α A 1, (A T ) 1 = (A 1 ) T Seja A uma matriz quadrada e k N Chamamos potência de expoente k de A, e designa-se por A k, à matriz A A multiplicando a mesma matriz k-vezes (por exemplo, A 2 = AA, A 3 = AAA = (AA)A = A(AA)) Coloca-se A 0 = I se A for não nula Se A for invertível, então pelo último teorema A k também é invertível e (A k ) 1 = A 1 A 1 onde A 1 aparece k-vezes nesta multiplicação Portanto podemos definir A k com sendo (A k ) 1 Definição 110 Seja A = [a ij M n n (R) 1 A é simétrica se A = A T, isto é, se a ij = a ji, para i, j = 1,, n 2 A é anti-simétrica se A = A T, isto é, se a ij = a ji, para i, j = 1,, n 3 A é ortogonal se A for invertível e A T = A 1 3

5 12 Operações elementares Característica Seja A uma matriz n m Operações elementares sobre as linhas de A cada uma das seguinte tipo de operação: 1 permutação (ie troca) de duas linhas 2 multiplicação de uma linha por um escalar não nulo 3 adição de uma linha a uma outra Combinando as operações 2) e 3) obtém-se a chamada operação de Jacobi, que consiste em adicionar a uma linha uma outra previamente multiplicada por um escalar Por abuso de forma, usaremos a operaçãode Jacobi como sendo uma operação elementar (substituindo a 3) acima descrita Vamos adoptar as seguintes notações para as transformações elementares sobre as linhas de uma matriz: 1 L i L j, para representar que se efectuou a troca das linhas L i e L j 2 αl i L i, para representar que a linha L i foi multiplicada pelo escalar α 0 3 kl j + L i L i, para representar que a nova linha L i é obtida somando à linha L i a linha L j previamente multiplicada por um escalar k Se a matriz A foi transformada na matriz B do uma operação elementar, então usamos a seguinte notação (respectivamente) A Li L j B, A αl i L i B, A L i +kl j L i B Dizemos então que a matriz A foi condensada na matriz U se U for obtida por sucessiva aplicação de operações elementares de tal forma que a matriz U está em escada de linhas: isto é, por baixo do primeiro elemento não nulo de cada linha (e na mesma coluna) todos os elementos são nulos Chama-se método de eliminação de Gauss a este algoritmo de condensação da matriz A Este processo de condensação aplica-se naturalmente a qualquer matriz A e ao número de linhas não nulas no final deste processo que é independente da via da condensação escolhida chama-se característica de A e designa-se por car(a) Veremos no teorema 338 que car(a) = car(a T ) À primeira entrada não nula em cada linha da uma matriz U em escada de linhas chamamos pivô Exemplo 111 Vamos transformar em escada de linhas a seguinte matriz A: A = L1 L L 2 L L 1 +L 2 L L 2 +L 3 L = U Em particular, conclui-se que car(a) = 2, pois a matriz U tem 2 linhas não nulas e as entradas (1, 1) e (2, 3) são os pivôs de U 4

6 Definição 112 Uma matriz elementar do tipo n n é uma matriz obtida da matriz identidade I através de uma única operação elementar (i) A matriz P ij, chamada matriz de permutação, é a matriz elementar obtida por troca da linha i com a linha j da matriz I Tem-se: i 1 P ij = j (ii) A matriz E i (α) é a matriz elementar obtida da matriz I através do produto do escalar α 0 pela linha i da matriz I Tem-se: E i (α) = α i (iii) A matriz E ij (α) é a matriz elementar obtida da matriz I por soma da linha j com um múltiplo α da linha i Tem-se: i E ij (α) = α 1 j Exemplo 113 As matrizes elementares do tipo 2 2 são: com α 0, P 12 = P 21 = [ E 12 (α) = [ α 0, E 1 (α) = 0 1 [ 1 0 α 1 e E 21 (α) = [ 1 0, E 2 (α) = 0 α [ 1 α 0 1, 5

7 Teorema 114 Sejam E uma matriz elementar do tipo m m e A uma matriz qualquer do tipo m n Então, EA é a matriz obtida de A através da mesma operação elementar que originou E Isto é, aplicar uma operação elementar a uma matriz corresponde a multiplicar essa matriz à esquerda por uma matriz elementar Exemplo 115 Consideremos a matriz A = A operação elementar: L1 L , corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): = A operação elementar: L 2 L 2 corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): / = A operação elementar: L 1 +L 2 L 2 corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): = Finalmente, a operação elementar: L 2 +L 3 L , , ,

8 corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): = Tem-se então: E 23 (3) E 12 ( 1) E 2 ( 1 5 ) P = Note-se que as matrizes elementares são invertíveis, sendo P 1 ij = P ij, E i (α) 1 = E i ( 1 α ), e E ij(α) 1 = E ij ( α) Uma matriz diz-se matriz triangular superior (triangular inferior) se as entradas por baixo (por cima, respectivamente) da diagonal principal são todas nulas Seja A uma matriz quadrada e considere-se a sua transformação em matriz em escada de linhas A k (que é triangular superior) usando matrizes elementares E 1,, E k : A E1 A 1 E2 A 2 E3 Et A k Por aplicação repetida do Teorema 114 temos e obtém-se Se as matrizes elementares E 1 1, E 1 k (E t E 2 E 1 )A = A k, (1) A = (E k E 2 E 1 ) 1 A k = (E 1 1 E 1 k )A k não são de permutação, então a matriz L := E 1 1 E 1 k é uma matriz triangular inferior (o produto de matrizes triangulares inferiores é uma matriz triangular inferior) e U := A k é uma matriz triangular superior Temos assim a decomposição A = LU da matriz inicial A como produto de duas matrizes triangulares Todavia há matrizes para as quais não é possível efectuar a decomposição A = LU Nestes casos, efectuamos todas as trocas de linhas no início da condensação obtendo uma matriz de permutação P (produto de matrizes elementares associadas a troca de linhas) Como as trocas foram todas realizadas no início, podemos então transformar a matriz P A numa matriz em escada de linhas sem recorrer a mais trocas de linhas Teorema 116 (Factorização triangular) Seja A uma matriz do tipo n n Então ou A admite a factorização A = LU ou existe uma matriz de permutação P tal que P A admite a factorização P A = LU, onde L e U são respectivamente uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior Veremos aplicações desta factorização, pex, na Secção Exemplo 117 Seja A = Tem-se: E 23 (1)E 13 ( 2)E 12 ( 2)A =

9 Logo, Isto é, ou ainda, com A = (E 12 ( 2)) 1 (E 13 ( 2)) 1 (E 23 (1)) 1 A = E 12 (2)E 13 (2)E 23 ( 1) L = E 12 (2)E 13 (2)E 23 ( 1) = A = LU, , e U = Sistemas de Equações Lineares O estudo dos sistemas lineares remonta aos Matemáticos da Babilónia (c2000 ac) e da China (c200 ac) e tomou a sua forma actual no século XIX, destacando-se os trabalhos de Arthur Cayley ( ) e James Sylvester Definição 118 Uma equação linear com n incógnitas x 1, x 2,, x n é uma equação da forma a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, em que a 1, a 2,, a n e b são escalares (reais ou complexos) Definição 119 Um sistema de m equações lineares com n incógnitas é um conjunto de equações lineares da forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m (2) em que a ij e b k são escalares (reais ou complexos), para i, k = 1,, m e j = 1,, n Sempre que os a ij e b k forem todos coeficientes reais, as incógnitas (ou variáveis) x 1,, x n do sistema (2) também se consideram variáveis reais (por defeito) Usando o produto de matrizes definido na Secção 11, o sistema linear (2) pode ser escrito como uma equação matricial Ax = b, em que A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, x = 8 x 1 x 2 x n e b = b 1 b 2 b m

10 A matriz A é designada por matriz dos coeficientes das incógnitas, x matriz-coluna das incógnitas e b matriz-coluna dos termos independentes dos sistema linear (2) O sistema anterior também pode ser representado por [A b = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a m1 a m2 a mn b n dizendo-se que esta matriz é a matriz aumentada do sistema s 1 s 2 Dizemos que s = é uma solução do sistema linear (2) se todas as equações de (2) s m forem satisfeitas, quando substituímos x 1 = s 1,, x n = s n, portanto a 11 s 1 + a 12 s a 1n s n = b 1 a 21 s 1 + a 22 s a 2n s n = b 2 (3) a m1 s 1 + a m2 s a mn s n = b m Na forma matricial, todavia equivalente, s é solução do sistema linear (2) se As = b Ao conjunto S de todos as soluções de (2) damos o nome de conjunto-solução ou solução geral do sistema, ie s 1 S = {s = (s 1,, s n ) R n s 2 : A = b} s m Pretendemos uma descrição (algébrica e geométrica) do conjunto-solução O método de eliminação de Gauss (ver Secção 12) permite obter essa descrição, que consiste em aplicar as operações elementares na matriz aumentada, obtendo sistemas lineares equivalentes ao inicial (ie com o mesmo conjunto-solução) mas de resolução simplificada Facilmente se prova que se a matriz aumentada [A 1 b 1 é obtida da matriz aumentada [A b usando uma operação elementar, então os 2 sistemas lineares associados têm o mesmo conjunto-solução Exemplo 120 O sistema linear na forma matricial é x + z = 3 x + 2y + 2z = 6 3y + 3z = 6 x y z = Consideremos então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: L L 2 L L 2+L 3 L

11 Logo o sistema linear inicial é equivalente ao sistema x + z = 3 x = 2 2y + z = 3 y = z = 3 2 z = 1 Exemplo 121 O sistema linear 3z 9w = 6 5x + 15y 10z + 40w = 45 é equivalente a x + 3y z + 5w = x y z w = Consideremos então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: L L 2 L 2 Logo, L1 L L 2 L 2 3L 2 +L 3 L 3 x + 3y z + 5w = 7 z + 3w = x = 3y 2w 5 z = 3w + 2 As incógnitas y e w são livres (isto é podem tomar valores arbitrários) e as incógnitas x e z são não livres A solução geral do sistema é: x 3y 2w 5 X = y z = y 3w + 2, w w para quaisquer y, w R, isto é, o conjunto solução é dado por: S = {( 3y 2w 5, y, 3w + 2, w) : y, w R} Neste exemplo o sistema tem infinitas soluções Dado um sistema linear na forma matricial Ax = b, importa investigar o seu conjunto solução Notamos que se x 0 e x 1 forem soluções de Ax = b tais que x 0 x 1, então x 0 + λ(x 1 x 0 ) também é solução de Ax = b, para cada escalar λ Portanto se um sistema linear tiver duas soluções distintas então tem infinitas soluções Podemos assim classificar (quando ao tipo solução) os sistemas lineares da seguinte forma: 10

12 1 Impossíveis (os que têm o conjunto-solução vazio) 2 Possíveis: (a) Determinados (os que têm uma única solução) (b) Indeterminados (os que têm um número infinito de soluções) Em particular, podemos concluir que não há sistemas lineares com precisamente 2 soluções, por exemplo Observação 122 Seja [A b a matriz aumentada associada a um sistema linear com n incógnitas 1 Se car A = car [A b = n então o sistema é possível e determinado (tem uma única solução) 2 Se car A = car [A b < n então o sistema é possível e indeterminado (tem um n o infinito de soluções) 3 Se car A < car [A b então o sistema é impossível (não tem solução) 4 Podemos escolher como incógnitas livres (podem tomar valores arbitrários) do sistema aquelas que correspondem às colunas, que não contenham pivôs, da matriz em escada de linhas obtida de A através de operações elementares 5 As incógnitas não livres do sistema são aquelas que correspondem às colunas, que contenham pivôs, da matriz em escada de linhas obtidas de A através de operações elementares 6 car A = n o de linhas não nulas da matriz em escada de linhas obtidas de A = n o de pivôs = n o de incógnitas não livres Teorema 123 Se A for uma matriz quadrada e invertível, então o sistema Ax = b é possível e determinado Além disso a única solução é x = A 1 b Na Secção 12 desenvolvemos um método para factorizar uma matriz quadrada A na forma A = LU, com L uma matriz triangular inferior e U matriz triangular superior Ora, o sistema Ax = b pode ser escrito da seguinte forma LUx = b Em seguida definimos uma nova variável y tal que Ux = y Resolvemos o sistema Ly = b e finalmente determinamos os valores de x usando a equação Ux = y Embora a decomposição LU converta o problema de resolver um único sistema Ax = b no problemas de resolver dois sistemas Ly = b e Ux = y, esses sistemas são de resolução imediata porque as matrizes dos coeficientes das incógnitas são triangulares Uma outra vantagem nas aplicações é que esta decomposição só usa a matriz A e não a matriz b, pelo que uma vez conhecida essa decomposição, podemos utilizá-la para para resolver Ax = b para vários valores de b Se não existir a decomposição A = LU, então sabemos que existe uma matriz de permutação P tal que podemos efectuar a decompisição P A = LU Pelo que a resolução do sistema Ax = b é análoga ao anterior uma vez que as soluções de P Ax = P b são as mesmas do sistema Ax = b 11

13 Sistemas homogéneos Ao sistema Ax = 0 chamamos sistema homogéneo, onde a matriz-coluna dos termos independentes é a matriz-coluna nula Note-se que o sistema homogéneo Ax = 0 é sempre possível, uma vez que A0 = 0 O próximo resultado indica-nos que o estudo de sistema lineares possíveis reduzem-se ao estudo dos sistemas homogéneos associados, sabendo uma solução particular Teorema 124 Seja S o conjunto solução do sistema Ax = b e x 1 S Seja ainda S 0 o conjunto-solução dos sistema homogéneo associado Ax = 0 Então temos S = x 1 + S 0 A prova deste Teorema é simples: Dado x 0 solução de Ax = 0 facilmente se conclui que x 1 + x 0 é solução de Ax = b Mais, se x 2 é solução de Ax = b então (x 2 x 1 ) é solução do sistema Ax = 0 No Exemplo 120 o conjunto-solução obtido foi S = {( 3y 2w 5, y, 3w + 2, w) : y, w R} Cada solução neste sistema pode ser escrito da seguinte forma (separando a parte que tem as variáveis livres): ( 3y 2w 5, y, 3w + 2, w) = ( 5, 0, 2, 0) + ( 3y 2w, y, 3w, w) Facilmente se verifica que {( 3y 2w, y, 3w, w) : y, w R} é o conjunto-solução S 0 do sistema homogéneo e que ( 5, 0, 2, 0) é uma solução particular de Ax = b e portanto S = ( 5, 0, 2, 0) + S 0 Já vimos que o vector nulo é solução do sistema homogéneo O próximo resultado dá-nos uma ideia da estrutura crucial que está presente em Álgebra Linear Teorema 125 Se x 0 e x 1 são soluções do sistema homogéneo Ax = 0 e λ escalar, então x 0 + x 1 e λx 0 também são soluções do mesmo sistema homogéneo 14 Cálculo da matriz inversa Nesta Secção, vamos fornecer dois algoritmos para determinar a inversa (ver Definição 17) 1 0 algoritmo para a determinar a inversa de uma matriz Na equação (1), se a matriz em escada de linhas A k tem uma linha L i toda nula, então A t não é invertível uma vez que a linha L i de A k B é sempre nula, e portanto A k B I Se A t tiver todas as linhas não nulas, então com A k está em escada de linhas e a matriz A k é quadrada conclui-se que as entradas de diagonal de A k são todas não nulas Pelo que podemos prosseguir com as operações elementares a partir da matriz A k por forma a transforma-la na matriz identidade I: Concluimos que A E1 A 1 E2 A 2 E3 Ek A k Ek+1 A k+1 Ek+2 Es I (E s E k E 2 E 1 )A = I, em particular concluimos que A é invertível e que 12

14 Teorema A 1 = E s E k E 2 E 1 2 car(a) = n se e só se A é invertível 2 o algoritmo para calcular a inversa: método de Gauss-Jordan 2 Note-se que se A for invertível, aplicando o método de eliminação de Gauss, podemos transformar matriz aumentada [A b numa matriz do tipo [I c, em que a matriz coluna c será naturalmente a solução de Ax = b Se a matriz A do tipo n n Pretendemos determinar uma matriz X tal que AX = I Ora esta equação matricial pode ser resolvida através da resolução de n sistemas lineares: 1 Ax 1 = 0 0 0, Ax 2 = 1 0 0,, Ax n = 0 1 em que x 1 é a primeira coluna de X,, x n é a n-ésima coluna de X Estes n sistemas podem ser resolvidos em simultânea considerando a matriz aumentada [A I pelo que foi exposto em cima, podemos transformar esta matriz aumentada numa matriz [I C, caso A seja invertível Desta forma obtém-se a inversa de A como sendo A 1 = C Este algoritmo para obter a inversa de uma matriz chama-se método de Gauss-Jordan e consiste na continuação do método de eliminação de Gauss agora aplicado a [ matriz triangular superior efectuando-se as eliminaç ões de baixo para cima de modo a obter-se [I A Exemplo 127 (i) Seja A = Tem-se [A I = L 1 +L 2 L 2 2L 1 +L 3 L L 3 L 3, /5 1/5 1/ /5 1/5 1/ /5 3/5 2/ /5 1/5 1/ /5 2/5 3/ /5 3/5 2/ /5 1/5 1/ /5 2/5 3/ /5 3/5 2/ /5 1/5 1/5 L 2 +L 1 L 1 L 2 L 2 2 O 3 o algoritmo para calcular a inversa de uma matriz invertível será dado no Capítulo 2 L 2 +L 3 L 3 2L 3 +L 2 L 2 L 3 +L 1 L 1 13

15 Portanto A é invertível e A 1 = (ii) Seja A = [A I = Tem-se /5 2/5 3/5 2/5 3/5 2/5 4/5 1/5 1/5 L 1 +L 2 L Logo, A não é invertível e como tal não é invertível 15 Exercícios Números complexos L 2 +L 3 L 3 E11 Verifique, com exemplos, que as inclusões N Z Q R C são todas estritas Será que isto implica que, pex, #N #Z?? E12 Escreva na forma a + bi os seguintes números complexos: (a) (2 i) 2 (b) 2 4 3i (c) 1+i 1 i (d) (i) n, n N E13 Escreva os seguintes números na forma polar z = ρe iθ : (a) 7 (b) 2i (c) (1 + i) i (d) (1 + i) 4 E14 Seja p(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n um polinómio de coeficientes reais (ie todos os coeficientes a k R) e na variável complexa z (a) Mostre que p( z) = p(z) para qualquer z C (b) Conclua que se λ = a + ib, com a, b R e b 0, é raiz de p(z), então λ também o é (c) Mostre que se n = 3 e p(z) tem uma raiz com parte imaginária não nula, então p possui três raizes distintas (d) Calcule todas as raizes de p(z) = 5 + 9z + 8z 2 + 4z 3 Álgebra de matrizes E15 Escreva a matriz A = [a ij i,j=1,,4 definida por 1 se i = j, (a) a ij = 1 se j = i + 1, (b) a ij = j 2 (c) a ij = 0 caso contrário { aji para todo i, j j para j > i E16 Verifique se a matriz A = [a ij M 2 2 (R) definida por a ij = 3i + 2j é simética 14

16 [ 1 π 1 E17 Sejam A = [ 1 2 3, B = (a) Calcule, se possível, A + B, 2A, CD, AB, AC, DC, CB e AD (b) Calcule, se possível, A T, A T B, D T C T, C T C, CC T e (CC T ) T, C = [ 1 2 [ π, D = 3 [ 1 1 E18 Seja A = 1 1 Calcule A 2 E19 (a) Encontre matrizes A e B do tipo 2 2 tais que AB BA Será que (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2? (b) Prove que (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 se e só se AB = BA (c) Prove que dadas duas matrizes quadradas A e B tais que AB = B e BA = A então temos A 2 = A Resolução: (a) Há muitas use por exemplo as seguintes A = [ e B = [ E110 Seja A M 2 2 (R) tal que Au = 0 para qualquer u M 2 1 (R) Prove que A = 0 E111 Sejam u, v M n 1 (R): u T v 1 Sejam A = I + uv T e B = I 1 1+u T v uvt Calcule AB e BA Sistemas lineares e eliminação de Gauss E112 Quais das seguintes equações são equações lineares em x, y e z? (a) x + π 2 y + 2z = 0, (b) x + y + z = 1, (c) x 1 + y + z = 0, (d) xy + z = 0 E113 Determine todos os polinómios p(x) de grau menor ou igual a 2 tais que p(1) = 1, p(2) = 0 e p(3) = 1 E114 Decida quais dos seguintes pontos (0, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 0, π), (0, 1, 1, 3), (0, 1, 0, 3) pertencem ao conjunto solução do sistema linear, nas incógnitas (x, y, z, w): { x + y + 2z = 0 x 2y z = 1 E115 Determine a intersecção entre as rectas y + x = 1 e y 2x = 1 2 E116 A conversão entre graus Celsius, C, e graus Fahrenheit, F, é governada pela equação linear: F = 9 C + 32 Determine a único valor da temperatura cuja conversão não altera o seu valor 5 (isto é quando F = C) E117 Determine valores para x, y, z e w de modo a que nas reacções químicas seguintes os elementos químicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equação (isto é, equilibre as equações químicas): (a) xc 3 H 8 + yo 2 zco 2 + wh 2 O (b) xch 4 + yo 2 zco 2 + wh 2 O 15

17 E118 Resolva cada um dos sistemas de equações lineares, utilizando o método de Eliminação de Gauss: x + y + 2z = 8 3x + 2y = 1 { x + y + z + w = 1 (a) x 2y + 3z = 1 (b) 6x + 4y = 0 (c) 2x + 2y + 2z + 3w = 1, 3x 7y + 4z = 10, 9x + 6y = 1, (d) 2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y 2z = 2 3x y + z = 11, (e) 2x + 8y + 6z = 20 4x + 2y 2z = 2 6x + 4y + 10z = 24, (f) y + z = 2 3y + 3z = 6 y + x + y = 0 E119 Escreva cada sistema linear do Problema 118 na forma matricial e aplique o método de Eliminação de Gauss, à matriz aumentada, para confirmar o resultado obtido no Problema 118 Indique o conjunto solução E120 Interprete geometricamente cada conjunto solução obtido no Problema 118 E121 Para cada parâmetro real α, considere o sistema de equações lineares cuja matriz aumentada é dado por α 10 (a) Discuta em termos de α a existência ou não de solução do sistema de equações lineares anterior (b) Para α = 4, determine o conjunto solução do sistema de equações lineares correspondente E122 Discuta, em função do parâmetros α e β, a solução de cada sistema linear cuja matriz aumentada é: α α 0 β 2 (a) 1 α 1 1 (b) α α α 1 0 α 2 β Solução (a) Para α 1 e α 2 o sistema é possível e determinado Para α = 1 sistema é possível e indeterminado Finalmente para α = 2, o sistema é impossível (b) O sistema é possível e determinado se α 0 e β 2 É impossível para α = 0 e β 2 Nos restantes casos, o sistema linear é possível e indeterminado (ie β = 2 e qualquer α) E123 Considere o sistema Ax = b cuja matriz matriz aumentada é 1 2 α β (a) Calcule as características de A e da matriz aumentada [A b em função dos parâmetros α e β (b) Discuta o tipo de solução do sistema em função dos parâmetros α e β Resolução: Usando eliminação de Gauss temos 1 2 α α β 2L 1+L α 1 β L 1 + L 3 4L α L 3 (a) Donde car A = { 3, α 5 2, α = 5, car [A b = 1 2 α α 1 β α + 5 4β 2 3, α 5, β R 3, α = 5 e β 1/2 2, α = 5 e β = 1/2 (b) Analisando novamente a matriz em escada de linhas obtida em a) concluímos que o sistema é impossível quando α = 5 e β 1/2 É determinado quando α 5 (e qualquer β) Indeterminado quando α = 5 e β = 1/2 16

18 E124 Indique a característica de cada uma das seguintes matrizes Quais é que estão em escada de linhas? (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) [ (j) (k) [ E125 Determine o conjunto solução de cada sistema homogéneo Au = 0 associado a cada matriz A do Problema 118, indicando o número de variáveis livres E126 Seja Ax = b um sistema linear escrito na forma matricial e B a matriz que se obtém de A usando uma operação elementar Será que podemos garantir que o conjunto solução do sistema Ax = b coincide com o conjunto solução do sistema By = b? Justifique a sua resposta E127 Considere o sistema linear cuja matriz aumentada é: (a) Determine o conjunto solução deste sistema (a) Verifique que x = 2, y = i, z = 3 i é uma solução deste sistema Há alguma contradição? (b) Se um sistema linear Ax = b for determinado com A e b matrizes reais, então será indiferente considerar as incógnitas reais ou complexas? Justifique E128 Sejam x 0 e x 1 duas soluções do sistema linear Ax = b Prove que: (a) Para qualquer real λ seja x λ = λx 0 + (1 λ)x 1 Prove que x λ é solução de Ax = b, (b) x λ x λ é solução do sistema homogéneo associado Ax = 0 para quaisquer λ, λ R Conclua que se Ax = b tiver duas soluções distintas, então o conjunto solução é infinito E129 Sendo A uma matriz quadrada e b uma matriz coluna não nula, decida o valor lógica de cada uma das seguintes afirmações: (a) Seja x 1 solução do sistema Ax = b e y 1 solução do sistema homogéneo associado Ay = 0, então x 1 y 1 é solução de Ax = b (b) Se x 1 e x 2 são duas soluções de Ax = b, então x 1 x 2 é solução de Ax = b (c) Se x 1 e x 2 são duas soluções de Ax = b, então x 1 x 2 é solução de Ax = 0 (d) Se A é invertível, então x = 0 é a única solução de Ax = 0 E130 Determine o conjunto solução do sistema linear cuja matriz aumentada é: [ [ (a) (b) (c) E131 Determine um sistema linear de equações cujo conjunto solução seja dado por S: (a) S = {(1 + t, 1 t) : t R}; (b) S = {(1, 0, 1)}; (c) S = {(t, 2t, 1) : t R}; (d) S = {(t, s, t + s) : t, s R}; (e) S = [ [ [ α 1 0 x1 1 E132 Sejam A α = 1 α 1, x = x 2, b = 1 onde α C é um parâmetro complexo Considere a seguinte lista de 0 0 α x 3 1 afirmações: 17

19 I) Existe um único valor de α para o qual car(a α ) 3 II) O sistema homogéneo A α x = 0 é possível para qualquer valor de α III) O sistema A α x = b é possível para qualquer valor de α IV) O sistema A α x = b é determinado para infinitos valores de α A lista completa de afirmações correctas é A) II e IV B) II e III e IV C) I e II e III e IV D) I e II Matrizes invertíveis E133 Sejam A e B duas matrizes quadradas 4 4 tais que AB = I Calcule a matriz BA 2 A [ E134 Seja A = Verifique que existe uma matriz B M (R) tal que AB = I, mas que não existe nenhuma matriz C tal que CA = I O que podemos concluir? [ a b E135 Sejam a, b, c, d números reais Prove que c d ad cb 0 1 [ d b = 1 ad cb c a sempre que E136 (a) Sejam A, B, C matrizes n n, tais que A e B são invertíveis Resolva a seguinte equação matricial em X: AXB = C [ 0 1 (b) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 2 2 tais que I A = 2A (c) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 3 tais que A A = 3I (d) Determine, caso existam, todas as matrizes A do tipo 3 3 tais que A A = 3I E137 (Matrizes nilpotentes) Seja A M n n (R) tal que A k = 0 para algum k N, k 1 Prove que (I A) 1 = I + A + A A k 1 E138 Seja A = (a) Verifique que A 3 é a matriz nula Prove que A não é invertível (b) Calcule (I + A + A 2 )(I A) Resolução: (a) Calcule-se A 3 por definição de produto de matrizes e concluir que A 3 é a matriz nula Supor que A é invertível, então como o produto de matrizes invertíveis é invertível, conluimos que A 2 e A 3 também são invertíveis Mas A 3 não é invertível Alternativelmente, verifique que car (A) = 2 3 Donde A não é invertível (b) Use o Problema

20 [ 3 4 E139 Seja A tal que (7A) 1 = 2 3 Calcule A Resolução: Note [ que (7A) 1 = C significa que 7 1 A 1 = C, ie A = 7 1 C 1 Neste caso 3 4 concreto, A = E140 Quando possível, inverta as seguintes matrizes: [ , [ , , , π Resolução: Usando o método de Gauss-Jordan temos [ [ L 1 + L L 2 + L 1 Portanto A é invertível porque car (A) = 2 e A 1 = [ invertível pois car (B) = 1 2 As matrizes C, D e E são invertíveis [ A matriz B não é E141 Em função do parâmetro real α, calcule a característica e justifique, quais são os valores de α para os quais as seguintes matrizes são intertíveis: [ 1 0 α 0 α α 0 1 α + 1 α 1 (a) (b) 1 α α (c) 2 α 1 α 2 α (d) 1 α α 0 α α 1 α 2 E142 Aproveite a matriz inversa de A do Problema 140 para resolver o sistema { x + y = 8 x + 2y = 10 Resolução: Como A é invertível, de Ax = b obtém-se x = A 1 b multiplicando à esquerda por A 1 Portanto pelo exercício 140 [ [ [ [ x = = y E143 Dadas A, B matrizes do tipo n n invertíveis tais que A + B é invertível, prove que A 1 + B 1 também é invertível e (A 1 + B 1 ) 1 = A(A + B) 1 B E144 Seja A = [a ij uma matriz invertível e B = [b ij a inversa de A Mostre que, para cada k 0, a matriz [k i j a ij é invertível e a sua inversa é [k i j b ij 19

21 2 Determinantes Definição 21 Dados os números naturais 1, 2,, n chama-se permutação desses n números a qualquer lista em em que os mesmos sejam apresentados por ordem arbitrária Definição 22 Seja (i 1 i 2 i n ) uma permutação dos números naturais 1, 2,, n Diz-se que um par (i j i k ) é uma inversão quando (j k) (i j i k ) < 0 (isto é, quando i j e i k aparecerem na permutação por ordem decrescente) Definição 23 Uma permutação (i 1 i 2 i n ) diz-se par (ímpar) quando o n o inversões incluídas fôr par (ímpar) máximo de Exemplo 24 A permutação (21453) é ímpar pois contem as inversões (21), (43) e (53) Definição 25 Seja A matriz n n Chama-se determinante 3 de A, e escreve-se A ou det(a), o número que se obtém do seguinte modo: (i) Formam-se todos os produtos possíveis de n factores em que intervenha um elemento de cada linha e, simultaneamente, um elemento de cada coluna de A (ii) Afecta-se cada produto do sinal + ou do sinal conforme as permutações (dos números naturais 1, 2,, n) que figuram nos índices de linha e de coluna tenham a mesma paridade ou não (iii) Somam-se as parcelas obtidas Em resumo: em que det(a) = A = (j 1 j 2 j n) permutação de 1,2,,n 0 se (j 1 j 2 j n ) é par σ = 1 se (j 1 j 2 j n ) é ímpar ( 1) σ a 1j1 a 2j2 a njn, Observação 26 Podemos ainda escrever de modo equivalente: em que A = (i 1 i 2 i n) permutação de 1,2,,n ( 1) σ a i1 1a i2 2a inn, 0 se (i 1 i 2 i n ) é par σ = 1 se (i 1 i 2 i n ) é ímpar 3 O Determinante de uma matriz foi pela primeira vez considerado por Talakazu Seki

22 Teorema 27 Seja A matriz 2 2 Então A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 (ii) Seja A matriz 3 3 Então A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 Exemplo 28 (i) (ii) = 1( 2) ( 1)2 = 0 = 1( 1)( 3) ( 1)2 6( 3) 2 = 32 Observação 29 i) A área do paralelogramo definido pelos vectores (a 1, b 1 ), (a 2, b 2 ) de R 2 é [ a1 b A = det 1 a 2 b 2 ii) O volume do paralelipípedo definido pelos vectores (a 1, b 1, c 1 ), (a 2, b 2, c 2 ), (a 3, b 3, c 3 ) de R 3 é dado por a 1 b 1 c 1 A = det a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 Observação 210 Se A é do tipo n n então A tem n! parcelas, pelo que pex se aplicarmos a definição de determinante a uma matriz 4 4, teremos 4! = 24 parcelas Em seguida vamos estudar métodos mais expeditos para o cálculo do determinante de uma matriz evitando o cálculo através desta definição Podemos facilmente calcular o determinante de cada matriz elementar: det(p ij ) = 1 (sei j), det(e i (α)) = α e det(e ij (α)) = 1 21

23 Teorema 211 Sejam A, B matrizes n n Seja λ R (i) det (AB) = det A det B (ii) Se A fôr uma matriz triangular superior ou triangular inferior então det A = produto dos elementos da diagonal principal de A (iii) Se A tiver uma linha nula então det A = 0 (iv) Se B fôr obtida de A multiplicando uma linha de A por um número real λ então det B = λ det A (v) Se B fôr obtida de A somando a uma linha de A um múltiplo real λ de uma outra linha de A então det B = det A (vi) Se duas linhas de A forem iguais então det A = 0 (vii) Se B fôr obtida de A trocando duas linhas de A então det B = det A (viii) det ( A T ) = det A (ix) Se A fôr invertível det (A 1 ) = 1 det A (x) det (λa) = λ n det A (xi) det (AB) = 0 det A = 0 ou det B = 0 (xii) det (AB) = det (BA) (xiii) det(a) 0 se e só se A invertível Observação 212 (i) Para estabelecer parte (i) do teorema 211, sugere-se provar esse resultado para matrizes elementares (ii) Em geral, det(a + B) det(a) + det(b) Definição 213 Seja A = (a ij ) M n n (R), com n > 1 Seja A ij a matriz do tipo (n 1) (n 1) que se obtém de A suprimindo a linha i e a coluna j de A Chama-se a A ij o menor-ij da matriz A Teorema 214 (Fórmula de Laplace 4 ) Seja A M n n (R), com n > 1 Tem-se det A = n a ij ( 1) i+j det A ij j=1 Observação 215 Seja A M n n (R), com n > 1 Tem-se det A = n a ij ( 1) i+j det A ij i=1 4 Pierre-Simon Laplace

24 Exemplo = ( 1)( 1) ( 2)( 1) = ( 1)( 3) + ( 2)4 + 2( 2)3 ( 1)3 ( 2)2( 3) 4( 2) + 2 [( 2) ( 2) = 18 = Definição 217 Seja A = (a ij ) M n n (R), com n > 1 Seja a ij = ( 1) i+j det A ij onde A ij é o menor-ij da matriz A Chama-se a a ij o cofactor-ij da matriz A e à matriz cof A = (a ij) M n n (R), com n > 1, a matriz dos cofactores de A Teorema 218 Para qualquer matriz A M n n (R), com n > 1, tem-se Se det A 0 então A é invertível e A (cof A) T = (det A) I A 1 = 1 det A (cof A)T [ a b Exemplo 219 Seja A = M c d 2 2 (R) tal que det A 0 Então A é invertível e [ A 1 1 d b = ad bc c a Note que ad bc = det A (ii) Podemos usar o teorema 218 para calcular não só a inversa de uma matriz (não singular) mas também entradas concretas dessa inversa Seja A = A entrada (2, 3) da matriz A 1 é dada por (A 1 ) 23 = 1 ( ) (cof A) T = 1 ( ) ( 1) det A 32 = det A 23 det A 3 Exemplo 220 Seja A = cof(a) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Então ( ([ 1 0 det 4 6 a 22 a 33 a 23 a 32 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) a 21 a 32 a 22 a 31 (a 12 a 33 a 13 a 32 ) a 11 a 33 a 13 a 31 (a 11 a 32 a 12 a 31 ) a 12 a 23 a 13 a 22 (a 11 a 23 a 13 a 21 ) a 11 a 22 a 12 a 21 )) = 2 Apelando aos teoremas 27 e 218, podemos escrever a inversa de cada matriz invertível

25 Teorema 221 (Regra de Cramer 5 ) Seja A M n n (R) tal que A é invertível Então a única solução do sistema de equações lineares AX = B é dada por X = A 1 B = 1 det A (cof A)T B Isto é, sendo X = [ x 1 x n T e B = [ b1 b n T tem-se x j = 1 det A n k=1 a kjb k = det B j det A, onde B j é a matriz obtida de A substituindo a coluna j de A pela matriz coluna B dos termos independentes Exemplo 222 O sistema de equações lineares 2x + y = 8 x + 2y + 4z = 7 x + z = 1 pode ser resolvido usando a regra de Cramer: x = = 13, y = = 18 e z = = Exercícios E21 Sejam A e B matrizes n n Decida se cada afirmação seguinte é verdadeira: (a) Seja B a matriz que se obtém de A fazendo uma troca de linhas L i L j com i j Então det(a) = det(b) (b) Seja B a matriz que se obtém de A multiplicando uma linha de A por um escalar não nulo k Então det(a) = 1 k det(b) (c) Seja B a matriz que se obtém de A substituindo a linha L i de A por L i + αl j, para qualquer escalar α Então det(a) = det(b) (d) Sendo A T a matriz transposta de A, det(a) = det(a T ) (e) det(αa) = α n det(a) 5 Gabriel Cramer

26 E22 Seja A = a b c d e f g h i tal que det(a) = 5 Calcule (a) det(3a) (b) det(a 1 ) (c) det( 2A 1 ) (d) det(( 2A) 1 ) (e) det(a 3 ) (f) det E23 Mostre que det invertível para algum a, b, c R? b + c a + c a + b a b c E24 Para que valores de k a matriz A é invertível? [ (a) A = k 2 2 (b) A = 2 k 2 k 3 2 a g d b h e c i f = 0 para quaisquer a, b, c R Será que A é E25 Calcular os determinantes das matrizes π , , , E26 Seja A = Prove que det(a6 A 5 ) = E27 Seja A M n n (R) tal que AA T = I (a) Prove que det(a) = ±1 (b) Encontre uma matriz A tal que AA T = I e det(a) = 1 E28 Seja A = (a) Calcule det(a) e justifique que A é invertível (b) Determina a entrada (1,3) da matriz inversa A E29 Seja A = Justifique que A é invertível e calcule a entrada (4, 2) de A α 0 1 E210 Seja A α = α 1 α , com α R 1 α 0 α (a) Calcule det(a α ) e determine os valores de α para os quais A α é invrrtível (b) Para cada n N, calcule det(a n 0 + A n+2 0 ), onde A 0 é a matriz A α para α = 0 (c) Considerando os valores de α para os quais A α é invertível, calcule a entrada (3, 1) da matriz A 1 α 25

27 E211 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando a regra de Cramer { x 3y + z = 4 7x 2y = 3 (a) (b) 2x y = 2 3x + y = 5 4x 3z = 2 [ a b c E212 Seja A = a 1 2 Sabendo que det(a) = 5, considere a seguinte lista de afirmações: b 2 4 [ a 1 2 I) det a b c = 20 4b 8 16 II) 2a b III) det( 3A) = 135 A lista completa de afirmações correctas é A) I B) II C) I e II e III D) I e II E213 Seja A = Considere a seguinte lista de afirmações: I) A matriz A é não invertível II) A entrada (1,4) da matriz inversa de A é igual a 0 III) A matriz 1 3 A2 é invertível A lista completa de afirmações correctas é A) I B) II e III C) II D) III E214 Seja A, B matrizes n n invertíveis (a) Prove que adj(adj(a))= A n 2 A (b) Prove que adj(ab) =adj(b)adj(a) 3 Espaços Lineares (ou Vectoriais) No final do século XIX e no começo do século XX tornou-se claro graças a Grassmann 6, Peano 7 e a Weyl 8 que o desenvolvimento axiomático da geometria Euclideana podia ser feito apelando a estruturas matemáticas Espaços Vectoriais e Euclidianos que desempenham um papel determinante noutras áreas da matemática e de outras ciências O estudo das estruturas matemáticas independente quer dos contextos que lhes deram origem quer dos contextos em que aplicam constitui uma das ideias mais ricas da matemática do século XX e é indissociável da matemática Emmy Noether 9 A Álgebra linear é basicamente o estuda dessas estruturas 6 Hermann Grassmann Giuseppe Peano Hermanm Weyl Emmy Noether

28 Definição 31 Um conjunto não vazio V é um espaço linear (real) se existirem duas operações associadas a V, uma soma de elementos de V e um produto de escalares (números reais) por elementos de V, com as seguintes propriedades: (a) (Fecho da soma) Para quaisquer u, v V tem-se u + v V (b) (Fecho do produto por escalares) Para quaisquer α R e u V tem-se αu V (c) (Comutatividade da soma) Para quaisquer u, v V, u + v = v + u (d) (Associatividade da soma) Para quaisquer u, v, w V, u + (v + w) = (u + v) + w (e) (Elemento neutro da soma) Existe um elemento de V designado por 0 tal que, para qualquer u V, u + 0 = u (f) (Simétrico) Para cada (qualquer) u V existe v V tal que u + v = 0 A v chama-se o simétrico de u e denota-se por u (g) (Associatividade do produto por escalares) Para quaisquer α, β R e u V, α (βu) = (αβ) u (h) (Distributividade em relação à soma de vectores) Para quaisquer α R e u, v V, α (u + v) = αu + αv (i) (Distributividade em relação à soma de escalares) Para quaisquer α, β R e u V, (α + β) u = αu + βu (j) Para qualquer u V, 1u = u Observação 32 Aos elementos de V chamaremos vectores Exemplo 33 Exemplos de espaços lineares: (i) R n, com as operações usuais: (u 1, u 2,, u n ) + (v 1, v 2,, v n ) = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,, u n + v n ), α(u 1, u 2,, u n ) = (αu 1, αu 2,, αu n ) (ii) M m n (R) (conjunto de todas as matrizes reais do tipo m n), com as operações (usuais): A + B e αa (iii) O conjunto de todas as funções reais de variável real definidas num conjunto não vazio S R, com as operações usuais: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x) (iv) O conjunto P de todos os polinómios reais, com as operações usuais (v) O conjunto P n (por vezes designado por P n ) de todos os polinómios reais de grau menor ou igual a n (incluindo o polinómio nulo), com as operações usuais 27

29 Observação 34 Um mesmo conjunto pode servir para formar espaços lineares diferentes: (i) O conjunto dos números reais R, com a soma definida por u v = u + v + 1, e o produto por escalares definido por α u = αu + α 1, é um espaço linear (Neste caso o elemento neutro é 1) (ii) O conjunto dos números reais maiores do que zero, com a soma definida por u v = uv, e o produto por escalares definido por α u = u α, é um espaço linear (Neste caso o elemento neutro é 1) Observação 35 Alterações nos conjuntos considerados anteriormente podem resultar em conjuntos que não são espaços lineares (i) O conjunto {(x, y) R 2 : x 0 e y 0}, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, os simétricos não estão no conjunto (ii) O conjunto V = {a 0 + a 1 t + + a n t n : a 0, a 1,, a n R e a n 0}, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo: t n, t n + t V, mas t n + ( t n + t) = t / V (iii) O conjunto U = {f : R R tais que f(1) = 2}, com as operações usuais, não é um espaço linear Por exemplo, se f 1, f 2 U, Logo, f 1 + f 2 / U (f 1 + f 2 ) (1) = f 1 (1) + f 2 (1) = = Subespaços lineares p ex: núcleo, espaço colunas e linhas de uma matriz Definição 36 Seja V um espaço linear Diz-se que U é um subespaço de V se U é um subconjunto de V e se U, com as operações de V, fôr um espaço linear 28

30 Observação 37 No entanto, para mostrar que um certo conjunto S V é um subespaço do espaço linear V, não será necessário verificar os 10 axiomas da definição 31, como se pode ver no seguinte teorema Teorema 38 Um subconjunto não vazio U de um espaço linear V é um subespaço linear de V se e só se: (i) Para quaisquer u, v U tem-se u + v U (ii) Para quaisquer α R e u U tem-se αu U Exemplo 39 Exemplos de subespaços: (i) Os únicos subespaços do espaço linear R, com as operações usuais, são {0} e R (ii) Os subespaços do espaço linear R 3, com as operações usuais, são: {(0, 0, 0)}, R 3, todas as rectas que passam pela origem e todos os planos que passam pela origem (iii) O conjunto de todas as matrizes (reais) triangulares superiores (do tipo n n) é um subespaço do espaço linear M n n (R), com as operações usuais (iv) O conjunto de todas as funções reais definidas e contínuas em I R (I é um intervalo) é um subespaço do espaço linear de todas as funções f : I R, com as operações usuais (v) Seja A uma matriz (real) do tipo m n O conjunto C(A) = {b R m : Au = b tem pelo menos uma solução u} é um subespaço do espaço linear R m, com as operações usuais, ao qual se dá o nome de espaço das colunas de A (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m n O conjunto N (A) = {u R n : Au = 0} é um subespaço do espaço linear R n, com as operações usuais, ao qual se dá o nome de espaço nulo ou núcleo de A (Confronte com o teorema 125) Observação 310 (i) Se A é invertível então N (A) = {0} (ii) Se N (A) = {0} então A é invertível (iii) Poderemos obter subespaços de um espaço linear através de combinações lineares de vectores desse espaço 29

31 Definição 311 Seja S um subconjunto não vazio de um espaço linear V Diz-se que um vector u é combinação linear finita dos elementos de S, se existir um n o finito de elementos de S, u 1,, u k, e de escalares λ 1,, λ k tais que u = λ 1 u λ k u k = k λ i u i Ao cojunto de todas as combinações lineares finitas de elementos de S chama-se expansão linear de S e designa-se por L(S) Se S é o conjunto vazio, escreve-se L( ) = {0} i=1 Teorema 312 Seja S um subconjunto não vazio de um espaço linear V A expansão linear L(S) de S é o menor subespaço de V que contém S Deste modo, a L(S) também se chama o subespaço gerado por S, e diz-se que S gera L(S) Observação 313 Seja S e T dois subconjuntos não vazios de um espaço linear V, com S T Se L(S) = V então L(T ) = V Exemplo 314 (i) O espaço linear R 2 é gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: {(1, 0), (0, 1)}, {(1, 2), ( 1, 11)} e {(23, 8), (6, 14)} (ii) O subespaço {(x, y) R 2 : y = 2x} do espaço linear R 2 é gerado por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: {(1, 2)}, {( 2, 4)} e {(77, 154)} (iii) O espaço linear P n de todos os polinómios de grau menor ou por qualquer dos seguintes conjuntos de vectores: igual a n, é gerado {1, t, t 2,, t n }, {1, 1 + t, (1 + t) 2,, (1 + t) n } e {1, t 1!, t2 tn,, 2! n! } (iv) O espaço linear P de todos os polinómios, é gerado pelo conjunto infinito de vectores: {1, t, t 2, } (v) O espaço linear V de todas as funções f : R R diferenciáveis tais que f (x) = af(x) é gerado pela função f 1 (x) = e ax, ie V = L({f 1 }) (vi) Seja A uma matriz (real) do tipo m n O espaço das colunas de A, C(A) = {b R m : Au = b tem pelo menos uma solução u}, é o subespaço (do espaço linear R m ) gerado pelas colunas de A, uma vez que: b 1 a 11 a 12 a 1n u 1 a 11 a 12 b 2 a 21 a 22 a 2n u 2 a 21 a 22 b m = a m1 a m2 a mn u n = u 1 30 a m1 + u 2 a m2 + + u n a 1n a 2n a mn

32 (vii) Seja A uma matriz (real) do tipo m n Ao subespaço linear de R n gerado pelas linhas de A dá-se o nome de espaço das linhas de A e designa-se por L(A) (viii) Sejam A = Tem-se [ , B = , C = e D = C(A) = {(0, 0)}, N (A) = R 3 e L(A) = {(0, 0, 0)} [ C(B) = L ({(1, 0, 0), (1, 7, 0)}), N (B) = L ({(3, 1, 0)}) e L(B) = L ({(1, 3, 1), (0, 0, 7)}) C(C) = L ({( 1, 2, 2)}), N (C) = L ({(2, 1)}) e L(C) = L ({( 1, 2)}) C(D) = L ({(2, 0), (0, 1)}), N (D) = {(0, 0)} e L(D) = L ({(2, 0), (0, 1)}) (ix) Seja U = {A M 3 2 (R) : a 12 = a 21 = a 32 = 0 e a a 31 = 0} A U, a 11 a 12 2a A = a 21 a 22 = 0 a 22 = a a a 31 a 32 a com a 31, a 22 R Logo, Logo, U = L , (x) Seja U = {p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 P 2 : p(1) = p(0)} Tem-se, para p(t) U, p(1) = p(0) a 0 + a 1 + a 2 = a 0 a 1 + a 2 = 0 a 1 = a 2 Tem-se, para, com a 0, a 2 R Assim, p(t) = a 0 a 2 t + a 2 t 2 = a a 2 ( t + t 2 ), U = L ({ 1, t + t 2}) Teorema 315 Se U e V são subespaços do espaço linear W, então: (i) O conjunto U V é um subespaço linear de W (ii) O conjunto U + V = {u + v : u U e v V } é um subespaço de W É o menor subespaço de W que contém U V O conjunto U V em geral não é um subespaço Tem-se U + V = L(U V ) Se U V = {0} então dizemos que U e V estão em soma directa e escrevemos U V para designar U + V 31