2 Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior

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1 2 Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior Seja R 3 o espaço euclidiano tridimensional, chamamos de álgebra exterior de R 3 a álgebra Λ(R 3 ) gerada pela base canônica {e 1, e 2, e 3 } satisfazendo e i e j = e j e i, i, j. Nesta álgebra define-se o operador linear que satisfaz: (1) = e i e j e k ; (e i ) = e j e k ; (e i e j ) = e k ; (e i e j e k ) = 1, para todo {i, j, k} permutação positiva de {1, 2, 3}. Sejam o produto vetorial e o produto interno canônico em R 3. Não é dificil mostrar que estes produtos podem ser também expressados fazendo uso da álgebra exterior e do operador estrela, a saber : u v = (u v) e u v = (u v), u, v R 3. Neste capítulo estenderemos a definição de e visto como produtos na álgebra exterior de qualquer espaço vetorial e veremos algumas propriedades as quais são parecidas ao caso R Produto Interno Sobre Λ(E) Seja E um espaço vetorial real de dimensão n com produto interno,. Fixemos β = {u 1, u 2,..., u n } uma base ortonormal de E. Chamamos de álgebra exterior de E a álgebra Λ(E) gerada por β cujo produto é anticomutativo em β,isto é, para todo i e j em {1,.., n} temos que u i u j = u j u i. O sub-espaço Λ k (E) gerado pelos elementos da forma {u i1.. u ik } 1 i1 <..<i k n é dita a k-álgebra exterior de E. Cada u Λ k (E) é chamado de k-vetor e no caso de u = v 1 v 2.. v k, onde os v i E, será chamado de k-vetor decomponível. Notemos que Λ(E) pode ser definida pela soma direta Λ(E) := Λ 0 (E) Λ 1 (E).. Λ n (E).

2 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior 12 Observemos que a propriedade distributiva de uma álgebra garante a extensão da propriedade anticomutativa do produto para cada par de vetores em E, isto é, para todo u e v em E se satisfaz u v = v u, em particular, para todo u E temos que u u = 0. logo, se {v 1,.., v k } é um subconjunto de E linearmente dependente então v 1 v 2.. v k = 0. (2-1) Notemos também que se {v 1,.., v n } é um subconjunto de E e se para cada i temos que (v i ) β denota as coordenadas de v i na base β então por (2-1) e a propriedade anticomutativa do produto temos que v 1.. v n = [(v 1 ) β,.., (v n ) β ]u 1.. u n, onde [(v 1 ) β,..(v n ) β ] é o determinante da matriz cujas linhas são as coordenadas (v i ) β. Em geral, se γ = {w 1,., w n } é uma base qualquer de E então v 1.. v n = [(v 1 ) γ,.., (v n ) γ ]w 1.. w n. (2-2) Por outro lado, no caso de E o espaço dual de E podemos usar definições análogas ao caso de Λ(E) para definir Λ(E ) a álgebra exterior de E sendo os elementos desta álgebra chamados de covetores. A álgebra Λ(E ) é isomorfo a (Λ(E)). Em particular, Λ k (E ) é isomorfo a (Λ k (E)), a saber, se {ω 1,..., ω n } é a base dual de {u 1,..., u n } então a base {ω i1.. ω ik } 1 i1 <..<i k n de Λ k (E ) será identificada como a base dual de {u i1.. u ik } 1 i1 <..<i k n em Λ k (E). Notemos que todo k-vetor u pode ser escrito da forma u = (ω i1.. ω ik )(u)u i1.. u ik. (2-3) 1 i 1 <..<i k n Analogamente, todo k-covetor ω pode ser escrito da forma ω = ω(u i1.. u ik )ω i1.. ω ik. (2-4) 1 i 1 <..<i k n Notemos também, que se α = α 1.. α k é um k-covetor decomponível e v = v 1... v r é um r-vetor decomponível então α(v) = { 0 se k r; det[α i (v j )] se k = r, onde det denotya o determinante de uma matriz quadrada. (2-5) Para cada u Λ(E) chamaremos de produto interior por u à trans-

3 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior 13 formação linear i u : Λ(E ) Λ(E ), ω i u ω, i u ω(υ) = ω(u υ) υ A(E). Em particular, se u é um 1-vetor, u E, então i u é uma antiderivação de grau -1 em Λ(E ), isto é, i u satisfaz 1. i u (ω) Λ k 1 (E ), ω Λ k (E). 2. i u (ω β) = i u (ω) β + ( 1) k ω i u (β), ω Λ k (E ) β Λ(E ). Observação 2.1 Observemos que se u 1, u 2,.., u k 1 e u k são elementos de Λ(E) então i u1 u 2.. u k 1 u k = i uk i uk 1..i u2 i u1. (2-6) Para cada k 0 definamos a aplicação bilinear :, k : Λ k (E) Λ k (E) R tal que, para cada par u = u 1... u k e v = v 1... v k de k-vetores decomponíveis corresponde o valor : u, v k = det[ u i, v j ]. (2-7) Proposição 2.2, k é produto interno sobre Λ k (E). Prova: Por definição, o produto, k é bilinear. Por outro lado, sabendo que para toda matriz quadrada A e sua transposta A t se satisfaz deta = deta t, por definição do produto, k temos u 1.. u k, v 1.. v k k = v 1.. v k, u 1.. u k k. Logo o próduto é simétrico. Agora, seja {u 1,..., u n } base ortonormal de E. Tomndo u = u r1... u rk e v = u s1... u sk decomponíveis tais que r 1 <... < r k e s 1 <... < s k, temos u, v k = det[ u ri, u sj ] { = det[δ r 1 se r i i = s i para todo i. s j ] = 0 se r i s i para algum i.

4 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior 14 Agora, se u = a i1...i k u i1... u ik Λ k (E) 1 i 1 <...<i k n então u, u k = a i1...i k a j1...j k u i1... u ik, u j1... u jk = a 2 i 1...i k 0, onde as somas são tomadas sobre todos os k-uplos tais que 1 i 1 <.. < i k n e 1 j 1 <.. < j k n. Notemos que a definição do produto, k implica que o conjunto {u i1.. u ik } 1 i1 <..<i k n é uma base ortonormal de Λ k (E). Definamos o produto interno:, : Λ(E) Λ(E) R tal que se u Λ k (E) e v Λ r (E) { u, v k se k = r. u, v = 0 se k r. (2-8) A norma de um vetor u Λ(E) será definido como u := u, u. Este produto interno induz o isomorfismo j : Λ(E) Λ(E ) u j(u), j(u)(v) = u, v v Λ(E) (2-9) Proposição 2.3 j é um isomorfismo de álgebras, isto é j(u v) = j(u) j(v) u, v Λ(E). (2-10) Prova: Seja u = u 1.. u k um k-vetor decomponível. Tomemos um k-vetor v = v 1.. v k decomponível arbitrário. Notemos que [j(u)](v) = u, v = det[ u i, v j ] = det[j(u i )(v j )] = [j(u 1 )... j(u k )](v 1.. v k ) = [j(u 1 )... j(u k )](v). ou seja, temos que j(u) = j(u 1 )... j(u k ).

5 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior 15 Observação 2.4 O isomorfismo j 1 : Λ(E ) Λ(E) induz o produto interno, : Λ(E ) Λ(E ) R, α, β = j 1 (α), j 1 (β) Observemos que se {u 1,..., u n } é qualquer base ortonormal de E e {ω 1,..., ω n } é a base dual em E então para todo i temos que ω i = j(u i ). Disso e da definição do produto, temos que {ω 1,..., ω n } é também uma base ortonormal de E. Exemplo 2.5 Sejam E = R n com o produto interno usual, {e 1,..., e n } base canônica de R n e {α 1,..., α n } a base dual. 1.Seja A := 3e 1 e 2 + 4e 2 e 3, 4e 1 e 2 + e 2. Logo: A = 12 e 1 e 2, e 1 e e 1 e 2, e e 2 e 3, e 1 e 2 + e 2 e 3, e 2 e 1 e 1 e 1 e 2 = 12 e 2 e 1 e 2 e e 2 e 1 e 2 e 2 e 3 e 1 e 3 e 2 = Seja B := 3α 1 α 2 + 4α 2 α 3, 4α 1 α 2 + α 2. Logo: B = j 1 (3α 1 α 2 + 4α 2 α 3, j 1 (4α 1 α 2 + α 2 ) = j 1 (3α 1 α 2 ) + j 1 (4α 2 α 3 ), j 1 (4α 1 α 2 ) + j 1 (α 2 ) = 3e 1 e 2 + 4e 2 e 3, 4e 1 e 2 + e 2 = Os Produtos e Sejam E um espaço vetorial de dimensão n e {u 1,.., u n } uma base ortonormal de E. O subespaço Λ n (E) é gerado pelo n-vetor u 1.. u n, logo, a dimensão de Λ n (E) é igual a 1. Assim, Λ n (E) {0} tem duas componentes e a escolha de uma destas componentes define uma orientação para E. Fixando uma componente dizemos que E é um espaço vetorial orientado. Denotaremos esta componente por O. Alem disso, toda base {v 1,.., v n } de E tal que v 1.. v n O será chamada de uma base positiva de E. Definição 2.6 Sejam E um espaço vetorial orientado com produto interno, e {u 1,..., u n } uma base ortonormal positiva de E. Chamamos de operador estrela de Hodge à aplicação linear : Λ(E) Λ(E) que satisfaz 1. (u 1 u 2.. u n ) = 1.

6 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior (1) = u 1... u n. 3. Se {i 1,.., i k, j 1,..j n k } é uma permutação positiva de {1,.., n} então (u i1... u ik ) = u j1.. u jn k, k n. Observação 2.7 O operador estrela de Hodge independe da escolha da base ortonormal positiva {u 1,..., u n }. Analogamente, podemos definir o operador estrela de Hodge sobre o dual Λ(E ) considerando sobre E o produto interno e a orientação induzida pelo isomorfismo j. O operador possui as seguintes propriedades: Sejam {i 1,.., i k }, com os i l s distintos, e {j 1,.., j r } contidos em {1,.., n} com interseção não nula. Então (u i1... u ik ) (u i1... u ik ) = u 1 u 2.. u n. (2-11) (u i1... u ik ) (u j1... u jr ) = 0. (2-12) O operador também satisfaz as propriedades u = ( 1) k(n k) u u Λ k (E). (2-13) u = u u Λ n (E). (2-14) Exemplo 2.8 Sejam E = R 5 e {e 1,.., e 5 } sua base canônica ortonormal. Suponha que e 1.. e 5 define a orientação O de R 5. Neste caso sendo {α 1,.., α 5 } a base dual da base canônica e que {1, 3, 4, 2, 5} e {1, 2, 5, 3, 4} são permutações positivas de {1, 2, 3, 4, 5} temos que 1. e 1 e 3 = e 4 e 2 e 5 = e 2 e 4 e (e 1 e 2 e 5 e 1 e 2 ) = e 3 e 4 e 3 e 4 e α 1 α 3 = α 2 α 4 α α 1 α 3 α 5 = α 1 α 3 α 5. Consideremos Λ(E)= Λ k (E), onde denota soma direta de subespaços, Z denota os inteiros e Λ k (E) = 0 se k < 0 ou k > n. Definamos k Z os

7 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior 17 seguintes produtos em Λ(E): : Λ(E) Λ(E) Λ(E) (u, v) u v = (u v). (2-15) : Λ(E) Λ(E) Λ(E) (u, v) u v = (u v). (2-16) Note que se u Λ k (E) e v Λ r (E) então u v Λ r k (E) e u v Λ n (r+k) (E). Observação 2.9 Sejam E = R 3 e {e 1, e 2, e 3 } a base canônica tal que e 1 e 2 e 3 define a orientação. Então, pelas propriedades do operador, temos que { (e 1 e 2 e 3 ) = 1 se i = j. e i e j = (e i e j ) = 0 se i j. { e k se i j. e i e j = (e i e j ) = 0 se i = j, onde {i, j, k} é permutação positiva de {1, 2, 3}. Assim, e são respectivamente o produto interno e vetorial usuais em R 3. Usando sómente as definições de e podemos mostrar que u (v w) = u (v w) u, v, w Λ(E). (2-17) Também, para {v 1,..v n } conjunto de vetores em E podemos mostrar por definição de e e por (2-2) que os vetores decomponiveis u = v 1.. v k1, v = v k v k2 e w = v k v n satisfazem u v w = [(v 1 ) β, (v 2 ) β,.., (v n ) β ], (2-18) onde β é qualquer base ortonormal que define a orientação de E e usamos a notação de (2-2). Proposição 2.10 Sejam u, v Λ k (E). Então u v = v u = u, v. (2-19) Prova: Seja {u 1,..., u n } uma base ortonormal de E. A definição de, k implica que {u i1.. u ik } 1 i1 <..<i k n é base ortonormal de Λ k (E).

8 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior 18 Por outro lado, por (2-11) e (2-12) temos que (u i1.. u ik ) (u j1.. u jk ) = ((u { i1.. u ik ) (u j1.. u jk )) 1, i r = j r r = 0, i r j r para algum r Logo, os produtos, k e coincidem numa base de Λ k (E). Disso e do fato que ambos produtos são bilineares, temos que u, v = u v, u, v Λ k (E). Seja {u 1,..., u n } uma base positiva de E. Notemos por definição de norma que u 1... u n 2 = det[ u 1, u j ], onde det denota determinante. Corolário 2.11 Sejam {u 1,.., u n } uma base positiva de E e {ω 1,.., ω n } a base dual de E. Se ḡ = det[ u 1, u j ] = u 1.. u n 2 então j (u 1.. u k ) = ḡω k+1.. ω n (2-20) j 1 (ω k+1.. ω n ) = ( 1)k(n k) ḡ u 1.. u k (2-21) Prova: Sendo j (u 1.. u k ) um r-covetor, r = n k, e {ω l1.. ω lr } 1 l1 <..<l r n a base dual em Λ r (E ) de {u l1.. u lr } 1 l1 <..<l r n então por (2-4), definição de j, proposição anterior, (2-13), (2-1) e (2-14) temos j (u 1.. u k ) = [j( (u 1.. u k ))(u l1.. u lr )]ω l1.. ω lr = = 1 l 1 <..<l r n 1 l 1 <..<l r n 1 l 1 <..<l r n [(u l1.. u lr ) (u 1.. u k )]ω l1.. ω lr [ (u 1.. u k u l1.. u lr )]ω l1.. ω lr = [ (u 1.. u k u k+1.. u n )]ω k+1.. ω n = ḡω k+1.. ω n, mostrando assim (2-20). Usaremos este resultado para mostrar (2-21). j 1 (ω k+1.. ω n ) = j 1 (j ( 1 ḡ u 1.. u k )) = ( 1) k(n k) 1 ḡ u 1.. u k. Sejam {u 1,.., u n } base ortonormal positiva de E e {j(u 1 ),.., j(u n )} sua base dual em E. Definamos o n-covetor unitário vol E := j(u 1.. u n ) dual ao vetor unitário u 1.. u n. Proposição 2.12 Seja u E k (M). Então i u vol E = j( u). (2-22)

9 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior 19 Prova: Sendo {u 1,..u n } uma base ortonormal temos que {j(u 1 ),.., j(u n )} é a base dual em E. Para cada i denotemos ω i := j(u i ), logo {u i1.. u ik } 1 i1 <..<i k n é uma base ortonormal de Λ k (E) e {ω i1.. ω ik } 1 i1 <..<i k n é a base ortonormal dual de Λ k (E ). Consideremos o caso u 1.. u k. Notemos que i u1.. u k vol E Λ n k (E ). Por (2-4), definição de i u1.. u k vol E, (2-1)) e definição de j temos que i u1.. u k vol E = [i u1.. u k vol E (u j1.. u jn k )]ω j1.. ω jn k = 1 j 1 <..<j n k n 1 j 1 <..<j n k n [vol E (u 1.. u k u j1.. u jn k )]ω j1.. ω jn k = [vol E (u 1.. u k u k+1.. u n )]ω k+1.. ω n = [ u 1.. u n 2 ]ω k+1.. ω n = ω k+1.. ω n = j(u k+1.. u n ). Por outro lado, sendo {u 1,.., u n } uma base ortonormal positiva, temos que (u 1.. u k ) = u k+1.. u n. Logo j( (u 1.. u k )) = j(u k+1.. u n ). Assim j( (u 1.. u k )) = i u1.. u k vol E. No caso de i ui1.. u ik vol E, 1 i 1 <.. < i k n, podemos considerar uma permutaçào positiva {j 1,..j n } de {1,.., n} tal que para todo r {1,..k} temos que i r = j r e mostrar como acima que j( (u i1.. u ik )) = i ui1.. u ik vol E. Proposição 2.13 Sejam u Λ k (E) e v Λ r (E) então j(u v) = ( 1) (r k)(n r) i u j(v). (2-23) Prova: Por definição u v Λ r k (E). Seja w Λ r k (E) arbitrário. Por definição de j e (2-19) temos que j(u v)(w) = w (u v). Aplicando as propriedades de convenientemente temos w (u v) = ( 1) (r k)(n r) (u w) v. Logo, por (2-19) e definição de i u temos que j(u v)(w) = ( 1) (r k)(n r) v, u w

10 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior 20 = ( 1) (r k)(n r) j(v)(u w) = ( 1) (r k)(n r) i u j(v)(w). Corolário 2.14 Seja u E, dim(e) = n. Se v Λ k (E) e w Λ s (E) então u (v w) = ( 1) ns (u v) w + ( 1) (n+1)k v (u w). (2-24) Prova: Sejam v Λ k (E) e w Λ s (E). Por (2-23), (2-10) e sendo i u antiderivada temos que j(u (v w)) = ( 1) (k+s 1)(n k s) i u j(v w) = ( 1) n(k+s 1) i u (j(v) j(w)) = ( 1) n(k+s 1) {(i u j(v)) j(w) + ( 1) k j(v) (i u j(w))}. Disto, (2-23) e (2-10) temos j(u (v w)) = ( 1) ns j((u v) w) + ( 1) (n+1)k j(v (u w)). Logo pela linearidade de j temos j(u (v w)) = j(( 1) ns (u v) w + ( 1) (n+1)k v (u w)). Finalmente, sendo j um isomorfismo podemos aplicar j 1 à última equação e obter o resultado. Corolário 2.15 Sejam u, v i, i=1,..,k, vetores em E. Então k u (v 1... v k ) = ( 1) (k 1)n ( 1) i 1 u, v i v 1.. v i.. v k. (2-25) i=1 Prova: ( Por indução ) k = 1: u v 1 = u, v 1. Para k + 1 sabendo que se cumpre para k: Por (2-24) temos que u (v 1.. v k+1 ) = ( 1) n (u (v 1.. v k )) v k+1 +( 1) (n+1)k v 1.. v k (u v k+1 ). Como a formula se cumpre para k, temos que u (v 1.. v k ) = ( 1) (k 1)n k ( 1) i 1 u, v i v 1.. v i.. v k. i=1

11 Capítulo 2. Extensão do Produto Vetorial Sobre uma Álgebra Exterior 21 Além disso, como u v k+1 = u, v k+1 R, podemos escrever v 1.. v k (u v k+1 ) = u, v k+1 v 1.. v k. Portanto, k+1 u (v 1.. v k+1 ) = ( 1) kn ( 1) i 1 u, v i v 1.. ˆv i.. v k v k+1. i=1 Observação 2.16 Sejam u, v, w R 3. Então por (2-17) e (2-25) temos que u (v w) = (u w) v (u v) w.